奥数-分式恒等变形学

分式恒等变形

方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。

例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求

111

a b c bc ca ab a b c

++---的值。

例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222

a b c bc ac ab

++的值。

例3. 求证：

2220()()()()()()

a bc

b a

c c ba

a b a c a b b c c b a c ---++=++++++

例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式

2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+222

2z x y xz

+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长

例5. 求分式

24816

1124816

111111a a a a a a +++++

-+++++，当2a =时的值． 例6. 若1111a b c a b c ++=

++，求证：777777

1111

a b c a b c ++=++.

例7. 化简:()()()()()()

a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++．

例8. 计算：2132x x x -++262x x ---210

4

x x --

-．

例9. 化简22

32233223222244

113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--

+++-+--+-．

例10. 化简：

()

()

()

()

()

()

2222222

2

2

2

2

2

a b c b c a c a b a c b

a b c

b c a

------+

+

+-+-+-

例11. 已知0a b c ++=，求证222222222

111

0b c a a c b b a c

++=+-+-+- 例12. 已知0a b c ++=，求222

222222a b c a bc b ac c ab

+++++的值

例13. 已知1,2xyz x y z =++=，

22216

x y z ++=，求代数式

111

222xy z yz x zx y

+++++的值。

方法二、约分：分子、分母先因式分解再约分

例14. 已知分式222

1(1)()x xy x y -+-+

（1） 在什么条件下此分式有意义?

（2） 在什么条件下分式的值为正、为负？ （3） 分式的值能否为0？ 例15. 化简：()()

42236421121111a a a a a a a a a ---?

?-÷

?-+---++?? 例16.

化简：()422423216424

2416844

m m m m m m m m m m -+-+÷?÷+++--+

例17. 化简：2

222222

2112

22a b a ab b ab a b a b ab ??-??+÷+??? ?++-+??????

例18.

化简：

222111111()()()111111()()()a b c b c c a a b a b c b c c a a b

-+-+--+-+- .

方法三、倒数法

例19.

若13x x +=，则33441713x x x x

+

+++=___________．

例20.

⑴ 已知1

5a a

+=，则4221a a a ++=_________.

⑵ 若2

410x x ++=，则42321912192x x x x x ++++=_________.

⑶ 若271

x

x x =-+，则24

21x x x ++=__________．

例21. 若2

310x x -+=，则74843231

x x x

x x ++=++________．

例22.

设211

x

x mx =-+，则36

331x x m x -+的值是（ ） A. 1 B. 213

m + C. 2132m - D. 21

31m +

例23. 己知311=-y x ，求y xy x y

xy x ---+2232的值。

例24. 设4

3

22

3

4

40(0,0)a a b a b ab b a b +-++=≠≠，求

b a

a b

+的值. 例25. 已知

xy a x y =+，yz b y z =+，zx

c z x

=+，且0abc ≠，求x 的值。 例26.

已知()1x

f x x

=

+，求下列的值 111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112

f f f f f f f f f +++++++++

方法四、等比定理、设k 法

例27. 已知：

234134123

1241234

a a a a a a a a a a a a k a a a a ++++++++====，求k ；

例28. 如果234

x y z

==，求2

22

xy yz zx x y z ++++的值。

例29. 若

a b c d b c d a ===，则

a b c d

a b c d

-+-+-+的值是_______或________.

例30. 若0abc ≠，且a b b c c a c a b +++==

，求()()()

a b b c c a abc

+++的值。

例31.

若

x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且0xyz ≠，求()()()x y y z z x xyz

+++的值；

例32. 已知

222

p q r

x yz y zx z xy

==---，求证()()px qy rz x y z p q r ++=++++。

例33.

已知x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且()()()

1x y y z z x xyz

+++=-，求x y z ++.

例34. 已知0ay ≠，且22222222b bx x b bx x a ay y a ay y ++-+=++-+，求证x b a y =或

x b

y a

=。 例35.

已知

y z x z x y x y z p x y z y z x z x y

+-+-+-===+++-+-，求23p p p ++的值。

方法五、巧变“1”

例36.

若1abc =，求证：

1111a b c

a a

b b b

c c ca

++=++++++．

例37.

已知

1111a b c

a a

b b b

c c ca

++=++++++，求证：1abc =．

例38.

若1abc =，解关于x 的方程

2012111x x x

a a

b b b

c c ca

++=++++++．

例39. 已知1ax by cz ===，求

444444

111111

111111a b c x y z +++++++++++的值。

例40. 设a 、b 、c 均为正数，且a+b+c=1，求证111

9a b c

++≥。

方法六、换元法

例41.

