试卷类型：A
2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（文科）
2014．4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是1
3
V Sh =
,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于
A ．2-i
B ．2i
C ．2-
D ．2 2．已知集合{}}{
2
0,1,2,3,0
A B x x x ==-=，则集合A
B 的子集个数为
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有3
2
x x >”的否定是
A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >
B ．不存在0x ∈R ，使得32
00x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200
x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有3
2
x x ≤ 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是
A ．y =
B ．21y x =-+
C ．cos y x =
D ．1y x =+
5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是
图1
俯视图
侧视图
正视图 A ．
16 B ．13 C ．12 D ．38
6．一个几何体的三视图如图1，则该几何体
的体积为
A ．12π
B ．6π
C ．4π
D ．2π
7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
8．在△ABC 中，60ABC ?
∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为
A
．
14 B
．14 C
．14 D
．14
9．设12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF
的中点在y 轴上，若1230PF F ?
∠=，则椭圆
C 的离心率为 A
．
3 B
．6
C ．13
D ． 16
10．将正偶数2,4,6,8,
按表1的方式进行
排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若 2014ij a =，则i j +的值为
A ．257
B ．256
C ．254
D ．253 表1
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）
11．不等式()()120x x +-<的解集为 .
12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ?的值 为 .
13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥??
--≤??≥≥?
若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值
为8，则ab 的最大值为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,
(x a t t y t =-??=?
为参数)与
圆1cos ,
(sin x y θθθ
=+??
=?为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .
15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12
A E E
B =
，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2
，则 △AFD 的面积为 cm 2
.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数(
)4f x x π?
?=
+ ??
?，x ∈R .
(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,
2πθ?
?
∈ ??
?
，且()1
2
f θ=
，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）
某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;
(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.
表2
H F
E D
C B
A 18．（本小题满分14分） 如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，
1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=
，AE =H 是BC 的中点.
（1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.
图2 19．（本小题满分14分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2
(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；
（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）
已知函数()2
ln f x x x ax =++，a ∈R .
（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()
1
f x
g x x x =
-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.
( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）
已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；
（2
）若ST =，求直线1l 的方程；
（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.
2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几
种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答
未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只
能选做一题．
11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
（1）解：∵()4f x x π?
?=
+ ??
?，
∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分 ∵x ∈R ，[]cos 1,14x π?
?
+
∈- ??
?
， ……………3分
4x π???
+
∈ ???
?
. ……………4分
∴ 函数()f x 的值域为??
. ……………5分 （2）解法1：∵()1
2
f θ=
，
1
42
πθ??
+
= ??
?. ……………6分
∴cos 4πθ??
+
?
?
?. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ??
=-+
???
……………9分 212cos 4πθ?
?
=-+
??
?
……………11分
2
124?=-? ??
3
4=. ……………12分
解法2：∵()1
2
f θ=，
∴
142πθ?
?+= ??
?. ……………6分
1
cos cos
sin sin
4
42
π
πθθ?
-=??. ……………7分 ∴1
cos sin 2
θθ-=
. ……………8分 两边平方得22
1cos 2cos sin sin 4
θθθθ-+=. ……………10分
∴ 3
sin 24
θ=. ……………12分
17．（本小题满分12分）
(1) 解：依题意，得
520
0.05,0.35,a b n n n
===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分
(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生， 则第三、四、五组分别抽取
306360?=名，206260?=名，10
6160
?=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ， 则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，
{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，
{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分
其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：
M O
H
F
E D
C B A
{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分
故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为3
10.815
-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）
（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，
∴OH ∥AB ，1
12
OH AB =
=. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ?平面ABFE ，平面
ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，
∴OH ∥EF ，OH EF =.
∴四边形EOHF 是平行四边形.
∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分
∵EO ?平面
BDE ，FH ?平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分 （2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， 由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.
∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分
在Rt △BFC 中，2
2
2
4FB FC BC +==，又FB FC =
，得FB =
∴EM = ……………6分 在△AME
中，AE =1AM =
，EM = ∴2
2
2
3AM EM AE +==.
∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ?平面BCF ，BC ?平面BCF ，
∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，
∴1
12
FH BC =
=. 在△AEO
中，1
12
AE AO AC EO FH =====, ∴2
2
2
AO EO AE +=.
∴AO EO ⊥. ……………5分
O
H F
E
D
C
B
A
∵FH ∥EO ,
∴AO FH ⊥. ……………6分
∵,FH BC BC ⊥?平面ABCD , AO ?平面ABCD , AO BC C =, ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ?平面ABCD ,
∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB BC ⊥. ……………8分
∵BC ?平面BCF , FH ?平面BCF , BC
FH H =,
∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 （3）解：连接EC ， 在Rt △BFC 中，1
12
FH BC =
=， ∴1EO FH ==.
由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，
∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，
∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =
??正方形214
1233
=??=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF
V EF S =??
?2111
1323
=???=. ………13分 ∴五面体ABCDEF 的体积为125
3
V V V =+=. ……………14分
19．（本小题满分14分）
（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()2
2
1121n pn q n p n q n p ??=++--+-+=-+??
. ………3分
∵{}n a 是等差数列，
∴1211p q p ++=?-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，
∴2
325a a a =，即()()()2
539p p p +=++， ……………6分
解得1p =-. ……………7分
解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()2111222n n n d d S na d n a n -?
?=+
=+- ??
