图1－2
《立体几何》变式题
1．（人教A 版，必修2．P17．第4题）
图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．
变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图（单位：cm ） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；
（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．
解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图1－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．
由于底面ABC ?的高为1，所以AB = 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''?=++
图1－1
1
221322382
=?
??+?+?=+2(cm )． 这个几何体的体积1
21332
ABC V S BB ?'=?=???=3(cm )
（Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．
在Rt BB C ''?
中，BC '==
故cos BB BC θ'=
==' 2．（人教A 版，必修2，P20．例3）
如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．
图2
解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－2所示．
（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm）．
所以所求表面积21212127
Sππππ
=?+??+??=2
(cm)，
所求体积22
1
1212
3
Vπππ
=??+??=3
(cm)．
变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图（单位：cm）．
（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；
（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；
（Ⅲ）设异面直线
1
AQ、PD所成角为θ，求cosθ．（理科考生）
图2－1
图2－2
1
A 图2－4
1
解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－4所示．
（Ⅱ）这个几何体可看成是由正方体1AC 及直三棱柱1111BC Q A D P -的组合体． 由11PA PD ==112A D AD ==， 可得11PA PD ⊥． 故所求几何体的全面积
2
2152222222
S =?+???
=+2(cm )
所求几何体的体积
2
3
1
22102
V =+?
?=3
(cm )
（Ⅲ）由//PQ CD ，且PQ CD =，可知//PD QC ，
故1
AQC ∠为异面直线1AQ 、PD 所成的角（或其补角）． 由题设知2
2
22
111
126AQ A B B Q =+=+=，1
2AC = 取BC 中点E ，则QE BC ⊥，且3QE =，
222223110QC QE EC =+=+=．
图2－3
1
D 图3－1
A
1
A B
C
D
1
B 1
C F
E 由余弦定理，得22211
1
1
cos cos 2AQ QC AC AQC AQ QC θ+-=∠
=?
=
=． 3．（北师大版．必修2．P31．第4题）
如图3，已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A BC D -的棱1AA 和棱1CC 上的点，且1AE C F =，求证：四边形1EBFD 是平行四边形
变式题：如图3－1．已知E 、F 分别是正方体1111ABCD A BC D -的棱1AA 和棱1CC 的中点． （Ⅰ）试判断四边形1EBFD 的形状； （Ⅱ）求证：平面1EBFD ⊥平面11BB D ．
解（Ⅰ）如图3－2，取1BB 的中点M ，连结1A M 、MF ． ∵M 、F 分别是1BB 和1CC 的中点， ∴11//MF BC =，
在正方体1111ABCD A BC D -中，有
1111//A D B C =， ∴11//MF A D =，
∴四边形11A MFD 是平行四边形，
∴11//AM D F =
． 图3
A
1
A B
C
D
1
B 1
C F
1
D E 1
D 图3－2
A
1
A B
C
D
1
B 1
C F
E
又E 、M 分别是1AA 、1BB 的中点，
∴1//A E BM =，
∴四边形1A EBM 为平行四边形，
∴1//EB A M =． 故1//EB D F =
． ∴四边形1EBFD 是平行四边形． 又Rt EAB ?≌Rt FCB ?，
∴BE BF =，
故四边形1EBFD 为菱形． （Ⅱ）连结EF 、1BD 、11AC ． ∵四边形1EBFD 为菱形，
∴1EF BD ⊥．
在正方体1111ABCD A BC D -中，有
1111B D AC ⊥，
111B D A A ⊥
∴11B D ⊥平面11A ACC ． 又EF ?平面11A ACC ， ∴11EF B D ⊥． 又111B D BD D = ， ∴EF ⊥平面11BB D ． 又EF ?平面1EBFD ， 故平面1EBFD ⊥平面11BB D
A
1
A 1
B C
1
C D 1
D 图4
A
1A 1
B C
1C D
1
D F
图4－1
E 4．（人教A 版，必修2，P74．例2）