化简分式：2

2

2222113111112123

x x x x x x x x x x x x x x ??+--+????+-+-÷?? ?????--+--+?

?

例42.

计算22223322332223()2n m n m m n m n n m n m n m m n m n m n

+++÷---+-

例43.

化简

)()(2)(2)y x z x x y z x y z ---++-（+()()(2)(2)z y x y x y z y z x --+-+-+()()

(2)(2)

x z y z y z x x y z --+--+

例44.

设a ，b ，c 是实数，且

222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，求分式

222(1)(1)(1)

(1)(1)(1)

bc ac ab a b c ++++++的值；

例45. 关于x 的方程22x c x c +

=+的两根是122

,x c x c

==，求关于x 的方程22

11

x a x a +

=+

--的两个根？

例46. 若0x y z ++=，1110123

x y z ++=+++，求222(1)(2)(3)x y z +++++的值。

例47. 已知1,0x y z a b c

a b c x y z ++=++=，求证：2222221x y z a b c

++=.

例48. 设x 、y 、z 都是正数，求证

2229x y y z z x x y z

++≥+++++。

方法七、巧解方程组：消元思想；整体相加（减）；整体相乘；两两相加（减）；

倒数法

例49.

已知三个不全为零的数x 、y 、z 满足4360x y z --=，270x y z +-=。求

222

222

23657x y z x y z ++++的值。

例50. 已知11a b +

=，11b c +=，求2

c a

+的值。

例51.已知

111

x y z

y z x

+=+=+，其中x，y，z互不相等，求证：2221

x y z=.

例52.已知

111

x y z t

y z x

+=+=+=，其中x，y，z互不相等，求t的值。

例53.已知

1

4

x

y

+=，

1

1

y

z

+=，

17

3

z

x

+=，求xyz的值。

例54.解方程组：

2

2

2

2

2

2

4

14

4

14

4

14

x

y

x

y

z

y

z

x

z

?

=?+

?

?

=?

+

?

?

=?

+

?

例55.解方程组：

111

2 111

3 111

4 x y z

y z x

z x y

?

+=?+

?

?

+=?

+

?

?

+=?

+

?

例56. 已知

0a b c

b c c a a b

++=---，求证：222

0()()()a b c b c c a a b ++=--- 例57.

已知220a b -≠，且

22abc abc

a b M b c c a

-=-=++，求证： ()()()abc a b b c c a =+++，且2abc

M c a b

=-+.

方法八、降次思想

例58. 已知2

10x x --=，求25

21

x x x

++的值。

例59. 已知2

519970x x --=，求42(2)(1)1

(1)(2)

x x x x -+----的值。

例60. 已知2

10x x --=，求423223293

21122

x ax x ax -+=-++的值。

方法九、裂项：因式分解再裂相

例61. 计算：20

181

19171531421311?+

?++?+?+?

例62.

化简

111

...123234(1)(2)

n n n +++????++

例63. 111

1

(1)(2)(2)(3)(3)(4)

(100)(101)

x x x x x x x x ++

+

++++++++

例64. 化简：

()()()()()

d c b a c b a d

c b a b a c b a a b +++++++++++

例65. 求证：

111()()(2)[(1)]()()

n

a a d a d a d a n d a nd a a nd ++???+=++++-++

例66. 化简

22

()()()()()()b c c a a b a b a c b c b a c a c b b a c a

---+++---------

例67. 化简分式：

222

111

3256712

x x x x x x ++++++++ 例68. 化简：

222222

b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a

---++---

--+--+--+---. 例69.

化简：

222

222a b c b c a c a b

a a

b a

c bc b ab bc ac c ac bc ab

------++--+--+--+.

例70. 化简：()()()()()()

222a bc b ac c ab

a b a c b c b a c a c b ---++++++++．

例71.

若()2

12a x b xy -=--，且0ab >，求

()()()()

111...1120072007xy x y x y +++++++的值．

例72. 设正整数m 、n 满足m n <，且

22

2

11

11

(1)23

m m m m

n n +++

=++++，则m n +的值是多少？

方法十、化为真分式：部分分式化，求最值或整数解

例73. 将

26

9

x -化为部分分式． 例74. 将下列分式写成部分分式的和的形式：()()

3222

2361

13x x x x x -++++． 例75. 将下列分式写成部分分式的和的形式：

()()()

322

41338

121x x x x x x -+++--．

例76.

