第十六章《分式》
课题:16.1.1从分数到分式
第1课时
教学目标:
1.了解分式、有理式的概念.
2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;
3.能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
4. 熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处,从分数入手,研究出分式的有关概念,同时还要讲清分式与分数的联系与区别.
教学重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
教学难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 教学时间:2009年2月24日 教学准备:小黑板
教学方法:分组讨论、引导启发、讲练结合 教学过程: 一、复习提问
1.什么是整式?什么是单项式?什么是多项式? 2.判断下列各式中,哪些是整式?哪些不是整式?
①38n m ++m 2 ; ②1+x +y 2
-z 1; ③π213-x ; ④x 1⑤1
222++x x ; ⑥222ab b a +;
二、创设情景,
1.让学生填写P2[思考],学生自己依次填出:710,a s ,33200,s
v .
2.学生看章前图的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时.
轮船顺流航行100千米所用的时间为v
+20100小时,逆流航行60千米所用时间v
-2060小时,
所以
v
+20100=
v
-2060.
3. 观察:以上的式子
v
+20100,
v
-2060,a s
,s
v ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和
不同点?
可以发现,这些式子都像分数一样都是 (即A 〔B )的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数,而这些式子中的A 、B 都是整式,并且B 中都含有字母. 三、新课讲解:
小结:
1.分式的概念:一般地,形如
B
A
的式子叫做分式,其中A 和B 均为整式,B 中含有字母。
练习:下列各式中,哪些是分式哪些不是?(小黑板出示)
(1)、x 4、(2)4a 、(3)y x -1、(4)4
3x 、(5)21
x 2、(6)1-x ;
2.小结:对整式、分式的正确区别:分式的分子和分母都是整式,分子可以含有字母,
也可以不含有字母,而分母中必须含有字母,这是分式与整式的根本区别。 3. 由学生举几个分式的例子.学生小结分式的概念中应注意的问题 四、例题讲解
P3例1: 当x 为何值时,分式有意义.
[分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例: 当m 为何值时,分式的值为0 (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时..满足两个条件: ○
1分母不能为零; ○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. 解:略 五、补充练习
1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x
7 , 20
9y +, 54-m , 238y y -,9
1-x
2. 当x 取何值时,下列分式有意义?
(1) (2) (3) 3. 当x 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) 六、随堂练习(学生独立完成) 1、列式表示下列各量:
(1)某村有n 个人,耕地40公顷,人均耕地面积为 公顷; (2)ABC ?的面积为S ,BC 边长为a ,则高AD 为 ;
(3)一辆汽车行驶a 千米用b 小时,它的平均车速为 千米/小时;一列火车行驶a 千米比这辆汽车少用1小时,它的平均车速为 千米/小时。 2、下列式子中,哪些是是分式?哪些是整式?两类式子的区别是什么?
.)
(3,1212,,,352,534,3,122222b a c x x x x n m n m y x x a b x x -+-+++---+ 1-m m 32+-m m 1
12
+-m m 452--x x x x 235-+2
3
+x x
x 57
+x x 3217-x x x --221
3、下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义? (1)
a 2;(2)11-+x x ;(3)232+m m ;(4)y x -1;(5)
b a b a -+32;(6)1
2
2-x .
七、课堂小结
1、分式的概念:一般地,形如
B
A
的式子叫做分式,其中A 和B 均为整式,B 中含有字母。分式的分子和分母都是整式,分子可以含有字母,也可以不含有字母,而分母中必须含有字母,这是分式与整式的根本区别。 2、分式与整式的区别.
3、分式有意义、无意义的条件;
4、分式值为零的条件。 八、作业:
1、课本第8页习题16.1——第1,2题(书面);第3题(作业本)。
2、预习16.1.2——分式的基本性质 板书设计:
课 题:16.1.1从分数到分式
一、分式的概念; 三、随堂练习 分式与整式的区别;
二、例题讲解 四、课堂小结 例题1: 例题2: 五、作业
课题:16.1.2分式的基本性质
第2课时
教学目标:
1.理解分式的基本性质.
2.会用分式的基本性质将分式变形.
教学重点:理解分式的基本性质. 分式的分子、分母和分式本身符号变号的法则。 教学难点:灵活应用分式的基本性质将分式变形。利用分式的变号法则,把分子或分母是多项式的变形。 教学准备:小黑板
教学突破:灵活应用分式的基本性质将分式变形. 突破的方法是通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质,再用类比的方法得出分式的基本性质.应用分式的基本性质导出通分、约分的概念,使学生在理解的基础上灵活地将分式变形. 教学方法:类比学习、引导启发、讲练结合、归纳 教学过程: 一、课堂引入
1.请同学们考虑: 与 相等吗? 与 相等吗?为什么? 2.说出 与 之间变形的过程, 与
之间变形的过程,并说出变形依据?
