叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化
已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前
几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递
推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方
法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺
利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可
顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项
公式的解题方法．
一、叠加相消．
类型一：形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）
或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．
例1：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ．
解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1）
∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3
∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3) =2
1[1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 练习1：⑴.已知数列｛a n ｝,a 1=1, n ∈N +，a 1+n =a n ＋3 n ， 求通项公式a n ．
⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1＝3，
)1(21
+=-+n n a a n n ，n ∈N +，求a n ． 二、叠乘相约． 类型二：形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =p p
c mn b mn )
()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或 n
n a a 1+=kn （k ≠0）或n n a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)． 例2：已知数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ．
解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0
∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0
∴1
1+=+n n a a n n ∴n n n a a a a a a n n n n n n n 11132111232211=???-?-?-=?????=----- 练习2：⑴已知数列｛a n ｝满足S n =
2
n a n ( n ∈N *), S n 是{ a n }的前n 项和,a 2=1,求a n ． ⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1+n = 3 n a n ( n ∈N *)，且a 1=1，求a n ．
三、逐层迭代递推．
类型三：形如a 1+n = f (a n )，其中f (a n )是关于a n 的函数.——需逐层迭代、细
心寻找其中规律．
例3：已知数列｛a n ｝，a 1=1, n ∈N +，a 1+n = 2a n ＋3 n ,求通项公式a n ．
解： ∵a 1+n = 2 a n ＋3 n
∴ a n =2 a 1-n ＋3 n -1 =2(2 a 2-n ＋3 n -2)＋3 n -1 = 22(2 a 3-n ＋3 n -3)＋2·3 n -2＋3 n -1
=……=2 n -2(2 a 1＋3 )＋2 n -3·3 2＋2 n -4·3 3＋2 n-5·3 4＋…＋22·3 n-3＋2·3 n -2＋3 n-1
=2 n -1＋2 n -2·3 ＋2 n -3·3 2＋2 n-4·3 3＋…＋22·3 n -3＋2·3 n -2＋3 n -1
n n n n 2323123121
-=?????
?????? ??--=- 练习3:⑴.若数列｛a n ｝中，a 1=3，且a 1+n =a 2n （n ∈N +）
，求通项a n . ⑵.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S n =2a n +()n
1-，n ∈N +,求通项a n ．
四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解．
类型四：形如1+n n a a = 1++n n qa pa ，（pq ≠ 0）．且0≠n a 的数列，——可通过倒
数变形为基本数列问题．
当p = －q 时，则有：p a a n n 111
1=-+ 转化为等差数列；
当p ≠ －q 时，则有：p
pa q a n n 11
1+-=+．同类型五转化为等比数列． 例4：若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n n a a n ∈N +，求通项a n ．
解： ∵ 2
21+=+n n n a a a 又,011>=a ∴0>n a ， ∴n n a a 12111+=+ ∴21111=-+n n a a ∵111
=a ∴数列{ a n }是首项为1，公差为2
1的等差数列． ∴n a 1=1＋()12
1-n ∴a n =12+n n ∈N + 练习4：已知f (n ) = x x +32，数列{ a n }满足 a 1=1，a n =2
3f (a 1-n )，求a n ． 类型五：形如a 1+n ＝pa n + q ,pq ≠0 ，p 、q 为常数．
当p ＝1时，为等差数列；
当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x
?a 1+n + x = p (a n + p x q +)， 令x =p x q + ∴x =1
-p q 时，有a 1+n + x = p (a n + x )， 从而转化为等比数列 {a n + 1
-p q } 求解． 例5：已知数列{a n }中，a 1=1，a n =
21a 1-n + 1，n = 1、2、3、…，求通项a n ． 解：∵ a n = 21a 1-n + 1 ? a n －2 =2
1(a 1-n －2) 又∵a 1－2 = -1≠0 ∴数列{ a n －2}首项为-1，公比为
21的等比数列． ∴ a n －2 = -11)2
1(-?n 即 a n = 2 －2n -1 n ∈N + 练习5：⑴.已知 a 1=1，a n = 2 a 1-n + 3 (n = 2、3、4…) ，求数列{a n }的通项．
⑵. 已知数列｛a n ｝满足a 1= 21，a 1+n =1
2+n n a a ，求a n ． 类型六：形如a 1+n ＝pa n + f (n )，p ≠0且 p 为常数，f (n )为关于n 的函数．
当p ＝1时，则 a 1+n ＝a n + f (n ) 即类型一．
当p ≠1时，f (n )为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或指数和多项式的混合
形式．
⑴若f (n )为关于n 的多项式（f (n ) = kn + b 或kn 2+ bn + c ，k 、b 、c 为常数），
——可用待定系数法转化为等比数列．
例6：已知数列{ a n }满足a 1=1，a 1+n = 2a n ＋n 2，n ∈N +求a n ．
解：令a 1+n + x [a (n +1)2+ b (n +1) + c ] = 2(a n + an 2+ bn + c )
即 a 1+n = 2 a n + (2a –ax )n 2+ (2b -2ax – bx )n +2c –ax –bx – cx 比较系数得：
?????=---=--=-0202212cx bx ax c bx ax b ax a ? ????
