一、中考数学压轴题
1．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，
连接CD 交AB 于E ，
（1）如图(1)求证：90AEC ∠=?；
（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接
MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠
（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8，求线段MN 的长度
2．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标，有序实数对（x ，y ）称为点P 的斜坐标，记为P （x ，y ）
（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC 中的一边OA 在x 轴上，BC 与y 轴交于点D ， OA ＝2，OC ＝1．
①点A 、B 、C 在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．
②设点P （x ，y ）在经过O 、B 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． ③设点Q （x ，y ）在经过A 、D 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． （2）若ω＝120°，O 为坐标原点．
①如图3，圆M 与y 轴相切原点O ，被x 轴截得的弦长OA ＝23，求圆M 的半径及圆心M 的斜坐标．
②如图4，圆M 的圆心斜坐标为M （23，23），若圆上恰有两个点到y 轴的距离为1，则圆M 的半径r 的取值范围是 ．
3．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （概念感知）
（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=?，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．
（问题探究）
（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到
DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求
AB BC
的值． （拓展提升）
（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．
10
5
AB BC =
，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα?<
=?时，则CD =_________；
②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求
AD
CD
的值．
4．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接
BE ，DE ．
（1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长；
（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且
DF CD =，求证：12
AB EF =；
（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系
5．如图，在ABC ?中，14AB =，45B ∠=?，4
tan 3
A =
，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．
（2）设正方形PQMN 与ABC ?重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ?内部时，求S 关于
t 的函数关系式．
（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ?的分为面积相等的两部分时，直接写出
t 的值．
6．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．
（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；
（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；
（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝1
2
x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．
7．如图，直角三角形ABC ?中，90460ACB AC A ∠?=∠?＝，，＝，O 为BC 中点，将
ABC ?绕O 点旋转180?得到DCB ?．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿
A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．
（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使
//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0 图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值． （2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在 BC 上以每秒 3 的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ?为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1 22y x =- +与x 轴交于点B ，与y 轴交于点,C 抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线3,2 x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C 、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当BM CM -的值最小时，请你求出点M 的坐标； （3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1，抛物线2 3y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ，与y 轴交于点C ，顶 点D 的横坐标为1，对称轴交x 轴交于点E ，交BC 与点F . （1）求顶点D 的坐标； （2）如图2所示，过点C 的直线交直线BD 于点M ，交抛物线于点N . ①若直线CM 将BCD ?分成的两部分面积之比为2:1，求点M 的坐标； ②若NCB DBC ∠=∠，求点N 的坐标． 10．（1）如图①，在Rt ABC 中，90C ∠=?