3.提问分数的基本性质,让学生类比猜想出分式的基本性质.
分式的基本性质:分式的分子、分母同乘以(或除以)同一个整式,使分式的值不变. 可用式子表示为:B A =C B C A ?? B
A
=C B C A ÷÷(C ≠0)
二、例题讲解 P5例2.填空:
[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式,使分式的值不变.
P6例3.约分:
[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式,使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式,约分的结果要是最简分式. P7例4.通分:
[分析] 通分要想确定各分式的公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母. 学生归纳总结月份、同分的基本方法。
(补充)例5.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
43201524983
43
201524983
a b 56--, y
x 3-, n
m --2, n
m 67--, y
x 43---。
[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号,其中两个符号同时改变,分式的值不变. 解
:a
b
56--=a
b 56, y
x 3-=y
x 3-,n
m --
2=
n
m 2,
n m 67--
=n
m
67 , y x 43---=-y x 43。
三、随堂练习(学生独立思考完成,部分学生可以通过讨论交流完成,或寻求教师的帮助) 1.填空:
(1) x x x 3222+= ()3+x (2) 3
2386b b a =()3
3a (3) c a b ++1
=()cn an + (4) ()
2
22y x y x +-=()y x - 2.约分:
(1)c
ab b a 2263 (2)2228mn n
m (3)532164xyz yz x - (4)x y y x --3)(2
3.通分: (1)321ab 和c b a 2252 (2)xy a 2和2
3x b
(3)
223ab c 和2
8bc
a
- (4)11-y 和11+y 4.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
(1) 2
33ab y x -- (2) 2317b a --- (3) 2135x a -- (4) m b a 2
)(--
四、应用提高
【例1】不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数:
(1)13232-+---a a a a (2)3
2211x x x x ++-- (3)1
123
+---a a a 分析:由于要求分式的分子、分母的最高次项的系数是正数,而对分式本身的符号未做
规定,所以根据分式的符号法则,使分式中分子、分母与分式本身改变两处符号即可。
解:(1)原式=13232-+-+--a a a a =)13()2(32+---+-a a a a =1
32
32+--+a a a a 。
(2)原式=11232+++--x x x x =1
)1(232++-+-x x x x =11
232++-+-x x x x 。
(3)原式=1123+-+--a a a =1)1(23+----a a a =1
1
23+--a a a 。
说明:两个整式相除,所得的分式,其符号法则与有理数除法的符号法则相类似,也同
样遵循“同号得正,异号得负”的原则。 总结:
1.分式的分子、分母和分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。
2.分式的变号法则,在分式运算中应用十分广泛。应用时要注意:分子与分母是多项式时,若第一项的符号不能作为分子或分母的符号,应将其中的每一项变号。 五、课后练习
1.判断下列约分是否正确: (1)c b c a ++=b a
(2)2
2y
x y x --=y x +1 (3)
n
m n
m ++=0 2.通分:
(1)
231ab 和b a 272 (2)x x x --21和x x x +-21 3.不改变分式的值,使分子第一项系数为正,分式本身不带“-”号. (1)
b
a b
a +---2 (2)y x y x -+--32
六、课堂小结
1、约分及最简分式的概念;
2、约分的基本方法;
3、通分、最简公分母及通分的方法;
4、分数和分式在约分和通分的做法上有什么异同?依据是什么? 七、作业
课本P8习题16.1第4、8题(书面);第5、6、7题(作业本)。
课题:16.2.1分式的乘除(1)
第3课时
教学目标:
1.理解分式乘除法的法则,会进行分式乘除运算;
2. 通过教学使学生掌握类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性,使学生主动获取知识 教学重点:会用分式乘除的法则进行运算.
教学难点:灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 教学准备:
教学方法:类比学习、引导启发、归纳与讲练结合、 教学过程:
一、创设情景引入
1、引导学生分析课本第10页问题: 问题1求容积的高,水面的高。
问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
(得到的容积的高是n m ab v ?,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的???
??÷n b m a 倍.
引出了分式的乘除法的实际存在的意义) 从上面的问题可知,有时需要分式运算的乘除.
本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手,类比出分式的乘除法法则.
2.P10[观察] 根据所给算式,请学生写出分数的乘除法法则.
3.[提问] P11[思考]类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则? 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.
分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。
bd
ac
d c b a =
? 分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,再与被除式相乘。
bc
ad
c d b a d c b a =
?=÷ 二、例题讲解 P11例1.
[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简,还应注意在计算时跟整式运算一样,先判断运算符号,在计算结果. P11例2.
[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式,再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式,而是多个多项式相乘是不必把它们展开.
P12例3.