若0x y z ++≠，0x y +≠，0y z +≠，0z x +≠，x a y z =+，y b x z

=+，z c x y =

+。求证：1111

a b c a b c ++=+++。

例77.

已知x 为整数，且

2

23218

339

x x x x ++++--为整数，则所有符合条件的x 的值的和为多少？

例78. 求最大正整数n ，使得3100n +能被10n +整除。

例79. 求方程3

01

x y x +-=+的整数解。

例80. 求方程2

2320060x xy x y --++=的正整数解。

例81.

当x 为何值时，分式22

365

112

x x x x ++++有最小值？最小值是多少？

例82.

当x 为何值时，分式2261210

22

x x x x ++++可取最小值，最小值是多少？

例83. 已知2x ≥，2222

(1)

x x x x +--是否有最值，最值时多少？

十一、杂题

例84.

已知1a x =，11

1n n

a a +=-

（1,2,3,...n =） （1）求2a ，3a ，4a ，5a ；（2）求2000a 例85. 已知6ab x a b =

+，求3333x a x b

x a x b

+++--的值.

例86. 已知3a c

b d

==，求证：222222()()a c b d a b c d a c b d a b c d ++++++=+++++

例87. 计算22

2

2

22129911005000220050009999005000

+++-+-+-+。

例88.

若a ，b ，c ，d 是正实数，且44444a b c d abcd +++=，求证：a b c d ===；

分式的恒等变形教学提纲

分式的恒等变形

第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。 分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。 一：基本知识 1.分式的运算规律 （1）加减法：)(同分母c b a c b c a ±=± )(异分母bc bd ac c d b a ±=± （2）乘法：bd ac d c b a =? （3）除法：bc ad d c b a =÷ （4）乘方：n n n b a b a =)( 2.分式的基本性质 （1）)0(,≠÷÷==m m b m a b a bm am b a （2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3.比例的重要性质 （1）如果e f b a e f c d c d b a ===那么,（传递性） （2）如果bd ac c d b a ==那么（内项积等于外项积） （3）如果)(合比性质那么c d c b b a d c b a ±=±= （4）如果)()0(,合分比性质那么d b d b c a c a d b d c b a -+=-+≠-= （5）如果,0,≠+++==n d b n m d c b a 且 那么)(等比性质b a n d b m c a =++++++

4.倒数性质 （1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。 （2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。 （3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。 二、有关分式的运算求值问题 乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 ? 例1.若a 、b 、c 均为非零常数，且满足 a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+， 又abc a c c b b a x ))()((+++=，且0

奥数-分式恒等变形学

分式恒等变形 方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。 例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求 111a b c bc ca ab a b c ++---的值。 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222 a b c bc ac ab ++的值。 例3. @ 例4. 求证： 2220()()()()()() a bc b a c c ba a b a c a b b c c b a c ---++=++++++ 例5. 设正数x ，y ，z 满足不等式 2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+222 2z x y xz +->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长 例6. 求分式 24816 1124816 111111a a a a a a +++++ -+++++，当2a =时的值． ； 例7. 若1111a b c a b c ++= ++，求证：777777 1111 a b c a b c ++=++.

例8. 化简:()()()()()() a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++． ！ 例9. 计算：2132x x x -++262x x ---210 4 x x -- -． 例10. 化简22 32233223222244 113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++-- +++-+--+-． 例11. # 例12. 化简： () () () () () () 2222222 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+ + +-+-+- 例13. 已知0a b c ++=，求证222222222 111 0b c a a c b b a c ++=+-+-+- 例14. 已知0a b c ++=，求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值 … 例15. 已知1,2xyz x y z =++=， 22216 x y z ++=，求代数式 111 222xy z yz x zx y +++++的值。

奥数-分式恒等变形学

分式恒等变形 方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。 例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求 111 a b c bc ca ab a b c ++---的值。 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222 a b c bc ac ab ++的值。 例3. 求证： 2220()()()()()() a bc b a c c ba a b a c a b b c c b a c ---++=++++++ 例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式 2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+222 2z x y xz +->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长 例5. 求分式 24816 1124816 111111a a a a a a +++++ -+++++，当2a =时的值． 例6. 若1111a b c a b c ++= ++，求证：777777 1111 a b c a b c ++=++.