，13AB =，5BC =，则tan A 的值是_______． （2）如图②，在正方形ABCD 中，5AB =，点E 是平面上一动点，且2BE =，连接 CE ，在CE 上方作正方形EFGC ，求线段CF 的最大值． 问题解决：（3）如图③，O 半径为6，在Rt ABC 中，90B ∠=?，点, A B 在O 上，点C 在 O 内，且3tan 4 A =．当点A 在圆上运动时，求线段OC 的最小值． 11．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），2，点 P 从点 O 出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点． （1）求点 B 的坐标； （2）设点 P 的运动时间为点 t 秒，△BDP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）当点 P 与点 D 重合时，连接 BP ，点 E 在线段 AB 上，连接 PE ，当∠BPE =2∠OBP 时， 求点 E 的坐标． 12．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且2n -2n -，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标； （2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、 Q ∠的数量关系并说明理由； （3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值． 13．（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一 动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF ＝ 1 3 ，试探究四边形 ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由． 14．新定义，若关于x，y的二元一次方程组①111 222 a x b y c a x b y c += ? ? += ? 的解是0 x x y y = ? ? = ? ，关于 x，y的二元一次方程组②111 222 e x f y d e x f y d += ? ? += ? 的解是1 1 x x y y = ? ? = ? ，且满足10 0.1 x x x - ≤， 10 0.1 y y y - ≤，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于x，y的二元一次方程组 22 2104 x y m x y m +=+ ? ? -=+ ? 的解是方程组 10 310 x y x y += ? ? +=- ? 的模糊解，则m的取值范围是________．15．已知：矩形ABCD内接于⊙O，连接 BD，点E在⊙O上，连接 BE交 AD于点F， ∠BDC+45°=∠BFD，连接ED． （1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB； （2）如图2，点G是 AB上一点，过点G作 AB的垂线分别交BE和 BD于点H和点K，若HK=BG+AF，求证：AB=KG； （3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长． 16．将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点0(3)A ，，点 ()0, 3B ，点(0,0)O (I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ，O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ，沿着DE 折叠该纸片，点B 落在射线BO 上的点F 处． ①如图，当D 为OB 中点时，求E 点的坐标； ②连接AF ，当AEF ?为直角三角形时，求E 点坐标： (Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合)，将AOP ?沿OP 所在的直线折叠，得到 'A OP ?，连接'BA ，当'BA 取得最小值时，求P 点坐标(直接写出结果即可)． 17．我们知道，在等腰直角三角形中，底边与一边腰长比为2:1．如图1，90A ∠=?， AB AC =，则 2BC AB =． 知识应用： (1)如图2，ADE ?和ABC ?均为等腰直角三角形，90DAE BAC ∠=∠=?，D ，E ，C 三点共线，若2AD = 2BD =，求CD 的长． 知识外延： (2)如图3，正方形ABCD 中，BE 和BC 关于BG 对称，C 点的对应点为E 点，AE 交 BG 的延长线于F 点，连接CF ． ①求证：GF EC =； ②若2AE =，2CE =，求BF 的长． 18．如图，平面直角坐标系中，抛物线2 28y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点（点B 在 点C 右侧），与y 轴交于点A ，连接AB ，25AB =． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 在第二象限的抛物线上，连接PB 交y 轴于D ，取PB 的中点E ，过点E 作 EH x ⊥轴于点H ，连接DH ，设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，作PF y ⊥轴于F ，连接CP 、CD ，CP CD =，点S 为PF 上一点，连接BS 交y 轴于点T ，连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=?，在 射线CS 上取点Q.连接QF ，QF RF =，求直线TQ 的解析式． 19．已知四边形ABCD 为矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD ＝AO ．点E 、F 为矩形边上的两个动点，且∠EOF ＝60°． （1）如图1，当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时，若∠OEB ＝75°，求证：DF ＝AE ； （2）如图2，当点E 、F 同时位于AB 边上时，若∠OFB ＝75°，试说明AF 与BE 的数量关系； （3）如图3，当点E 、F 同时在AB 边上运动时，将△OEF 沿OE 所在直线翻折至△OEP ，取线段CB 的中点Q ．连接PQ ，若AD ＝2a （a ＞0），则当PQ 最短时，求PF 之长． 20．已知菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，点M 在BC 边上，过点M 作PM ∥AB 交对角线BD 于点P ，连接PC ． （1）如图1，当BM=1时，求PC 的长； （2）如图2，设AM 与BD 交于点E ，当∠PCM=45°时，求证：BE DE =33 +； （3）如图3，取PC 的中点Q ，连接MQ ，AQ ． ①请探究AQ 和MQ 之间的数量关系，并写出探究过程； ②△AMQ 的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由． 21．