[分析]这道应用题有两问,第一问是:哪一种小麦的单位面积产量最高?先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积,再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量,分别是1
5002
-a 、()
2
1500
-a ,还要判断出以上两个分式的值,哪
一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a 2-2a+1 1、课本13页练习第 2、3题; 2、计算 (1)ab c 2c b a 2 2? (2)32 2542n m m n ?- (3)?? ? ??-÷x x y 27 (4)-8xy x y 52÷ (5)4411242 222 ++-? +--a a a a a a (6))3(2 9 62y y y y -÷++- 3、计算 (1)??? ? ??-?y x y x 132 (2)??? ??-÷a bc ac b 2110352 (3)()y x a xy 28512-÷ (4)b a a b ab b a 234222-?- (5))4(1 2 x x x x -÷-- (6)3 2 22)(35)(42x y x x y x --? - 五、课堂小结 通过本节课的学习,你学到了哪些知识和方法? 1、 分式的乘法法则; 2、 分式的除法法则; 3、 在进行分式的乘除运算时,应该注意哪些事项? 六、作业 课本22页习题16.2第1、2(1)(2)题。 板书设计: 课题:16.2.1分式的乘除(一) 一、 问题探究 三、例题分析 例题3 例题1 二、 分式的乘除法法则 四、课堂小结 分式的乘法法则: 例题2 分式的除法法则: 五、作业 课题:16.2.1分式的乘除(2) 第4课时 教学目标: 1.熟练地进行分式乘除法的混合运算. 2.利用上节课分式乘法运算的基础,达到熟练地进行分式乘除法的混合运算的目的.课堂练习以学生自己讨论为主,使学生对所做的题目作自我评价。 教学重点:熟练地进行分式乘除法的混合运算. 教学难点:熟练地进行分式乘除法的混合运算. 关键是点拨运算符号问题、变号法则. 教学准备:小黑板 教学方法:引导启发、讲练结合、 教学过程: 一、课堂引入 计算:(1))(x y y x x y -?÷ (2) ) 21()3(43x y x y x - ?-÷ 学生在上节课学习的基础上,独立完成,2名学生板演后师生订正。 二、例题讲解 1、(P13)例4.计算 3 53 92533522 +?-÷-x x x x [分析] 此题是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的计算结果要是最简的. 学生根据乘除法法则进行讨论分析、计算. 2、(补充)例.计算 (1)) 4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-? =x b b a xy y x ab 34)98(23232-?-? (先把除法统一成乘法运算) =x b b a xy y x ab 349823232?? (判断运算的符号) =32916ax b (约分到最简分式) (2) x x x x x x x --+? +÷+--3) 2)(3()3(444622 =x x x x x x x --+? +?+--3)2)(3(3 1444622 (先把除法统一成乘法运算) =x x x x x x --+?+?--3) 2)(3(31) 2()3(22 (分子、分母中的多项式分解因式) = )3() 2)(3(3 1)2()3(22---+? +?--x x x x x x =2 2 --x 三、随堂练习 1、计算 (1))2(216322b a a bc a b -?÷ (2)10 332 6423020)6(25b a c c ab b a c ÷-÷ (3)x y y x x y y x -÷-?--9)()()(3432 (4)2222 2)(x y x xy y xy x x xy -?+-÷- 【答案:(1)c a 432- (2)485 c - (3)3)(4y x - (4)-y 】 2、计算 (1))6(438264 2 z y x y x y x -÷?- (2)93234962 2 2-?+-÷-+-a a b a b a a (3)229612316244y y y y y y --÷+?-+- (4)xy y xy y x xy x xy x -÷+÷-+222)( 【答案: (1)336y xz (2) 22-b a (3)122y - (4)x 1-】 四、课堂小结 1、分式的乘除法法则; 2、分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的计算结果要是最简的. 五、作业 课本22页习题16.2第2(3)(4),3(1)、(2)题。 课题:16.2.1分式的乘除(3) 第5课时 教学目标: 1.理解分式乘方的运算法则,熟练地进行分式乘方的运算. 2. 通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的,理论来源于实践,服务于实践。 教学重点:熟练地进行分式乘方的运算. 教学难点:熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 教学准备:小黑板 教学方法:引导启发、讲练结合 教学过程: 一、引入新课 1、复习乘方的概念。 2、根据乘方的意义和分式乘法的法则计算: (1)2)(b a =? b a b a =( ) (2) 3)(b a =?b a ?b a b a =( ) (3)4)(b a =? b a ?b a b a b a ?=( ) 2)(b a =?b a b a = b b a a ??=22b a ,3)(b a =? b a ?b a b a =b b b a a a ????=33 b a ,…… 根据计算推导可得: n b a )(=?b a ????b a b a = b b b a a a ??????????=n n b a ,即n b a )(=n n b a . (n 为正整数) 归纳:分式乘方的法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方。 二、例题分析 1、(P14)例5.计算 (1)22)32(c b a -; (2)2 3332)2(2)(a c d a cd b a ?÷- [分析]第(1)题是分式的乘方运算,它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号,再分别把分子、分母乘方.第(2)题是分式的乘除与乘方的混合运算,应对学生强调运算顺序。 运算顺序:先做乘方,再做乘除. 