1. 2mol 298Ｋ，5ｄｍ3的He （g ）,经过下列可逆变化:
（1） 等温压缩到体积为原来的一半;
（2） 再等容冷却到初始的压力。
求此过程的Q W U H S ???、、、和。已知=),(,g He C m p 20.8Ｊ?Ｋ-１?mol -１。 解：体系变化过程可表示为
W ＝W 1+W 2=n ＲT ｌn 1
2V V +0=2×８.314×２98×l ｎ0.５=－343５(J ） Ｑ＝Q 1＋Q 2=W 1+ΔU 2=-3４３5+ｎm v C ,ΔT=-3４35+n m v C ,(２98－2９8/2)
=-3４３５+(－371６)=－71５１(J)
ΔU=ΔU 1+ΔＵ2=ΔＵ２=-37１6(Ｊ)
ΔS=ΔS 1+ΔＳ２=nRln 12V V +?
21,T T m v T dT nC =2×8．314×ln0.5+２×1.5×8.3１4ｌn ０．５ =-281８（1-?K J ）
2. 10mol 理想气体从40℃冷却到2０℃,同时体积从250ｄm
３ 变化到５0dm 3。已知该气体的
m p C ,＝29.２０Ｊ?Ｋ-1?mol -１,求S ?。 解:假设体系发生如下两个可逆变化过程
２5０dm 3 等温 ５0dm ３ 等容 50d ｍ3
40℃ ΔＳ1 ４０℃ ΔS 2 20℃
ΔS=ΔS 1+ΔS 2＝n Ｒln 12V V +?
21,T T m v T dT nC =10Ｒln 250
50＋10×(２9.20-8.３１4)×ln 4015.2732015.273++ =-１４７.6(1-?K J )
3. 2mol 某理想气体(m p C ,=２9.3６ J ?K -１?mol -1)在绝热条件下由２７3.2Ｋ,１.0MPa 膨胀到
203.6Ｋ,0.1MPa 求该过程的Q W U H S ???、、、和。
解：27３.２K 绝热 203.6K
1.0ＭPa 膨胀 0.1MPa
等温压缩 等容冷却
∵m p C ,＝29.３611--??mol K J
∴ m v C ,=29.36-8.314=2１.0461
-?K J 且
Q=0 ΔU=?2
1,T T m v dT nC =２×21．０4６×(203.6－2７3.２)=-２9３0(J)
W=-ΔU=2９30（J)
4. 有一带隔板的绝热恒容箱,在隔板两侧分别充以不同温度的Ｈ2和O 2，且Ｖ
１=V 2(见图)，若将隔板抽去，试求算两种气体混合过程的S ?(假设此两种气体均为理想气体）。
解:先由能量衡算求终温。O 2 与 Ｈ2均为双原子分子理想气体,故均有m v C ,=5R/２,设终温为T,则
)(2,H C m v （293.２－T)=)(2,O C m v (T-2８３.2)
? T ＝28８．２K
整个混合过程可分以下三个过程进行：
１mo ｌ，O 2
，２８3．２Ｋ
2，T 在恒温恒压下混合达状态 １mol,H ２,293.2K １m 当过程①与②进行后，容器两侧气体物质的量相同，温度与体积也相同,故压力也必然相同，即可进行过程③。三步的熵变分别为：
ΔS １＝)(2,O C m v 2.2832.288ln ＝??
?????2.2832.288ln 314.8251-?K J ＝0.3641-?K J
5. 100ｇ、1０℃的水与2０0ｇ、40℃的水在绝热的条件下混合,求此过程的熵变。已知水的
比热容为4．１84Ｊ?K -1?g -1。
解:∵绝热混合 ∴0=+放吸Q Q
恒容ΔS 1
① 恒容ΔS 2 ②
吸Q ＝-放Q
C ?m 1(t-t 1)=-C ?m 2(ｔ-t 2) t 为混合后的温度
∴ 2100
2001221===--m m t t t t ? t-1０=2(4０-t ） ? ｔ=３０℃＝3０3.15K ΔS=10015.28315.303ln p C ＋２0015
.31315.303ln p C =1.４0(1-?K J )
6. 过冷ＣO 2(l)在－5９℃时其蒸气压为465.9６kPa,而同温度下CO 2（s)的蒸气压为
439．30kPa 。求在－5９℃、1０1.3２5kP ａ下,1mol 过冷CO 2(l)变成同温、同压的固态CO 2（s ）
时过程的S ?,设压力对液体与固体的影响可以忽略不计。已知过程中放热189.54J ?g -1．
解: CO 2(l) CO ２(s)
－59℃,θp G －５9℃，θp
CO ２(ｌ) C Ｏ2(s)
-59℃,p (l) -５9℃,p （s)
C Ｏ２（ｇ） CO ２（g ） －59℃,p （ｌ) -59℃,p (s ）
ΔG 1≈0，ΔG 5≈０ ΔG ２＝ΔG 4=0
∴ ΔＧ=ΔG 3=?