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴和 y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 的坐标是（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的 速度沿折线BCA 的方向运动，当点P 与点A 重合时，运动停止，设运动的时间为t 秒． （1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式； （2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围； （3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP 是不以DP 为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（操作发现）如图1，ABC ?为等腰直角三角形，90ACB ∠=?，先将三角板的90?角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0?且小于45?），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使 CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=?，连接AF ，EF ． （1）请求出EAF ∠的度数？ （2）DE 与EF 相等吗？请说明理由； （类比探究）如图2，ABC ?为等边三角形，先将三角板中的60?角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0?且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使 30DCE ∠=?，连接AF ，EF . （3）直接写出EAF ∠=_________度； （4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度. 23．如图，二次函数2 3y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为 A ，且与y 轴相交于C 点 （1）则m =_________；C 点坐标为___________； （2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由． （3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q ①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标； ②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大． 24．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =2，AC =4．对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC 、AD 于点E 、F ． （1）当α=_____°时，四边形ABEF 是平行四边形； （2）在旋转的过程中，从A 、B 、C 、D 、E 、F 中任意4个点为顶点构造四边形， ①当α=_______°时，构造的四边形是菱形； ②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长． 25．如图，抛物线2 14 y x bx c = ++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，5 2 - ）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ． (1) 求抛物线2 14 y x bx c = ++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由; ②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、中考数学压轴题 1．C 解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2410 5 MN =． 【解析】 【分析】 （1）由垂径定理即可证明； （2）利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论； （3）由∠MPC=∠NQD 可得：∠BGL=∠BLG ，BL=BG ，作BR ⊥MN ，GT ⊥AF ，HK ⊥AB ，证明：GH 平分∠AGT ，利用相似三角形性质和角平分线性质求得△AGT 三边关系，再求出HK 与GH ，OS ⊥MN ，再利用相似三角形性质求出OS ，利用勾股定理求MN 即可． 【详解】 解：()1证明：∵BC BD =，AB 为直径， ∴AB ⊥CD ∴∠AEC=90°； ()2连接,OM ON ， ∵点M 是弧AC 的中点，点N 是弧DF 的中点， ∴AM CM =，FN DN =， ∴,OM AC ON FD ⊥⊥， ∵OM=ON ， ∴M N ∠=∠， ∵90M MPC N NQB ∠+∠=∠+∠=?， MPC NQD ∴∠=∠； ()3如图3，过G 作GT ⊥AF 于T ，过H 作HK ⊥AB 于K ，过B 作BR ⊥MN 于R ，过O 作 OS ⊥MN 于S ，连接OM ，设BG=m ， ∵△ABH 的面积等于8，AG=6 ∴HK= 16 6 m +， ∵BC BD =， ∴∠BAC=∠BFD ，由（2）得∠MPC=∠NQD ∴∠AGM=∠FLN ∴∠BGL=∠BLG ∴BL=BG ， ∵BR ⊥MN ∴∠ABR=∠FBR ∵GH ⊥MN ∴GH ∥BR ∴∠AGH=∠ABR ∵AB 是直径，GT ⊥AF ∴∠AFB=∠ATG=90° ∴GT ∥BF ， 又∵GH ∥BR ∴∠TGH=∠FBR ∴∠AGH=∠TGH ， 又∵HK ⊥AG ，HT ⊥GT ， ∴HT=HK= 16 6 m +， ∵FH=BG=m ， ∴FT=16(8)(2) 66 m m m m m +-- =++， ∵GT ∥BF ， ∴ AT AG FT BG =， ∴6(8)(2)(6)m m AT m m +-= +，616 m AH m -=，48(6)(38)m KG TG m m ==+-， ∵222AT TG AG +=， 代入解得：m=4； ∴AB=10，OM=5，GK=24 5，HK=85 ，OG=1 ∴， ∵OS ⊥MN ∴∠OSG=∠GKH=90°，GH ∥OS ∴∠HGK=∠GOS ∴△HGK ∽△GOS ， ∴ OS GK OG GH =， ∴OS = ∴MG = ∴MN = 【点睛】 本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形判定和性质，勾股定理等，综合性较强，尤其是第（3）问难度很大，计算量大，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正 确作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题． 2．