安徽矿业职业技术学院 2011-2012学年第二学期期末考试
《工程数学-线性代数》试卷(C)（时间：120分钟）
课程所在系部：公共课教学部 适用专业：矿井建设与相关专业 考试形式: 闭卷(闭卷/开卷) 命 题 人：马万早
说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，A*表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式. 1
A -表示方阵A 的逆矩阵，R （A ）表示矩阵A 的秩。
一、填空题 （ 每小题2分，共20分）
1. 将行列式的行与列依次互换，行列式 。
2. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，2，1，其余子式分别为9，6，2，则D= 。
3. 关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件（1）是 ，（2）是 。
4. n 阶矩阵A 可逆的设A *
为A 的伴随矩阵，则A -1
= 。 5. 若n 阶矩阵满足2
40A A E +-=,则()1
A E --= 。
6. ()10234501?? ? ?= ? ??? ， ()10234501??
?
?= ? ???
。
7. 设向量组
321,,ααα线性无关，则向量组332211,,,,,βαβαβα线性 。
8. 设A 为三阶矩阵，若
A
=5，则
1
-A = ,
*
A = 。
9. n 阶方阵A 的列向量组为
n αααΛ,,21，则r(n αααΛ,,21) 。
10. 非齐次线性方程组A n m ?X=b 无解的条件是 。
二、选择题（10分，每题2分） 1．
1303
1
k k -≠-的充要条件是（ ）
。 （a ） k ≠2（b ）k ≠4（c ） k ≠2且k ≠4（d ）k ≠2或k ≠4 2. A,B,C 为n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ）
(a) AB=BA (b) AB=0,则A=0或B=0 (c) （A+B ）（A-B ）=A 2
-B
2
(d) ( B+C)A=BA+CA
3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法正确的是（ ）
(a) A ,0≠ (b) 1-A 0≠ (c) r(A)=n (d) A 的行向量组线性相关
4. 设矩阵A =(a ij )n m ?，AX=0有非零解的充要条件是（ ） (a) A 的行向量组线性无关 (b) A 的行向量组线性相关 (c) A 的列向量组线性无关 (d) A 的列向量组线性相关
5. 向量组
s αααΛ,,21的秩为r,则下述说法正确的是（ ）
(a) s αααΛ,,21中至少有一个r 个向量的部分组线性无关
(b) s αααΛ,,21中任何r 个向量的线性无关部分组与s αααΛ,,21可互相线性表示 (c) s αααΛ,,21中r 个向量的部分组皆线性无关 (d)
s αααΛ,,21中r+1个向量的部分组皆线性相关
三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分）
1． 1112111221222122ka ka a a k ka ka a a ????
=
? ?
????
。 （ ） 2． A 为任意的m n ?矩阵, 则A T
A, AA T
不一定都是对称矩阵。 （ ） 3．
s αααΛ,,21线性无关，则其中至少有一个部分组线性相关。 （ ）
4． 行列式
0002
00201602002000
= （ ）
5． 若两个向量组可不能线性表示，则它们的秩相等。 （ ）
四、计算
1．计算n 阶行列式（12分）
D=
1
234
x+a x x x x x+a x x x x x+a x x
x
x
x+a
2．解矩阵方程AX=A+X,其中201020002A ??
?= ? ???
(13分)
3．求向量组的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量组用该极大无关组表示。
123413211101,,12102531a a a a ????????
? ? ? ?
- ? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????
（10分）
4．解下列方程组。 （15分）
12341234
12341234
512333819377
x x x x x x x x x x x x x x x x +-
-=-??-++=??+-+=??-
++=?
五、证明题 （每题5分，共10分）
1．若A 是n 阶正交矩阵，则1A =或1A =-。
2．证明：n
R 中两两正交的n 维非零向量组12m a a a L ，，
,（m ≤n ）一定线性无关。