不等式解题漫谈
一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用
不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.
倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1
b
等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1
x
)>1.
分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a, 1
x 同
号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0 x <1, ∵0 ∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1 1-a ; 综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0 1-a ). 注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。 二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用 绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。 当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线； 当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。如： 若1<1a <1 b ,则下列结论中不正确的是（ ） A 、log a b>log b a B 、| log a b+log b a|>2 C 、(log b a)2 <1 D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 分析：由已知，得0 注：绝对值不等式是一个十分重要的不等式，其本身的应用价值很广泛，但在高考或其他试题中常设计成在等号成立时的特殊情况下的讨论，因此利用等号成立的条件（a,b 同号或异号）是解决这一类问题的一个巧解。 三、“抓两头 看中间”，巧解“双或不等式”——不等式的解法 （1）解不等式（组）的本质就是对不等式（组）作同解变形、等价变换。 （2）多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向 不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。常用画数轴的方法来确定,但毕竟要画数轴.能否不画数轴直接就可得出解集呢?下面的方法就十分有效。可以“先同向再异向”的原则来确定，即先将同向不等式“合并”（求交集），此时“小于小的，大于大的”；最后余下的两个异向不等式，要么为空集，要么为两者之间。 如解不等式组:?????x<1 ① x<3 ② x>-3 ③x>0 ④-1 , 先由③④(同>)得x>0(大于大的);再由①②(同<)得x<1(小于小的);再将x>0与x<1分别与⑤作交集,由x>0与⑤得0 （3）双或不等式组的解集合成 形如???f 1(x)b f 2(x) g 2(x)>d 的不等式组称为“双或”型不等式组（实际上包括多个“或”型不 等式组成的不等式组也在此列），这是解不等式组中的一个难点。解决这类不等式组时常借用数轴来确定，但学生在求解时总会出现一些错误。这里介绍一种不通过数轴的直接方法：“抓 两头 看中间”！如：???xb x ,先比较a,b,c,d 四个数的大小，如a 有xd （即抓两头）；再看x>b 与x 四、巧用均值不等式的变形式解证不等式 均值不等式是指：a 2 +b 2 ≥2ab(a,b ∈R) ①；a+b ≥2ab( a,b ∈R +) ②. 均值不等式是高考的重点考查内容，但其基本公式只有两个，在实际解题时不是很方便。若能对均值不等式进行适当变形，那么在解题时就能达到事半功倍的效果。下面的一些变形式在解题时就很有用，不妨一试。当然你也可以根据需要推导一些公式。