2013年数学高考试题汇编-----函数与基本初等函数
一. 选择题
1、全国新课标(Ⅰ) （理）已知函数f (x )＝ ?
????
－x 2＋2x x ≤0
ln(x ＋1) x ＞0，若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是(D )
A 、（－∞，0]
B 、（－∞，1]
C 、[－2，1]
D 、[－2，0]
2.全国新课标(Ⅰ) （文）（9）函数f (x )=(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( C )
π
π
O
1
y x
π
π
O
1
y x
π
π
O
1
y x
π
π
O
1
y x
A B C D
3.全国新课标(Ⅰ) （文）（12）已知函数f (x )＝?
????
－x 2
＋2x x ≤0
ln(x ＋1) x ＞0，若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( D)
（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] (C)[－2，1] (D)[－2，0]
4. 新课标Ⅱ卷 (理)（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是（ Ｃ ）
（A ）?x α∈R,f(x α)=0
（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形
（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减
（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =
5. 新课标Ⅱ卷 (文)（11）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是（ C ） （A ）
（B ）函数y=f （x ）的图像是中心对称图形
（C ）若x0是f （x ）的极小值点，则f （x ）在区间（-∞，x0）单调递减 （D ）若x0是f(x)的极值点，则f ’（ x0）=0
6.北京（理）函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex 关于y 轴对称，则f(x)= ( D )
A.1
e
x + B. 1e x - C. 1e x -+ D. 1
e x --
7.北京（文）（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ C ）
（A ）y= 错误！未找到引用源。
(B)y=e -x （C ）y=-x 2+1 (D)y=lg ∣x ∣
8.上海（文）15．函数()()2
11f x x x =-≥的反函数为()1
f x -，则()12f -的值是（ A ）
（A ）3
（B ）3-
（C ）12+
（D ）12-
9.广东（理）2.定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2+1,y=2sinx 中，奇函数的个数是（ C ） A. 4 B.3 C. 2 D.1
10.广东（文）2.函数lg(1)
1
x y x +=-的定义域是（ C ）
A.(1,)-+∞
B.[1,)-+∞
C.(1,1)(1,)-+∞
D. [)1,1(1,)-+∞
11.广西（理）函数21()log (1)f x x
=+（x>0）的反函数1
()f x -=（ A ）
A ．
1(0)21x x >- B ．1
(0)21
x
x ≠- C ．21()x x R -∈ D ．21(0)x x -> 12. 广西理9）若函数2
1()f x x ax x =++在1(,)2
+∞是增函数，则a 的取值范围是（ D ）
A ．[1,0]-
B ．[1,)-+∞
C ．[0,3]
D ．[3,)+∞ 13.广西（文）（6）函数()()()-1
21log 10=f x x f x x ??=+
> ???
的反函数（ A ） （A ）
()1021x x >- （B ）()1021
x
x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x
x -> 14.湖北（理）121210.I ,(),x x z <已知a 为常数，函数f(X)=X(nx-ax)有两个极值点x x 则( D )
121212121
A.f(x )>0,f(x )>=-21
.f(x )<0,f(x )<=-21
.f(x )>0,f(x )<=-21
.f(x )<0,f(x )>=-2B C D 15.湖北（文）5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加
快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 （ C ）
距学校的距离
距学校的距离
距学校的距离
A
B
C
D
时间
时间
时间
时间
O
O
O
O
距学校的距离
16.湖北（文）8．x为实数，[]x表示不超过x的最大整数，则函数()[]
f x x x
=-在R上为（ D ）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数
17.湖北（文）9．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量
分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（ C ）
A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元
18.湖北（文）10．已知函数()(ln)
f x x x ax
=-有两个极值点，则实数a的取值范围是（ B ）
A．(,0)
-∞B．
1
(0,)
2
C．(0,1)D．(0,)
+∞
19.江西（理)2.函数y=x ln（1-x）的定义域为（ D ）
A.(0,1)
B.[0,1)
C.(0,1]
D.[0,1]
20.江西（理）10.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线ι1，ι2之间，ι//ι1，ι与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E,D两点。设弧FG的长为x(0＜x＜π),y=EB+BC+CD，若ι从ι1平行移动到ι2，则函数y=f(x)的图像大致是( D )
21.江西（文）10.如图。已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤x≤1，
单位：s ）的函数y=f （t ）的图像大致为( B )
22.辽宁（理）（11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设
()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则
A B -=（ B ）
（A ） 16 （B ） 16- （C ） 2216a a -- （D ）2
216a a +-
23.辽宁（理）（12）设函数()()()()()2
2
2,2,0,8
x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（ D ） （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值
24.辽宁（文）（7）已知函数()(
)
()21ln
1931,.lg 2lg 2f x x x f f ??
