2016·全国卷Ⅱ(文科数学)
1．A1[2016·全国卷Ⅱ] 已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2<9}，则A ∩B ＝( ) A ．{－2，－1，0，1，2，3} B ．{－2，－1，0，1，2} C ．{1，2，3} D ．{1，2}
1．D [解析] ∵x 2<9，∴－3 2．L4[2016·全国卷Ⅱ] 设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2i D ．3－2i 2．C [解析] 由z ＋i ＝3－i ，得z ＝3－2i ，故 ＝3＋2i. 3．C4[2016·全国卷Ⅱ] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图1-1所示，则( ) 图1-1 A ．y ＝2sin （2x －π6） B ．y ＝2sin （2x －π 3） C ．y ＝2sin （x ＋π6） D ．y ＝2sin （x ＋π 3 ） 3．A [解析] 由图知，A ＝2，最小正周期T ＝π，所以ω＝2π π＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．又 因为图像过点（π3，2），所以2sin （2×π3＋φ）＝2，即2π3＋φ＝2k π＋π 2(k ∈Z )，当k ＝0 时，得φ＝－π6，所以y ＝2sin （2x －π 6 ）. 4．G8[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( ) A ．12π π C ．8π D ．4π 4．A [解析] 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π. 5．H7[2016·全国卷Ⅱ] 设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x (k >0)与C 交于点P ， PF ⊥x 轴，则k ＝( ) B ．1 D ．2 5．D [解析] 易知F (1，0)，因为曲线y ＝k x (k >0)与抛物线C 交于点P ，且PF ⊥x 轴，所 以k 1 ＝2，所以k ＝2. 6．H4[2016·全国卷Ⅱ] 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43 B ．－34 D ．2 6．A [解析] 由题意可知，圆心为(1，4)，所以圆心到直线的距离d ＝|a ＋4－1| a 2＋12＝1，解 得a ＝－4 3 . 7．G2[2016·全国卷Ⅱ] 如图1-2是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) 图1-2 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 7．C [解析] 几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h . 由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得l ＝22＋（23）2＝4， 故S 表＝πr 2＋ch ＋πrl ＝4π＋16π＋8π＝28π. 8．K3[2016·全国卷Ⅱ] 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) 8．B [解析] 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 40－1540＝5 8 . 9．L1[2016·全国卷Ⅱ] 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图1-3是实现该算法 的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( ) 图1-3 A ．7 B ．12 C ．17 D ．34 9．C [解析] 第一次运算，a ＝2，s ＝2，k ＝1，不满足k >n ； 第二次运算，a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2，不满足k >n ； 第三次运算，a ＝5，s ＝6×2＋5＝17，k ＝3，满足k >n ，输出s ＝17. 10．B1[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝1 x 10．D [解析] y ＝10lg x ＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意． 11．C6[2016·全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π 2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 11．B [解析] 由已知得f (x )＝－2sin x －322＋11 2，而sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时， f (x )取得最大值5. 12．B8[2016·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与 y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 （ ） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 当m 为奇数时，＝2× m －1 2 ＋1＝m. 13．F2[2016·全国卷Ⅱ] 已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________． 13．－6 [解析] 因为a ∥b ，所以－2m －4×3＝0，解得m ＝－6. 14．E5[2016·全国卷Ⅱ] 若x ，y 满足约束条件???? ?x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为 ________． 14．－5 [解析] 由???? ?x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0 画出可行域(图中阴影部分所示)，则z ＝x －2y 在B 处 取得最小值．由? ????x －y ＋1＝0， x －3＝0，得B (3，4)，所以z min ＝3－8＝－5. 15．C8[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4 5， cos C ＝5 13 ，a ＝1，则b ＝________． [解析] 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝12 13， sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝21 13. 16．M1[2016·全国卷Ⅱ] 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人 各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 16．1和3 [解析] 由题意可知丙不拿2和3. 若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意． 故甲的卡片上的数字是1和3. 17．D2[2016·全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[]＝0，[]＝2. 17．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得a 1＝1，d ＝25 . 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3 5 . (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋3 5 ]. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋3 5<2，b n ＝1； 当n ＝4，5时，2<2n ＋3 5<3，b n ＝2； 当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋3 5<4，b n ＝3； 当n ＝9，10时，4<2n ＋3 5 <5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 18．K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： (1)记A (2)记B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值． 18．解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50 200 ＝，故P (A )的估计值为. (2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200 ＝，故P (B )的估计值为. (3) 调查的200名续保人的平均保费为 0．85a ×＋a ×＋×＋×＋×＋2a ×＝ 5a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 5a . 19．G5[2016·全国卷Ⅱ] 如图1-4，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′； (2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝5 4 ，OD ′＝22，求五棱锥D ′-ABCFE 的体积． 图1-4 19．解：(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD ，故AC ∥EF . 由此得EF ⊥HD ，EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′. (2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝1 4 . 由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3， 于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH . 由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′. 又OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC . 由 EF AC ＝DH DO 得EF ＝92 . 五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694. 所以五棱锥D ′- ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝232 2. 20．B12[2016·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． 20．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时， f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1 x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0. 故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a （x －1） x ＋1 >0. 设g (x )＝ln x －a （x －1）x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a （x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2 ，g (1)＝0. (i)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋ ∞)上单调递增，因此g (x )>0. (ii)当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )<0. 综上，a 的取值范围是(－∞，2]． 21．H8[2016·全国卷Ⅱ] 已知A 是椭圆E ：x 24＋y 2 3＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交 E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3 21．解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π 4. 又A (－2，0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 2 3＝1，得7y 2－12y ＝0. 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝12 7 . 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝144 49 . (2)证明：将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 2 3＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2 －12＝0. 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2（3－4k 2） 3＋4k 2， 故|AM |＝|x 1＋2| 1＋k 2＝ 121＋k 2 3＋4k 2 . 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1 k (x ＋2)． 故同理可得|AN |＝12k 1＋k 2 3k 2＋4 . 由2|AM |＝|AN |得23＋4k 2＝k 3k 2＋4 ，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0. 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3 22．N1[2016·全国卷Ⅱ] 选修4-1：几何证明选讲 如图1-5，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . (1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆； (2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积． 图1-5 22．解：(1)证明：因为DF ⊥EC ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DG CB ， 所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF . 因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆． (2)由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB .连接GB . 由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝1 2 . 23．N3[2016·全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方 程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是? ????x ＝t cos α， y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率． 23．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2.将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝3 8 ，则tan α＝±15 3. 所以l 的斜率为 153或－153 . 24．N4[2016·全国卷Ⅱ] 选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝????x －12＋????x ＋1 2，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ； (2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |. 24．解：(1)f (x )＝?????－2x ，x ≤－1 2 ， 1，－12 2， 2x ，x ≥12 . 当x ≤－1 2 时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1； 当－12 2 时，f (x )<2； 当x ≥1 2 时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1 (2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1 －a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0， 因此|a ＋b |<|1＋ab |.
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