如图4，在正方体1111ABCD A BC D -中，求直线1A B 与平面11A B CD 所成的角．
变式题：如图4－1，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的的垂线交侧棱1CC 于点
E ，交1B C 于点
F ．
（Ⅰ）求证：1
AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求1A B 与平面
BDE 所成的角的正弦值． 解：（Ⅰ）如图4－2，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -．
∴1111(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)D A B C A B C D ．
设(0,2,)E t ，则1(2,0,),(2,0,4)BE t BC =-=-- ． ∵1BE B C ⊥，∴14040BE BC t ?=+-= ． ∴1t =，∴(0,2,1)E ，(2,0,1)BE =-
．
又1
(2,2,4),(2,2,0)AC DB =--= ，
图5
B
图5－1
∴14040AC BE ?=+-= 且14400AC DB ?=-++= ． ∴1AC DB ⊥ 且1
AC BE ⊥ ． ∴1AC BD ⊥ 且1AC BE ⊥ ．∴1
AC ⊥ 平面BDE ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知1(2,2,4)AC =-- 是平面BDE 的一个法向量，又1(0,2,4)A B =-
， ∴1111
11cos ,||||
AC A B AC A B AC A B ?==
．
∴1A B 与平面
BDE 5．（人教A 版，必修2，P 87，第10题）
如图5，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥ 是垂足，试判断直线AB 与
CD 的位置关系？并证明你的结论．
变式题5－1，如图5，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥ 是垂足．
（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）若1,PC PD CD ===α与平面β关系，并证明你的结论．
变式题5－1，如图5，已知平面,αβ， 且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥ 是垂足．
（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）若1,PC PD CD ==α与平面β的位置关系，并证明你的结论．
B
图5－2
解（Ⅰ）因为,PC AB αα⊥?，所以PC AB ⊥．同理PD AB ⊥． 又PC PD P = ，故AB ⊥平面PCD ．
（Ⅱ）设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ． 因为AB ⊥平面PCD ，所以,AB CH AB
DH ⊥⊥， 所以CHD ∠是二面角C AB D --的平面角．
又1,PC PD CD ===2
2
2
2CD PC PD =+=，即0
90CPD ∠=． 在平面四边形PCHD 中，0
90PCH PDH CPD ∠=∠=∠=， 所以0
90CHD ∠=． 故平面α⊥平面β．
变式题5－2．如图5－1，已知直二面角AB αβ--，,,P Q PQ αβ∈∈与平面α、β所成的角都为0
30，4PQ =．
,PC AB C ⊥为垂足，,QD AB D ⊥为垂足．
（Ⅰ）求直线PQ 与CD 所成角的大小； （Ⅱ）求四面体PCDQ 的体积．
解：（Ⅰ）如图5－2，在平面β内，作//CE DQ =，连结PE 、QE ．则四边形CDQE 为平行四边形，所以//EQ CD =，即PQE ∠为直线PQ 与CD 所成的角（或其补角）．
因为,,AB PC AB αβαβ⊥=⊥ ． 所以PC β⊥．同理QD α⊥． 又PQ 与平面
α、β所成角为030，
所以030PQC
∠=，030QPD ∠=，所以
c o s 303
C Q P Q ==
01
sin 30
422
DQ PQ
==?=
． 在Rt CDQ ?
中，CD ===EQ =
因为QD AB ⊥，且CDQE 为平行四边形， 所以EQ CE ⊥．
又,PC EQ ββ⊥?，所以EQ PC ⊥． 故EQ ⊥平面PCE ，从而EQ PE ⊥．
在Rt PEQ ?
中，cos EQ PQE PQ ∠===
． 所以045PQE ∠=，
即直线PQ 与CD 所成角的大小为0
45．
（Ⅱ）在Rt PCQ ?中，04,30PQ PQC =∠=，所以2PC =． 三角形CDQ
的面积11
222
CDQ S CD DQ ?=?=?=， 故四面体PCDQ 的体积
11233CDQ V S PC ?=?=?=
6．（人教A 版，必修2，P 87，B 组第1题） 如图5，边长为2的正方形ABCD 中，
（1）点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,AED DCF ??分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点A '，求证：A D EF '⊥． （2）当1
4
BE BF BC ==
时，求三棱锥A EFD '-的体积．
变式题．如图5－1，在矩形ABCD 中，2,1,AB AD E ==是CD 的中点，以AE
为折痕将
D
A '
E
B
D
F
图6
DAE ?向上折起，使D 为D '，且平面D AE '⊥平面ABCE ． （Ⅰ）求证：AD EB '⊥；
（Ⅱ）求直线AC 与平面ABD '所成角的正弦值．
解（Ⅰ）在Rt BCE ?
中，BE ==
在Rt AD E '?