?. ……………1分 ∵2n S n pn q =++， ∴
12d =，12
d
a p -=，0q =. ……………4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，
∴2
325a a a =， ……………5分
即()()()2
111428a a a +=++.
解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=，
∴221224n a
n n n b n n n --=?=?=?. ……………9分
∴1231n n n T b b b b b -=+++
++()0122142434144n n n n --=+?+?+
+-?+?，①
……………10分
()1231442434144n n n T n n -=+?+?+
+-?+?，② ……………11分 ①-②得0
1
2
1
34444
4n n
n T n --=+++
+-?14414n n
n -=
-?-()13413
n n -?-=. ……………13分
∴()131419
n
n T n ??=
-?+??. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分
∵22log log n n a n b +=， ∴22
122
4n a
n n n b n n n --=?=?=?. ……………9分
∴1231n n n T b b b b b -=+++
++()0122142434144n n n n --=+?+?+
+-?+?.
……………10分
由()1
23
11n n x x x x x x x x
+-+++
+=≠-，
……………11分 两边对x 取导数得，0
1
2
1
23n x x x nx
-++++=
()()
12
11
1n n nx n x x +-++-. …………12分
令4x =，得()()012
2114243414431419
n n n n n n --??+?+?++-?+?=
-?+??. ∴()131419n
n T n ??=
-?+?
?. ……………14分 20．（本小题满分14分）
（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分
∵()2ln f x x x ax =++， ∴()1
2f x x a x
'=
++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即1
20x a x
++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 1
2a x x
-≤
+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分
当0x >时,
12x
x +≥=当且仅当12x x =, 即2x =
时,取等号. ……………5分
∴a -≤
即a ≥- ∴a 的取值范围为)
?-+∞?
. ……………6分
解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分
∵()2
ln f x x x ax =++， ∴()2121
2x ax f x x a x x
++'=++=.……………2分
方程2210x ax ++=的判别式2
8a ?=-.
……………3分
① 当0?≤, 即a -≤≤, 2
210x ax ++≥,
此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,
故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分
② 当0?>,
即a <-
或a >, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为
增函数, 只需2
210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.
设()221h x x ax =++, 则()010,
0,4
h a ?=>?
?-.
故a > ……………5分
综合①②得a
的取值范围为)
?-+∞?
. ……………6分
（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111
f x x x x x
g x x x x x x ++=-=-=+++. ()()
21
1l n 1x x g x x +
-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *
)上存在极值，
∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *
)上有解,
即方程1
1ln 0x x +
-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ?=+-()0x >, 由于0x >, 则()211
0x x x
?'=--<,
∴函数()x ?在()0,+∞上单调递减. ……………9分
∵()413ln 3ln
33?=-=4e 274
1 2.5ln 0327
>>, ……………10分 ()514ln 4ln 44?=-=5e 2565
13ln 04256
<<, ……………11分
∴函数()x ?的零点()03,4x ∈. ……………12分
∵方程()0x ?=在[),t +∞(t ∈ N *
)上有解, t ∈N *
∴3t ≤. ……………13分 ∵t ∈N *
，
∴t 的最大值为3. ……………14分
21．（本小题满分14分）
（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分 第（2）、（3）问提供以下两种解法：
解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.
设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，
由2
1,4,
y kx x y =+??
=?消去y 得2
440x kx --=，
解得1,22x k ==±.
∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分
直线AB 的斜率2
111111
124224
AB
x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12
124
x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得18
22x x =-
+，∴点S 的坐标为182,12x ??-
- ?+??
. ……………4分 同理可得点T 的坐标为28
2,12x ??-- ?+??
. ……………5分 ∴()()()
121212888222222x x ST x x x x -??
=-
--= ?++++?? ()()()121212121288248x x x x x x
x x x x k k
---=
==+++. ……………6分
∵ST =，
∴12x x -=. 由()2
2
12
12124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，
解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，
则()()()
12012124418822222222x x x x x x x ++??
=
-+-=-
?++++?? ()()()12124444442
22248k k x x x x k k
++=-
=-=-+++. ……………10分
而2
ST
=
()
()()2
2
2121212
2
2
2
1614k x x x x x x k k k +-+-=
=
， ……………11分
∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2
222114x y ST k ?
?+++= ???()22
41k k +=. 展开得()()2
22
22414414k x x y k k k
++++=-=. ……………12分
令0x =，得()2
14y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.
设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，
由()112,1,y k x y ?-=-?=-?解得122,1.
x k y ?
=-?
?
?=-?
∴点S 的坐标为12
2,1k ??-
- ???
. ……………2分 由()12
12,
4,
y k x x y ?-=-?
=?消去y ，得2114840x k x k -+-=，
即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，2
2111114414
y x k k =
=-+. ∴点B 的坐标为()
2
11142,441k k k --+. ……………3分
同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ??-
- ???
，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分
∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，
∴()()
()()
()()22222
2112
1212121
4414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---=
=
----121k k =+-.
∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122
k
k k =
. ……………6分 ()121212
22222k k ST k k k k -????=---= ? ?????， ……………7分
∵ST =，
∴
(
)
1212
2k k k k -=∴()()2
2
12125k k k k -=.
由()()()2
2
2
1212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()22
5124
k k k +=
+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，
则0SP TP ?=， ……………10分 得()()122222110x x y y k k ????
-+
-++++= ???????
， ……………11分 整理得，()2
2
4410x x y k
+
-++=. ……………12分 令0x =，得()2
14y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分