圆的相关知识

圆的复习

第一部分知识及方法

一、圆的基本概念

1、圆的基本元素

圆心：圆的中心。

半径：连接圆心和圆上任一点的线叫半径。

弦：连接圆上任意两点的线段叫弦。

直径：经过圆心的弦叫直径。

弧：圆上任意两点间的部分叫弧。弧分为半圆、优弧和劣弧。

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

注意：直径是圆最长的弦；同圆或等圆的直径是半径的两倍。

2、

（1）圆是旋转对称图形，圆心是对称中心。

在一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

在一个圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。

在一个圆中，相等的弦所对的劣弧相等，所对的圆心角相等。

（2）圆是轴对称图形，任一条过圆心的直线都是它的对称轴。

（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

提示：

1）圆周可以看作360°的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

2）解决与弦有关的问题时，常常过圆心作弦的垂直线段作为辅助线。半径、弦的一半、弦心距构成一个直角三角形。利用勾股定理和三角函数可以解决与半径长、弦长、弦心距的长以及相关角度等有关计算的问题。

3）经过圆内一点，最长的弦是经过这点的直径，最短的弦是与过这点的直径垂直的弦。

4）圆内两条平行弦所夹的弧相等。

3、

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。

（2）圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°圆周角所对得弦是直径。在一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对得弧也相等。圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

（3）相关链接：利用“半圆或直径所对圆周角是直角”可以在圆中得到直角三角形，我们可以解决很多与直角三角形有关的问题。圆周角定理、三角形内角和定理及推论、同角的余（补）角相等、平行线的性质定理等，都是与角度有关的定理，把它们进行综合运用，可以实现角度的灵活转换，从而解决很多与角相关的问题。

（4）注意：

a．当给出90°圆周角时，弦AB是直径需要说明。

b．同弧所对的圆周角相等，但同弦所对的圆周角不一定相等，因为：一条弦对应着两个圆周角。

c．如果圆内接四边形的对边平行，则这个四边形是等腰梯形或矩形。

二、与圆有关的位置关系

1、点与圆的三种位置关系及判定

点P在⊙O上OP=r；

点P在⊙O内OP

点P在⊙O外OP>r。

2、过平面上的点作圆的有关规律

3、定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。

4、有关概念：经过三角形各顶点的圆叫三角形外接圆。外接圆的圆心角三角形的外心。这个三角形叫圆的内接三角形。

5、提示：

（1）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。

锐角三角形的外心在三角形内部。

直角三角形的外心是斜边的中点。

钝角三角形的外心在三角形外部。

（2）直角三角形的外接圆的直径即是这个直角三角形的斜边。

6、直线和圆三种不同位置关系及相关概念

7、注意：

设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。

直线和圆的位置关系，由r与d的大小关系确定。

直线AB和⊙O相交；

直线AB和⊙O相切；

直线AB和⊙O相离。

8、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

9、切线的判定定理：圆的切线垂直与经过切点的半径。

10、相关链接：由切线的性质定理和判定定理可知：圆的切线经过半径外端并且垂直于半径。即切线与垂直是密不可分的，在解决与切线有关问题时，经常要用到垂直或90°的角。

11、提示：

切线的判定通常有两种常见的题型：A.过半径，证垂直；B.作垂直，证半径。

有解题过程中，可根据具体情况灵活运用。

三、圆的基本性质

1、切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

2、三角形的内切圆、圆的内接三角形

和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。三角形内心在三角形内部。

3、弦切角

弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

4、注意：

(1)切线长定理提供了两种不同的结论：A.切线长相等；B.角平分线。在解题时根据需要选出其中的某个结论。

(2)直角三角形的内切圆半径有两种不同的方法：A.面积法；B.公式法。公式需要推导，但运算要简便一些；面积法容易理解，是使用较多的方法。

5、注意：

（1）相切分内切和外切两种，解题时要注意画出不同的图形。

（2）两圆相交时，d不仅要小于R+r，还要大于R-r(R>r).

四、圆中的计算

1、与圆有关的比例线段

（1）相交弦定理：当弦AB、CD交于⊙O内的一点P时，则

推论：当AB为直径，CD为弦，且CD⊥AB于P，则.

（2）切割线定理：PAB为⊙O的割线，PT为⊙O的切线，切点为T，则

推论：PAB、PCD为⊙O的割线，则

（3）注意：定理中所有的线段具有以下两个特点：

A.同一直线的两条线段相乘；

B.线段的两个端点，一个是点P，另一个是直线与圆的交点。

2、圆周及弧长

（1）圆的半径为R，则圆的周长.