三、随堂练习 1、P18练习 2、判断下列各式是否成立,并改正.(小黑板出示) (1)23)2(a b =252a b (2)2)23(a b -=2249a b - (3)3)32(x y -=3398x y (4)2 )3(b x x -=22 29b x x - 3、计算 (1)22)35(y x ; (2)3 3 2)23(c b a - ;(3)32223)2()3(x ay xy a -÷ ; n 个 n 个 n 个 n 个 (4) 23322) ()(z x z y x -÷- ; (5) )()()(42 2xy x y y x -÷-?-; (6)2 32)23()23()2(ay x y x x y -÷-?- 【答案:2、(1)不成立,23)2(a b =264a b (2)不成立,2)23(a b -=22 49a b (3)不成立, 3)32(x y -=3 3278x y - (4)不成立,2 )3(b x x -=22 229b bx x x +-】 【3、(1)24925y x (2)936827c b a - (3)24398y x a - (4)43z y - (5)21x (6)2234x y a 】 4、计算 (1) 332)2(a b - ; (2) 212)(+-n b a ; (3)4234223)()()(c a b a c b a c ÷÷ ; (4) )()()(223 2b a a b a ab b a -?--?-; 【答案: (1) 968a b -- ; (2) 224+n b a ; (3)22a c ; (4) b b a +】 四、课堂小结 1、分式的乘方公式的推导; 2、分式乘方运算法则及运算顺序. 五、作业 课本22页习题16.2第3(3)、(4)题。 课题:16.2.2分式的加减(1) 第6课时 教学目标: (1)熟练地进行同分母的分式加减法的运算. (2)会把异分母的分式通分,转化成同分母的分式相加减. (3)通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的,理论来源于实践,服 务于实践。能利用事物之间的类比性解决问题。 教学重点:熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 教学难点:熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 教学准备:小黑板 教学方法:引导启发、类比、讨论交流、讲练结合 教学突破:进行异分母的分式加减法的运算是难点,异分母的分式加减法的运算,必须转化为同分母的分式加减法,,然后按同分母的分式加减法的法则计算,转化的关键是通分,通分的关键是正确确定几个分式的最简公分母,确定最简公分母的一般步骤:(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取;(3)相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后,还要确定分子、分母应乘的因式,这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商. 异分母的分式加减法的一般步骤:(1)通分,将异分母的分式化成同分母的分式;(2)写成“分母不便,分子相加减”的形式;(3)分子去括号,合并同类项;(4)分子、分母约分,将结果化成最简分式或整式. 教学过程: 一、引入新课 1.P15问题3与问题4 这是一个工程问题,题意比较简单,只是用字母n 天来表示甲工程队完成一项工程的时间,乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天,两队共同工作一天完成这项工程的 3 1 1++ n n .这样引出分式的加减法的实际背景 问题4的目的与问题3一样,从上面两个问题可知,在讨论实际问题的数量关系时,需要进行分式的加减法运算. 2.P15[观察] 让学生回忆分数的加减法法则,类比分数的加减法,分式的加减法的实质与分数的加减法相同,请学生自己说出分式的加减法法则. 3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同,你能说出分式的加减法法则? 4.请同学们说出 2 243291 ,31,21xy y x y x 的最简公分母是什么?你能说出最简公分母的确定方法吗? 二、讲授新课 1、学生类比分数的加减法法则归纳叙述分式的加减法法则: 同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。 用式子表示是:c a 〒c b =c b a ±。 异分母分式相加减,先通分,变为分母的分式,再加减。 用式子表示为:b a 〒d c =b d bc ad ±。 (注意:异分母的分式加减法的运算, 关键是通分,通分的关键是正确确定几个分式的 最简公分母) 通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做通分。 分式通分时,要注意几点: (1)如果各分母的系数都是整数时通分,常取它们的系数的最小公倍数,作为最简公分母的系数; (2)若分母的系数不是整数时,先用分式的基本性质将其化为整数,再求最小公倍数; (3)分母的系数若是负数时,应利用符号法则,把负号提取到分式前面; (4)若分母是多项式时,先按某一字母顺序排列,然后再进行因式分解,再确定最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤: (1)找系数:如果各分母的系数都是整数,那么取它们的最小公倍数。 (2)找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。 (3)找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。 这样取出的因式的积,就是最简公分母。 异分母的分式加减法的一般步骤: (1)通分,将异分母的分式化成同分母的分式; (2)写成“分母不便,分子相加减”的形式; (3)分子去括号,合并同类项; (4)分子、分母约分,将结果化成最简分式或整式 2、例题讲解 (P16)例6.计算:(1) 2 222235y x x y x y x ---+,(2)q p q p 321 321--+ [分析] 第(1)题是同分母的分式减法的运算,分母不变,只把分子相减,第二个分式的分子式个单项式,不涉及到分子是多项式时,第二个多项式要变号的问题,比较简单;第(2)题是异分母的分式加法的运算,最简公分母就是两个分母的乘积. 学生尝试分析计算,教师板书解题过程。 (补充)例.计算 (1) 2 222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+ [分析] 第(1)题是同分母的分式加减法的运算,强调分子为多项式时,应把多项事看作一个整体加上括号参加运算,结果也要约分化成最简分式. 