高考数学专题七：排列、组合、二项式定理
一、高考考试说明
计数原理
（１）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
（２）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
（３）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
（４）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
二、核心知识点归纳：
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
１．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第１类方案中有m种不同的方法，在第２类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同方法．
２．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第１步有m种不同的方法，做第２步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
注意：
１．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
２．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
二、排列与组合
１．排列与排列数
（１）排列：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个排列．
（２）排列数：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作A错误!.
２．组合与组合数
（１）组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
（２）组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C错误!.
３．排列数、组合数的公式及性质
注意：
１．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
２．计算A错误!时易错算为n（n—１）（n—２）…（n—m）．
３．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．
４．排列问题与组合问题的识别方法：
!转化为计算C错误!.二是列等式，由C错误!＝C错误!可得x＝y或x＋y＝n.性质（３）主要用于恒等变形简化运算．
三、二项式定理
１．二项式定理
（１）定理：公式（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n—１b＋…＋C错误!a n—k b k＋…＋C错误!b n（n∈N*）叫做二项式定理．
（２）通项：T k＋１＝C错误!a n—k b k为展开式的第k＋１项．
２．二项式系数与项的系数
（１）二项式系数：二项展开式中各项的系数C错误!（k∈{0,１，…，n}）叫做二项式系数．
（２）项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．３．二项式系数的性质
４．各二项式系数的和
（a＋b）n的展开式的各个二项式系数的和等于２n，即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＋…＋C错误!＝２n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝２n—１.
注意
１．二项式的通项易误认为是第k项实质上是第k＋１项．
２．（a＋b）n与（b＋a）n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．
３．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C错误!（k＝0,１，…，n）．
三、典型例题讲解：
一、计数原理
考点一：分类加法计数原理
１．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有（）
Ａ．５0个Ｂ．４５个
Ｃ．３6个Ｄ．３５个
解析：选C 利用分类加法计数原理：8＋7＋6＋５＋４＋３＋２＋１＝３6（个）．
２．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有（）
Ａ．３0种Ｂ．３１种
Ｃ．３５种Ｄ．４0种
解析：选B 分类：第一类，两人拿对：２×C错误!＝２0种；第二类，三人拿对：C错误!＝１0种；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有１种．故共有２0＋１0＋１＝３１种．
３．（２0１３·三门峡模拟）有４位教师在同一年级的４个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（）
Ａ．8种Ｂ．9种
Ｃ．１0种Ｄ．１１种
解析：选B 设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有３种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有３种不同方法，由分类加法计数原理共有３＋３＋３＝9（种）．
考点二：分布乘法计数原理
[典例]
（２0１４·本溪模拟）如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC
-A１B１C１组合而成，现用３种不同颜色对这个几何体的表面染色（底面A１B１C１不涂色），
要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．
[解析] 先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C错误!×C错误!×C错误!×C错误!＝３×２×１×２＝１２种不同的涂法．
[答案] １２
[针对训练]
在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）
Ａ．２４种Ｂ．４8种
Ｃ．96种Ｄ．１４４种
解析：选C 第一步安排A有２种方法；第二步在剩余的５个位置选取相邻的两个排B，C，有４种排法，而B，C位置互换有２种方法；第三步安排剩余的３个程序，有A错误!种排法，共有２×４×２×A错误!＝96种．
考点三：两个原理的综合应用
[典例] （２0１４·黄冈质检）设集合I＝{１,２,３,４,５}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有（）
Ａ．５0种Ｂ．４9种
Ｃ．４8种Ｄ．４7种
[解析] 从５个元素中选出２个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C错误!＝１0种选择方法；从５个元素中选出３个元素，有C错误!＝１0种选择方法，再把这３个元素从小到大排列，中间有２个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是２，故此时有１0×２＝２0种选择方法；
从５个元素中选出４个元素，有C错误!＝５种选择方法，从小到大排列，中间有３个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是３，故此时有５×３＝１５种选择方法；从５个元素中选出５个元素，有C错误!＝１种选择方法，同理隔开方法有４种，故此时有１×４＝４种选择方法．根据分类加法计数原理，总计为１0＋２0＋１５＋４＝４9种选择方法．故选Ｂ．
[答案] B
本例中条件若变为“A＝{１,２,３,４}，B＝{５,6,7}，C＝{8,9}现从中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合”，则可以组成多少个集合？
解：（１）选集合A，B，有C错误!C错误!＝１２；
（２）选集合A，C，有C错误!C错误!＝8；
（３）选集合B，C，有C错误!C错误!＝6；
故可以组成１２＋8＋6＝２6个集合．
[针对训练]
上海某区政府召集５家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有２人到会，其余４家企业各有１人到会，会上推选３人发言，则这３人来自３家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若３人中有一人来自甲企业，则共有C错误!C错误!种情况，若３人中没有甲企业的，则共有C错误!种情况，由分类加法计数原理可得，这３人来自３家不同企业的可能情况共有C错误!C错误!＋C 错误!＝１6（种）．
答案：１6
二、排列组合
考点一：排列问题
１．数列{a n}共有六项，其中四项为１，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{a n}共有（）Ａ．３0个Ｂ．３１个
Ｃ．60个Ｄ．6１个
解析：选A 在数列的六项中，只要考虑两个非１的项的位置，即得不同数列，共有A错误!＝３0个不同的数列．
２．（２0１３·东北三校联考）在数字１,２,３与符号“＋”，“—”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有（）
Ａ．6种Ｂ．１２种
Ｃ．１8种Ｄ．２４种
解析：选B 本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“＋”，“—”，有A错误!种排列方法，此时两个符号中间与两端共有３个空位，把数字１,２,３“插空”，有A错误!种排列方法，因此满足题目要求的排列方法共有A错误!A错误!＝１２种．
３．（２0１３·西安检测）8名游泳运动员参加男子１00米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为１,２,３,４,５,6,7,8的8条泳道，若指定的３名运动员所在的泳道编号必须是３个连续数字（如：５,6,7），则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有（）
Ａ．３60种Ｂ．４３２0种
Ｃ．7２0种Ｄ．２１60种
解析：选B 法一：先从8个数字中取出３个连续的数字共有6种方法，将指定的３名运动员安排在这３个编号的泳道上，剩下的５名运动员安排在其他编号的５条泳道上，共有6A错误!A错误!＝４３２0种安排方式．
法二：先将所在的泳道编号是３个连续数字的３名运动员全排列，有A错误!种排法，然后把他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余５名运动员全排列，有A错误!种排法，故共有A错误!A错误!＝４３２0种安排方式．
[类题通法]
求解排列应用题的主要方法
考点二：组合问题
[典例] （２0１３·重庆高考）从３名骨科、４名脑外科和５名内科医生中选派５人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有１人的选派方法种数是________（用数字作答）．[解析] 直接法分类，３名骨科，内科、脑外科各１名；３名脑外科，骨科、内科各１名；３名内科，骨科、脑外科各１名；内科、脑外科各２名，骨科１名；骨科、内科各２名，脑外科１名；骨科、脑外科各２名，内科１名．所以选派种数为C错误!·C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!·C 错误!＋C错误!·C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!·C错误!＝５90．[答案] ５90