中，AE =
=
∵2
2
2
2
2AB BE AE ==+，
∴AE BE ⊥．
∵平面AED '⊥平面ABCE ，且交线为AE ，
∴BE ⊥平面AED '． ∵AD '?平面AED '， ∴AD BE '⊥．
（Ⅱ）设AC 与BE 相交于点F ，由（Ⅰ）
知AD BE '⊥， ∵AD ED ''⊥， ∴AD '⊥平面EBD '， ∵AD '?平面AED '，
∴平面ABD '⊥平面EBD '，且交线为BD '，
如图6－2，作FG BD '⊥，垂足为G ，则FG ⊥平面ABD '， 连结AG ，则FAG ∠是直线AC 与平面ABD '所成的角． 由平面几何的知识可知
12EF EC FB AB ==
，∴13EF EB ==． 在Rt AEF ?
中，AF =
==
， 在Rt EBD '?中，
FG D E FB D B '='
，可求得FG =．
图6－1
A
B
C
D 'E
A B
C
D '
E F G 图6－2
∴sin
15
FG
FAG
AF
∠===．∴直线AC与平面ABD'
三视图强化练习 （13）10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。 （12）7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（） A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125 （11理）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A．8 B．62C．10 D．82 （11文）5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A．32 B．16+162C．48 D．16+322
（13）（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . （13）5、某几何体的三视图如题()5图所示，则该几何体的体积为（ ） A 、5603 B 、5803 C 、200 D 、240 （13）8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<< C. 2134V V V V <<< D. 2314V V V V <<<
（13全国新课标1）8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16+ （A）8π 8+ （B）8π 16+ （C）π61 8+ （D）16π -中的坐标分别是(1,0,1)，（13全国新课标2）7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz (1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（） (A) (B) (C) (D) （12天津）（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积3 m. （11东城二模）（4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为
1. (2018 浙江)第1 章立体几何专题训练第1.1 讲三视图练习 某几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则该几何体的体积是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解答C 2. (2018 北京) 某四棱锥的三视图如图所示, 在此四棱锥的侧面中, 直角三角形的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解答C 3. (2015 安徽) 一个四面体的三视图如图所示, 则该四面体的表面积是( )
A. 1 + √ 3 B. 2 + √ 3 C. 1 + 2 √ 2 D. 2 √ 2 解答 B 4. (2015 北京) 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的表面积是 ( ) A. 2 + √ 5 B. 4 + √ 5 C. 2 + 2 √ 5 D. 5 解答 C 5. (2017 新课标) 某多面体的三视图如图所示, 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长为 2, 俯视图为等腰直角三角形, 该多面体的各个面中有若干个是梯形, 这些梯形的面 积之和为 ( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解答 B 6. (2017 北京) 某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为 ( )
6 3 2 A. 3 √ 2 B. 2 √ 3 C. 2 √ 2 D. 2 解答B 7. (2016 北京) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( ) A.1 解答A 8. (2016 天津) B.1 C.1 D.1 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥, 得到的几何体的正视图与俯视图如图所示, 则该几何体的侧（左）视图为( ) A B C D 解答B 9. (2016 新课标) 如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗实现画出的的是某多面体的三视图, 则该多面体的表面积为( )
专题八 立体几何初步 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 答案部分 2019年 1.解析 该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==， 14cm AA =， 所以该模型体积为： 1111311 664(46432)314412132(cm )32 ABCD A B C D O EFGH V V ---=??-??-????=-=， 3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗， 所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)?=． 2.解析 因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点， 所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=??=，所以三棱锥E BCD -的体积： 111332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=??=????=V 11 1012 AB BC DD ???=. 3.解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2. 因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于 1 2 ，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1. 所以该圆柱的体积为2 1124V Sh π?? ==π?= ??? . 4.解析：由PA PB PC ==及ABC △是边长为2的正三角形可知，三棱锥P ABC -为正三棱锥，
三视图问题分类解答 例1、概念问题 1、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是．（填序号） ①正方体④正四棱锥 ③三棱台 ②圆锥 2、如图，折线ABC表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请把它的三视图补充完整． 俯视图 左视图 正视图 C B A 3 、已知某个几何体的三视图如下图所示，试根据图中所标出的尺寸（单位：㎝），可得这个几何体的体积是． 10 10 20 20 20 20 正视图左视图俯视图 4、已知某个几何体的三视图如下图所示，试根据图中所标出的尺寸（单位：㎝），可得这个几何体的面积是． 2 2 2 2 33 俯视图 正视图左视图 5、用小立方体搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如下图所示，则它最多需要个小立方块．
6、 如图，,E F 分别为正方体的面11ADD A ,面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的6个面上的射影(即正投影)可能是下图中的 ．( 要求：把可能的图的序号都填上) A B C D F C 1 B 1 A 1 D 1 E ① ④ ③ ② 例2、图形判定问题 1、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ D ） A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 2、某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ D ） 3、用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( C )． A ．圆柱 B ．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 4、如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中真命题的序号是________． 5、某几何体的正视图如左图所示，则该几何体的俯视图不可能的是( C ) 6、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（ D ） 第6题图 7、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -
1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .
高中数学《立体几何》练习题 1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 2．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 3．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．． 的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1AP D ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+ 4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3. 5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 . 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________
7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知 1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 . 8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝ 12 PD. (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值．[来 9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠=． （1）求证://BCF AED 平面平面. （2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。 10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点． (1) 求证：PC AD ⊥； (2) 求证：//FG 平面BCP ； S F C B A D E
高考文科数学：三视图问题分类解答 例1、概念问题 1、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是．（填序号） ①正方体④正四棱锥 ③三棱台 ②圆锥 2、如图，折线ABC表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请把它的三视图补充完整． 俯视图 左视图 正视图 C B A 3 、已知某个几何体的三视图如下图所示，试根据图中所标出的尺寸（单位：㎝），可得这个几何体的体积是． 10 10 20 20 20 20 正视图左视图俯视图 4、已知某个几何体的三视图如下图所示，试根据图中所标出的尺寸（单位：㎝），可得这个几何体的面积是． 2 2 2 2 33 俯视图 正视图左视图 例2、图形判定问题
1、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ D ） A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 2、某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ D ） 4、某几何体的正视图如左图所示，则该几何体的俯视图不可能的是( C ) 5、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图，则相应的侧视图可以为（ D ） 6、一个简单几何体的正视图、侧 视图如图所示，则其俯视图不可能为 B ①长方形；②正方形；③圆；④椭圆. 其中正确的是 （A ）①② （B ） ②③ （C ）③④ （D ） ①④ 例3、三视图和几何体的体积相结合的问题 1、下图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1与 3的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于 A B C D 第5题图
（A ）π63 （B ）π33 （C ）π 33 4 （D ）π21 答案：A 2、一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于 A A ．3 B ．23 C ．33 D ．63 3、设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+ Ｂ．36 18π+ Ｃ．9 122 π+ Ｄ．9 182 π+ 其体积3439 +332=18322 V ππ=??+（）。 答案：D 4、如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( B ) A.43 3 π B.63 6 π C.12 π D.33 π 例4、三视图和几何体的表面积相结合 1、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____38___。
三视图强化练习 （13北京）10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。 （12北京）7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（） A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125 （11北京理）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 A．8 B．C．10 D． （11北京文）5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A．32 B．C．48 D．
（13辽宁）（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . （13重庆）5、某几何体的三视图如题()5图所示，则该几何体的体积为（ ） A 、 5603 B 、580 3 C 、200 D 、 240 （13湖北）8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<< C. 2134V V V V <<< D. 2314V V V V <<<
（13全国新课标1）8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16+ （A）8π 8+ （B）8π 16+ （C）π61 8+ （D）16π -中的坐标分别是(1,0,1)，（13全国新课标2）7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz (1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（） (A) (B) (C) (D) （12天津）（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积3 m. （11东城二模）（4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为
高中数学立体几何三 视图专题
主视图 左视图 俯视图 3 4 2 俯视图 主视图 左视图 《三视图》 1.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如左图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 2.一个几何体的三视图如右图所示，其中，主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 3.知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何 体的体积是___________cm 3． （第4题） 4（山东卷6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 5四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如右图，则四棱锥P ABCD - 的表面积为__ ▲ . 3 4 2 俯视图 主视图 左视图 2 2 主视图 2 4 左视图 俯视图 （第3图） 主视图 左视图 （第7题