)()(s p l p Vdp =nRTln )()(l p s p =1×８.３14×2１4.２ln 96.46530.439=-104.9J ∵ ΔG=ΔH-T ΔS ΔH=－１８9.５4×4４=-８339.76J
∴ ΔS ＝(ΔH-ΔG)/Ｔ=
2
.214)9.104(76.8339---＝-38.51-?K J 7. 2m ｏlO 2(g)在正常沸点-1８2．97℃时蒸发为101325Pa 的气体，求此过程的S ?。已知在正常沸点时O 2(l)的=?m vap H 6.８2０kJ ?K -1。
解:O 2在θp ,-182.9７℃时的饱和蒸气压为101．３25Pa ，该相变为等温可逆相变 ΔG 1 ΔG 5
ΔG 2 ΔG 4
ΔG 3
【例2-3】方程d pdv δμ=+与dq du w δ=+有何不同？ 答：前者适用于可逆过程，因为pdv 只能计算可逆过程的功；后者适用于任何过程。 【例2-4】焓的物理意义是什么? 答：焓的物理意义可以理解如下：当工质流进系统时，带进系统的与热力状态有关的能量有内能μ与流动功pv ，而焓正是这两种能量的和。因此,焓可以理解为工质流动时与外界传递的与其热力状态有关的总能量。但当工质流不流动时，pv 不再是流动功，但焓作为状态参数仍然存在。此时，它只能理解为三个状态参数的组合。热力装置中，工质大都是在流动的过程中实现能量传递与转化的，故在热力计算中，焓比内能应用更广泛，焓的数据表（图）也更多。 【例2-5】说明热和功的区别与联系。 答：热和功都是能量的传递形式。它们都是过程量，只有在过程进行时才有热和功。热式由于温度不同引起的系统与环境之间的能量交换，而功是由于温差以外（只要是力差）的驱动力引起的系统与环境之间的能量交换。在微观上，热量是物质分子无规则运动的结果，而功是物质分子有序运动的结果。功在任何情况下可以完全转变为热，而热在不产生其他影响的情况下不可能完全完全转变为功。 【2-6】下列说法是否正确？ （1） 机械能可完全转化为热能。而热能却不能完全转化为机械能。 （2） 热机的热效率一定小于1。 （3） 循环功越大，热效率越高。 （4） 一切可逆热机的热效率都相等。 （5） 系统温度升高的过程一定是吸热过程。 （6） 系统经历不可逆过程后，熵一定增大。 （7） 系统吸热，其熵一定增大;系统放热，其熵一定减小。 （8） 熵产大于零的过程必为不可逆过程。 答：（1）对于单个过程而言，机械能可完全转化为热能，热能也能完全转化为机械能，例如定温膨胀过程。对于循环来说，机械能可完全转化为热能，而热能却不能完全转化为机械能。 （2）热源相同时，卡诺循环的热效率是最高的，且小于1，所以一切惹急的热效率均小于1。 （3）循环热效率是循环功与吸热量之比，12 11 t q q w q q η-= =，即热效率不仅与循环功有关，还与吸热量有关。因此循环功越大，热效率不一定高。 （4）可逆热机的热效率与其工作的热源温度有关，在热源相同的情况下，一切可逆热机的热效率相等。 （5）系统温度的升高可以通过对系统做功来实现，例如系统的绝热压缩过程，气体温度是升高的。 （6）S Q d T δ>> ，系统经历不可逆放热过程，熵可以减小；系统经历不可逆循环，熵不变。 只有孤立系统的熵只能增加。系统经历绝热不可逆过程，熵一定增大。 （7）S f g d dS dS =+，而0g dS ≥。系统吸热，0f dS >，所以熵一定增加；系统放热时， 0f dS <，此时要比较g dS 与f dS 的大小，因此熵不一定减小。
§2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。 焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)
从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§2.5将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2） H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3） F（T，V）
同（3）式相比 （9） （4） G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（J.C.Maxwell）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §2.2麦氏关系的简单应用 证明 1. 求 选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为 （1） 熵函数S(T,V)的全微分为( 2)
第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β与等温压缩系数κT 。 解:已知理想气体的物态方程为nRT pV = 由此得到 体胀系数T pV nR T V V p 1 1== ??? ????= α, 压强系数T pV nR T P P V 1 1== ??? ????= β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1 )(112=-?? ? ??=???? ????- =κ 1.2证明任何一种具有两个独立参量T,P 的物质,其物态方程可由实验测量的体胀系数与等温压缩系数,根据下述积分求得()? -=dp dT V T καln ,如果P T T 1 ,1 = =κα,试求物态方程。 解: 体胀系数 p T V V ??? ????= 1α 等温压缩系数 T T p V V ???? ????-=1κ 以T,P 为自变量,物质的物态方程为 ()p T V V ,= 其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T T p κα-=? ??? ????+??? ????= dp dT V dV T κα-= 这就是以T,P 为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,得 ()?-=dp dT V T καln 根据题设 , 若 p T T 1,1== κα ????? ? ?-=dp p dT T V 11ln 则有 C p T V +=ln ln , PV=CT 要确定常数C,需要进一步的实验数据。 1.4描述金属丝的几何参量就是长度L,力学参量就是张力￡,物态方程就是(￡,L,T)=0,实验通常