（2）半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长.

3、圆面积，扇形面积

（1）半径为R的圆的面积.

（2）圆心角为n°的扇形面积

4、提示：扇形的面积公式，与三角形的面积十分相似，注意比较。

5、圆锥

（1）圆锥是由一个底面积和一个侧面围成的。从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高。

（2）圆锥的母线长都相等。

（3）圆锥的侧面展开图是扇形。扇形的弧长等与底面圆的周长。

设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为a，弧长为l。

则

侧面展开图面积.

8、圆锥的侧面展开图的圆心角n由d得：或

。

9、注意:圆锥的侧面积和全面积是两个不同的概念，答题时要注意区分。

第二部分例题精讲

例1、如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（）。

A. 1

B.

C.

D.

解：选D。提示：过点B作⊥MN交O于，连结交MN于点P,此时点P是AP+BP 最小。易知B与点关于MN对称，依题意∠AON=60°,则∠B’ON=∠BON=30°,所以∠AOB’

=90°, ,故PA+PB的最小值为 .

例2、如图，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下水面宽度AB为7.2米，桥的最高点处点C高出水面2.4米。现有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问这艘货船能否顺利通过这座拱桥？请说明理由。

解：由垂径定理可知OP=1.5米，OC=1.5+2.4=3.9米

解得：PQ=

因为：

所以：NF=2.1＞2

即这艘船能顺利通过这座拱桥。

例3、如图，AB为⊙O的直径，C、D、E为圆上三点，∠E=30°,则∠C+∠D等于（）

A.60°

B.90°

C.120°

D.180°

解：选B.提示不要受到∠E=30°的干扰。

例4、在直径为AB的半圆形区域内，划出一个三角形区域，是三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其他两边分别为6米和8米。先要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，

其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC=8米，BC=6米。

（1）求△ABC的边AB上的高h；

（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85米的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。

解：（1）因为直径AB为三角形ABC斜边，所以AB= =10米，所以

h= =4.8米

（2）因为

又因为，

所以x= 时，

（3）

所以BE=1.8

同理AD=3.2

所以AC=6，BC=8即可。

例5、在△ABC中，AB=AC=13，BC=10.

（1）求△ABC的内切圆半径；

（2）如果⊙O与△ABC的两边相切（切点在△ABC的边上），与第三边相交，那么⊙O 的半径能否等于6?如果能，请求出与⊙O相切两边的交点与切点间的切线长；如果不能，请说明理由。

解：（1）如图1，设半径为x.，即得，

（2）如图2，当⊙O与△ABC的AB、AC两边相切，且切点分别为B、C时，半径取最大

值=不可能。（设半径为x，则）

如图3，当⊙O与△ABC的AB、BC两边相切时，过点B作∠ABC的平分线BE，过C作OC ⊥BC交BE于O，

此时EC为半径的最大值：，所以当⊙O与△ABC的AB、BC两边相切时，⊙O 半径可以等于6，当半径为6时，切线长等于9。

例6、如图，⊙O与⊙O′相交于A和B两点，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB 的延长线与N，MN=3，NQ=15，则PN=_____________。

解：提示：，所以PN=

例7、在矩形ABCD中，AB=24，AD=10，以AB为圆心作圆，如果B、C、D三点中，至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，求⊙A的半径R的取值范围。

解：⊙A的圆心为点A，且B、C、D三点中，至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，所以半径R应满足AD

因为AD=10，AB=24，

所以

所以10

例8、如图，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于M，弦AE交CD于F。求证：

证明：连CE.

因为ABCD

所以弧AC=弧AD.

所以∠AEC=∠ACD，

又因为∠EAC=∠FAC,

所以△ACF∽△ACE

所以

因此

例9、如图，以Rt△ABC的直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于P，点Q是AC的中点。求证：PQ是⊙O的切线。

证明：连OP,CP

因为BC是⊙O的直径。

所以∠CPB=90°=∠APC

因为Q为斜边AC的中点，

所以CQ=AQ=PQ。

所以∠3=∠4

又因为OC=OP,

所以∠1=∠2，

因为∠1+∠3=90°，

所以∠2+∠4=∠1+∠3=90°。

即：∠OPQ=90.