?????-+=-=-=x bx ax c x ax b x a 22221 ? 令x = 1，得：?????===321c b a ∴ a 1+n + (n +1)2+2(n +1) + 3 = 2(a n + n 2+2n + 3) ∵ a 1+1+2×1+3 = 7
令b n = a n + n 2+2n + 3 则 b 1+n = 2b n b 1= 7 ∴数列{ b n }为首项为7，公比为2德等
比数列
∴ b n = 7× 21-n 即 a n + n 2+2n + 3 = 7× 21-n ∴ a n = 7× 21-n －( n 2+2n + 3 )
n ∈N +
⑵若f (n )为关于n 的指数形式（a n ）．
①当p 不等于底数a 时，可转化为等比数列；
②当p 等于底数a 时，可转化为等差数列．
例7：（同例3）若a 1=1，a n = 2 a 1-n + 31-n ，(n = 2、3、4…) ，求数列{a n }的通
项a n ．
解: ∵ a n = 2 a 1-n + 31-n ∴ 令a n + x ×3n = 2(a 1-n +x ×31-n ) 得 a n = 2 a 1-n －
x ×31-n
令-x ×3n = 3n ?x = -1 ∴ a n －3n = 2(a 1-n －31-n ) 又 ∵ a 1－3 = - 2
∴数列{n n a 3-}是首项为-2,公比为2的等比数列．
∴n n a 3-=-2·21-n 即a n = 3n -2n n ∈N +
例8：数列{ a n }中,a 1=5且a n =3a 1-n + 3n -1 (n = 2、3、4…) 试求通项a n ．
解： a n =3a 1-n + 3n -1 ? a n +-=--)2
1(3211n a 3n ?13
21
32111+-=---n n n n a a ?{n n a 321-}是公差为1的等差数列． ?n n a 321-=3
21
1-a +(1-n ) = 3215-+(1-n ) = n +1 ?a n = (213)21+?+n n n ∈N +
⑶若f (n )为关于n 的多项式和指数形式（a n ）的混合式，则先转换多项式形式
在转换指数形式．例如上面的例8．
练习6:⑴.已知数列{a n }中a 1= 1,a 1+n = 3 a n + n ,+∈N n ; 求{a n }的通项．
⑵设a 0为常数，且a n = 31-n －2 a 1-n (n ∈N +且n ≥ 2 )．
证明：对任意n ≥ 1，a n = 5
1[3n + (-1)1-n 2n ] +(-1)n 2n a 0． 类型七：形如a 2+n = p a 1+n + q a n ( pq ≠ 0， p 、q 为常数且p 2+ 4q > 0 )，——可用待
定系数法转化为等比数列．
例9: 已知数列{a n }中a 1= 1, a 2= 2且n n n a a a 212+=++ ,+∈N n ; 求{a n }的通项．
解:令a 2+n +x a 1+n = (1+x ) a 1+n + 2 a n ? a 2+n +x a 1+n = (1+x )( a 1+n +
2a n ) 令x =x +12 ?x 2+ x – 2 = 0 ?x = 1或 -2 当x = 1时,a 2+n + a 1+n =2(a 1+n + a n ) 从而a 2+ a 1= 1 + 2 = 3
∴数列{ a 1+n + a n }是首项为3且公比为2的等比数列.
∴ a 1+n + a n = 312-?n …… …… ①
当x = - 2时, a 2+n - 2a 1+n = - (a 1+n -2a n ) , 而 a 2- 2a 1= 0
∴ a 1+n - 2a n = 0 …… …… ②
由①、②得:
a n = 21-n , +∈N n
练习7：⑴已知: a 1= 2, a 2= 35, n n n a a a 3
23512-=++ ,(n = 1、2、3、……),求数列{ a n }的通项．
⑵已知数列：1、1、2、3、5、8、13、……，根据规律求出该数列的通项．
五、数列的简单应用.
例10:设棋子在正四面体ABCD 的表面从一个顶点移向另外三个顶点时等可能
的.现抛掷骰子,根据其点数决定棋子是否移动,若投出的点数是奇数,则棋子不动；
若投出的点数是偶数,棋子移动到另外一个顶点.若棋子
初始位置在顶点A ，则:
⑴投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B 的概率是多少?