在大气压下进行,其体积变化可以忽略。线胀系数定义为F T L L ??? ????= 1α ,等温杨氏模量定义为T L F A L Y ??? ????= ,其中A 就是金属丝的截面。一般来说,α与Y 就是T 的函数,对￡ 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大,可以瞧作常数。假设金属丝两端固定。试证明,当温度由T1降至T2时,其张力的增加为)T -(T -Y A ￡12α=?。 解: f (￡,L,T)=0 ,￡=F￡(L,T) dT T dL L dT T d L T L ??? ????-??? ????+??? ????=￡￡￡￡ (dL=0) 1￡￡-=??? ??????? ??????? ????T F L L L T T αα YA L AY L L T L T T F L -=-=??? ??????? ????-=??? ????￡￡ dT YA d α-=￡ 所以 )T -(T -Y A ￡12α=? 1.6 1mol 理想气体,在27o C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ,求气体所做 的功与所吸收的热量。 解:将气体的膨胀过程近似瞧做准静态过程。 根据? -=VB VA pdV W , 在准静态等温过程中气体体积由V A 膨胀到VB,外界对气体所做的功为 A B A B VB VA VB VA P P RT V V RT V dV RT pdV W ln ln -=-=-=-=? ? 气体所做的功就是上式的负值, - W =A B P P RT ln -= 8、31?300?ln20J= 7、47?10-3J 在等温过程中理想气体的内能不变,即?U=0 根据热力学第一定律?U=W+Q, 气体在过程中吸收的热量Q 为 Q= - W = 7、47?10-3J 1、7 在25o C 下,压强在0至1000pn 之间,测得水的体积为 V=18、066-0、715?10-3P+0、046?10-6P 2cm 3?mol -1 如果保持温度不变,将1mol 的水从1pn 加压至1000pn,求外界所作的功。 解:将题中给出的体积与压强的关系记为 V=A+BP+CP 2 由此得到 dV=(B+2CP)dP 保持温度不变,将1mol 的水从1Pn 加压至1000Pn,在这个准静态过程中,外界所作的功为
第2章符号运算 习题2及解答 1 说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度” 对象，还是“符号”符号对象？ 3/7+0.1; sym(3/7+0.1); sym('3/7+0.1'); vpa(sym(3/7+0.1)) 〖目的〗 ●不能从显示形式判断数据类型，而必须依靠class指令。 〖解答〗 c1=3/7+0.1 c2=sym(3/7+0.1) c3=sym('3/7+0.1') c4=vpa(sym(3/7+0.1)) Cs1=class(c1) Cs2=class(c2) Cs3=class(c3) Cs4=class(c4) c1 = 0.5286 c2 = 37/70 c3 = 0.52857142857142857142857142857143 c4 = 0.52857142857142857142857142857143 Cs1 = double Cs2 = sym Cs3 = sym Cs4 = sym 2 在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认 为是自由符号变量. sym('sin(w*t)'),sym('a*exp(-X)'),sym('z*exp(j*th)') 〖目的〗 ●理解自由符号变量的确认规则。 〖解答〗 symvar(sym('sin(w*t)'),1) ans = w symvar(sym('a*exp(-X)'),1) ans = a
symvar(sym('z*exp(j*th)'),1) ans = z 3 求以下两个方程的解 （1）试写出求三阶方程05.443 =-x 正实根的程序。注意：只要正实根，不要出现其他根。 （2）试求二阶方程022=+-a ax x 在0>a 时的根。 〖目的〗 ● 体验变量限定假设的影响 〖解答〗 （1）求三阶方程05.443 =-x 正实根 reset(symengine) %确保下面操作不受前面指令运作的影响 syms x positive solve(x^3-44.5) ans = (2^(2/3)*89^(1/3))/2 （2）求五阶方程02 2 =+-a ax x 的实根 syms a positive %注意：关于x 的假设没有去除 solve(x^2-a*x+a^2) Warning: Explicit solution could not be found. > In solve at 83 ans = [ empty sym ] syms x clear syms a positive solve(x^2-a*x+a^2) ans = a/2 + (3^(1/2)*a*i)/2 a/2 - (3^(1/2)*a*i)/2 4 观察一个数（在此用@记述）在以下四条不同指令作用下的异同。 a =@, b = sym( @ ), c = sym( @ ,' d ' ), d = sym( '@ ' ) 在此，@ 分别代表具体数值 7/3 , pi/3 , pi*3^(1/3) ；而异同通过vpa(abs(a-d)) , vpa(abs(b-d)) , vpa(abs(c-d))等来观察。 〖目的〗 ● 理解准确符号数值的创建法。 ● 高精度误差的观察。 〖解答〗 （1）x=7/3 x=7/3;a=x,b=sym(x),c=sym(x,'d'),d=sym('7/3'), a =
