4．4 解直角三角形的应用
[ 第1课时仰角、俯角相关问题
一、选择题
1．如图K－35－1，某工程队沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，且BD＝500米，∠D＝55°，为了使点A，C，E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是( )
图K－35－1
A．500sin55°米 B．500cos35°米
C．500cos55°米 D．500tan55°米
2.如图K－35－2，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)( )
图K－35－2
A．34.14米 B．34.1米
C．35.7米 D．35.74米
3．如图K－35－3，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是( )
图K－35－3
A．60° B．45° C．15° D．90°
4.图K－35－4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是( )
图K－35－4
A．20 3 m B．30 m C．30 3 m D．40 m
二、填空题
5．xx·抚顺如图K－35－5，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米．(结果保留根号)
图K－35－5
6．xx·黄石如图K－35－6所示，为了测量出一垂直于水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角为30°，则建筑物AB的高度约为________米．
(注：测量人员的身高忽略不计，结果按四舍五入保留整数，参考数据：2≈1.41，3
≈1.73)
图K－35－6
三、解答题
7．xx·衡阳衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图K－35－7，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米到达H处，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．(结果精确到0.1米)
图K－35－7
8．xx·镇江如图K－35－8，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一水平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m，求实验楼的垂直高度即CD的长．(精确到1 m参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
图K－35－8
9．xx·莱芜某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.
(1)求甲楼的高度及彩旗的长度(精确到0.01 m)；
(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离(精确到0.01 m)．
(参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
图K－35－9
10．xx·凉山州如图K－35－10，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB 的高应该设计为多少米？(结果保留根号)
图K－35－10
11一题多解在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图K－35－11，△ABC 是表盘，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A 逆时针匀速旋转，每秒旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP 交BC边于点M，BM的长为(20 3－20)cm.
(1)求AB的长；
(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2030秒，交点又在什么位置？请说明理由．
图K－35－11
1．[解析] C ∵∠ABD＝145°，∴∠EBD ＝35°.∵∠D ＝55°，∴∠E ＝90°.在Rt △BED 中，BD ＝500米，∠D ＝55°，∴ED ＝500cos 55°米．故选C .
2．[解析] C 过点B 作BF⊥CD 于点F ，过点B′作B′E⊥BD 于点E ，由题意，得∠DB′F ＝67.5°，∠DBF ＝45°，∴∠BDC ＝45°，∠BDB ′＝∠B ′DC ＝22.5°，∴BE ′＝B′F.∵∠EBB ′＝45°，∠BEB ′＝90°，∴BE ′＝B′F＝22BB′＝10 2，∴DF ＝BB′＋B′F＝20＋10 2，∴DC ＝DF ＋FC ＝20＋10 2＋1.6≈35.7(米)．故选C .
3．[解析] C 在Rt △ACB 中，∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝3 26＝22
，∴∠CAB ＝45°.在Rt △AC ′B ′中，∵sin ∠C ′AB ′＝B′C′AC ＝3 36＝32
，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.故选C .
4．[答案] B 5．[答案] 100 2
[解析] 连接AN.由题意知，BM ⊥AA ′，BA ＝BA′，∴AN ＝A′N，∴∠ANB ＝∠A′NB＝45°.∵∠AMB ＝22.5°，∴∠MAN ＝∠ANB－∠AMB＝22.5°＝∠AMN，∴AN ＝MN ＝200米．在
Rt △ABN 中，∠ANB ＝45°，∴AB ＝
22AN ＝100 2(米)．故答案为100 2. 6．[答案] 137
[解析] 设AB ＝x 米，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x 米，则BD ＝BC ＋CD
＝(x ＋100)米．在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝30°，∴tan ∠ADB ＝AB BD ＝33，即x x ＋100＝33
，解得x ＝50＋50 3≈137，即建筑物AB 的高度约为137米．故答案为137.
7．解：如图，由题意得∠CAB＝30°，∠CBD ＝60°，DF ＝AE ＝1.5米．∵∠CBD＝∠CAB ＋∠ACB，∴∠ACB ＝∠CAB＝30°，∴AB ＝BC ＝10.4米．在Rt △CBD 中，CD ＝BC·sin 60°＝10.4×32
≈9.0(米)，∴来雁塔的高度＝CD ＋DF ≈9.0＋1.5＝10.5(米)． 答：来雁塔的高变约为10.5米．
8．解：过点A 作AE⊥CD 于点E ，∵AB ＝15 m ，∴DE ＝AB ＝15 m ．∵∠DAE ＝45°，∴
AE ＝DE ＝15 m ．在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CE AE
，则CE ＝AE·tan 37°≈15×0.75≈11(m )，∴CD ＝CE ＋DE≈11＋15＝26(m )．
答：实验楼的垂直高度即CD 的长约为26 m .
9．解：(1)在Rt △ABE 中，BE ＝AB·tan 31°＝31×tan 31°≈18.60(m )，AE ＝
AB cos 31°
＝31cos 31°
≈36.05(m )，则甲楼的高度为18.60 m ，彩旗的长度为36.05 m . (2)过点F 作FM⊥GD，交GD 于点M.在Rt △GMF 中，GM ＝FM·tan 19°.在Rt △GDC 中，DG ＝CD·tan 40°.设甲、乙两楼之间的距离为x m ，则FM ＝CD ＝x m ，根据题意，得x tan 40°－x tan 19°＝18.60，解得x≈37.20，则DG ＝37.20×tan 40°≈31.25(m )．答：乙楼的高度为31.25 m ，甲、乙两楼之间的距离为37.20 m .
10．解：如图，延长OC ，AB 交于点P.∵∠ABC＝120°，∴∠PBC ＝60°.∵∠OCB ＝∠A
＝90°，∴∠BCP ＝90°，∴∠P ＝30°.∵AD ＝20米，∴OA ＝12
AD ＝10米，∵BC ＝2米，∴在Rt △CPB 中，PC ＝BC·tan 60°＝23米，PB ＝2BC ＝4米．在Rt △AOP 中，∵∠P ＝30°，∠A ＝90°，∴PA ＝OA tan 30°＝10 3米，∴AB ＝PA －PB ＝(10 3－4)米． 答：路灯的灯柱AB 的高应该设计为(10 3－4)米．
11解：(1)如图①，过点A 作AD⊥BC，垂足为D.
∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C＝30°.令AB ＝2t cm .在Rt △ABD 中，AD ＝12
AB ＝t ，BD ＝32AB ＝3t. 在Rt △AMD 中，∵∠AMD ＝∠ABC＋∠BAM＝45°，∴MD ＝AD ＝t.
∵BM＝BD －MD ，即3t －t ＝20 3－20.解得t ＝20，∴AB ＝2×20＝40(cm )．
答：AB 的长为40 cm .
(2)如图②，当光线旋转6秒，设AP 交BC 于点N ，此时∠BAN＝15°×6＝90°.
在Rt △ABN 中，BN ＝
AB cos 30°＝4032
＝80 33(cm )，∴光线AP 旋转6秒，与BC 的交点N 距点B 80 33
cm .如图③，设光线AP 旋转2030秒后光线与BC 的交点为Q.由题意可知，光线从边AB 开始旋转到第一次回到AB 处需8×2＝16(秒)，而2030＝126×16＋14，即AP 旋转2030秒与旋转14秒时和BC 边的交点是同一个点Q.旋转14 s 的过程是B→C：8 s ，C →Q ：
6 s ，∴CQ ＝BN ＝80 33 cm .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴BC ＝2·AB·cos 30°＝2×40×32
＝40 3(cm )，∴BQ ＝BC －CQ ＝40 3－80 33＝40 33
(cm )，∴光线AP 旋转xx 秒，与BC 的交点Q 在距点B 40 33 cm 处．
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