拓展延伸:圆周角定理
综合运用
一、利用圆周角定理计算线段的长度,证明线段相等或线段成比例
有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧常相互转化,即欲证圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等,要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等,要证线段成比例可以利用圆周角定理将其转化为证明三角形相似,这是重要的解题思路.
例如,如图,AB 是半圆的直径,C为弧AE的中
点,CD⊥AB 于D交AE于F,求证:AF=CF.
方法一:欲证AF=CF,只需证∠ACD=∠CAE,所以只需证这两个角所对的弧相等即可.又因为∠CAE 所对的弧为CE,所以只要画出整个圆找到∠ACD 所对的弧即可.
如图,延长CD 交⊙O 于H,连接AC,BC.
∵CD⊥AB,AB 是直径,
∴∠ACD=∠ABC.
=
∴AC AH
∵C为AE的中点
=
∴CE AC
∴CE AH
=
∴∠CAE=∠ACD.
∴AF=CF.
方法二:如图,欲证∠CAE=∠ACD,连接OC后,得到
∠CAO=∠ACO(因为OC=OA),故只需证∠EAO=∠OCD,
因CD⊥AB,只需证OC⊥AE,由C为AE的中点,便有
OC⊥AE.
再如:已知△ABC 是圆内接正三角形,M是弧BC上的一点(如图).求证:
MA=MB +MC.
要证明一条线段MA 等于两条线段 MB 和 MC 之和, 可将 MA 分为两段, 其中一段 MD 等于已知线段 MC ,再去证明另一段 AD 等于已知线段 MB.
如图,在 MA 上取点D ,使 MD =MC.
∵△ABC 为正三角形,
∴∠1=∠2=60°.∴△MDC 是正三角形.∴CD =MC.
在△ADC 和△BMC 中,
34120AC BC
ADC BMC ?∠=∠?=??∠=∠=?
∴△ADC ≌△BMC.
∴AD =BM.∴MA =MB +MC.
二、圆周角的性质的灵活运用
本节的探索性问题以考查我们对圆周角的性质的灵活运用为主,有利于培养我们的探索能力,解决这类问题要善于把握住本质,采用各种变通的方式来探索和分析.
例如,如图,已知直线AB 交圆于A 、B 两点,点M 在圆上,点P 在圆外,且点M 、P 在AB 的同侧,∠AMB =35°,设∠P =x ,当点 P 移动时,求 x 的变换范围,并说明 理由.
0° 又∠AEB>∠P , ∴∠P<35°.∵P 、M 在 AB 的同侧, ∴∠P>0°.∴0° 再如:为了保证船只安全,在暗礁区附近设两个灯塔A 、B(如图),海港工人把灯 塔 A 、B 对暗礁区所张的角 AMB(称为危险角)的大小通知船只 S ,航行船只只要保证对灯塔 A 、B 所张的视角∠ASB 小于∠AMB ,就可保证安全.这是为什么? 如图,连接 BE ,由圆周角定理的推论可知∠AEB = ∠AMB,且由图可得 ∠ASB<∠AEB,即∠ASB<∠AMB.所以当船 只到达暗礁区的边缘(圆弧AMB)上时,船只对灯 塔的视角等于∠AMB;当船只进入暗礁区时,由圆 周角定理可推出,船只对灯塔的视角大于 ∠AMB.∴当船只对灯塔的视角小于∠AMB 时,船 只必在暗礁区的外面,因而可以保证安全. 思考发现: 1.学习本部分内容时应注意圆周角、弧、弦之间的相互转化. 2.圆心角定理、圆周角定理及其推论,给出了圆心角、圆周角和它们所对的弧以及所对弦之间的关系,可应用于求角、求弦、求弧长等有关问题. 3.应用圆周角定理解题时,在图形中常需添加辅助线,同时要注意数形结合.4.确定点、线的位置关系时,要注意应用分类讨论的思想. 5.圆心角定理、圆周角定理及其推论是进一步推导圆的其他重要性质的理论根据,而且为角的计算,推证角相等、弧相等、弦相等,判定相似三角形、直角三角形等平面几何中的常见问题提供了十分简便的解决方法,学习中要注意体会.