第二章 均匀物质的热力学性质 2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ??????=== ? ??????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ???> ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（，有 ,T V U p T p V T ??????=- ? ??????? （3） 所以 ()0.T U Tf V p V ???=-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.
2.3 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ???> ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ???=> ???? （4） 2.4 已知0T U V ???= ????，求证0.T U p ???= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ?????????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ???= ????，即有 0.T U p ???= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明： .T T U V V p ??????= ? ??????? （2） 2.5 试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减. 解：热力学用偏导数p S V ??? ????描述等压过程中的熵随体积的变化率，
第七章 玻耳兹曼统计 7．1试根据公式V a P L l l ??- =∑ε证明，对于非相对论粒子 () 2 222 22212z y x n n n L m m P ++?? ? ??== πε， （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。 证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为 () 2222 2,,2212z y x n n n n n n L m m P z y x ++?? ? ??== πε （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为3 2 -=aV ε-----------------------（2） 其中V=L 3 是系统的体积，常量() 22 222)2(z y x n n n m a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。 由（2）式可得 V aV V l L εε323235 -=-=??----------------------（3） 代入压强公式，有V U a V V a P l l l L l l 3232 = =??-=∑∑εε----------------------（4） 式中 l l l a U ε ∑= 是系统的能。 上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。 注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动能。 7．2根据公式V a P L l l ??- =∑ε证明，对于极端相对论粒子 () 2 1 2 222z y x n n n L c cp ++== πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有V U P 31= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。 证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为 () 2 1 22 2,,2z y x n n n n n n L c z y x ++= πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------（1） 为书写简便，我们将上式简记为3 1-=aV ε-----------------------（2） 其中V=L 3 是系统的体积，常量( ) 2 1 2 2 2 2z y x n n n c a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三 个量子数。