所以PQ为⊙O的切线。

例10、如图，AB为半圆⊙O的直径，C为半圆外一点，AC，BC分别与半圆交于D、E。EF⊥AB于F，若AC=14，CE=4，AF∶BF=5∶1，求CD的长。

解：连AE，则AE⊥BE，设BF=x，则AF=5x。

第一步：由勾股定理，得：

第二步：因为AE⊥BE，EF⊥AB，

所以

又∠A是公用角,

所以△AEF∽△ABE.

所以即

所以

同理：

因为，

所以

第三步：由割线定理，得：

所以

例11、如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D.若tanB=，PC=10cm，求三角形BCD的面积。

解：连结AC。

因为AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，

所以∠ACB=90°。

因为CD⊥AB于点D，

所以∠ADC=∠BDC=90°.

∠2=90°-∠BAC=∠B

因为tanB=,

所以tan∠2=.

所以

设AD=x(x>0)，则CD=2x，DB=4x，AB=5x. 因为PC切⊙O于点C，点B在⊙O上，

所以∠1=∠B.

因为∠P=∠P,

所以△PAC∽△PCB.

所以 =。

因为PC=10，所以PA=5.

因为PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，

所以所以

解得x=3.

所以AD=3，CD=6，DB=12.

所以

即三角形BCD的面积为36 .

例12、如图已知圆锥的底面半径是8，母线的长是15，求圆锥的侧面积和这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角。

解：圆锥侧面积

如图，设所求扇形的圆心角的度数为n，则

所以

第三部分练习与巩固

一、填空题：

1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=，则∠BCD=___________度。

2、已知一直角三角形三个顶点在同一圆上，这个三角形的面积为12，周长为

.那么这个直角三角形外接圆的半径是____________。

3、已知顶角A等于40°的等腰三角形的三个顶点在同一⊙O上，D是圆周上一点，∠ADB=_____________。

4、若AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过C引直径AB的垂线，垂足是D，点D分这条直径成2︰3两部分，如果⊙O的半径等于5，则BC=_____________。

5、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，⊙A与BC相切于D，与AB相交于E。则∠ADE=__________。

6、如图，AB是直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，若CD切⊙O于C点，则∠CAB的度数为___________。

7、若两圆有四条公切线，并且两圆的半径分别为2和3，则两圆的位置关系是

____________；两圆的圆心距d与两圆的半径的关系是_____________。

8、如图，和外切于点C，直线AB分别切于A，B，的半径为

1，AB= ，则的半径为____________。

9、如图是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成，若内外两条跑道的终点在同一直线上，则外跑道的起点必须前移才能使两跑道有相同的长度。如果跑道每道宽为1.22米，则外跑道的起点应前移_________米（去3.14，结果精确到0.01.米）。

二、选择题：

10、已知⊙O的弦CD直径AB，垂足为P，且AP=3，AB=30，那么CD等于( )

A.9

B.

C.18

D.

11、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是( )

A. B. C.3

12、某校计划在校园内修建一座周长为12cm的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案，其中是花坛面积最大的是( )

A.正三角形

B.正方形

C.圆

D.不能确定

13、PT切⊙O于T，PAB为经过圆心O的割线，交⊙O于A，B两点，若PT=4，PA=2，则∠BPT的余弦值为 ( )

A. B. C. D.

14、如图，AE，AD和BC分别切⊙O于E，D，F。如果AD=20,则△ABC的周长为( )

A.20

B.30

C.40

D.

15、如图，与相交于点A和B，且，，分别是两圆的切线，A是切点，若的半径=3，的半径是=4，则弦AB等于( )

A.2

B.2.4

C.3

D.4.8

16、半径分别为1和2的两圆外切，与这两个圆都相切且半径为3的圆共有( )

A.6个

B.5个

C.4个

D.3个

17、如图，某城市公园的一个雕塑，它是由三个直径为1m的圆两两相垒立于水平地面上，则雕塑的最高点离地面的距离是( )

A. B. C. D.

18、一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当物体上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针旋转的角度约为( )(假设绳索与滑轮之间没有滑动，取3.14，结果精确到1°)

A.115°

B.60°

C.57°

D.29°

19、图中有五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B点。甲虫沿弧ADA1，弧A1EA2，弧A2FA3，弧A3GB路线爬行,乙虫沿弧ACB路线爬行，则下列结论正确的是( )

A.甲先到B点

B.乙先到B点

C.甲、乙同时到B点

D.无法确定

三、解答题：

20、在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，弦CD=8cm，且AB//CD，求AB与CD之间的距离。

21、如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE垂足为C，连OD，且∠AOD=∠APC.