=+-++= ???
则（ D ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
25.辽宁（文）（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设
()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 的最大值为B ,则A B -=（ C ）
（A ）2
216a a -- （B ）2
216a a +- （C ）16- （D ）16
26.四川（理）5．函数()2sin(),(0,)2
2
f x x π
π
ω?ω?=+>-
<<
的部分图象
如图所示，则,ω?的值分别是（ A ） （A ）2,3
π
-
（B ）2,6
π
-
（C ）4,6
π
-
（D ）4,
3
π
27.四川（理）7．函数3
31
x x y =-的图象大致是（ C ）
28.四川（理）10．设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ A ）
（A ）[1,]e （B ）1[,-11]e -， （C ）[1,1]e + （D ）1[-1,1]e e -+
29.四川（文）6、函数()2sin()(
0,)2
2
f x x π
π
ω?ω?=+>-<<
的部分图象如
图所示，则,ω?的值分别是（ A ） （A ）2,3
π
-
（B ）2,6
π
-
（C ）4,6
π
- （D ）4,
3
π
30.四川（文）10、设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）。若存在[0,1]b ∈使
(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（ A ）
（A ）[1,]e （B ）[1,1]e + （C ）[,1]e e + （D ）[0,1]
31.浙江（理）已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k
x
，则( A )
A. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值
B. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值
C. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值
11π
12
5π12
2
-2
O
D. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值
32.重庆（理）6、若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间（ A ）
（A ）(,)a b 和(,)b c 内 （B ）(,)a -∞和(,)a b 内 （C ）(,)b c 和(,)c +∞内 （D ）(,)a -∞和(,)c +∞内 33.重庆（文）（3）函数21
log (2)
y x =
-的定义域为 （ c ）
（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）(2,3)(3,)+∞ （D ）(2,4)(4,)
+∞
34重庆（文）已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg2))
f =（ c ）
（A ）5- （B ）1- （C ）3 （D ）4
35.安徽（理）（8）函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得
1212()
()()==,n n
f x f x f x x x x 则n 的取值范围是（ B ） （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4（C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3
36.安徽（理）（10）若函数3
()=+ax+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程
213(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是（ A ）
（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6
37.安徽（文）(8) 函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数
12,,,n x x x ，使得
1212()()()
n n
f x f x f x x x x ===
，则n 的取值范围为( B ) (A) {}2,3 (B) {}
2,3,4
(C) {}3,4 (D) {}3,4,5
38.安徽（文）（10）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x
的方程 23(())2()0
f x a f x b +
+=的不同实根个数为( A ) （A ）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
39.福建（理）8. 设函数)(x f 的定义域为R ，()000≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论 一定正确的是（ D ）
A. )()(,0x f x f R x ≤∈?
B.0x -是)-(x f 的极小值点
C. 0x -是)(-x f 的极小值点
D.0x -是)-(-x f 的极小值点
40.福建（理）（10. 设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：
)(i {}S x x f T ∈=)(；)(ii 对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，那么称这两个集合
“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ D ）
A. N B N A ==*,
B. {}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或
C. {}R B x x A =<<=,10
D. Q B Z A ==,
41.福建（文）5．函数()()2ln 1f x x =+的图像大致是( A )
42.湖南（理）5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ B ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
43.湖南(文）6.函数f （x ）=㏑x 的图像与函数g （x ）=x 2-4x+4的图像的交点个数为（ C ）
A.0
B.1
C.2
D.3
44.陕西（理）8. 设函数6
1,00.,
(),
x x f x x x x ???
-
-≥???
? , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ A ） (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15
45.天津（理）(7) 函数0.5
()2|l o g |1x
f x x =-的零点个数为( B ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 46.天津（理）(8) 已知函数()(1||)f x x ax =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ??
-?????
, 则实数a 的取值范围是( A )
(A) 15,02??
- ? ???
(B) 13,02??
- ? ??? (C)
15,02130,2??
+?? ? ???- ? ????
(D) 52,1??
-- ? ??
∞? 二．填空题
1.全国新课标(Ⅰ) （理）若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是___16___.
2.北京（文）(13)函数f （x ）=12
log ,12,1
x x x x ≥????