第二章线性表 2.1 填空题 (1)一半插入或删除的位置 (2)静态动态 (3)一定不一定 (4)头指针头结点的next 前一个元素的next 2.2 选择题 (1)A (2) DA GKHDA EL IAF IFA(IDA) (3)D (4)D (5) D 2.3 头指针：在带头结点的链表中，头指针存储头结点的地址；在不带头结点的链表中，头指针存放第一个元素结点的地址； 头结点：为了操作方便，在第一个元素结点前申请一个结点，其指针域存放第一个元素结点的地址，数据域可以什么都不放； 首元素结点：第一个元素的结点。 2.4已知顺序表L递增有序，写一算法，将X插入到线性表的适当位置上，以保持线性表的有序性。 void InserList(SeqList *L,ElemType x) { int i=L->last; if(L->last>=MAXSIZE-1) return FALSE; //顺序表已满 while(i>=0 && L->elem[i]>x) { L->elem[i+1]=L->elem[i]; i--; } L->elem[i+1]=x; L->last++; } 2.5 删除顺序表中从i开始的k个元素 int DelList(SeqList *L,int i,int k) { int j,l; if(i<=0||i>L->last) {printf("The Initial Position is Error!"); return 0;} if(k<=0) return 1; /*No Need to Delete*/ if(i+k-2>=L->last) L->last=L->last-k; /*modify the length*/
§内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。 焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， ； 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)
从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) ~ (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2）H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3）F（T，V） ~
同（3）式相比 （9） （4）G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §麦氏关系的简单应用 证明 ' 1. 求 选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为 （1）
第二章气体的热力性质 思考题 2-1 容器内盛有一定量的理想气体，如果将气体放出一部分后达到了新的平衡状态，问放气前、后两个平衡状态之间参数能否按状态方程表示为下列形式： （a ）222111T v P T v P = （b ）2 22111T V P T V P = 答：放气前、后两个平衡状态之间参数能按方程式（a ）形式描述，不能用方程式（b ）描述，因为容器中所盛有一定量的理想气体当将气体放出一部分后，其前、后质量发生了变化，根据1111RT m v p =，2222RT m v p =，而21m m ≠可证。 2-3 一氧气瓶内装有氧气，瓶上装有压力表，若氧气瓶内的容积为已知，能否算出氧气的质量。 答：能算出氧气的质量。因为氧气是理想气体，满足理想气体状态方程式mRT PV =。根据瓶上压力表的读数和当地大气压力，可算出氧气的绝对压力P ，氧气瓶的温度即为大气的温度；氧气的气体常数为已知；所以根据理想气体状态方程式，即可求得氧气瓶内氧气的质量。 2-4 夏天，自行车在被晒得很热的马路上行驶时，为何容易引起轮胎爆破？ 答：夏天自行车在被晒得很热的马路上行驶时，轮胎内的气体（空气）被加热，温度升高，而轮胎的体积几乎不变，所以气体容积保持不变，轮胎内气体的质量为定值，其可视为理想气体，根据理想气体状态方程式mRT PV =可知，轮胎内气体的压力升高，即气体作用在轮胎上的力增加，故轮胎就容易爆破。 2-5 气瓶的体积为5L ，内有压力为101325Pa 的氧气，现用抽气体积为0.1L 的抽气筒进行抽气。由于抽气过程十分缓慢，可认为气体温度始终不变。为了使其压力减少一半,甲认为要抽25次,他的理由是抽25次后可抽走25×0.1L=2.5L 氧气，容器内还剩下一半的氧气,因而压力就可减少一半;但乙认为要抽50次，抽走50×0.lL=5.0L 氧气，相当于使其体积增大一倍，压力就可减少一半。你认为谁对? 为什么? 到底应该抽多少次? 答：甲和乙的看法都是错误的。 甲把氧气的体积误解成质量,导出了错误的结论,在题设条件下，如果瓶内氧气质量减少了一半，压力确实能相应地减半。但是抽出氧气的体积与抽气时的压力、温度有关,并不直接反映质量的大小。因此,氧气体积减半，并不意味着质量减半。 乙的错误在于把抽气过程按定质量系统经历定温过程进行处理。于是他认为体积增大一倍，压力就减半。显然在抽气过程中，瓶内的氧气是一种变质量的系统,即使把瓶内的氧气与被抽走的氧气取为一个联合系统，联合系统内总质量虽然不变，但瓶内氧气的参数与被抽放的氧气的参数并不相同，也同样无法按定质量的均匀系统进行处理。 设初始质量RT V P m 1=，抽气一次，减少质量'm ，剩余质量2m 。 则m RT V P m 02.051.0'1=?=，则m m 98.02=