例7. 化简:()()()()()() a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++． 例8. 计算：2132x x x -++262x x ---210 4 x x -- -． 例9. 化简22 32233223222244 113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++-- +++-+--+-． 例10. 化简： () () () () () () 2222222 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+ + +-+-+- 例11. 已知0a b c ++=，求证222222222 111 0b c a a c b b a c ++=+-+-+- 例12. 已知0a b c ++=，求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值 例13. 已知1,2xyz x y z =++=， 22216 x y z ++=，求代数式 111 222xy z yz x zx y +++++的值。

代数式的恒等变形

代数式的恒等变形 一、常值代换求值法——“1”的妙用 例1 、 已知ab=1，求2 211 11b a +++的值 [解] 把ab=1代入，得 22 11 11b a +++ =22 b ab ab a ab ab +++ =b a a b a b ++ + =1 例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值： 分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变． 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同． 同理 练习：1 111,1=++++++++=c ca c b b c b a ab a abc 证明：若 二、配方法 例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b a a b + 之值。 [解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1 =(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0 ∴?? ?==-.1,0ab b a 解得?? ?==;1,1b a ?? ?-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，b a a b + =1+1=2 当a=-1，b=-1时， b a a b +=1+1=2 例1 设a 、b 、 c 、 d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数 的平方和，其形式是______. 解mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2

整式恒等变形

第8讲整式恒等变形 模块一恒等变形→降幂迭代与换元 基础夯实 题型一降幂迭代法与大除法 【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________． 【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试) 已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．

题型二 整体代入消元法 【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值． 【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值． 题型三 换元法 强化挑战 【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2． 【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()() ()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值． 模块二 恒等变形→因式分解与不定方程 题型一 因式分解 基础夯实 【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________． (2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________． 【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________． (2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y 的值． 强化挑战 【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ． 【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．

代数变形中常用的技巧

代数变形中常用的技巧 数学与应用数学专业 摘要：代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。关键词代数变形技巧 两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。 代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。 代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。 一、整式变形 整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。这些知识都是代数中的最基础的知识。有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。 例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2 分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。 解：设y-z=a, z-x=b, x-y=c,则a+b+c=0，y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a, x+y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2 =b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2 =-a2 -b2-c2-2ac-2ab-2bc =-(a+b+c)2 =0 例2：分解因式 ①(1-x2)(1-y2)-4xy ②x4+y4+ x2y2 分析：本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从其含平方的项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解。①题先将括号展开，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。②题用添项、减项法加上x2y2再减去x2y2，即可配方，然后再进行变形分解。 解：①原式= 1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy =(1-2xy+x2y2)-( x2+2xy+ y2)

分式的恒等变形(一)

分式的恒等变形（一） （1）已知2202010a a -+=，则代数式2220202403911a a a -+++的值是__________。 【答案】由已知可得12020a a + =，原式()212202012120202019a a a a =-+++=-++= （2）已知2410a a ++=，则代数式42321912192a a a a a ++++的值是__________。 【答案】由已知可得14a a +=-，22114a a +=，原式22119333211219a a a a + +===++ （3）已知4x y +=-，12xy =-，则1111 y x x y +++++的值是__________。 【答案】由已知可得2240x y +=，原式()()()()()()22 11402423411412115y x x y ++++?-+===-++-+-+ （4）已知4ab x a b = +，则2222x a x b x a x b +++--的值是__________。 【答案】由已知可得()4ab a b x =+， 原式()()()()()()()()() 222222222228222224x a x b x b x a x a b x x ab x a x b x a b x ab x a b x +-++--+-====---++-+ （5）已知612ab a b bc b c ?=??-??=?-?，则ac a c -的值是_________。 【答案】取倒数后两式相加得 14a c ac -=，所以4ac a c =- （6）解方程： ()()()()()111333669218 x x x x x x x ++=++++++ 【答案】裂项相消，111339218x x x ??-= ?++??，解得2x =

分式的恒等变形精讲精练

一、化分式为部分分式的和 【例1】 （4级）(第10届华罗庚金杯决赛) 下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【例2】 （4级）若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1， 且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【例3】 （5级）若213111 a M N a a a -=+ --+，求M 、N 的值. 【例4】 （3级）(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244 x x -，求a ，b . 【例5】 （4级）(2004年第15届培训题)已知正整数,a b 满足111 4 a b +=，则a b +的最大值是 ． 【例6】 （4级）若对于3±以外的一切数，2 8339 m n x x x x -=+--均成立，求mn . 【例7】 （5级）若关于x 的恒等式 222Mx N c x x x a x b +=- +-++中，22 Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N . 【例8】 （4级）将2 6 9 x -化为部分分式. 分式恒等变形（竞赛部分）

【例9】 （4级）化21 (1)(2) x x x ---为部分分式． 【例10】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：234 2 x x x +--. 【例11】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361 (1)(3) x x x x x -++++. 【例12】 （5级）将下列分式写成部分分式的和的形式：322 41338 (1)(2)(1)x x x x x x -+++--. 【例13】 （4级）计算：2132x x x -++262x x ---2 10 4 x x ---． 【例14】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231 (1)(1) x x x x x ++-+-. 二、分式的恒等证明 【例15】 （4级）（1994广东潮州市初中数学竞赛） 求证：()()3322222222 22a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ????++--+-=++-+ ???-+? ??? 【例16】 （5级）已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111 x y z y z x +=+=+，求证：2221x y z =.

分式的恒等变形

第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。 分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。 一：基本知识 1.分式的运算规律 （1）加减法：)(同分母c b a c b c a ±=± )(异分母bc bd ac c d b a ±=± （2）乘法：bd ac d c b a =? （3）除法：bc ad d c b a =÷ （4）乘方：n n n b a b a =)( 2.分式的基本性质 （1）)0(,≠÷÷==m m b m a b a bm am b a （2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3.比例的重要性质 （1）如果e f b a e f c d c d b a ===那么,（传递性）

（2）如果 bd ac c d b a ==那么（内项积等于外项积） （3）如果)(合比性质那么c d c b b a d c b a ±=±= （4）如果)()0(,合分比性质那么d b d b c a c a d b d c b a -+=-+≠-= （5）如果,0,≠+++==n d b n m d c b a 且 那么)(等比性质b a n d b m c a =++++++ 4.倒数性质 （1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。 （2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。 （3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。 二、有关分式的运算求值问题 乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 ? 例1.若a 、b 、c 均为非零常数，且满足 a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+， 又abc a c c b b a x ))()((+++=，且0

第14讲有式的恒等变形

第14讲有理式的恒等变形 可以数是属统治着整个量的世界，而算数的四 则运算则可以看作是数学家的全部装备 麦克斯韦 知识方法扫描 有理式的恒等变形可以分为无条件限制等式和有条件限制等式两大类. 无条件等式的证明方法很多，常用的有：直接从左到右或从右到左的变形（常 常是从较复杂的一边向较简单的一边变形），还有比较法、分析法等. 条件等式的证明实质上是有根据，有目标的有理式的恒等变形，条件等式证 明的基本方法是对约束条件或待证等式进行适当变形， 运用有理式的对称，轮换 性质，有关非负数的性质及比较法，消元法和换元法等?在证明过程中，不但要 注意已知条件的变换，使之有利于应用，同时也要研究结论的需求， 结论部分复 杂的也要进行比较变换，使之有利于已知条件的沟通. 经典例题解析 2 2 b ea ab e (b e)(b a) (e a)(e b) 分析要证A=B ，可先证A-B=O ，这种方法称为求差法。 这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b 代a ， e 代b ，a 代c ,则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第 三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项.具有这种特性的式子叫作 轮换式.利用这种特性，可使轮换式的运算简化. 证明因为 例1.求证: a 2 be (a b)(a e) 左-右 a 2 be (a b)(a e) b 2 ca (b e)(b a) e 2 ab (e a)(e b) a 2 be (a b)(a e) a 2 ae ae be (a b)(a e) a(a c) c(a b) (a b)(a e) a. e abac 同理 b 2 ea e 2 ab (b e)(b a) b e b a (e a)(e b) e a b e

分式的恒等变形-学生版

分式恒等变形（竞赛部分） 一、化分式为部分分式的和 【例1】 若 213111a M N a a a -=+--+，求M 、N 的值. 【巩固】已知正整数,a b 满足 1114a b +=，则a b +的最小值是 ． 【例2】 已知 2a x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b . 【例3】 若关于x 的恒等式 222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N . 【例4】 将 269x -化为部分分式. 【例5】 化 21(1)(2)x x x ---为部分分式． 【例6】 将下列分式写成部分分式的和的形式： 2342 x x x +--. 例题精讲

【巩固】将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361(1)(3) x x x x x -++++. 【例7】 将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231(1)(1) x x x x x ++-+-. 二、分式的恒等证明 【例8】 求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ????++--+-=++-+ ???-+? ??? 【例9】 已知：a c b d =，求证：22222222a b c d a b c d abcd ----++++++=. 【例10】 若a b x a b -=+，b c y b c -=+，c a z c a -=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z +++=--- 【例11】 若1abc =，求证：1111a b c a ab b bc c ca ++=++++++. 【巩固】已知1111a b c a ab b bc c ca ++=++++++，求证：1abc =. 【例12】 已知0a b c b c c a a b ++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=---. 【例13】 已知3142a b ab c d cd +==+==，，，，