解:2 222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+ = 22)32()2()3(y x y x y x y x --++-+=2222y x y x --=))(()(2y x y x y x +--=y x +2 (2) 9 6 261312 --+-+-x x x x [分析] 第(2)题是异分母的分式加减法的运算,先把分母进行因式分解,再确定最简公分母,进行通分,结果要化为最简分式. 解: 96 261312 --+-+-x x x x =)3)(3(6)3(2131-+- +-+-x x x x x =) 3)(3(212)3)(1()3(2-+---++x x x x x =) 3)(3(2)96(2-++--x x x x =) 3)(3(2)3(2-+--x x x =6 23 +-- x x 三、随堂练习 1、课本16页练习第1、2题。(学生独立思考完成,有问题可以进行交流) 2、计算 (1) b a a b b a b a b a b a 2 2255523--+++ (2)m n m n m n m n n m -+---+22 (3)96312-++a a (4)b a b a b a b a b a b a b a b a --- +-----+-87546563 【答案:(1)b a b a 2 525+ (2)m n n m -+33 (3)31 -a (4)1】 四、课堂小结 1、分式的加减法法则: 同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。 用式子表示是:c a 〒c b =c b a ±。 异分母分式相加减,先通分,变为分母的分式,再加减。 用式子表示为:b a 〒d c =b d bc ad ±。 2、分式通分时,要注意几点: (1)如果各分母的系数都是整数时通分,常取它们的系数的最小公倍数,作为最简公分母的系数; (2)若分母的系数不是整数时,先用分式的基本性质将其化为整数,再求最小公倍数; (3)分母的系数若是负数时,应利用符号法则,把负号提取到分式前面; (4)若分母是多项式时,先按某一字母顺序排列,然后再进行因式分解,再确定最简公分母。 3、确定最简公分母的一般步骤: (1)找系数:如果各分母的系数都是整数,那么取它们的最小公倍数。 (2)找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。 (3)找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。 这样取出的因式的积,就是最简公分母。 4、异分母的分式加减法的一般步骤: (1)通分,将异分母的分式化成同分母的分式; (2)写成“分母不便,分子相加减”的形式; (3)分子去括号,合并同类项; (4)分子、分母约分,将结果化成最简分式或整式 五、作业 课本22页习题16.2第4、5题。 课题:16.2.2分式的加减(2) 第7课时 教学目标: 1、明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算. 2、通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的,理论来源于实践,服务于实践。能利用事物之间的类比性解决问题。 教学重点:熟练地进行分式的混合运算。 教学难点:熟练地进行分式的混合运算。 教学准备:小黑板 教学方法:引导启发、类比、讲练结合 教学突破:教师强调进行分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左到右的方向,先乘方,再乘除,然后加减. 有括号要按先小括号,再中括号,最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时,要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程: 一、课堂引入 1、提问: (1)说出分数混合运算的顺序. (2)教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 2、类比: 分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左到右的方向,先乘方,再乘除,然后加减.有括号要按先小括号,再中括号,最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分, 注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时,要把“-”号提到分式本身的前面. 说明:分式的加、减、乘、除混合运算注意以下几点: (1)一般按分式的运算顺序法则进行计算,但恰当地使用运算律会使运算简便。 (2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子,以备约分或通分时备用,可避免运算烦琐。 (3)注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”。 (4)结果要化为最简分式。 二、例题讲解 1、(P17)例8.计算 [分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式. 2、(补充)计算 (1)x x x x x x x x -÷+----+4)4 4122( 2 2 [分析] 这道题先做括号里的减法,再把除法转化成乘法,把分母的“-”号提到分式本身的前边.. 解: x x x x x x x x -÷+----+4)4 4122( 2 2 =) 4(])2(1)2(2[2--?----+x x x x x x x =)4(]) 2()1()2()2)(2([ 2 2--?-----+x x x x x x x x x x =)4()2(42 22--?-+--x x x x x x x =4 41 2+-- x x (2)2 22 4442 y x x y x y x y x y y x x +÷--+?- [分析] 这道题先做乘除,再做减法,把分子的“-”号提到分式本身的前边. 解:2 22 4442 y x x y x y x y x y y x x +÷--+?- =2 2 222224))((2 x y x y x y x y x y x y y x x +?-+-+?- =2 222))((y x y x y x y x xy --?