第三章 单元系的相变 求证 （1）V T n V n S T ,,??? ????-=??? ????μ （2）P T n T n V P ,,??? ????=??? ????μ 证明：（1）由自由能的全微分方程dF=-SdT-PdV+dn 及偏导数求导次序的可交换性，可以得到V T n V n S T ,,??? ????-=??? ????μ 这是开系的一个麦氏关系。 （2）由吉布斯函数的全微分方程dG=-SdT+VdP+dn 及偏导数求导次序的可交换性，可以得到P T n T n V P ,,??? ????=??? ????μ 这是开系的一个麦氏关系。 求证μ-??? ????V T n U ,n V T T ,??? ????-=μ 解：自由能TS U F -=是以n V T ,,为自变量的特性函数，求F 对n 的偏导数，有 V T V T V T n S T n U n F ,,,??? ????-??? ????=??? ???? （1） 但自由能的全微分dn pdV Sdt dF μ=--= 可得V T n F ,??? ????=μ， V T n S T ,??? ????=-n V T ,??? ????μ （2） 代入（1），即有V T n U ,??? ????-μ=-T n V T ,??? ????μ 两相共存时，两相系统的定压热容量C P =p T S T ??? ????，体胀系数 P T V V ??? ????=1α和等温压缩系数T P V V k T ??? ????- =1均趋于无穷。试加以说明。 解： 我们知道，两相平衡共存时，两相的温度，压强和化学式必须相等。如果在平衡压强
简答题 什么是伽利略相对性原理什么是狭义相对性原理 答：伽利略相对性原理又称力学相对性原理，是指一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对于描述机械运动的力学规律来说完全等价。 狭义相对性原理包括狭义相对性原理和光速不变原理。狭义相对性原理是指物理学定律在所有的惯性系中都具有相同的数学表达形式。光速不变原理是指在所有惯性系中，真空中光沿各方向的传播速率都等于同一个恒量。 同时的相对性是什么意思如果光速是无限大，是否还会有同时的相对性 答：同时的相对性是：在某一惯性系中同时发生的两个事件，在相对于此惯性系运动的另一个惯性系中观察，并不一定同时。 如果光速是无限的，破坏了狭义相对论的基础，就不会再涉及同时的相对性。 什么是钟慢效应 什么是尺缩效应 答：在某一参考系中同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔叫固有时。固有时最短。固有时和在其它参考系中测得的时间的关系，如果用钟走的快慢来说明，就是运动的钟的一秒对应于这静止的同步的钟的好几秒。这个效应叫运动的钟时间延缓。 尺子静止时测得的长度叫它的固有长度，固有长度是最长的。在相对于其运动的参考系中测量其长度要收缩。这个效应叫尺缩效应。 狭义相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同 有何联系 答：牛顿力学的时间和空间概念即绝对时空观的基本出发点是：任何过程所经历的时间不因参考系而差异；任何物体的长度测量不因参考系而不同。狭义相对论认为时间测量和空间测量都是相对的，并且二者的测量互相不能分离而成为一个整体。 牛顿力学的绝对时空观是相对论时间和空间概念在低速世界的特例，是狭义相对论在低速情况下忽略相对论效应的很好近似。 能把一个粒子加速到光速c 吗为什么 答：真空中光速C 是一切物体运动的极限速度，不可能把一个粒子加速到光速C 。从质速关系可看到，当速度趋近光速C 时，质量趋近于无穷。粒子的能量为2 mc ，在实验室中不存在这无穷大的能量。 什么叫质量亏损 它和原子能的释放有何关系 答：粒子反应中，反应前后如存在粒子总的静质量的减少0m ?，则0m ?叫质量亏损。原子能的释放指核反应中所释 放的能量，是反应前后粒子总动能的增量k E ?，它可通过质量亏损算出20k E m c ?=?。 在相对论的时空观中，以下的判断哪一个是对的 （ C ） （A ）在一个惯性系中，两个同时的事件，在另一个惯性系中一定不同时；
第二章 均匀物质的热力学性质 2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =-- 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ?????? === ? ? ?????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ??? > ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（2.2.7），有 ,T V U p T p V T ?????? =- ? ??????? （3） 所以
()0.T U Tf V p V ???=-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 2.3 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ??? > ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ??? => ? ??? （4） 2.4 已知0T U V ??? = ????，求证0.T U p ?? ?= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ?????????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ??? = ????，即有 0.T U p ?? ?= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：