（1）求证：AP是⊙O的切线。

（2）若OC∶CB=1∶2，且AB=9，求⊙O的半径及sinA的值。

22、已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距。

23、如图，把三个半径为15cm的圆筒捆在一起，要用多长的绳子才能绕它们一圈？

答案：

1、125°

2、

3、110°或70°

4、或

5、60°

6、30°

7、相离 d>5

8、2

9、3.83

10、C 11、A 12、C 13、A 14、C

15、D 16、B 17、A 18、C 19、C

20、有两种情况

（1）AB，CD在圆心O的异侧时，距离为7；

（2）AB，CD在圆心O的同侧时，距离为1。

21、（1）连OP，∠OPC+∠APC=90°,AP⊥PO,故AP为⊙O的切线。

（2）设OC=x，则BC=2x，OE=3x，CE=4x，由，得 ,

即 .

又，解得 (舍).故⊙O 的半径OP=OB=3x= .

22、本题有两种情形：

（1）O1，O2在公共弦异侧时，O1O2= ；

（2）O1，O2在公共弦同侧时，O1O2= .

23、，提示：两两外切。

九年级圆基础知识点--(圆讲义)

一对一授课教案 学员姓名：何锦莹年级：9 所授科目：数学 一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心 角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

初三《圆》基础知识复习专题

《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r

外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 图1 图2 图4 图5 B D

圆的知识点总结

圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 ２. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 ３. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （１）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论１可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个:①过圆心；②垂直于弦;③平分弦（不是直径); ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或 两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 ６. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※８. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1)平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心,定长为半径的圆； （2)平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 [例题分析］ 例1. 已知:如图１，在⊙O中，半径OＭ⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ＯN=1，求MN的长; ②若半径ＯＭ=R，∠ＡOB=120°,求ＭＮ的长。 解:①∵ＡB＝,半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON=1,由勾股定理得OＡ=2 ∴MN=OＭ－ON=OA-ON=１ ②∵半径OＭ⊥AB，且∠AOＢ=1２0°∴∠AOＭ＝6０°

圆章节知识点及练习题

圆章节知识点及其练习题 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r

外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 图1 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 图2 图4 图5 B D

六年级上册圆的基础知识和练习

六年级上册圆的基础知识和练习 一、圆的知识梳理 1、圆是由一条_________ 围成的平面图形。（以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条____ 围成的平面图形）（曲线、直线、线段） 2、画圆时，针尖固定的一点是 __ ,通常用字母_表示； 连接圆心和圆上任意一点的线段是 ______ ，通常用字母___ 表示； 通过圆心并且两端都在圆上的线段是 ______ ，通常用字母___ 表示。 在同一个圆里，有___ 条半径和直径。 在同一个圆里,所有半径的长度都_____ ，所有直径的长度都 __ 。（必须有的前提是____________ ） 3、用圆规画圆时,针尖是圆的_______ ，两脚间的距离是圆的 ____ 。 4、在同一个圆里,半径是直径的______ ,直径是半径的_____ 。（d=, ____ r = ____ ） 5、圆是___ 图形，有 __ 条对称轴，对称轴就是直径所在的_____ 。 6圆心决定圆的 ____ ，半径决定圆的__ 。要比较两圆的大小，就是比较两个圆的____ 或 _____ 。 7、正方形里最大的圆。两者联系：边长二_____ ;圆的面积=78.5%正方形的面 积 画法：（1）以 _________ 为圆心，以___ 为直径画圆。 8、长方形里最大的圆。两者联系：宽二 画法：（1）画以 ________ 为圆心，以____ 为直径画圆。 9、同一个圆内的所有线段中,圆的_____ 是最长的。 10、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的______ 。每分前进米数（速度）= x ___ 11、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数,我们把它叫做______ 。用字母—表示。n是一个________________ 小数。我们在 计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。n—3.14（大于、小于或等

圆的基本性质练习题一

圆的基本性质练习 一、看准了再选 1．.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（） A.110° B.70° C.55° D.125° 2．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G且EF⊥CD，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（） A.80° B. 50° C.40° D. 20° 3.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是（） Ａ、相离Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交 4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于（） A.30° B.120° C.150° D.60° 5．如图，⊙O的半径OA=3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交⊙O于B，C?则BC=（）． A．32 B．33 C． 3 2 3 D ． 33 2 6．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）． A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O?与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的圆O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（） A．02 8．如图，AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（） O C F G D E A P B C O