+- = ))(() (y x y x x y xy +-- =y x xy +- (3)( b a -1-22b ab a b a ++++3 3a b ab -)〃(a 3-b 3 ); 解:(1)原式=b a b a --33-2 233) )((b ab a b a b a ++-++)()(3333b a b a ab --- =b a b ab a b a -++-))((22-2 222) )()((b ab a b ab a b a b a ++++-++ab =a 2+ab +b 2-(a 2-b 2)-ab = a 2+ab +b 2-a 2+b 2-ab =2b 2。 (4)(a a a 222+--4 1 22--a a )〔44222++-+a a a a 。 解:原式=[)2(2+-a a a -)2)(2(1 2-+-a a a ]〃)1)(2()2(2-++a a a =)1(2--a a a -)2)(1(12---a a a =) 2)(1()2(2---a a a a -)2)(1() 12(---a a a a a =)2)(1(24422--+-+-a a a a a a a =)2)(1(432--+--a a a a a =)2)(1()4)(1(--+--a a a a a =a a a 24 2-+-。 3、已知x + x 1 =3,求下列各式的值: (1)x 2 +21x ; (2)x 3 +31x ;(3)12 42++x x x 。 分析:观察已知条件和所求式,可将所求的式进行分解因式,将已知条件整体代入,第(3)题是先求它的倒数值,可以将x 2+21 x =7直接代入,求得它的值。此外对于已知条 件x +x 1=3,可以变形为x 2-3x +1=0,也可以变形为1 22+-x x x =1,在后两种表达形式 下,要能熟练地将它转化为x +x 1 =3。 解:(1)x 2+21x =(x +x 1 )2-2=32-2=7; (2)x 3+31x =(x +x 1)( x 2-1+21 x ) =3〓(7-1)=18; (3)∵ 2241x x x ++= x 2 +2 1x +1=7+1=8,∴ 1242++x x x =81 三、课堂练习 1、课本18页练习第2题; 2、计算 (1) x x x x x 22)242(2+÷-+- ; (2))1 1()(b a a b b b a a -÷---; (3))2 1 22()41223( 2+--÷-+-a a a a ; 【答案:(1)2x (2) b a ab - (3)3 】 3、创新能力运用(选做) (1)已知:x +y +z=3y=2z ,求 z y x x ++的值。 (2)已知:x 1 -y 1=3,求y xy x y xy x ---+2232的值。 四、课堂小结 分式混合运算法则及运算过程中应注意的问题。(学生进行小结归纳) 五、作业 课本23页习题16.2第6题。 课题:16.2.3 整数指数幂 第8课时 教学目标: 1.知道负整数指数幂n a = n a 1 (a ≠0,n 是正整数). 2.掌握整数指数幂的运算性质. 3.会用科学计数法表示小于1的数. 教学重点:掌握整数指数幂的运算性质. 分式的运算教案 八年级数学教案 一、学生知识状况分析 知识技能基础:学生在小学已经学过分数的乘除法,掌握了分数的乘除法法则,在学习分式的乘除法法则时可通过与分数的乘除法法则进行类比学习。在前面学习了整式乘法和因式分解,为分式的运算和结果的化简奠定基础。 能力基础:在过去的数学学习过程中,学生已初步具备观察、分析、归纳的能力和类比的学习方法。 二、教学任务分析 具体学习任务分析:本节课的重点是分式乘除法的法则及应用,难点是分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。分式的乘除法与分数的乘除法类似,所以可通过类比,探索分式的乘除运算法则的过程,会进行简单的分式的乘除法运算,分式运算的结果要化成最简分式和整式,也就是分式的约分,要求学生能解决一些与分式有关的简单的实际问题。因此,本课时的教学目标是: 1?类比分数的乘除运算法则,探索分式的乘除运算法则。 2?理解分式的乘除运算法则,会进行简单的分式的乘除法运算 3.能解决一些与分式有关的简单的实际问题 4?通过师生讨论、交流,培养学生合作探究的意识和能力 三、教学过程分析 第一环节复习旧知识 复习小学学过的分数的乘除法运算。 活动内容 1、计算,并说出分数的乘除法的法则: 分数乘以分数,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分数除以分数,把除数的分子分母颠倒位置,与被除数相乘. 活动目的: 复习小学学过的分数的乘除法运算,为学习分式乘除法的法则做准备。 教学效果: 学生能准确的说出分数的乘除法运算法则。 第二环节引入新课 活动内容猜一猜:; 你能总结分式乘除法的法则吗?与同伴交流。 分式的乘除法的法则 初中数学《分式》单元教学设计以及思维导图 分式 适用年级八年级 所需时间课内八课时 主题单元学习概述 1.本章是继整式之后对代数式的进一步的研究。 2.分式是对分数的进一步抽象------字母的意义 3.分数的讨论框架的继承------小学时分数都研究哪些性质? 4.从实际意义或者问题解决上,分式也是分数的实际意义的抽象------列方程解应用题 5.需要了解学生对于小学分数的了解情况,特别是是否还记得分数的性质框架 6.分式的基础是分数、整式的四则运算、多项式的因式分解、一元一次方程等知识。同时它是今后进一步学习函数、一元二次方程的基础。主题单元规划思维导图 主题单元学习目标 知识与技能: 1.了解分式的概念,明确分式和整式的区别; 2.掌握分式的基本性质和分式的约分; 3.分式的乘除运算法则; 4.经历探索分式加减运算法则,理解其算理; 5.异分母分式加减法的法则及分式的通分; 6.通过对实际问题的分析,感受分式方程是刻画现实世界的有效模型,归纳分式方程的概念; 7.经历探索分式方程解法的过程,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性; 8.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 过程与方法: 1.体会分式的意义,进一步发展符号感,掌握分式的符号法则; 2.会进行简单的分式的乘除法运算; 3.会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力; 4.经历异分母分式的加减运算和通分的过程,训练学生的分式运算能力,培养学习学习中转化未知问题为已知问题的能力; 5.经历“求解-解释解的合理性”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的应用意识; 6.用分式方程来解决现实情境中的问题. 