习题及部分解答 第一篇 工程热力学 第一章 基本概念 1. 指出下列各物理量中哪些是状态量，哪些是过程量： 答：压力，温度，位能，热能，热量，功量，密度。 2. 指出下列物理量中哪些是强度量：答：体积，速度，比体积，位能，热能，热量，功量， 密度。 3. 用水银差压计测量容器中气体的压力，为防止有毒的水银蒸汽产生，在水银柱上加一段水。若水柱高mm 200，水银柱高mm 800，如图2-26所示。已知大气压力为mm 735Hg ，试求容器中气体的绝对压力为多少kPa ？解：根据压力单位换算 kPa p p p p kPa Pa p kPa p Hg O H b Hg O H 6.206)6.106961.1(0.98)(6.10610006.132.133800.96.110961.180665.92002253=++=++==?=?==?=?= 4. 锅炉烟道中的烟气常用上部开口的斜管测量，如图2-27所示。若已知斜管倾角 30=α ， 压力计中使用 3 /8.0cm g =ρ的煤油，斜管液体长度 mm L 200=，当地大气压力 MPa p b 1.0=，求烟气的绝对压力（用MPa 表示）解： MPa Pa g L p 6108.7848.7845.081.98.0200sin -?==???==α ρ MPa p p p v b 0992.0108.7841.06=?-=-=- 5.一容器被刚性壁分成两部分，并在各部装有测压表计，如图2-28所示，其中C 为压力表，读数为 kPa 110，B 为真空表，读数为kPa 45。若当地大气压kPa p b 97=，求压力表A 的读数（用kPa 表示） kPa p gA 155= 6. 试述按下列三种方式去系统时，系统与外界见换的能量形式是什么。 （1）.取水为系统； （2）.取电阻丝、容器和水为系统； （3）.取图中虚线内空间为系统。
第2章人工智能与知识工程初步 1. 设有如下语句，请用相应的谓词公式分别把他们表示出来：s (1)有的人喜欢梅花，有的人喜欢菊花，有的人既喜欢梅花又喜欢菊花。 解：定义谓词d P(x)：x是人 L(x,y)：x喜欢y 其中，y的个体域是{梅花，菊花}。 将知识用谓词表示为： (?x )(P(x)→L(x, 梅花)∨L(x, 菊花)∨L(x, 梅花)∧L(x, 菊花)) (2) 有人每天下午都去打篮球。 解：定义谓词 P(x)：x是人 B(x)：x打篮球 A(y)：y是下午 将知识用谓词表示为：a (?x )(?y) (A(y)→B(x)∧P(x)) (3)新型计算机速度又快，存储容量又大。 解：定义谓词 NC(x)：x是新型计算机 F(x)：x速度快 B(x)：x容量大 将知识用谓词表示为： (?x) (NC(x)→F(x)∧B(x)) (4) 不是每个计算机系的学生都喜欢在计算机上编程序。 解：定义谓词 S(x)：x是计算机系学生 L(x, pragramming)：x喜欢编程序 U(x,computer)：x使用计算机 将知识用谓词表示为： ? (?x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer)) (5)凡是喜欢编程序的人都喜欢计算机。 解：定义谓词 P(x)：x是人 L(x, y)：x喜欢y 将知识用谓词表示为：
(?x) (P(x)∧L(x,pragramming)→L(x, computer)) 2 请对下列命题分别写出它们的语义网络： (1) 每个学生都有一台计算机。 解： (2) 高老师从3月到7月给计算机系学生讲《计算机网络》课。 解： (3) 学习班的学员有男、有女、有研究生、有本科生。 解：参例2.14 (4) 创新公司在科海大街56号，刘洋是该公司的经理，他32岁、硕士学位。 解：参例2.10 (5) 红队与蓝队进行足球比赛，最后以3：2的比分结束。 解：
第二章 均匀物质的热力学性质 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =-- 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ?????? === ? ? ?????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ??? > ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 设一物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = 试证明其内能与体积无关.
解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（2.2.7），有 ,T V U p T p V T ??????=- ? ??????? （3） 所以 ()0.T U Tf V p V ??? =-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ??? > ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2）
内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ???=> ???? （4） 已知0T U V ??? = ????，求证0.T U p ?? ?= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ???? ?????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ??? = ????，即有 0.T U p ?? ?= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明： (, )(, )(,)(,)(, )(,) T U U T p p T U T V T V T p T ????= ? ??????= ??
