弹性力学复习题
一．判断与改错
1. 材料力学研究杆件，不能分析板壳；弹性力学研究板壳，不能分析杆件。 （ × ）
2. 在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。 （× ）
3. 在体力是常数的情况下，应力解答将与弹性常量无关。 （ √ ）
4. 三次或三次以下的多项式总能满足相容方程。 （√ ）
5. 对于纯弯曲的细长梁，由材料力学得到的挠曲线是它的精确解。 （√ ）
二．简答题
1. 什么是平面应力问题及平面应变问题？
答：平面应力问题：对于含有以下条件：(1)等厚度的薄板； (2)体力x f 、y f 作用于体内，∥xy 面，沿板厚不变；(3)面力-
x f 、-
y f 作用于板边，∥xy 面，沿板厚不变； (4)约束u 、v 作用于板边，∥xy 面，沿板厚不变。 那么可以简化为应力中只有平面应力x σ,y σ,xy τ 存在并且只有xy 面内的面力或体力的问题。
平面应变问题：对于含有以下条件：(1)很长的常截面柱体 ；(2)体力x f 、y f 作用于体内，∥xy 面，沿长度方向不变；(3)面力-
x f 、-
y f 作用于柱面，∥xy 面，沿长度方向不变；(4)约束u 、v 作用于柱面，∥xy 面，沿长度方向不变。 那么可以简化为应变中只有平面应变
x ε,y ε,xy γ 存在并且只有xy 面内的面力或体力的问题。
2. 简述圣维南原理 ？圣维南原理表明了什么？
答：圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。
圣维南原理表明：在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。 3. 何谓逆解法和半逆解法？
答：所谓逆解法，就是先按某种方法给出一组满足全部基本方程的应力分量或位移分量，然后考察，在确定的坐标系下，对于形状和几何尺寸完全确定的物体，当其表面受什么样的面力作用或具有什么样的位移时，才能得到这组解答。
所谓的半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的几何形状、受力特点或材料力学已知的初等结果，假设一部分应力分量或位移分量为已知，然后由基本方程求出其他量，把这些量合在一起来凑合已知的边界条件；或者把全部的应力分量或位移分量作为已知，然后校核这些假设的量是否满足弹性力学的基本方程和边界条件。
逆解法：选择相容方程的应力函数，根据应力边界条件和几何边界条件找出能用该应力函数解决的问题。
半逆解法：假定部分应力分量为某种形式双调合函数，导出应力函数，再考察这个应力函数得到的应力分量是否满足全部边界条件。
三．试确定以下两组应变状态能否存在(B A K ,,为常数), 并说明为什么？
(1) Kxy Ky y x K xy y x 2,),(222==+=γεε (存在) (2)
0,,22===xy y x y Bx Axy γεε (不存在)
四．计算题
1. 图中所示的矩形截面体，受力如图所示，试写出其边界条件。
解：主要边界条件，
b x =，p xy x ==τσ;0
b x -=，0;==xy x q τσ
次要边界条件，在0=y 上，
0)(0==y xy τ，满足；
F dx b
b
y y -=?
-=0)(σ
2
)(0Fb
xdx b
b
y y -
=?-=σ 2.图中所示的矩形截面体，在o 处受有集中力F 和力矩2/Fb M =作用，试用应力函数23Bx Ax +=φ求解图示问题的应力分量，设在A 点的位移和转角均为零。
解：应用应力函数求解，
（1） 校核相容方程04
=?φ，满足 （2） 求应力分量，在无体力时，得
B Ax y 26+=σ，0==xy y τσ 考察主要边界条件，
b x ±=，0==xy y τσ，均满足。 考察次要边界条件，在0=y 上，
0)(0==y xy τ，满足；
F dx b
b
y y -=?-=0)(σ，得b
F
B 2-
=； 2)(0
Fb
xdx b b y y -=?-=σ，得28b
F A -=。 代入，得应力的解答，
)231(2b
x
b F y +-
=σ，0==xy x τσ 上述应力已满足了04
=?φ和全部边界条件，因而是上述问题的解。 3. 图中所示的悬臂梁，长度为l ，高度为h ，l h >>，在边界上受均匀分布荷载q ，试验应力函数
523322Ay Bx y Cy Dx Ex y φ=++++
能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。
4. 已知如图所示矩形截面柱，承受偏心荷载P 的作用。若应力函数2
3
Bx Ax +=?，试求各应力分量。
解：（1）检验相容方程是否满足，由0)(4
=?φ
（2）求应力分量：
0=x σ B y 2Ax 6+=σ 0=xy τ
（3）由边界条件：h y =边，由圣维南原理可得：
p dx a
a
h y y -=?
-=)(σ
可得：a p B 4/-=
2
)(0a
p xdx a
a
y y ?
-=?
-=σ★★★★★ 注意σy 下标是y=0 可得：2
8a p
A -
= （4）应力分量为：
0=x σ
a p
x a
p y 2432
--
=σ 0=xy τ
5. 试推导平面问题的y 方向的平衡微分方程0=+??+
??y xy y f x
y
τσ
解：
以y 轴为投影轴，列出投影平衡方程∑=0x
F
；
0)()(=+-??++-??+dxdy f dy dy dx x
dx
dx dy y
y xy xy xy
y y
y τττσσσ
约简之后，两边除以dxdy ，得
0=+??+
??y xy y f x
y
τσ
6. 已知MPa 50==y x σσ，MPa 4=z σ，MPa 10,0===yz xz xy τττ，求三个主应力
321,,σσσ (答案： 54MPa,50MPa,0MPa)
7. 证明弹性力学解得唯一性定理。 8.
dx x
x
? ?
σ y
9.
10.
11．试推导应变协调方程。