⑵投了四次骰子,棋子都不在顶点B 的概率是多少? ⑶投了四次骰子,棋子才到达顶点B 的概率是多少？ 分析：考虑最后一次投骰子分为两种情况
①最后一次棋子动；②最后一次棋子不动． 解：∵ 事件投一次骰子棋子不动的概率为21；事件投一次骰子棋子动且到达顶点B 的概率为3121? =61． ⑴．投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B 分为两种情况
①.最后一次棋子不动，即前一次棋子恰在顶点B ；②.最后一次棋子动，
且棋子移动到B 点．
设投了i 次骰子，棋子恰好在顶点B 的概率为p i ，则棋子不在顶点B 的概率为(1-
p i )．所以，投了i +1次骰子，棋子恰好在顶点B 的概率：p 1+i = p i ×21+ (1- p i )×6
1 i = 1、2、3、4、……
∴ p 1+i = 61 + 31×p i ∵ p 1= 3121?=61 ∴ p 2=92 ∴ p 3=54
13 ⑵．投了四次骰子,棋子都不在顶点B ，说明前几次棋子都不在B 点，应分为两
种情况
①最后一次棋子不动；②最后一次棋子动，且不到B 点．
设投了i 次骰子，棋子都不在顶点B 的概率为i p ',则投了i +1次骰子，棋子都不在
顶点B 的概率为：1+'i p = i p '×21+ i p '×21×(1﹣3
1) i = 1、2、3、4、…… 即：1+'i p = 65i
p ' 又∵1p '= 21+21×(1﹣31) = 65 ∴ 4p ' = (6
5)4 ⑶．投了四次骰子,棋子才到达顶点B ；说明前三次棋子都不在B 点，最后一次棋子动且
到达顶点B ．设其概率为P 则：
P = 3121?×3p ' = 61×(6
5)3= 1296125 答：（略）．
例11：用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块；第二层用去了剩下的一半多一块，…，依次类推，每层都用去了上层剩下的一半多一块.如果第九层恰好砖块用完，那么一共用了多少块砖？
分析：本题围绕两个量即每层的砖块数a i 和剩下的砖块数b i ，关键是找出a i 和b i 的关系式，通过方程(组)求解．
解：设第i 层所用的砖块数为a i ，剩下的砖块数为b i (i = 1、2、3、4、…… )则b 9= 0，且设b 0为全部的砖块数，依题意，得
a 1=21
b 0+ 1，a 2=21b 1+ 1，…… a i =2
1b 1-i + 1 … … … … ① 又 b 1-i = a i + b i … … … … … ②
联立①②得 b 1-i -b i =21b 1-i + 1 即b i =2
1b 1-i - 1 ∴ b i + 2 =21(b 1-i + 2) ∴ b 9+2 = (2
1)9(b 0+ 2 ) ∴ b 0+2 = 2×29 ∴ b 0= 1022 练习8：⑴十级台阶，可以一步上一级，也可以一步上两级；问上完十级台阶有多少种不同走法？
⑵. 三角形内有n 个点，由这n 个点和三角形的三个顶点，这n + 3个点可以组成多少个不重叠(任意两个三角形无重叠部分)的三角形？
⑶．甲、乙、丙、丁四人传球，球从一人手中传向另外三个人是等可能的.若开始时球在甲的手中．若传了n次球，球在甲手中的概率为a
n
；球在乙手中的
概率为b
n
.(n = 1、2、3、4、…… ).
①问传了五次球，球恰巧传到甲手中的概率a
5和乙手中的概率b
5
分别是多
少？
②若传了n次球，试比较球在甲手中的概率a
n 与球在乙手中的概率b
n
的大小.
③传球次数无限多时，球在谁手中的概率大？
参考答案
练习1：⑴. a n =21(3 n -1) ⑵. a n =n n 2+ 练习2：⑴. a n = n -1 ⑵. a n = 32)
1(-n n
练习3：⑴. a n = 321-n (提示：可两边取对数) ⑵. a n = 32[22-n + (-1)1-n ] 练习4：a n = 23+n 练习5：⑴ a n = 21+n -3 ⑵ a n =1
2211
+--n n 练习6：⑴可得a 1+n +
21(n +1)+41= 3(a n +21n +41) 从而a n =47×31-n -(21n +4
1) ⑵ (略) 练习7：⑴a n = 3 - 13
2-n n
， ⑵由已知得a 2+n = a 1+n + a n ? a n =55[(251+)n -(2
51-)n ] 练习8：⑴∵a 2+n = a 1+n + a n ， a 1= 1，a 2= 2，∴a 10= 89 ⑵∵a 1+n = a n + 2 ，a 1= 3 ∴a n = 2n +1
⑶①∵a 1+n =31(1 - a n ) b 1+n = 31(1 - b n ) a 1= 0 b 1=3
1 ∴a 5= 8120 ； b 5= 243
61 . ②可解得a n = 41-41×1)31(--n b n = 41+121×1)3
1(--n ∴当n 为奇数时， a n <414
1>b n ③当n → ∞时，a n →41，b n →4
1 故球在各人手中的概率一样大．