2代数式恒等变形.docx

代数式的恒等变形 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法。下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 一．设参数法 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设 一些参数 ( 也叫辅助未知数 ) ，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． 例 1．已知 x y z a b b c c a ，求 x+y+z 的值。 例 2．已知a b b c c a ， a ,b, c 互不相等，a b 2 b c 3 c a 求证： 8a+9b+5c=0． 二．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简” (即由等式较繁的一边向另一边推导 )和“相向趋进” (即将等式两边同时转化为同一形式 )． 例 3．已知 x+y+z=xyz ，证明： x(1-y 2)(1-z2)+y(1-x 2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．

分式的恒等变形

第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。 分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。 一：基本知识 1.分式的运算规律 （1）加减法： )(同分母c b a c b c a ±=± )(异分母bc bd ac c d b a ±=± （2）乘法：bd ac d c b a =? （3）除法：bc ad d c b a =÷ （4）乘方：n n n b a b a =)( 2.分式的基本性质 （1）)0(,≠÷÷==m m b m a b a bm am b a （2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3.比例的重要性质 （1）如果e f b a e f c d c d b a ===那么,（传递性） （2）如果bd ac c d b a ==那么（内项积等于外项积） （3）如果)(合比性质那么c d c b b a d c b a ±=±= （4）如果)()0(,合分比性质那么d b d b c a c a d b d c b a -+=-+≠-= （5）如果,0,≠+++==n d b n m d c b a 且 那么)(等比性质b a n d b m c a =++++++

4.倒数性质 （1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。 （2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。 （3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。 二、有关分式的运算求值问题 乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 ? 例1.若a 、b 、c 均为非零常数，且满足 a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+， 又abc a c c b b a x ))()((+++=，且0

整式恒等变形一览

初中数学中的整式恒等式一览表 草根雾岩@初中理科班数学学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！【1】在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同难度要求对恒等式进行分类. 【课内涉及的恒等式】 （1）平方差公式 （2）完全平方和、差公式 （3）平方和与完全平方和差的关系 （4）完全平方和差的关系 （5）三项和完全平方公式 （6）两项轮换差的完全平方和 （7）十字相乘法 （8）分组分解法

【自招中涉及的公式】 （1）立方和、差公式 （2）完全立方和、差公式 （3）立方和差与完全立方和差的关系（4）杨辉三角 （5）四项和完全平方公式

【几个比较有名的配方公式】 （1）()()()()()()22222222a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc ++=++-=-++ 这是着名的菲波那切（Fibonacci ，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二元柯西不等式. （2）()()244422 2a b a b a ab b +++=++ （3）()()()222222111n n n n n n +?+++=++ （4）()()()222 4444222242a b c d abcd a b c d ab cd +++-=-+-+- 该恒等式可以推出四元的均值不等式. （5）()()()()22123131x x x x x x ++++=++ 该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数. （6）()()()()()22222223122 a b b c c a a b c a b c -+-+-=++-++ 一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式. （7）()()44222242222n k n nk k n nk k +=++-+ 双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一切整数1n >，441n +及44n +都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach ，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain ，1776--1831）定理【2】. 当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式44t 的数。

初2103 根式的恒等变形

第2103讲根式的恒等变形 一、知识和方法要点 ●表示方根的代数式称为根式，即含有根号，且根号内有字母的代数式称为根式。对于根式中的字母的一 组允许的值，代入此根式得到的值称为根式的值。根式的恒等变形是指利用根式的基本性质将根式化为与其恒等的根式。 ●二次根式具有以下基本性质 1 ）2a =（0 a≥）； 2 ||00 a a a a a a > ? ? == ? ?-< ? ； 3 ）(b c +0 a≥）； 4 a≥，0 b≥）； 5 =0 a≥，0 b≥）； 6 ）n0 a≥）。 ●根式的恒等变形有它的特殊性，需要较强的代数式变形技巧。通常要对题目中的条件根式和欲变形根式 综合考虑，寻求一个简单而清晰运算线路进行变形。常用的方法有：分解因式法，配方法，平方法，换元法等。 ●化简根式必须化到最简根式为止，所谓最简根式，是指满足以下三个条件的根式： 1）被开方数（式）的幂指数与根指数互质； 2）被开方数（式）的每一个因式的幂指数都小于根指数； 3）被开方数（式）不含有分母。 二、典型题例选讲 例1 （复合根式化简；配方法）【分析】这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。可通过配方法进行化简。应首先变形为适合配方的形式，然后进行配方。 【解答】化简如下 =。 【评注】配方法是复合二次根式化简的最常用的方法。 例2 （复合根式化简；平方法）【分析】这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。，可通过平方法进行化简。应前两项使用平方法，后两项使用平方法后相加。 【解答】因为 = 2 =。 两式相加得 2。 所以，2 = 原式。 【评注】为了书写简洁，平方运算在根号下进行。

分式-(含答案)

分式-(含答案)

分式 知识点梳理 1. 分式的概念： A 、 B 表示两个整式，A ÷B （B ≠0）可以表示为B A 的形式，如果 B 中含有字母，那么我们把式子B A （ B ≠0）叫分式，其中A 叫分子，B 叫分母。 关于分式概念的两点说明： i ）分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。 ii ）分式中的分母不能为零，是分式概念的组成部分，只有分式的分母不为零，分式才有意义，因此，若分式有意义，则分母的值不为零（所谓分母的值不为零，就是分母中字母不能取使分母为零的那些值）反之，分母的值不为零时，分式有意义。 2. 分式的值为零 分式的值为零?? ?分子的值等于零 分母的值不等于零 3. 有理式的概念 ??????? ?分式 多项式 单项式整式有理式 4. 分式的基本性质

即 )0(≠??=M M B M A B A （2）分式的分子、分母除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。 即 )0(≠÷÷=M M B M A B A 注： （1）分式的基本性质表达式中的M 是不为零的整式。 （2）分式的基本性质中“分式的值不变”表示分式的基本性质是恒等变形。 5. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。 6. 约分：把分式中分子和分母的公因式约去，叫约分。 注：约分的理论依据是分式的基本性质。 约分后的结果不一定是分式。 约分的步骤： （1）分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。 （2）分子、分母都除以它们的公因式。 7. 最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫最简分式。 8. 分式的运算： （1）分式乘法：ac bd c d a b =? （2）分式除法：ad bc d c a b c d a b =?=÷

分式恒等变形.学生版

对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要 注意是否有简便方法. 【引例】 计算2233x y x y x y x x y x x ??+-??---÷ ???+???? 【解析】 原式()2233x y x y x y x x y x x ??+-??=--+÷????+???? ()222 33x y x y x y x x y x x y x ??+-=-?++÷??++?? 2x x y =? - 2x x y = - 例题精讲 思路导航 知识互联网 题型一：分式的混合运算与化简求值 分式恒等变形

【例1】 计算： ⑴2 3 22()x y x x y xy x y ????-÷+? ? ?-???? ⑵2 212239a a a a a a -+÷--- 【例2】 将下列式子先化简，再求值 ⑴已知：2 380x x +-=，求代数式21441212 x x x x x x -+-?- -++的值； ⑵已知：31=+x x ，求12 42++x x x 的值； ⑶已知：2 410a a ++=，且42321533a ma a ma a ++=++，求m 的值； ⑷已知113x y -=，求2322x xy y x xy y +---的值． 典题精练

恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)． 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变． 【引例】已知有理数a、b、c满足1111 a b c a b c ++= ++ ，求证：a b =-，或b c =-，或c a =-． 【解析】 1111 a b c a b c ++= ++ 1111 a b a b c c +=- ++ () () () a b a b c a b c ab c a b c c a b c -+ +--- == ++++ ①若0 a b +≠ 则 () 11 ab c a b c - = ++ ∴2 ac bc c ab ++=- 20 ab ac bc c +++= ∴()()0 a b c c b c +++= ()()0 a c b c ++= ∴0 a c +=或0 b c += ②当0 a b +=时，即a b =- 综上所述c a =-，或a b =-，或b c =-．例题精讲 思路导航 题型二：分式的恒等变形

七年级数学寒假专题恒等式恒等变形

七年级数学寒假专题——恒等式、恒等变形 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 寒假专题——恒等式、恒等变形 二. 重点、难点： 恒等变形是代数中非常重要的部分，主要用到因式分解以及分式的运算及逆运算。 【典型例题】 [例1] 如果多项式，当，为何值时，P 的值最小？并求出P的最小值。 分析：本题要运用因式分解配方，但是有这一项，所以应当有一个三项的完全平方。 解： ∵当且仅当取“=” 又当且仅当时，取“=” 解得∴当时两个等号同时成立 ∴即P的最小值是1991 [例2] 当变化时，求分式的最小值。 分析：变化时，分子分母都在变化不好求解，所以要把此分式分化至只有一个发生变化。