3.上海（理）12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2
()97a f x x x
=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为87
a ≤-
4.上海（理）14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的
函数()y f x =有反函数1
()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解
0x ，则0_____x = 2
5.江西（理） 13．设函数f(x)在（0，+∞）内可导，且f(e x )=x+e x ，则f ’（1）=_____2_____.
6.四川（理）14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2
()4f x x x =-，那么，不等式
(2)5f x +<的解集是_（-7,3）__．
7.四川（文）11、lg 5lg 20+的值是______1______。
8.四川（文）13、已知函数()4(0,0)a
f x x x a x
=+
>>在3x =时取得最小值，则a =__36_____。 9.安徽（文）（11） 函数2
1
ln(1)1y x x
=++-的定义域为(]0,1.
10.安徽（文）（14）定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时。()(1)f x x x =-，
则当10x -≤≤时，()f x =(1)
()2
x x f x +=-
. 11.湖南（理）16．设函数(),0,0.x x x f x a b c c a c b =+->>>>其中
（1）记集合{}(,,),,M a b c a b c a =不能构成一个三角形的三条边长，且=b ，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为__﹛x |0＜x ≤1﹜__。
（2）若,,a b c ABC ?是的三条边长，则下列结论正确的是 ①②③ .（写出所有正
确结论的序号）
①()(),1,0;x f x ?∈-∞>
②,,,x x x x R xa b c ?∈使不能构成一个三角形的三条边长； ③若()()1,2,0.ABC x f x ??∈=为钝角三角形，则使
12.福建（文）13.已知函数()32,0,
4tan ,0,
2
x x f x f f x x ππ?
??==? ? ?-≤≤??????则 -2 .
13.江苏 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2
-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞ .
解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2
()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.全国新课标(Ⅰ) （理）（21）（本小题满分共12分）
已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2 （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值
（Ⅱ）若x ≥－2时，f (x )≤kgf (x )，求k 的取值范围。 【答案】（1）由已知得11(0)2,(0)2,(0)4,(0) 4.f g f g -===
111()2,()(),x x a g x e ex d c =+=++而 f 故
2,2,4,4
b d a d
c ===+= 4,2,2,2a b c
d ====从而
（2）令()()()F x kg x f x =-，则'()(1)(24)x F x ke x =-+，由题设可得(0)0F ≥，故1k ≥，令
'()0F x =得12ln ,2x k x =-=-，
（1）若21k e ≤<，则20k -<<，从而当1(2,)x x ∈-时，'()0F x <，当1(,)x x ∈+∞时'()0F x >，即()F x ，在(2,)-+∞上最小值为2111111()2242(2)0F x x x x x x =+---=-+≥， 此时f (x )≤kg (x )恒成立；
（2）若2k e =，'2()(1)(24)0x F x e x +=-+≥，故()F x 在(2,)-+∞上单调递增， 因为()0F x ≥所以f (x )≤kg (x )恒成立
（3）若2k e >，则2(2)220F ke --=-+<，故f (x )≤kg (x )不恒成立；
综上所述k 的取值范围为2
1,e ????.
2.全国新课标(Ⅰ) （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g(x )=x +
3. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式f (x )＜g(x )的解集；
（Ⅱ）设a ＞－1，且当x ∈[－错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。)时，f (x )≤g(x )，求a 的取值范围. 【答案】
当2a =-时，令212230x x x -+---＜，设函数212230y x x x =-+---＜，则
y=15,212,1236,1x x x x x x ?
-≤??
?
--≤≤??
->???
做出函数图像可知，当(0,2)x ∈时，0y <，故原不等式的解集为}{
02x x <<；
（2）依题意，原不等式化为13a x +≤+，故2x a ≥-对1,22a ??
-????
都成立，
故22a a -
≥-，故43a ≤，故a 的取值范围是41,3?
?- ??
?. 3.全国新课标(Ⅰ) （文）（20）（本小题满分共12分）
已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点（0，f (0)）处切线方程为y ＝4x +4 （Ⅰ）求a ，b 的值
（Ⅱ）讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值
12120()()2 4.(0)4,(0)4,4,8,4;
f x e ax a b x f f b a b a b =++--===+===（）解：
（I ）由已知得故从而 (II) 由（I ）知，2)4(1)4,x f x e x x x =+--（
11
()4(2)244(2)().2
x x f x e x x x e =+--=+-
令1()0=-1n2x=-2.f x x =得，或
从而当1
1(,2)(10;(22,),12))()x n f x x n f x >∈--+∞-∈-∞- 当时，（时，<0.