A ．65° B ．115° C ．65°或115° D ．130°或50° 9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等 的角有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）． A ．1：5 B ．2：5 C ．3：5 D ．4：5 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m ，拱高CD=4m ，则拱桥的直径为（ ）． A ．6.5m B ．9m C ．13m D ．15m 二．想好了再规范的写画 12．如图所示，线段AD 过圆心O 交⊙O 于D ，C 两点，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于B ，? 且AB=OC ，求∠A 的度数． O E D C B A 13．如图AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O ，交AC 于D ，OD=2，∠A=30°,求CD 。 14．如图，已知在Rt △ABC 中，AC=12，BC=9，D 是AB 上一点，以O 为圆心，BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 的长。 15．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ， D ， E 在⊙O 上，说明BD=DE C E A D O B · B A C D O

圆的知识点总结史上最全的

A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； - 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点A 在圆外 / 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 dR+r # 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r

D B B A 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； / （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD " 圆心角定理 ~ 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 ~ 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 " BC BD =AC AD =

圆相关知识点复习及练习题

圆相关知识点复习及练习题 一、圆的定义 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 圆的有关概念： 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 （1）、确定一个圆的要素是圆心和半径。 （2）连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 （3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆周的圆弧叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 （4）顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。 （5）圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 （6）经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点；直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。 （7）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。直角三角形内切圆半径r满足：= + +。 c r b a2 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 1、圆的有关性质 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、夹在平行线间的两条弧相等。 （1）定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1（ⅰ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（ⅱ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（ⅲ）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于900。900的圆周角所对的弦是圆的直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（4）切线的判定与性质：判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。（5）定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 （6）圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。 （7）圆内接四边形对角互补，一个外角等于内对角；圆外切四边形对边和相等； （8）弦切角定理：弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角。 （9）和圆有关的比例线段：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 （10）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 （11）两圆相切，连心线过切点；两圆相交，连心线垂直平分公共弦。

圆的相关知识

圆的复习 第一部分知识及方法 一、圆的基本概念 1、圆的基本元素 圆心：圆的中心。 半径：连接圆心和圆上任一点的线叫半径。 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦。 直径：经过圆心的弦叫直径。 弧：圆上任意两点间的部分叫弧。弧分为半圆、优弧和劣弧。 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。 注意：直径是圆最长的弦；同圆或等圆的直径是半径的两倍。 2、 （1）圆是旋转对称图形，圆心是对称中心。 在一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在一个圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。 在一个圆中，相等的弦所对的劣弧相等，所对的圆心角相等。 （2）圆是轴对称图形，任一条过圆心的直线都是它的对称轴。 （3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 提示： 1）圆周可以看作360°的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 2）解决与弦有关的问题时，常常过圆心作弦的垂直线段作为辅助线。半径、弦的一半、弦心距构成一个直角三角形。利用勾股定理和三角函数可以解决与半径长、弦长、弦心距的长以及相关角度等有关计算的问题。 3）经过圆内一点，最长的弦是经过这点的直径，最短的弦是与过这点的直径垂直的弦。 4）圆内两条平行弦所夹的弧相等。 3、 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。 （2）圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°圆周角所对得弦是直径。在一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对得弧也相等。圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。 （3）相关链接：利用“半圆或直径所对圆周角是直角”可以在圆中得到直角三角形，我们可以解决很多与直角三角形有关的问题。圆周角定理、三角形内角和定理及推论、同角的余（补）角相等、平行线的性质定理等，都是与角度有关的定理，把它们进行综合运用，可以实现角度的灵活转换，从而解决很多与角相关的问题。 （4）注意： a．当给出90°圆周角时，弦AB是直径需要说明。 b．同弧所对的圆周角相等，但同弦所对的圆周角不一定相等，因为：一条弦对应着两个圆周角。

《圆》知识点归纳(填空)

第24章《圆》知识点归纳 二.与圆有关的角及相关性质定理 6.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的________________ 所对的______ 相 等，所对的 _______ 相等，所对的弦的_____________ 相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个 _____________ 、两条 __________ 、两条__________ 或两条弦的中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. 8 .垂径定理及其推论 .垂径定理：垂直于_________________________ 这条弦，并且_________________________ 两条弧. 推论1 .知二推三：⑴______________________ ;(2) ____________________ ;(3) ___________________ ; ⑷ __________________ ；5) __________________ . 以上五个条件知二推三.注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径. 三.与圆有关的几种位置关系 (一).点与圆的位置关系 1.点与圆的三种位置关系⑴点在圆外 d r ;⑵点在圆上 d r ;⑶点在圆内 d r. 相关题目：.平面内有一点到圆上的最大距离是6,最小距离是2,求该圆的半径 (二).直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设O O的半径为r，圆心0到直线I的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表:

（三）?切线的性质及判定 1. _______________________________________________ 切线的性质定理：圆的切线垂直于的半径. 推论1: 经过 ________________________________ 必经过切点. 推论2 :经过_________________________________ 必经过圆心.