解： 原式 当时，所以 则原式所以的最小值为4 [例3] 计算： 分析：本题若直接通分再去化简计算量非常大，因此必须认真分析式子的结构特点，寻找解决问题的突破口，不难发现 ，， ，可设，，使问题的形式简捷，有利于问题的解决。 解： 因为 令，， 则原式

[例4] 求证：。 分析：注意等式右边的如果乘到左边，那么问题将大大简化。 左 右边 [例5] 已知，求证：。 分析：以连比形式出现的结论，容易让人想到非负数的性质，即若干个非负数之和等于零，则这几个非负数均为零，所以应想到配方法。 证明：由已知条件化简得： 移项配方得： ∴ 即故命题成立。 [例6] 若，求证：。 分析：要证明命题成立，只要证： 即可

因为则设 则， 则 ∴故命题成立 [例7] 已知，求证：。 证明： ∵∴∴ 同理 于是 [例8] 设，求。 解：由题设知这样有 即

∴ [例9] 已知，求证：。 用分析法欲证： 再把上面的过程倒过来即可 证明： 说明：遇到从条件不好证的题目应用分析法倒推。 【模拟试题】（答题时间：40分钟） 1. 已知：，求证：。 2. 已知：，，，求证： 。 3. 已知：，，，求证：。

分式恒等变形小结教学案精编

分式恒等变形 题型一：分式的混合运算与化简求值 对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法. 【引例】 计算2233x y x y x y x x y x x ??+-??---÷ ???+???? 【解析】 原式()2233x y x y x y x x y x x ??+-??=--+÷????+??? ? ()222 33x y x y x y x x y x x y x ??+-=-?++÷??++?? 2x x y =? - 2x x y = - 【例1】 计算： ⑴2 3 22()x y x x y xy x y ????-÷+? ? ?-???? ⑵22 12239a a a a a a -+÷--- 例题精讲 典题精练

【例2】 将下列式子先化简，再求值 ⑴已知：2 380x x +-=，求代数式21441 212 x x x x x x -+-?- -++的值； ⑵已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值； ⑶已知：2 410a a ++=，且4232 1533a ma a ma a ++=++，求m 的值； ⑷已知113x y -=，求2322x xy y x xy y +---的值． 题型二：分式的恒等变形 恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式． 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)． 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变． 【引例】 已知有理数a 、b 、c 满足 1111 a b c a b c ++= ++，求证：a b =-，或b c =-，或c a =-． 【解析】 1111 a b c a b c ++=++ 1111a b a b c c +=-++ ()()() a b a b c a b c ab c a b c c a b c -++---==++++ ① 若0a b +≠ 则() 11ab c a b c -= ++

恒等证明-第九讲代数式的恒等变形学生版

第九讲 代数式的恒等变形 一、化简 例1 化简 ()()() ()()()()32112121234123123412112n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++++++ ++++++++???++???+ 例2 已知221mn x n =+，且m ＞0,0＜n ＜1,化简()()()()2122 1122.m n m x m x m x ++-+-- 例3 10,x -<<若化简221111 1.1111x x x x x x x x ????+-+-+ ? ? ? ?+---+-??? ? 化简问题应根据题目本身特点运用分解因式、分式、根式等基本概念和运算法则，作适当的恒等变形简化运算过程。

二、求值问题 例1 37271333 +-32求1+的值。3 。 例2设a 、b 、c 均为大于1的整数，且a b c <<，若()()()111ab bc ca ---能被abc 整除，求符合条件a 、b 、c 的值。 三、证明问题 例1 已知a 、b 、c 、d 为四边形的四条边，且4444 a 4 b c d abcd +++=。 求证 这四边形是菱形。 例2 关于χ的方程2()()()()0a b c d m χχχχ-----=中，m 是质数，a 、b 、c 、d 是互不相等的整数，且方程有整数解。 求证 a b c d +++可被4整除。

例3 已知312123123123.()n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ====、、、、、都是正数 求证 112233n n a b a b a b a b ＋＋＋＋＋＋＋＋ 123123(n n a a a a b b b b ＝＋＋＋＋）（＋＋＋＋） 。 四、解方程 例 解方程2 2(1013)(58)(1)1χχχ+++=. 五、练习题 1.化简 2 3 2()a a b b b a a a b b -++++33ab b a b --