如： (1) a 2 ≥2ab-b 2 ③; 是将含一个变量的式子，通过缩小变为含两个变量的式子，体现增元之功效，当然 反过来即是减元； (2) a 2 b ≥2a-b ④; (a,b>0) 是将分式化为整式，体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解: 求证：（1）a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ac;(2) a 2 b +b 2 c +c 2 a ≥a+b+c. (a,b,c>0) （析：（1）由a 2 ≥2ab-b 2 得b 2 ≥2bc-c 2 ,c 2 ≥2ac-a 2 ,三式相加整理即得；（2）∵a 2 b ≥2a-b ∴同样可得另两式，再将三式相加整理即得）。 (3)ab ≤(a+b 2 )2 ⑤; 利用不等关系实现两数和与两数积的互化； (4) a 2 +b 2 2≥ a+b 2 ≥ab ⑥;(a,b>0) 利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化； 注：涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分常见的问题，利用⑤、 ⑥两式可以使其中的关系一目了然。从解题分析上看，对解题有很好的导向作用。 (5)若a,b ∈R +，则x 2 a +y 2 b ≥(x+y)2 a+b ⑦(当且仅当x a =y b 时取等号); 此式在解题中的主要作用表现在：从左向右看是“通分”（不是真正的通分）或“合并”，化多项为一项，项数多了总不是好事；从右向左看，是“分解”或“拆项”，实现“一分为二”的变形策略。这在解不等式相关问题中就很有作为！请看下例： 例：已知-1 1-ab . 分析：由上不等式，立即得到 11-a 2+11-b 2≥(1+1)2 2-a 2-b 2≥ 42-2ab =2 1-ab 。 ⑦式还可推广到三个或更多字母的情形，即x 2 a +y 2 b +z 2 c ≥(x+y+z) 2 a+b+c (a,b,c>0); b 12 a 1+ b 22 a 2+…+ b n 2 a n ≥( b 1+b 2+…+b n ) 2 a 1+a 2+…+a n (a 1,a 2,…,a n >0) (6) ax+by ≤a 2 +b 2 x 2+y 2 .(柯西不等式) 此不等式将和(差)式与平方和式之间实现了沟通,灵活应用此式可以很方便地解决许多问题.如下例: 例: 使关于x 的不等式x-3+6-x ≥k 有解的实数k 的取值范围是【 】 A 6- 3 B 3 C 6+ 3 D 6 分析:所求k 的范围可以转化为求不等式左边的最大值即可,由柯西不等式得 x-3+6-x ≤2(x-3)2 +(6-x)2 =23= 6.∴k ≤6,∴k 的最大值是 6.填D. 五、不等式中解题方法的类比应用 1、三种基本方法：比较法、分析法、综合法。其中比较法可分为作差比较法和作商比较法，不仅在不等式的证明和大小比较中有广泛的应用，同时在其他方面也有很大的作用。如分析法就是一种重要的思维方法，在数学的其他章节中也有广泛的应用。 2、放缩法：是不等式证明中一种十分常用的方法，它所涉及的理论简单，思维简单，应用灵活，因而在解题时有着十分重要的应用。如果能灵活应用放缩法，就可以达到以简驭繁的效果。 活题巧解 例1若1<1a <1 b ,则下列结论中不正确．．．的是【 】 A log a b>log b a B| log a b+log b a |>2 C (log b a)2 <1 D |log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 【巧解】特例法、排除法 由已知，可令a=12，b=1 3，则log a b=log 23>1,0 两边相等，故选D 。 例2 不等式组???|x-2|<2 log 2(x 2 -1)>1 的解集为【 】 (A) (0,3)； (B) (3,2)； (C) (3,4)； (D) (2,4)。 【巧解】 排除法 令x=3,符合，舍A 、B ；令x=2,合题，舍D ，选C 。 [答案] C 。 例3 已知y=f(x)是定义在R 上的单调函数，实数x 1≠x 2，λ≠-1α=x 1+λx 21+λ,β=x 2+λx 1 1+λ， 若|f(x 1)-f(x 2)|<|f(α)-f(β)|，则【 】 A ．λ<0 B ．λ=0 C. 0<λ<1 D ．