第十六章分式 教材分析 本章的主要内容包括:分式的概念,分式的基本性质,分式的约分与通分,分式的加、减、乘、除运算,整数指数幂的概念及运算性质,分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节: 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程其中,16.1 节引进分式的概念,讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形,是全章的理论基础部分。11.2节讨论分式的四则运算法则,这是全章的一个重点内容,分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点,克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数,这给运算带来便利。11.3节讨论分式方程的概念,主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质,并且出现了必须检验(验根)的环节,这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程,是本章教学中的另一个难点,克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式,是代数式中重要的基本概念;相应地,分式方程是一类有理方程,解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而,分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型,它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。 (二)本章知识结构框图 (三)课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点: 1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2.类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则。 3.类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算,掌握这些法则。 4.结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的知识体系。 5.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想。 (四)课时安排 本章教学时间约需13课时,具体分配如下: 16.1 分式2课时16.2 分式的运算6课时 16.3 分式方程3课时数学活动小结3课时 八年级数学下册《分式的乘除法》教案 教学目标: 1.分式乘除法的运算法则和乘方运算法则;会进行分式的乘除、乘方运算. 2.类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法和乘方的运算法则. 3.在分式乘除法运算过程中,体会因式分解在分式乘除法中的作用 4.通过师生共同交流、探讨,使学生在掌握知识的基础上,认识事物之间的内在联系 教学重点:让学生掌握分式乘除法和乘方的运算法则及其应用. 教学难点:分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算. 教学用具:多媒体课件 教学方法:引导探究法 教学过程: 一、创设情境,引入新课 [师]上节课,我们学习了分式的基本性质,我们可以发现它与分数的基本性质类似,那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢?下面我们看投影片 观察上面运算,可知: 两个分数相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母; 两个分数相除,把除数的分子和分母颠倒位置后,再与被除数相乘. 即a b ×c d =ac bd ; a b ÷c d =a b ×d c =ad bc . 这里字母a ,b ,c ,d 都是整数,但a ,c ,d 不为零. [师]如果让字母代表整式,那么就得到类似于分数的分式的乘除法. 二、讲授新课 1.分式的乘除法法则 [师生共析]分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似: 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母; 两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 2.例题讲解 出示投影片 练一练:计算 (1)b a · 2a b ; ()22329b a a b b +?-- 出示投影片 )将算式对照分式的除法运算法则,进行运算;(练一练:计算 (1)(a 2 -a )÷1-a a ; (2)y x 12-÷21y x + 三、随堂练习 第十六章 分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1. 了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:7 10,a s ,33 200,s v . 2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时,逆流航行60千米所用时间v -2060小时, 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100,v -2060,a s ,s v ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不 同点? 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时.. 满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,91-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3) 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x 学习目标: 1.利用分式的乘除法法则进行运算,并会计算分式的乘方; 2.会利用同分母分式的加减法则进行同分母分式的加减运算; 3.利用异分母分式的加减法则进行异分母分式的加减运算. 互动探索: (以提问的形式回顾) 1.大家还记得分数的乘法和除法的法则吗?试着计算下面的题目 43 52 ?=? 163?54 ?= 4343652525??==? 1631631254545??==? 43?525 ÷= 43?749 ÷= 4342520 525533÷=?