关于圆的知识点

关于圆的知识点 1、圆是由一条封闭的曲线所组成的图形。 2、圆最中心的一点叫圆心，用字母O表示，圆心决定圆的位置。 3、圆心到圆上任意一点的线段叫圆的半径，用字母r表示，圆有无数条半径，同圆或等圆的半径都相等，半径决定圆的大小。 4、通过圆心并且两端都在圆上的线段叫圆的直径，用字母d来表示，圆有无数条直径，每条直径都是它的对称轴，所以说圆有无数条对称轴。 5、同圆或等圆中，直径等于半径的2倍（或半径等于直径的二分之 1d). 一）用字母表示为：d=2r(r= 2 6、圆一周的长度叫圆的周长，用字母C表示。圆的周长与直径的比值叫圆周率，用字母π表示，π是个无限不循环小数，为了便于计算，通常取值3.14,但我们不能说圆周率π就等于3.14,所以我们可以说圆的周长是它直径的π倍或圆的周长是它直径的3倍多一些,但不能说圆的周长是它直径的3.14倍. 圆周率是个固定不变的数,不管圆有多或多小,它们的周长与直径的比值都是π,所以我们不能说大圆的圆周率就大,小圆的圆周率就小. 7、因为圆的周长始终是它直径的π倍,所以我们只要知道圆的直径就能计算出它的周长.圆的周长就等于圆周率乘直径,用字母表示:C=πd.因为直径等于半径的2倍，所以知道半径先算出直径，也可以算出周

长。用字母表示：C=2πr. 8、圆的面积就是圆所占平面的大小，用字母S表示。通过转换，可以把一个圆拼成一个近似于长方形的图形，圆的半径是长方形的宽，圆周长的一半（πr）是长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，所以圆的面积就等于πr×r=πr2 .用字母表示：S=πr2。 9、圆是所有平面图形中最完美的图形之一，它的完美之处在于：（1）圆是轴对称图形，但它的对称轴有无数条；（2）用同样长的绳子围平面图形，圆的面积最大（等周长的情况下圆的面积最大）。 10、圆环的面积计算方法是大圆的面积减去小圆的面积，用字母表示：S环形=πR2-πr2=π（R2-r2）.

圆的练习题

圆 1、圆的认识 【知识要点】：圆心、半径、直径；同一圆内半径、直径的关系；画圆。 【课内检测】： 1、填写表格： 2、选择填空： （）决定圆的位置，（）决定圆的大小。（A、圆心；B、半径） 3、在下面左边的圆中画出半径、直径，标上相应的字母，再量一量、填一填。 r＝（）厘米 d＝（）厘米 A 4、以上面右边的A点为圆心，画一个直径2厘米的圆。 【课外练习】： 1、判断：①直径8厘米的圆比半径5厘米的圆大。（） ②通过圆心，两端都在圆上的线段叫做半径。（） 2、填空：在同一圆内，半径与直径都有（）条，半径的长度是直径的（），直径与半径的长度比是（）。 3、想方法，找出右边圆的圆心。 （可以查阅资料，也可以请教家长或者老师， 把你知道的方法介绍给其他同学。） 2、圆的周长和面积 练习一 【知识要点】：圆的周长、圆周率、圆的周长计算公式

【课内检测】： 1、判断：直径越大，圆周率越大，直径越小，圆周率越小。（） 2、填空：①一个圆的直径是10厘米，它的周长是（）厘米； ②一个圆的半径是2分米，它的周长是（）分米； 3、计算下面各圆的周长。（单位：分米） 【课外练习】： 1、圆的周长与这个圆的直径的比是（）。 2、圆的半径扩大3倍，直径就扩大（）倍，周长就扩大（）倍。 3、用篱笆围一个半径4米的圆形鸡圈，需要篱笆多少米？ 4、学校有一个圆形花坛，直径5米，这个花坛的周长是多少米？ ☆5、将一个直径2厘米的圆形纸片对折，得到一个半圆形（如下图），求这个半圆的周长。 练习二 【知识要点】：圆的周长公式综合运用 【课内检测】： 1