故()--2-12+-2-12f x n n ∞∞在（，），（，）单调递增，在（，）单调递减. 当2=-2-2=41-)x f x f e -时，函数（）取得极大值，极大值为（）（.
4.新课标Ⅱ卷 (理)（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=e x -ln(x+m)
(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m ,并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m ≤2时，证明f(x)>0 【解析】(Ι)因为'1
()x f x e x m
=-
+, x=0是f(x)的极值点，
所以'1
(0)10f m
=-
=,解得1m =， 所以函数f(x)=x e -ln(x+1)，其定义域为(1,)-+∞，
因为'
1()1x
f x e x =-+=(1)1
1
x e x x +-+，
设()(1)1x g x e x =+-，则'()(1)0x x g x e x e =++>，所以()g x 在(1,)-+∞上是增函数， 又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0g x >，即'()0f x >； 当10x -<<时，()0g x <，'()0f x <，
所以()f x 在(1,0)-上是减函数；在(0,)+∞，上是增函数。
5.北京（文）（18）（本小题共13分）
已知函数f(x)=x 2+xsin x+cos x.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b 相切，求a 与b 的值。 （Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
解：由2
()sin cos f x x x x x =++，所以()'()2cos f x x x =+.
（Ⅰ）因为曲线()y f x =在点(,())a f a ?处与直线y b =相切， 所以()()'2cos 0f a a a =+=，2
()sin cos f a a a a a b =++=，
解得0,1a b ==.
（Ⅱ）由()'0f x =，得0x =.
()f x 和()'f x 的情况如下：
x
(),0-∞
0 ()0,+∞
()'f x - 0 + ()f x ↘
1
↗
所以函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减 在区间()0,+∞单调递增，()01f =是函数的最小值. 当1b ≤时，曲线()y f x =与直线y b =最多只有一个交点.
当1b >时，()()2
22421421f b f b b b b b b -=≥-->-->，()01f b =<，
所以，存在()()122,0,0,2x b x b ∈-∈，使得()()12f x f x b ==.
由于函数()f x 在区间(),0-∞和()0,+∞均单调，所以1b >时，曲线()y f x =与直线y b =有且仅有两个交点.
综上可知，如果曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是（1，+∞）。
6.上海（理）23．（3 分+6分+9分）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.
（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；
（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由. 【解答】：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，
3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+
（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，
()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+?++-+≥+
即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++
若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；
若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++?++>+显然成立 综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*
n N ∈，1n n a a c +-≥
（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+
故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，
当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=?=--，
此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+ 也满足题意； 综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞?--．
7.广东（理）21.（本小题满分14分） 设函数f （x ）=（x-1）e x -kx 2（k ∈R ）. (1) 当k=1时，求函数f （x ）的单调区间；
(2) 当k ∈（
1
2
,1]时，求函数f （x ）在[0,k]上的最大值M. 解:(1)当1k =时,
()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-
令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:
x (),0-∞
()0,ln 2
ln 2
()ln 2,+∞
()
f x '
+
-
+
()f x
极大值
极小值
右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.
(2)
()()()
1222x x x x
f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,
令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=
-=>,所以()g k 在1,12?? ???
上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()
0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()
ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；
所以()(){}(){}
3
max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---
令()()311k h k k e k =--+,则()()
3k
h k k e k '=-,
令()3k
k e k ?=-,则()330k
k e e ?'=-<-<
所以()k ?在1,12?? ???上递减,而()()1313022e e ?????
??=--< ? ????
?
所以存在01,12x ??∈
???使得()00x ?=,且当01,2k x ??
∈ ???
时,()0k ?>, 当()0,1k x ∈时,()0k ?<, 所以()k ?在01,2x ??
???
上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ??=-+>
?
??
,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12?? ???
上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()3
1k
M k e k =--.