（第6题） 6一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 7一个几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均为上底为2，下底为4，腰为5 的等腰梯形，俯视图为一圆环，则该几何体的体积为 ． 8.（课本改编题，新增内容）右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 9据图中尺寸（单位：cm ），可知这个几何体的表面积是 （第9题） （第8题） 10图是一个空间几何体的三视图，其主视图、左视图均为正三角形，俯视图为圆，则该几何体的侧面积为 ▲ . 2 2 2 C 2 3 1 3 （第7 主视图 左视图 俯视图 2 2 （第6
专题1：立体几何中的三视图问题基础练习 一、单选题 1．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳(biēnaò).如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑最长的棱为（） A．5 B．32C．34D．41 2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（） A．72B．48C．27D．36 3．我国南北朝时期数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则儿何体的体积为（）
A ．8π- B ．8π+ C ．283π- D ．283π+ 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．283π B ．253π C ．28π D ．25π 5．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ） A ．12π + B ．22π + C ．1π+ D ．2π+ 6．一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于（ ） A 6 B ．1 3 C ．1 2 D ．32 7．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）
A．2 3 B． 4 3 C． 5 3 D． 7 3 8．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．3 B． 53 C． 23 D． 43 9．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（） A．2 B．2 3 C．1 D．4 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
1、一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ） A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④ 2、三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从 、 、 观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形． 3、圆台的正视图、侧视图都是 ，俯视图是 ． 4、给出下列命题： ① 如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体； ② 如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体； ③ 如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体； ④ 如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台． 其中正确命题的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 5、利用斜二测画法得到： ① 三角形的直观图是三角形； ② 平行四边形的直观图是平行四边形； ③ 正方形的直观图是正方形； ④ 菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（ ） Ａ．①② Ｂ．① Ｃ．③④ Ｄ．①②③④ ① ② ③ ④
6、如图1所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图2中的（ ） 7、若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（ ） Ａ．圆柱 Ｂ．三棱柱 Ｃ．圆锥 Ｄ．球体 8、下列说法中正确的是（ ） Ａ．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 Ｂ．梯形的直观图可能是平行四边形 Ｃ．矩形的直观图可能是梯形 Ｄ．正方形的直观图可能是平行四边形 9、如图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ） Ａ．3 Ｃ．6 Ｄ． 10、下面的说法正确吗？ （１） 水平放置的正方形的直观图可能是梯形； （２） 两条相交直线的直观图可能平行； （３） 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直． x ' Ａ Ｂ ＣＤ 图2 图1
专题：空间几何体的结构及其三视图 高考中对空间几何体的三视图，主要考查同学们识图、画图的能力、空间想象能力以及运算求解能力等基本能力。因此，首先要熟练掌握三视图的概念和画图要求，其次要熟悉柱、锥、台、球各种基本几何体和它们组成的简单组合体，第三要熟练各种几何体的表面积、体积的计算公式和方法，最后要熟悉如下几种基本题型。 知识纵横 1、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 2、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。 直观图与原图面积之比为1： 3、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式： V Sh =柱 1 3 V Sh =锥 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π 考点剖析 一．明确要求 1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征． 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图． 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式． 4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化. 二．命题方向 1.三视图是新增加的内容，是高考的热点和重点，几乎年年考． 2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点．
例析三视图的问题 贵阳十三中 贾昌书 三视图指的是主视图、左视图和俯视图。从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。下面就由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的三视图问题进行分析： 一、给出立体图形确定其三视图 例1、（2005年宁夏）由相同的小正方体搭成的几何体如图，下列视图中不是这个几何体的主视图或俯视图或左视图的是（ ） 解：从正面看，该几何体有两层，下面一层有三列，上面一层有一列，所以主视图为（A ）；从左面看，该几何体有两层，下面一层有两列，上面一层有一列且位于左侧，所以左视图为（C ）；从上面看，该几何体有两行，上面一行有三列，下面一行有两列，所以俯视图为（D ）；因此，此题应选（B ）。 二、给出一种视图及每个位置上小正方体的个数确定另两种视图 例2、如图是几个相同的小正方体堆成立体图形 的俯视图，小正方体上的数字是该位置上的小正方体 的个数，请画出该几何体的主视图和左视图。