2、①已知：C＝21.96厘米，求：d？②已知：C＝125.6厘米，求：r ？ 3、大酒店门前有一根圆形柱子，量得它的周长是31.4分米，这根柱子的直径是多少分米？ 【课外练习】： 1、圆的半径与这个圆的周长的比是（）。 2、小圆的半径是2厘米，大圆的直径是8厘米，小圆与大圆的周长比是（）。 3、小明家的圆桌面的周长是376.8厘米，这个圆桌面的直径是多少厘米？ ☆☆4、如下图所示，一个圆的周长是15.7厘米，求长方形的面积。 ☆☆☆5、如下图所示，两个小圆的周长之和与大圆的周长相比，谁长一些？请说明理由。 练习三 【知识要点】：圆的周长公式综合练习 1、口算： 3.14×2＝ 3.14×3＝ 3.14×4＝ 3.14×5＝ 3.14×6＝ 3.14×7＝ 3.14×8＝ 3.14×9＝ 3.14×2.7＝3.14×2＋3.14×0.7＝（）＋（）＝（） 2、判断：①在同一圆中，圆的周长总是直径的3倍多一些。（） ②∏＝3.14。（） ③在同一圆中，半径、直径、周长的比是1：2：∏。（） 3、①r ＝4.5厘米，求：C？②已知：C＝15.7厘米，求：d ？

《圆》知识点归纳及相关题型整理[]

第五章中心对称图形（二） ——知识点归纳以及相关题目总结 一、和圆有关的基本概念 1.圆： 把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4.弦：连接圆上任意两点的线段。 5.直径：经过圆心的弦。 6.弧：圆上任意两点间的部分。 优弧：大于半圆的弧。 劣弧：小于半圆的弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 7.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同） 9.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 10.圆心角：顶点在圆心的角。 11.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。 12.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。 13.正多边形： ①定义：各边相等、各角也相等的多边形 ②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。 14.圆锥： ①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。 ②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。 15.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 16.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 二、和圆有关的重要定理 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 5.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

《圆》知识点归纳(填空)

第24章《圆》知识点归纳 二．与圆有关的角及相关性质定理 6．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的所对的相等，所对的相等，所对的弦的相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个、两条、两条或两条弦的中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 8．垂径定理及其推论 ．垂径定理：垂直于这条弦，并且两条弧． 推论1．知二推三：⑴；⑵；⑶； ⑷；⑸． 以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径． 三．与圆有关的几种位置关系 （一）．点与圆的位置关系 1.点与圆的三种位置关系⑴点在圆外?d r>；⑵点在圆上?d r=；⑶点在圆内?d r<. 相关题目：．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径（二）．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设O ⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：

从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： （三）．切线的性质及判定 1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于的半径． 推论1：经过必经过切点．

推论2：经过必经过圆心． 2. 切线的判定定义法：和圆是圆的切线；距离法：和是圆的切线；定理：经过是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理： ⑴在经过圆外一点的圆的切线上，，叫做这点到圆的切线长． ⑵从圆外一点引圆的两条切线，，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． （四）．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定 设O O 、（其中R r>），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：⊙⊙的半径分别为R r 、 五、圆中计算的相关公式 设O ⊙的半径为R，n?圆心角所对弧长为l， 1.弧长公式： 2. 扇形面积公式： 2.3. 圆柱体表面积公式： 4. 圆锥体表面积公式：

小学圆的有关知识

圆 圆的有关知识 老师寄语:学习了圆的有关知识,同学们,请你们一定要牢记以下内容,你会发现这些内容会给你的学习带来很大帮助!加油吧!牢牢记住 1. 圆中心的一点叫做(圆心),用字母(0)表示,它到圆上任意一点的 距离都(相等） 2.(连接圆心和圆上任意一点的线段)叫做半径,用字母(r)表示 3.(经过圆心,并且两端都在圆上的线段)叫做直径,用字母(d)表示 4.在一个圆里,有(无数)条半径,有(无数)条直径 5.在同一个圆里,所有的(直径)都相等,所有的(半径)都相等 6.在连接圆上任意两点的线段中,(直径)最长 7.(圆心)确定圆的位置,(半径)确定圆的大小 8.圆规两脚间的距离就是圆的(半径) 9. 圆是(轴对称图形),(直径所在的直线)是圆的对称轴,圆有 (无数条)对称轴 10.等边三角形有(3)条对称轴,长方形有(2)条对称轴,正方形有(4) 条对称轱,等腰梯形有(1)条对称轴 11.在同一个圆里,直径的长度是半径的(2倍),半径的长度是直径 的（1/2）