8.广东（文）21．（本小题满分14分） 设函数x kx x x f +-=2
3
)( ()R k ∈．
(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；
(2) 当0 1(),()32 1.k f x x x x f x x x ==-+=-+时，于是 8?=- <0， 1 ,()x R f x ∴?∈>0. （2）1 2 2 ()321,4(3).f x x kx k =-+?=- )a k 当<3-?时，>0，于是1 ()f x =0有两个根2132 k k x --=>k ， 223 3 k k x +-=＜03k k +=＜k -. 当111212(,)(,)()0()()x k x x k f x x x x f x ∈-∈∪时，＞；当时，＜0， 因此函数()f x 在[][][]212,,,k x x k x x -与上增函数，在上为减函数. }{}{ 21min (),(),max (),().m f k f x M f k f x ==-故 12323331111222 22230()2(),()()().(),()2. k x x f x x kx x k k k k k f k f x x x k x x k f k m f k k M f k k k =-=---=--=-=-+====-=--由于＜＜＜＜-k ，所以 ＜＞＞因此 b) 1 2 33()3()0,()-333 k f x x f x ??=-=+ ≥∴??当时，在，上为增函数. 因此(3)3,(3)7 3.m f M f =-=-== c) 当30k -??∈＜＜时，＜0，于是x R,1 ()0f x ＞， ](),.f x k k ?∴-?在上为增函数 3 (),()2.m f k k M f k k k ===-=--因此 9.广西（理）22. （本小题满分12分） 已知函数(1) ()ln(1)1x x f x x x λ+=+- +. （Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值； （Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =+ +++ ，证明：21ln 24n n a a n -+>. 解：（Ⅰ）由已知(0)0f =，2' 2 (12)()(1) x x f x x λλ--=+，' (0)0f =. 若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，' ()0f x >，所以()0f x >. 若12 λ≥，则当0x >时，' ()0f x <，所以当0x >时，()0f x <. 综上，λ的最小值是1 2. （Ⅱ）证明：令1 2 λ=.由（Ⅰ）知，当0x >时，()0f x <， 即 (2) ln(1)22x x x x +>++. 取1 x k = ，则 211ln()2(1)k k k k k ++>+. 于是212111 ()422(1) n n n k n a a n k k -=-+=++∑ 21 21 2(1)n k n k k k -=+= +∑ 21 1 ln n k n k k -=+> ∑ ln 2ln n n =- ln2=. 所以21 ln 24n n a a n -+ >. 10.广西（文）21．（本小题满分12分） 已知函数()32=33 1.f x x ax x +++ （I ）求()2f ;a x =时，讨论的单调性； （II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围 解：（Ⅰ）当-2a =时，()32=-323 1.f x x x x ++ '2()3623f x x x =-+. 令'()0f x =，得，121x = -，221x =+. 当(,21)x ∈-∞-时，' ()0f x >，()f x 在(,21)-∞-是增函数； 当(21,21)x ∈-+时，' ()0f x <，()f x 在(21,21)-+是减函数； 当(21,)x ∈++∞时，' ()0f x >，()f x 在(21,)++∞是增函数； （Ⅱ）由(2)0f ≥得，54 a ≥-. 当5 4 a ≥- ，(2,)x ∈+∞时， '2251 ()3(21)3(1)3()(2)022 f x x ax x x x x =++≥- +=-->， 所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()(2)0f x f ≥≥. 综上，a 的取值范围是5[,)4 -+∞. 11.湖北（理）22.（本小题满分14分） 设n 为正整数，r 为正有理数. （I ）求函数()() ()()1 1111r f x x r x x +=+-+->-的最小值； （II ）证明： () ()2 1 11 11;1 1 r r r r r n n n n n r r ++++--+-<< ++ （III ）设x R ∈，记[]x 为不小于．．．x 的最小整数，例如[][]322π??-???? =2,=4,=-1. 令[]3333818283125,.S S =+++??????+求的值 （参考数据：4 4443 3 3 3 80344.7,81350.5,124618.3,126631.7.====） 解：（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =. 当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数. 故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即 1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立， 故当1x >-且0x ≠时，有 1(1)1(1)r x r x ++>++. ① 在①中，令1x n = （这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n +++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即 11 (1).1 r r r n n n r +++-<+ ② 当1n >时，在①中令1 x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得 11 (1).1 r r r n n n r ++-->+ ③ 且当1n =时，③也成立. 综合②，③得 1111(1)(1).11 r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++ ④ （Ⅲ）在④中，令1 3 r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得 4444 3333333818081(8281)44-<-（）<， 44443333333828182(8382)44-<-（）<， 44443333333838283(8483)44 -<<-（）， ……… 44443333333125124125(126125)44 -<<-（）. 将以上各式相加，并整理得 444433333312580(12681)44 S -<<-（）. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），44 33312681210.94 -≈（）. 由S ????的定义，得211S =????. 12.湖北（文）21．（本小题满分13分） 设0a >，0b >，已知函数()1 ax b f x x += +. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数. （i ）判断(1)f , ( )b f a ,()b f a 是否成等比数列，并证明()()b b f f a a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称 2ab a b +为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞ ， 22 (1)()()(1)(1)a x ax b a b f x x x +-+-'= =++. 当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减. （Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f += >，2()0b ab f a a b =>+，()0b f ab a =>. 故22(1)()[()]2b a b ab b f f ab f a a b a += ?==+, 即 2 (1)()[()]b b f f f a a =. ① 所以(1),(),()b b f f f a a 成等比数列. 因 2a b ab +≥，即(1)()b f f a ≥. 由①得()( )b b f f a a ≤. （ii ）由（i ）知()b f H a =，()b f G a =.故由()H f x G ≤≤，得 ()()()b b f f x f a a ≤≤. ② 当a b =时，()()()b b f f x f a a a ===. 这时，x 的取值范围为(0,)+∞； 当a b >时，01b a <<，从而b b a a < ，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式， 得 b b x a a ≤≤，即x 的取值范围为, b b a a ?? ???? ； 当a b <时，1b a >，从而b b a a > ，由()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式， 得 b b x a a ≤≤，即x 的取值范围为,b b a a ?????? . 13.江西（理）21.（本小题满分14分） 已知函数f （x ）=a （1-2丨x-错误！未找到引用源。丨），a 为常数且a ＞0. （1） 证明：函数f （x ）的图像关于直线x=错误！未找到引用源。对称； （2） 若x 0满足f （f （x 0））= x 0，但f （x 0）≠x 0，则称x 0为函数f （x ）的二阶周期点，如果 f （x ）有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围； （3） 对于（2）中的x 1，x 2，和a ，设x 3为函数f （f （x ））的最大值点，A （x 1，f （f （x 1））），B （x 2，f （f （x 2））），C （x 3，0），记△ABC 的面积为S （a ），讨论S （a ）的单调性。 解：（1）证明：因为11 ()(12),()(12)22 f x a x f x a x +=--=-，有11()()22f x f x +=-， 所以函数()f x 的图像关于直线1 2 x =对称。 （2）解：当102a <<时，有2 24,(())4(1),a x f f x a x ??=?-?? 1,21. 2 x x ≤> 所以(())f f x x =只有一个解0x =，又(0)0f =，故0不是二阶周期点。 当12a =时，有,(())1,x f f x x ?=?-? 1, 21. 2 x x ≤> 所以(())f f x x =有解集1|2x x ??≤??? ?，又当12x ≤时，()f x x =，故1|2x x ? ?≤??? ?中的所有点都不是二阶周期点。 当12a >时，有222221 ,44,11,24,42(())1412(12)4,, 2444,41. 4x a a x x a a x a f f x a a a a x x a a a x a x a ≤ ??<≤-?=?--+?<≤?-? -> 所以(())f f x x =有四个解2 22 2240,,,141214a a a a a a +++，又22(0)0,()1212a a f f a a ==++， 22222244(),()14141414a a a a f f a a a a ≠≠++++，故只有2 22 24,1414a a a a ++是()f x 的二阶周期点。综上所述，所求 精选基本初等函数高考题 一、选择题 1.（10山东文）函数f (x )=log 2(3x +1)的值域为 A .(0,+∞) B. [0,+∞) C. (1,+∞) D. [1,+∞） 2. (13福建文)函数f (x )=ln(x 2+1)的图象大致是 3. (14浙江文)在同一坐标系中，函数f (x )=x a (x ＞0)，g (x )=log a x 的图象可能是 4.（12四川理）函数y =a x – a ( a ＞0，a ≠1)的图象可能是 5.（ 12·四川文）函数y =a x –a ( a ＞0，a ≠1)的图象可能是 6. (14陕西文)下列函数中，满足“f (x +y )=f (x )f (y )”的单调递增函数是 A. f (x )=x 3 B . f (x )=3x C.f (x )1 2x = D.f (x )1 ()2x = 7. (14山东文)已知实数x , y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是 A. x 3＞y 3 B.sin x ＞sin y C.ln(x 2+1)＞ln(y 2+1) D.221 1 11x y >++ 8.(14山东文)已知函数y =log a (x +c )( a , c 为常数，其中a ＞0，a ≠1) 的图象如右图，则下列结论成立的是 A. a ＞0，c ＞1 B. a ＞1, 0＜c ＜1 C. 0＜a ＜1, c ＞1 D.0＜a ＜1, 0＜c ＜1 9. (14安徽文)设a =log 37，b =23.3，c =0.8，则 A. b ＜a ＜c B.c ＜a ＜b C. c ＜b ＜a D. a ＜c ＜b 10. (13新课标II 文)设a =log 32,b =log 52,c =log 23,则 A. a ＞c ＞b B. b ＞c ＞a C. c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b 11.(13新课标Iwl12)已知函数f (x )={ 22,0,ln(1),0, x x x x x -+≤+>，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 A. (–∞,0] B. (–∞,1] C. [–2,1] D .[–2,0] 12．（ 13陕西文）设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 A. log a b ·log c b = log c a B.log a b ·log a a = log a b C. log a (bc )=log a b ·log a c D. log a (b +c )=log a b +log a c 13. (14福建文)若函数y =log a x (a ＞0且a ≠1) 则下列函数正确的是 14．（ 13浙江文）已知a ,b ,c ∈R,函数f (x )=ax 2+bx+c .若f (0)=f (4)＞f (1),则 A . a ＞0,4a +b =0 B.a ＜0,4a +b =0 C.a ＞0,2a +b =0 D.a ＜0,2a +b =0 15.(13天津文)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,+∞)单调递增. 若实数a 满足212 (log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是 A. [1,2] B.1(0,]2 C .[1,22 ] D. (0,2] 16.（13湖南文）函数f (x )=ln x 的图像与函数g (x )=x 2–4x +4的图像的交点个数为 A. 0 B. 1 C.2 D. 3 17.（12·新课标全国文）当0＜x ≤ 12时，4x 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇 数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分 数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫 做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 基本初等函数I 1.(2009年广东卷文)若函数()y f x =是函数1x y a a a =>≠（0，且）的反函数， 且(2)1f =，则()f x = ( ) A ．x 2log B ．x 21 C ．x 2 1log D ．22-x 答案 A 解析 函数1x y a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即 log 21a =, 所以,2a =,故2()log f x x =,选A. 2.（2009北京文）为了得到函数3 lg 10 x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有 点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C 解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的 考查. 3.（2009天津卷文）设3.02 13 1)2 1(,3log ,2log ===c b a ，则 ( ) A a 《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 基本初等函数 1.若函数()y f x =是函数1x y a a a =>≠（0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x = ( ) A ．x 2log B ．x 21 C ．x 2 1log D ．22 -x 答案 A 解析 函数1x y a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =, 所以,2a =,故2()log f x x =,选A. 2.为了得到函数3 lg 10 x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有 点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C 3.设3 .02 13 1) 2 1(,3log ,2log ===c b a ，则 ( ) A a 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． 2．常见幂函数的图象与性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝ 1 2 x ?? ? ?? ；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2； ⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数的个数为() A．1B．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝( ) 22 23 1m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝() 2 223 1m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x － 3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x － 3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α (α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件． 【对点训练】 函数f(x)＝( ) 22 3 1m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的 解析式． 解：根据幂函数的定义得 m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3 在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f(x)＝x 3. 题型二、幂函数的图象 【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α 在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，1 2，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4 的α的值依次为( ) A ．－2，－12，1 2 ，2 B ．2，12，－1 2 ，－2 3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 （2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调 递减， 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? （> 0 ）的最小正周期为π ． 2 ? ? ? （Ⅰ）求的值； 3 3 ) (k 2017-2019高考 函数的概念与基本初等函数分类汇编（试题版） 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 2．【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b << 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a ?b )>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度 满足m 2?m 1=2 1 52lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是?26.7，天狼星的 星等是?1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg10.1 D ．10?10.1 5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3 222x x x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 7．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1 x y a = ，1(2 log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ， 2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++. 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A 2 1 M R M B 2 12M R M C 2 3 1 3M R M D 2 3 1 3M R M 9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则 原创理科数学专题卷 专题 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1．【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 易 函数 2212x x y -+??= ? ?? 的值域是（ ） A.R B.1,2??+∞???? C.()2,+∞ D.()0,+∞ 2. 【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 中难 设函数 ()1221,0,0 x x f x x x -?-≤? =??>? 如果 ()01f x >，则0x 的取值范围是（ ） A. () 1,1- B. ()() 1,01,-+∞U C. ()(),11,-∞-+∞U D.()(),10,1-∞-U 3．【2017课标1，理11】 考点07 难 设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 4．【来源】2016-2017学年黑龙江虎林一中月考 考点08 易 已知函数()()3log 472a f x x =-+（0a >且1a ≠）过定点P ，则P 点坐标（ ） A ．()1,2 B ．7 ,24?? ??? C.()2,2 D ．()3,2 5．【来源】2016-2017学年河北定州中学周练考点08 易 若函数[)[]?? ???∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x ）（ ，则411log 33f f ??? ?=?? ?? ???（ ） A.3 1 B.3 C.4 1 D.4 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P 专题三 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1． 考点07 易 下列各式中成立的一项是( ) A. 7 1 77n n m m ??= ??? B. = ()34 x y =+ =2. 考点07 中难 函数1 1x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A. ()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4 3． 考点07 难 函数2 212x x y -??= ??? 的值域为( ) A. 1,2 ??+∞???? B. 1,2 ??-∞ ?? ? C. 10,2 ?? ?? ? D. [)0,2 4． 考点08 易 已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的 取值范围是( ) A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24) 5．考点08 易 已知2log 0.3a =,0.12b =, 1.30.2c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B.c a b << C. a c b << D. b c a << 6． 考点08中难 函数y = ） A ．(0,8] B ．(2,8]- C ．(2,8] D ．[8,)+∞ 7． 考点08中难 函数212 log (617)y x x =-+的值域是( ) A. R B. [8,)+∞ C. (,3)-∞- D. [)3,+∞ 8．考点07，考点08 易 函数()log (1)x a f x a x =++ (0a >且1a ≠)在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A. 12 B. 14 方法强化练——函数与基本初等函数 (建议用时：75分钟) 一、填空题 1．(2014·珠海模拟)函数y ＝(x ＋1)0 2x ＋1的定义域为______． 解析 由??? x ＋1≠0，2x ＋1＞0，得x ∈? ???? －12，＋∞. 答案 ? ?? ?? －12，＋∞ 2．(2013·金华十校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是________． ①y ＝2|x |；②y ＝lg(x ＋x 2＋1)；③y ＝2x ＋2－x ；④y ＝lg 1 x ＋1 . 解析 根据奇偶性的定义易知①、③为偶函数，②为奇函数，④的定义域为{x |x ＞－1}，不关于原点对称． 答案 ④ 3．(2013·山东省实验中学诊断)已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (2)－f (1)＝________. 解析 设幂函数为f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝ ＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1. 答案 2－1 4．(2014·无锡调研)已知方程2x ＝10－x 的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 设f (x )＝2x ＋x －10，则由f (2)＝－4＜0，f (3)＝1＞0，所以f (x )的零点在(2,3)内． 答案 2 5．(2014·天水调研)函数f (x )＝(x ＋1)ln x 的零点有________个． 解析 函数的定义域为{x |x ＞0}，由f (x )＝(x ＋1)ln x ＝0得，x ＋1＝0或ln x ＝0，即x ＝－1(舍去)或x ＝1，所以函数的零点只有一个． 答案 1 6．(2014·烟台月考)若a ＝log 20.9，b ＝ ，c ＝ ，则a 、b 、c 大小 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一） 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R . （ 1）求函数 y f ( x) 的对称中心； 6 （ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 f ( B 6 ) b c ， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 （1）令 2x k （ k Z ），则 x k （ k Z ）， 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ； 2 12 （2）由 f ( B ) b c ，得 sin( B ) b c ，即 3 sin B 1 cos B b c ， 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c ， 由正弦定理得： 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ， 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ， 又因为 sin B 0 ， 所以 3 sin A cos A 1 ，即 sin( A 1 ， 6 ) 2 由 0 A ，得 A 5 ， 6 6 6 所以 A ，即 A 3 ， 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 ， 所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得 三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．精选基本初等函数高考题(1)
高中数学基本初等函数知识点梳理
高中数学三角函数公式大全全解
基本初等函数历年高考题共23页
高中数学必修1第二章基本初等函数测试题(含答案)人教版
(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)
基本初等函数高考题
高中数学必修1基本初等函数常考题型幂函数
2020高考数学专项复习《三角函数大题压轴题练习》
2017-2019高考 函数的概念与基本初等函数分类汇编(试题版)
2020年高考理科数学原创专题卷：《基本初等函数》
高考数学三角函数公式
高考全国卷三角函数大题训练
高考文科数学专题练习三《基本初等函数》
2015高考数学(文)一轮方法测评练：2-方法强化练——函数与基本初等函数
高中数学三角函数公式大全
(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数(一)(含解析).doc
高考数学-三角函数大题综合训练
相关主题
文本预览