解：由于俯视图有三列，所以主视图也有三列。 又由于俯视图的第一列、第二列、第三列中最大数 字分别为4、2、3，所以主视图的第一列、第二列、 第三列分别应有4个、2个、3个小正方形，因此主 视图为右图： 由于俯视图有三行，所以左视图也有三列。又 由于俯视图从上往下数第一行、第二行、第三行中 最大数字分别为2、4、3，所以左视图从左往右数的 第一列、第二列、第三列分别应有2个、4个、3个 小正方形，因此左视图为右图： 三、给出两种视图确定第三种视图，并确定几何体中小正方体的个数的所有可能值 例3、（2004年贵阳）由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如下图： （1） 请你画出这个几何体的一种左视图； （2） 若组成这个几何体的小正方体的块数为n ，请你写出n 的 所有可能值。 解：（1）由于主视图有三列，所以左视图有三行；由于俯视图有两行，所以左视图有两列。因此左视图一共有五种情况：
2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【分析】设圆锥底面半径为r ，则 12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=3209，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质和圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后和半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【分析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
高考复习：三视图专题 1．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．． 为 A ． 43 3 B ．43 C ．8 D ．12 2．若一个正三棱柱的三视图如下图所示， 则这个正三棱柱的体积为_______． 3．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为 A ．61 B ．2 3 C ． 332+．332+ 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出 的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 （ ） A ．383 cm B ．3 43cm C ．323cm D ．313 cm 主视图 俯视图 2 32 左视图 正视图 俯视图 侧视图
D C B A N M A B C D B 1 C 1 5．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积是（） A．3 4 3 cm B．3 8 3 cm C．3 2cm D．3 4cm 6．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、 1 C截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（） 7．如图，在三棱柱 111 ABC A B C -中， 1 AA⊥平面ABC， 1 2, A A AC == 1,5 BC AB ==，则此三棱柱的侧（左）视图的面积为 A．2 B．4 C． 45 D．25 8．如图1，将一个正三棱柱截去一个三棱锥，得到几何体 DEF BC-，则该几何体的正视图（或称主视图）是 A． B． C． D． 9．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图 如图所示，则该几何体的侧视图可以为 A．B．C．D． 正视图 俯视图 第9题图 正视图 俯视图 2 2 侧视图 2 1 1 2 第5题图 第7题图
三 视 图 问 题 分 类 解 析 三视图问题是近年中考中一类必考题型，它主要考察学生观察问题、分析问题的能力，以及空间想象能力.多以填空题、选择题的形式出现.本文试举数例，进行分类剖析，供同学们参考. 基本概念： 从不同的方向观察几何体时，可以得到不同的平面图形. 1、主视图（正视图）：从正面看到的图形，叫做主视图 （新课标北京师大版教材《七年级（上）·数学》）；又叫正视图（新课标华东师大版教材《七年级（上）·数学》）. 2、左视图：从左面看到的图形，叫做左视图 . 3、俯视图：从上面看到的图形，叫做俯视图. 一、由几何体画三视图 例1．如图1是由6个相同的小立方块搭成的几何体，分别画 出这个几何体的主视图左视图和俯视图. 解析：对六个小正方体编号：前排为1， 第二排左起依次为2、3、4，第三排为5，上层为6. 画主视图时，小正方体“1”、“5”不起作用，可以将其“移走”， 即做到“视而不见”.那么观察由小正方体“2”、“3”、“4” 、“6”块木块，从正面“拍摄”，所得到的“照片”即为 图2-1； 画左视图时，可以设想小正方体“2”、“4”不起作用，将其“移走”；将“1”平移至“3”的正面.那么观察由小正方体“1’”、“3”、“5” 、“6”四块立方块，从左面“拍摄”，所得到的“照片”即为 图2-2； 画俯视图时，可以设想将第二层、第三层……等依次“移走”（从底层开始数，依次为第一层、第二层，……）.在这里，可将小正方体“6”“移走”那么观察余下六块，立方块，从上面“拍摄”，所得到的“照片”即为图2-3. 例2. 由几何体画它的的主视图 (1) 用三个正方体，一个圆柱体，一个圆锥的积木摆成如图3所示的几何体，其正视图 (图2-1 图2-2 图2-3 )
立体几何综合习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B
1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
空间几何体的三视图、表面积、体积专题练习（宋） 1、若一个几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且体积为1 2 ,则该几何体的俯视图是( ) 2. 3.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形， 主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是 A．8 B．12 C ．4(1D ． 4. A．1 4+ πB．1 3 4 + π C．8 3 4 + π D．8 4+ π 5. 如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和 俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥 体的体积为 A．24B．8C．12D．4 6.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视 图轮廓为正方形，则其体积是() A. 42 3 B. 43 3 C. 3 6 D. 8 3 俯视图
7.用大小相同的且体积为1的小立方块搭一个几何体，使它的主视图 和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A ．9与13 B ．7与10 C ．10与16 D ．10与15 8.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中 ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边 形，那么该几何体的侧视图的面积为 A.12 B.32 C.2 3 D.6 10. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是（ ） 11.(2008年海南宁夏卷)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( ) A. 22 B. 23 C. 4 D. 2 5 12.如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位 置，则字母A,B,C 对面的字母分别为 ( ) (A) D ,E ,F ( B) F ,D ,E ( C) E, F ,D ( D) E, D,F 13.一个正三棱柱的三视图如下所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）. A. 2， B. 2 C. 4，2 D. 2，4 14如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）. （不考虑接触点） 主视图 正视图侧视图 俯视图 A 俯视图 左视图 正视图 俯视图 侧视图 C A