[针对训练]
（２0１３·四平质检）从５名男医生、４名女医生中选３名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）
Ａ．70种Ｂ．80种
Ｃ．１00种Ｄ．１４0种
解析：选A 法一（间接法）：当选择的３名医生都是男医生或都是女医生时，共有C错误!＋C错误!＝１４种组队方案．当从9名医生中选择３名医生时，共有C错误!＝8４种组队方案，所以男、女医生都有的组队方案共有8４—１４＝70种．
法二（直接法）：当小分队中有１名女医生时，有C错误!C错误!＝４0种组队方案；当小分队中有２名女医生时，有C错误!C错误!＝３0种组队方案，故共有70种不同的组队方案．
考点三：分组分配问题
角度一整体均分问题
１．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到３所学校去任教，有________种不同的分派方法．
解析：先把6个毕业生平均分成３组，有错误!种方法，再将３组毕业生分到３所学校，有A错误!＝
6种方法，故6个毕业生平均分到３所学校，共有错误!·A错误!＝90种分派方法．
答案：90
角度二部分均分问题
２．将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁４个人，每人至少１本的不同分法共有________种．（用数字作答）
解析：把6本不同的书分成４组，每组至少１本的分法有２种．
１有１组３本，其余３组每组１本，不同的分法共有错误!＝２0种；
２有２组每组２本，其余２组每组１本，不同的分法共有错误!·错误!＝４５种．
所以不同的分组方法共有２0＋４５＝6５种．
然后把分好的４组书分给４个人，所以不同的分法共有6５×A错误!＝１５60种．
答案：１５60
角度三不等分问题
３．将6名教师分到３所中学任教，一所１名，一所２名，一所３名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：
第１步，在6名教师中任取１名作为一组，有C错误!种取法；
第２步，在余下的５名教师中任取２名作为一组，有C错误!种取法；
第３步，余下的３名教师作为一组，有C错误!种取法．
根据分步乘法计数原理，共有C错误!C错误!C错误!＝60种取法．
再将这３组教师分配到３所中学，有A错误!＝6种分法，
故共有60×6＝３60种不同的分法．
答案：３60
二、二项式定理
考点一二项式的特定项或特定项的系数
１．（２0１３·江西高考）错误!５展开式中的常数项为（）
Ａ．80 Ｂ．—80
Ｃ．４0 Ｄ．—４0
解析：选C T r＋１＝C错误!·（x２）５—r·错误!r＝C错误!·（—２）r·x１0—５r，令１0—５r＝0，得r＝２，
故常数项为C错误!×（—２）２＝４0．
２．（２0１４·浙江五校联考）在错误!５的展开式中x的系数为（）
Ａ．５Ｂ．１0
Ｃ．２0 Ｄ．４0
解析：选B ∵T r＋１＝C错误!（x２）５—r错误!r＝C错误!x１0—３r，∴x的系数为C错误!＝１0，故选Ｂ．３．（２0１３·安徽高考）若错误!8的展开式中x４的系数为7，则实数a＝________.
解析：二项式错误!8展开式的通项为T r＋１＝C错误!a r x
4
8
3
r
－
，令8—错误!r＝４，可得r＝３，故C错误!
a３＝7，易得a＝错误!.
答案：错误!
[类题通法]
求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数r＋１，代回通项公式即可．
考点二二项式系数和各项系数和问题
[典例] （１）（２0１４·北京西城一模）若错误!m的展开式中二项式系数之和为１２8，则展开式中错误!的系数是（）
Ａ．２１Ｂ．—２１
Ｃ．7 Ｄ．—7
（２）（２0１３·成都诊断）若（１—２x）４＝a0＋a１x＋a２x２＋a３x３＋a４x４，则a１＋a２＋a３＋a ４
＝________.
[解析] （１）∵２m＝１２8，∴m＝7，∴展开式的通项T r＋１＝C错误!（３x）7—r·错误!r＝C错误!３
7—r（—１）r x
5
7
3
r
－
，令7—错误!r＝—３，解得r＝6，∴错误!的系数为C错误!３7—6（—１）6＝２１，
故选Ａ．
（２）令x＝１可得a0＋a１＋a２＋a３＋a４＝１，令x＝0，可得a0＝１，所以a１＋a２＋a３＋a４＝0．[答案] （１）A （２）0
在本例（２）中条件不变，问题变为“求|a0|＋|a１|＋|a２|＋|a３|＋|a４|的值”.
解：由题意知（１＋２x）４＝a0＋|a１|x＋|a２|x２＋|a３|x３＋|a４|x４，令x＝１得a0＋|a１|＋|a２|＋|a３
|＋|a４|＝３４＝8１．
[针对训练]
若（１—２x）２0１３＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a２0１３x２0１３，则错误!＋错误!＋…＋错误!＝________.
解析：当x＝0时，左边＝１，右边＝a0，∴a0＝１．
当x＝错误!时，左边＝0，右边＝a0＋错误!＋错误!＋…＋错误!，
∴0＝１＋错误!＋错误!＋…＋错误!.
即错误!＋错误!＋…＋错误!＝—１
答案：—１
考点三多项式展开式中的特定项（系数问题）
在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：１几个多项式和的展开式中的特定项系数问题；
２几个多项式积的展开式中的特定项系数问题；
３三项展开式中的特定项系数问题.