12.因为C=πd 所以C÷d=π也就是圆的周长除以直径的商是一个 （固定的数）。我们把它叫做(圆周率),用字母(π)表示,计算时 通常取(3.14） 13.圆的周长总是直径的(3)倍多一些,这个数是一个(固定的数),把它 叫做(圆周率),用字母(π)表示,所以,圆周率π表示的是(圆的周长)和(直径)之间的倍数关系 14.围成圆的曲线的长叫做圆的(周长),用字母(C)表示 15.圆的周长等于(2兀r),所以半圆周长等于(πr+d),因为半圆比圆周长的一半多了一条直径 16.把一个圆平均分成若干份,能拼成一个近似的(长方形),这个长方形的长相当于圆周长的(一半),宽相当于圆的(半径） 17.用同样长的四根铁丝分别围成一个长方形、一个正方形、一个平行四边形和一个圆,面积最大的是(圆） 18.圆所占(平面的大小)叫做圆的面积 19.有关圆的公式 d=2×r r= d÷2 C=πd=2πr S= 兀×r×r

初中圆知识点及练习题

初中圆知识点及练习题

第三章圆 【课标要求】 （1）认识圆并掌握圆的有关概念和计算 ①知道圆由圆心与半径确定，了解 圆的对称性. ②通过图形直观识别圆的弦、弧、 圆心角等基本元素. ③利用圆的对称性探索弧、弦、圆 心角之间的关系，并会进行简单计算和说 理. ④探索并了解圆周角与圆心角的 关系、直径所对圆周角的特征. ⑤掌握垂径定理及其推论，并能进 行计算和说理. ⑥了解三角形外心、三角形外接圆 和圆内接三角形的概念. ⑦掌握圆内接四边形的性质

（2）点与圆的位置关系 ①能根据点到圆心的距离和半径 的大小关系确定点与圆的位置关系. ②知道“不在同一直线上的三个点 确定一个圆”并会作图. （3）直线与圆的位置关系 ①能根据圆心到直线的距离和半径的大小 关系确定直线与圆的位置关系. ②了解切线的概念. ③能运用切线的性质进行简单计算和说理. ④掌握切线的识别方法. ⑤了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外 切三角形的概念. ⑥能过圆上一点画圆的切线并能利用切线 长定理进行简单的切线计算. （4）圆与圆的位置关系

①了解圆与圆的五种位置关系及 相应的数量关系. ②能根据两圆的圆心距与两圆的 半径之间的数量关系判定两圆的位置关 系. ③掌握两圆公切线的定义并能进 行简单计算 （5）圆中的计算问题 ①掌握弧长的计算公式，由弧长、 半径、圆心角中已知两个量求第三个量. ②掌握求扇形面积的两个计算公 式，并灵活运用. ③了解圆锥的高、母线等概念. ④结合生活中的实例(模型)了解 圆柱、圆锥的侧面展开图. ⑤会求圆柱、圆锥的侧面积、全面 积，并能结合实际问题加以应用.

中考圆知识点经典总结(最新最全)

圆知识点学案 考点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： dr?点P在⊙O外。 考点八、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件） 圆内接四边形对角互补。 考点九、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

圆的基础知识

24.1《圆》教学设计 一、教学目标 知识技能: 1．了解圆和圆的相关概念,知道圆实轴对称图形,理解并掌握垂直于弦的直径有哪些性质. 2．了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系. 数学思考: 1．在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的联系. 2．在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生的观察、总结及概括能力. 问题解决: 1．在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的实际问题.2．能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题. 情感态度：在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中，感悟数学源于生活又服务于生活.在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神. 二、重难点分析 教学重点：垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论． 垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法．所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点． 对于垂径定理，可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性，引导学生去发现“思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理．对于垂径定理的推论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论．要注意让学生区分它们的题设和结论，强调“弦不是直径”的条件． 圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论．第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握． 教学难点：垂径定理及其推论；圆周角定理的证明． 垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点．圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 三、学习者学习特征分析 圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 四、教学过程 （一）创设情境，引入新课 圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见.在小学我们已经认识了圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积. 早在战国时期，《墨经》一书中就有关于“圆”的记载，原文为“圆，一中同长也”.这是给圆下的定义，意思是说圆上各点到圆心的距离都等于半径.