第二章热力学第一定律 1.热力学能就是热量吗? 答：不是，热是能量的一种，而热力学能包括内位能，内动能，化学能，原子能，电磁能，热力学能是状态参数，与过程无关，热与过程有关。 2.若在研究飞机发动机中工质的能量转换规律时把参考坐标建在飞 机上，工质的总能中是否包括外部储能？在以氢氧为燃料的电池系统中系统的热力学能是否包括氢氧的化学能？ 答：不包括，相对飞机坐标系，外部储能为0； 以氢氧为燃料的电池系统的热力学能要包括化学能，因为系统中有化学反应 3.能否由基本能量方程得出功、热量和热力学能是相同性质的参数 结论？ 答：不会，Q U W ?为热力学能的差值，非热力学能，热=?+可知，公式中的U 力学能为状态参数，与过程无关。 4.刚性绝热容器中间用隔板分为两部分，A 中存有高压空气，B 中保持真空，如图2-1 所示。若将隔板抽去，分析容器中空气的热力学能如何变化？若隔板上有一小孔，气体泄漏入 B 中，分析A、B 两部分压力相同时A、B 两部分气体的热力学能如何变化？ 答：将隔板抽去，根据热力学第一定律q u w w=所以容 =?+其中0 q=0 器中空气的热力学能不变。若有一小孔，以B 为热力系进行分析
2 1 2 2 222111()()22f f cv j C C Q dE h gz m h gz m W δδδδ=+++-+++ 只有流体的流入没有流出，0,0j Q W δδ==忽略动能、势能c v l l d E h m δ=l l dU h m δ=l l U h m δ?=。B 部分气体的热力学能增量为U ? ，A 部分气体的热力学能减少量为U ? 5.热力学第一定律能量方程式是否可以写成下列两种形式： 212121()()q q u u w w -=-+-，q u w =?+的形式，为什么？ 答:热力学第一定律能量方程式不可以写成题中所述的形式。对于 q u w =?+只有在特殊情况下，功w 可以写成pv 。热力学第一定律是一个针对任何情况的定律，不具有w =pv 这样一个必需条件。对于公式212121()()q q u u w w -=-+-，功和热量不是状态参数所以不能写成该式的形式。 6.热力学第一定律解析式有时写成下列两种形式： q u w =?+ 2 1 q u pdV =?+? 分别讨论上述两式的适用范围. 答： q u w =?+适用于任何过程，任何工质。 2 1 q u pdV =?+? 可逆过程，任何工质 7.为什么推动功出现在开口系能量方程式中，而不出现在闭口系能量
第一章 概念 1.系统：孤立系统、闭系、开系 与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系； 与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系； 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系； 2.平衡态 平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。 3.准静态过程和非准静态过程 准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。 非准静态过程，系统的平衡态受到破坏 4.内能、焓和熵 内能是状态函数。当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关; 表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。这是态函数焓的重要特性 克劳修斯引进态函数熵。定义: 5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值
定容热容量: 定压热容量: 6.循环过程和卡诺循环 循环过程（简称循环）：如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。系统经历一个循环后，其内能不变。 理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。 7.可逆过程和不可逆过程 不可逆过程：如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。 可逆过程：如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状。 8.自由能：F和G 定义态函数：自由能F，F＝U－TS 定义态函数：吉布斯函数G，G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1
1. 已知某一时期内某商品的需求函数为Q =50-5P ，供给函数为Qs=-10+5p。（1）求均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。 （2）假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Qd=60-5P。求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。（3）假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Qs=-5+5p。 求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。 （4）利用（1）（2 ）（3），说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。（5）利用（1）（2 ）（3），说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响. 解答: (1)将需求函数Qd = 50-5P和供给函数Qs =-10+5P 代入均衡条件Qd = Qs ,有: 50- 5P= -10+5P 得: Pe=6 以均衡价格Pe =6 代入需求函数Qd =50-5p ,得: Qe=20 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =6 , Qe=20 (图略) (2)将由于消费者收入提高而产生的需求函数Qd=60-5p 和原供给函数 Qs=-10+5P, 代入均衡条件Q d= Qs ,有: 60-5P=-10+5P 得Pe=7 以均衡价格Pe=7代入Qd方程，得Qe=25 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =7 , Qe=25 (图略) (3) 将原需求函数Qd =50-5p和由于技术水平提高而产生的供给函数Q =-5+5p , 代入均衡条件Qd =Qe ,有: 50-5P=-5+5P得Pe= 5.5 以均衡价格Pe= 5.5 代入Qd =50-5p ,得22.5 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe=5.5 Qe=22.5 (4)所谓静态分析是考察在既定条件下某一经济事物在经济变量的相互作用下所实现的均衡状态及其特征.也可以说,静态分析是在一个经济模型中根据所给的外生变量来求内生变量的一种分析方法.以(1)为例,在图中,均衡点 E 就是一个体现了静态分析特征的点.它是在给定的供求力量的相互作用下所达到的一个均衡点.在此,给定的供求力量分别用给定的供给函数Q=-10+5P 和需求函数Q=50-5P表示，均衡点具有的特征是:均衡价格P=6 且当P =6 时,有Q= Q d= Qe =20 ，同时,