标准文案 立体几何之外接球问题一 讲评课 1课时 总第 课时 月 日 1、 已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球 的球面上， 和 所在的平面互 相垂直， ， ， ，则球 的表面积为( ) A. B. C. D. 2 、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥 体积的 最大值为，则球的表面积为( ) A. B. C. D. 4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5、已知都在半径为的球面上，且 ， ，球心 到平面 的距 离为1，点是线段 的中点，过点 作球 的截面，则截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D.
6、某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为（） A.B. C. D. 7、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（） A. B. C. D. 8、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.B. C. D. 9、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.B. C. D. 10、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( ) A. B. C. D.
立体几何之外接球问题二 讲评课1课时总第课时月日 11、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为__________. 12、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________. 13、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为__________. 14、若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则__________. 15、若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则__________. 标准文案
2015-2017高考立体几何题汇编 2017(三)16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°； 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号） 2017(三)19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值． 2017(二)4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 2017(二)10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=?，2AB =， 11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A ． 32 B ． 155 C ． 105 D ． 33 2017(二)19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且 垂直于底 面ABCD ，o 1 ,90,2 AB BC AD BAD ABC == ∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值． 2017(一)7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
必修2 第一章 空间几何体的三视图与直观图 制卷：王小凤学生姓名 一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．（2012湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（） 2．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是() A．角的水平放置的直观图不一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 3．（2012福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 4．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为() A．2 B. 2 C．2 2 D．4 5．(2013江西)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π6．（2012广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（） （第7题） （第6题） A．12πB．45πC．57πD．81π 7．（2012湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A． 8π 3 B．3πC． 10π 3 D．6π8．（2011北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．32 B．16+162C．48 D．16+322 （第8题）（第9题） 9．（2011陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（） A． 2 8 3 π -B．8 3 π -C．82π -D． 2 3 π 5 5 6 5 5 5 6 5 正视图侧视图 俯视图 俯视图 侧视图 2 正视图 4 2 4 2 1
高考三视图专题训练 课标文数8.G2[2011·卷] 一个空间几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体的表面积为( ) 图1－1 A ．48 B ．32＋817 C ．48＋817 D ．80 课标文数8.G2[2011·卷] C 【解析】 由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为 S ＝2×1 2×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817. 课标理数6.G2[2011·卷] 一个空间几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体的表面积为( ) 图1－1 A ．48 B ．32＋817 C ．48＋817 D ．80
图1－3 课标理数7.G2[2011·卷] 某四面体的三视图如图1－3所示，该四面体四个面的面积中最大的是( ) A ．8 B ．6 2 C ．10 D ．8 2 课标理数7.G2[2011·卷] C 【解析】 由三视图可知，该四面体可以描述为SA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，且SA ＝AB ＝4，BC ＝3，所以四面体四个面的面积分别为10,8,6,62，从而面积最大为10，故应选C. 图1－4 课标文数 5.G2[2011·卷] 某四棱锥的三视图如图1－1所示，该四棱锥的表面积是( ) 图1－1 A ．32 B ．16＋16 2 C ．48 D ．16＋32 2 课标文数5.G2[2011·卷] B 【解析】 由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4，高 为2的正四棱锥，所以其表面积为4×4＋4×1 2 ×4×22＝16＋162，故选B. 课标理数7.G2[2011·卷] 如图1－2，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )