（北京卷）2013年高考数学普通高等学校招生全国统一考试最后一卷 理
（教师版）
本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分
一、选择题共8小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.
1.设集合{}
{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}
20< C ．{}21< D ．{|01}x x << 2.已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是 A.（0,1） B. （1,2） C. （2,3） D. （3,4） 4.已知x ，y 满足不等式组0,0, ,2 4. x y x y s y x ≥??≥?? +≤??+≤?当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是 A ．[6,15] B.[7,15] C.[6,8] D.[7,8] 5.已知a 是实数， i 1i a +-是纯虚数，则a 等于 A ．1- B ． 1 C D ． 6.如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 A B ． C ． 1 D ．2 7.平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，56 AOC π ∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+ ，则λ，μ的值是（ ） A ，1 B ． 1 C ．-1 D ． 1 第二部分 二、填空题:共6小题。. 9.在ABC ?中，若2,60,a B b =∠=?= ，则BC 边上的高等于 ． 10.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为___________（[]x 表示不超过x 的最大整数） 11.将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概 率是__________ 13.在261 (3)x x +的展开式中，常数项为______.(用数字作答) 14.给出定义：若11 < +22 m x m - ≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题： ①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22 - ； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为； ④ 函数=()y f x 在13 (,]22 - 上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ． 三、解答题公6小题，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.已知函数2()cos cos f x x x x a =++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为3 2 ，求a 的值． 16.汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表: A型车 B型车 （I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率； （Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由. 17.在长方体1111ABCD-A B C D 中，12AA =AD=，点E 在棱CD 上，且13 CE=CD ． （Ⅰ）求证：1AD 平面11A B D ； （Ⅱ）在棱1AA 上是否存在点P ，使DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）若二面角11A-B E-A AB 的长． 设AB 的长为x ，则11(0,,0),(2,,0)C x B x ， 20.在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(0)，0)的距离之和等于4，设点P的 E-且与曲线C交于A，B两点． 轨迹为曲线C，直线过点(1,0) （Ⅰ）求曲线C的轨迹方程； （Ⅱ）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由.
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