B 解析：（1）①（2，0），（1，2），（﹣1，2）；②y＝2x；③y＝﹣ 2 2 x+2； （2）①半径为2，M（4323 , 33 ）；②2＜r＜4 【解析】 【分析】 （1）①如图2?1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题； ②如图2?2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； ③如图3?3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．解直角三角形即可解决问题； ②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN＝NE＝1时，⊙M的半径即可解决问题； 【详解】 解：（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F． 由题意OC＝CD＝1，OA＝BC＝2， ∴BD＝OE＝1，OD＝CF＝BE＝2， ∴A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)， 故答案为：A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)． ②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M． ∵OD∥BE，OD∥PM， ∴BE∥PM， ∴ BE OE PM OM =， ∴ 21 y x =， ∴y＝2x． 故答案为：y＝2x． ③如图2﹣3中，作QM∥OA交OD于M． 2 22 MQ DM OA DO x y ∴= - ∴= ∴ 2 2 y x =-+ 故答案为：y＝﹣ 2 2 x+2． （2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N． ∵ω＝120°，OM⊥y轴， ∴∠MOA＝30°， ∵MF⊥OA，OA＝3 ∴OF＝FA3 ∴FM＝1，OM＝2FM＝2， ∴圆M的半径为2 ∵MN∥y轴， ∴MN⊥OM， ∴MN ＝ 233 ，ON ＝2MN ＝4 33， ∴M 4323,?? ? ??? ． ②如图4中，连接OM ，作MK ∥x 轴交y 轴于K ，作MN ⊥OK 于N 交⊙M 于E 、F ． ∵MK ∥x 轴，ω＝120°， ∴∠MKO ＝60°， ∵MK ＝OK ＝3 ∴△MKO 是等边三角形， ∴MN ＝3， 当FN ＝1时，MF ＝3﹣1=2， 当EN ＝1时，ME ＝3+1=4， 观察图象可知当⊙M 的半径r 的取值范围为2＜r ＜4． 故答案为：2＜r ＜4． 【点睛】 本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题． 3．A 解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2） 329 AB BC = 3）①12561535 AD CD = ． 【解析】 【分析】 （1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到6103 5 AD BC ==，即可得到结论； （2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股 定理求出AB 的长度，根据比值即可求出 AB BC 的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x =+=，即可求出DF 的长度，然后得到CD 的长度； ②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF AE EC =，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案． 【详解】 解：（1）ABC 是“准黄金”三角形． 理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ， ∵12AC =，30ACB ∠=?， ∴1 62 AD AC = =． ∴:6:103:5AD BC ==． ∴ABC 是“准黄金”三角形． （2）∵点A ，D 关于BC 对称， ∴BE AD ⊥，AE ED =． ∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”， ∴:3:5AE BC =． 不防设3AE k =，5BC k =， ∵点C 为ABD △的重心， ∴:2:1BC CE =． ∴52k CE = ，152 k BE =． ∴2 2 15329(3)22k AB k k ??=+= ? ?? ． ∴ 329329:5210 AB k k BC == ． （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图： 由题意得AE=3， ∵ 3 5 AE BC =， ∴BC=5， ∵ 10 AB BC = ， ∴10AB ， 在Rt △ABE 中，由勾股定理得： 22(10)31BE =-=， ∴156EC =+=， ∴223635AC =+= ∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ， ∴△ACE ∽△DAF ， ∴ 31 2 6AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =， ∵∠ACD=30°， ∴3CF x = ， ∴(23)35AC x == 解得：65315DF x == ∴2125615CD DF == ②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =． ∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”， ∴:3:5AE BC =． ∴5BC =． ∵ 10 5 AB BC = ， ∴10AB ． ∴221BE AB AE = -=． ∴6CE BE BC =+=，2236 935AC CE AE =+=+=． 分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ， ∴90B GC DFC '∠=∠=?，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=． ∵GCB FCD α'∠=∠=， ∴AEC DFA ∽△△． ∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==． ∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =． ∵12l l //， ∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=?． ∴AEC DFA ∽△△． ∴DF AF AE EC =． ∴ 335436 k k = ，解得3510k =． ∴355CD k ==2 2 2295959 5102AF DF AD ????+=+= ? ? ? ????? =． ∴9352355 AD CD === 【点睛】 本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答． 4．B 解析：（1）93CE =-2）详见解析；（3）61 32 BD DE EF =- 【解析】
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