角度一几个多项式和的展开式中的特定项问题
１．错误!４＋错误!8的展开式中的常数项为（）
Ａ．３２Ｂ．３４
Ｃ．３6 Ｄ．３8
解析：选D 错误!４的展开式的通项为T m＋１＝C错误!（x３）４—m·错误!m＝C错误!（—２）m x１２—４m，令１２—４m＝0，解得m＝３，错误!8的展开式的通项为T n＋１＝C错误!x8—n错误!n＝C错误!x8—２n，令8—２n＝0，解得n＝４，所以所求常数项为C错误!（—２）３＋C错误!＝３8．角度二几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题
２．（２0１３·全国课标卷Ⅱ）已知（１＋ɑx）（１＋x）５的展开式中x２的系数为５，则ɑ＝（）Ａ．—４Ｂ．—３
Ｃ．—２Ｄ．—１
解析：选D 展开式中含x２的系数为C错误!＋a C错误!＝５，解得a＝—１，故选Ｄ．
角度三三项展开式中特定项（系数）问题
３．错误!５的展开式中的常数项为________．（用数字作答）
解析：原式＝错误!５＝错误!·[错误!２]５＝错误!错误!１0.
求原式的展开式中的常数项，转化为求错误!１0的展开式中含x ５项的系数，即C 错误!·错误!５. 所以所求的常数项为错误!＝错误!.
答案：错误!
四、近年新课标高考试题
１、（１0．）（x ２+x+y ）５的展开式中，x ５y ２的系数为（ ） Ａ．
１0 Ｂ． ２0
Ｃ．
３0 Ｄ． 60 解：（x ２+x+y ）５的展开式的通项为T r+１=，
令r=２，则（x ２+x ）３的通项为=
，
令6—k=５，则k=１，
∴（x ２+x+y ）５的展开式中，x ５y ２的系数为=３0．
故选：Ｃ．
２、（５）.４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）
A .18
B .38
C .58
D .78
选D
3、（１３）8
()()x y x y -+的展开式中2
2
x y 的系数为 .（用数字填写答案） 答案：—２0
４、（２0１３课标全国Ⅰ，理9）设m 为正整数，（x ＋y ）２m 展开式的二项式系数的最大值为a ，（x ＋y ）
２m ＋１展开式的二项式系数的最大值为
b .若１３a ＝7b ，则m ＝（ ）．
Ａ．５ Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ．8 答案：B
解析：由题意可知，a ＝2C m
m ，b ＝21C m
m +，又∵１３a ＝7b ，∴2!21!
13=7!!!1!
m m m m m m ()(+)?
?(+)， 即
1321
71
m m +=
+.解得m ＝6．故选Ｂ． ５、２．
将２名教师，４名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组
由一名教师和２名学生组成，不同的安排方案共有
Ａ． １２种 Ｂ． １0种 Ｃ． 9种 Ｄ． 8种
【解析】选A.
只需选定安排到甲地的１名教师２名学生即可，共1
2
24C C 种安排方案.
6、（１５．
作，则部件正常工作.设三个电子元件的
使用寿命（单位：小时）服从正态分布
)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，
那么该部件的使用寿命超过１000小时的概率为 . 【解析】
3
8
. 由已知可得，三个电子元件使用寿命超过１000小时的概率均为2113
11228
????--?=?? ???????，所以该部件
的使用寿命超过１000小时的概率为2113
11228
????--?=?? ???????.
7、（（４））有３个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3
4
解析;每个同学参加的情形都有３种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有３种，所求的概率为p=
31
93
=选A 8、（（8））5
12a x x x x ?
???+- ????
???的展开式中各项系数的和为２，则该展开式中常数项为
（A ）—４0 （B ）—２0 （C ）２0 （D ）４0 解析１.令x=１得a=１．故原式=
511()(2)x x x x +-。5
11
()(2)x x x x
+-的通项
521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由５—２r=１得r=２,对应的常数项=80，由５—
２r=—１得r=３,对应的常数项=—４0，故所求的常数项为４0 ，选D
解析２．用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第１个括号提出x,从余下的５个括号中选２个提出x ，选３个提出1x ；若第１个括号提出1x ，从余下的括号中选２个提出1
x
，选３个提出x.
故常数项=223
3223
35
353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X
??-+?-?=—４0+80=４0