= 4344928 749733 ÷=?= 2. 你会计算 235x x ?和243 x x ÷吗? 请同学们分小组讨论,选代表进行回答总结分式的乘除法法则。 【教法说明】通过复习分数的乘除法法则,让学生计算分数的乘除法题目。在学生回答猜想后,引导学生运用“数式相通”的类比思想,归纳分式乘除法法则。学生探究,教师引导。让学生全面参与、独立思考,由自己总结出分式的乘除法法则,培养学生的归纳、创造能力。注意强调先要将除法转化成乘法再进行计算,结果最后要化成最简分数。并注意提醒学生在进行分数和分式的乘除时,先约分再乘除比较简便。为后面分式的乘除法计算打下基础。 练习: 1.计算: 22(1)34a b a ?; ()()2 3323(2)39y x x x y +-?-; (3)b b a a ? 解:(1)222234346 a b a b ab a a ?==? (2) ()()()()()() 2233236332339933y x x y x x x x y y x y +-+-+?== -?- (3)2 2 b b b b b a a a a a ??==? 【教法说明】通过例题的讲授让学生掌握分式乘法法则,并会利用乘法法则进行计算。注意分式的乘法与分数的乘法一样,先约分再分子乘分子,分母乘分母,运算过程比较简单。 2.计算: 2 510(1)3m m n n -??÷ ? ?? 211(2)231x x x x x ++÷+-- 22 22 2 224(3)2a b a b a ab b ab a b --÷-+- 2 2 53(1)10151032m n n m mn nm m -??=? ???-= =- 解:原式 ()()()()()()()()() 11 (2)311 11 311 1131113 x x x x x x x x x x x x x x x x ++= ÷ +--+-=? +-++-=+-+= +解:原式 15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别? 反思小结: 判断一个式子是否为分式,可根据:①具有分数的形式;②分子、分母都是整式;③分母中含有字母,分式与整式的区别在于:分式的分母中含有字母,而整式的分母中不含字母. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二: (1) 当 x ≠0时,分式 2 有意义; 3x (2) 当 x ≠1时,分式 x 有意义;x - 1 5 1 (3) 当 b ≠3时,分式 5- 3b 有意义; x + y (4)x , y 满足 __x ≠y __时,分式 x - y 有意义. 展示点评: 教师示范解答的一般步骤,强调分母不为零. 小组讨论: 归纳分式有意义的条件. 反思小结: 对于任何分式,分母均不能为零,即当分母不为零时,分式有意义;反之,分母为零时,分式无意义. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.知识小结—— (1) 学习了分式, 知道了分式与分数的区别. (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件. 2.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 2 x + y 1 x 1.下列各式① x ,② 5 ,③ 2- a ,④ π- 1中,是分式的有 ( C ) A .①② B .③④ C .①③ D .①②③④ 2.当 x 为任意实数时,下列分式中,一定有意义的是( C ) x - 1 x + 1 x - 1 x - 1 A. x 2 B. x 2- 1 C. x 2+1 D. x + 2 3.某食堂有煤 m t ,原计划每天烧煤 a t ,现每天节约用煤 b(b 16.2.2分式的加减(二) 一、教学目标:明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算. 二、重点、难点 1.重点:熟练地进行分式的混合运算. 2.难点:熟练地进行分式的混合运算. 三、例、习题的意图分析 1. P21例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式. 例8只有一道题,训练的力度不够,所以应补充一些练习题,使学生熟练掌握分式的混合运算. 2. P22页练习1:写出第18页问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应,也解决了本节引言中所列分式的计算,完整地解决了应用问题. 四、课堂引入 1.说出分数混合运算的顺序. 2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 五、例题讲解 (P21)例8.计算 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式. (补充)计算 (1)x x x x x x x x -÷+----+4)4 4122(22 这道题先做括号里的减法,再把除法转化成乘法,把分母的“-”号提到分式本身的前边.. 解: x x x x x x x x -÷+----+4)44122( 22 =) 4(])2(1)2(2[2--?----+x x x x x x x =)4(])2()1()2()2)(2([ 22--?-----+x x x x x x x x x x =)4() 2(4222--?-+--x x x x x x x =4 412+--x x (2)2 22 4442y x x y x y x y x y y x x +÷--+?- 这道题先做乘除,再做减法,把分子的“-”号提到分式本身的前边. 15.1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ,它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ●自主学习 指向目标 1.自学教材第127至128页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一 分式的概念 活动一:阅读教材思考问题:式子S a ,V S 以及式子10020+v 和6020-v 有什么共同特点?它们与分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果A ,B 表示两个________(整式),并且B 中含有________(字母),那么式子A B 叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?(八年级数学教案)分式的运算教案
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