λ≥1 【巧解】 等价转化法 显然λ≠0,β=x 2+λx 1 1+λ=x 1+ 1 λx 21+1 λ , ∴ α、β分别是以x 1,x 2为横坐标的点所确定的线段以 λ和1 λ为定比的两个分点的横坐标.由题意知，分点应在线段两端的延长线上，所以λ<0,故 选A 。 例4 0 （A ）|log (1+a)(1-a) |+| log (1-a)(1+a)|>2 （B ）| log (1+a)(1-a)|<| log (1-a)(1+a) | （C ）| log (1+a)(1-a)+log (1-a)(1+a)|<| log (1+a)(1-a)|+|log (1-a)(1+a)| （D ）| log (1+a)(1-a)-log (1-a)(1+a)|>| log (1+a)(1-a)|-|log (1-a)(1+a)| 【巧解】换元法、综合法 由于四个选项中只涉及两个式子log (1+a)(1-a) 和log (1-a)(1+a)，为了简化运算看清问题的本质，不妨设x= log (1+a)(1-a),y= log (1-a)(1+a),由0 [答案] A 。 例5已知实数 a ，b 满足等式(12)a =(13)b ，下列五个关系式：①0 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【巧解】数形结合法 在同一坐标系内同时画出两个函数图象：y 1=(12)x ,y 2=(13)x ,(如图)作直线y=m(m>0图中平 行于x 轴的三条虚线),由图象可以看到：当0 [答案] B 。 例6 如果数列｛a n ｝是各项都大于0的等差数列，且公差d ≠0，则【 】. （A ）a 1+a 8a 4+a 5 （D ）a 1a 8=a 4a 5 【巧解】特例法、排除法 取a n =n,则a 1=1, a 4=4, a 5=5, a 8=8,∴a 1 +a 8=a 4+a 5,故选B 。 [答案] B 。 例8 已知a,b,c 均为正实数，则三个数a+1b , b+1c , c+1 a 与2 的关系是【 】 A 、都不小于2 B 、至少有一个不小于2 C 、都不大于2 D 、至少有一个不大于2 【巧解】整体化思想 (1 3)x 将a+1b , b+1c , c+1a “化整为零”，得a+1b +b+1c +c+1a = a+1a +b+1b +c+1c ≥6，故已知的三个数中 至少有一个不小于2。故选B 。 [答案] B 例9 解不等式 –1< 3x x 2 -4 <1. 【巧解】数轴标根法、等价转化法 原不等式等价于 （3x+x 2 -4)(3x-x 2 +4)<0，即(x+4)(x-1)(x+1)(x-4)>0, 由数轴标根法，知解集为{x|x<-4或-1 注：可以证明不等式m g(x) 例10 不等式|x+2|≥|x|的解集是______. 【巧解】 数形结合法 由数轴上点的意义知，上述不等式的意义是数轴上的点x 到-2的距离不小于到原点的距离。由图形，易知，x ≥-1。 [答案] {x|x ≥-1} 例11已知c>0，不等式x+|x-2c|>1的解集是R ，求c 的取值范围。 【巧解】等价转化法 要使原不等式的解集为R ，只需不等式中不含x 即可，故有 x-x+2c>1 ∴ c>1 2。 [答案] c>1 2 注：这里将|x-2c|中去绝对值的讨论简化为符合题意的一种，显然简捷、精彩！ 例12已知f(x)=(x-a)(x-b)-2 (a 【巧解】数形结合法 令g(x)= (x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2,由f(x)=0得g(x)=2,因此f(x)=0的两根m,n 可看成直线y=2与y=g(x)交点的横坐标，画出f(x),g(x)的图象，由图象容易得到m [答案] m 例13 若0 +d 2 =b 2 +c 2 ,求证：a+d 由0 >(b-c)2 ,又(a+d)2 +(a-d)2 =(b+c)2 +(b-c)2 , 两式相减，得(a+d)2 <(b+c)2 , ∴ a+d 注：本题的几何意义是：在Rt ΔABC 与Rt ΔABD 中，其中AB 为公共的斜边。若BC>BD,则AC 例14 求征：1+122+132+…+1n 2<2-1 n (n ≥2,n ∈N*). 【巧解】逆用公式法、放缩法 逆用数列的前n 项和的方法来求。设想右端2-1n 是某数列{a n }的前n 项和，即令S n =2-1 n , 则n ≥2时，a n =S n -S n-1=(2-1n )-(2-1n-1)=1n-1-1n =1n(n-1), 这样问题就转化为1n 2<1 n(n-1) ,而这显然。 ∴命题成立。 [答案] 见证明过程 例15 已知a>b>c,求证：1a-b +1b-c +1 c-a >0. 【巧解】放缩法 ∵0 a-c , ∴原式得证。 [答案] 见证明过程 例16 已知a,b,c 均为正数，求证：3(a+b+c 3 - 3 ab)≥2(a+b 2 - ab)。 【巧解】比较法、基本不等式法 ∵ 左边-右边=2ab+c-33ab=ab+ab+c-33ab ≥33ab-33 ab=0，∴原式成立。 [答案] 见证明过程 例18 已知a+b=1(a,b ∈R)，求证：(a+1)2+(b+1)2 ≥92。 【巧解】数形结合法。 显然Q(a,b)是直线L ：x+y=1上的点，(a+1)2 +(b+1)2 表示点Q 与P(-1,1)的距离的平方。如图，设PT ⊥直线L 于T ，所以|PQ|2≥|PT|2，又|PT|2=(|-1-1-1|1+1 )2=92，∴|PQ|2 ≥ 92 ∴原式成立。 [答案] 见证明过程 例20 已知f(x)=x x+1，若a>b>0,c=2 1 b(a-b) ,求证：f(a)+f(c)>1. 【巧解】基本不等式法、放缩法 可以证明f(x)在(0,+∞)上是增函数。 ∵ c=2 1 b(a-b) ≥21 (a-b+b 2 )2=2 4a 2=4a >0,∴ c ≥4a ， ∴f(c)≥f(4a )，而f(a)+f(c)≥f(a)+f(4a )=a a+1+4a 4a +1=a a+1+4a+4>a a+4+4 a+4 =1. [答案] 见证明过程 例21 若关于x 的不等式x 2 +2ax-2b+1≤0与不等式-x 2 +(a-3)x+b 2 -1≥0有相同的非空解集，求a,b 的值。 【巧解】等价转化法,数形结合法 将y= x 2 +2ax-2b+1与 y=-x 2 +(a-3)x+b 2 -1两式相加，得 2y=(3a-3)x+b 2 -2b,此即为直线MN 的方程（其中M 、N 分别为两函数图象与x 轴的两个交点）；另一方面，由题意知，MN 即x 轴，其方程为y=0,比较两式的系数得，3a-3=0,b 2 -2b=0,从而易得a=1,b=0或2，特别地当a=1,b=0时，两不等式的解集为{-1}，也符合题意。 [答案] a=1,b=0或2。 例22设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减，若f (1-m ) 【巧解】等价转化法 解：∵f(x) 是偶函数，∴f (-x )=f (x )=f (|x |), ∴ f (1-m ) 2。 [答案] -1≤m <1 2 . 注：本题应用了偶函数的一个简单的性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，值得关注。 例23解不等式：12 +2x+3 2x 3+x+1 <3. 【巧解】构造法，定比分点法 把12、x 3 +2x+32x 3+x+1 、3看成是数轴上的三点A 、P 、B ，由定比分点公式知P 分所成的比t>0,即x 3 +2x+32x 3 +x+1-1 23-x 3 +2x+32x 3 +x+1 >0,化简得 x(3x+5)>0,∴ x ∈(-∞,53)∪(0,+∞)。 [答案] x ∈(-∞,5 3 )∪(0,+∞)。 例24 已知x,y,z 均是正数，且x+y+z=1,求证：1-3x 2 +1-3y 2 +1-3z 2 ≤6。 【巧解】配凑法、升幂法 不等式两边配上 2 3 ，再运用均值不等式升幂。（你知道为什么要配2 3 吗？） 23 1-3x 2 +23 1-3y 2 +231-3z 2 ≤23+1-3x 22 + 23+1-3y 22 + 23+1-3z 22 =5-3(x 2 +y 2 +z 2 ) 2≤5-3× 132=2， ∴原式成立。 [答案] 见证明过程 例25 设a,b,c 为ΔABC 的三条边，求证：a 2 +b 2 +c 2 <2(ab+bc+ca). 【巧解】综合法 ∵a+b>c,b+c>a,c+a>b,∴三式两边分别乘以c,a,b 得ac+bc>c 2 ,ab+ac>a 2 ,bc+ab>b 2 ,三式相加并整理得, a 2 +b 2 +c 2 <2(ab+bc+ca). [答案] 见证明过程 例26 解不等式 8(x+1)3+ 10x+1 - x 3 -5x>0. 【巧解】构造法,综合法 原不等式等价于(2x+1)3+5(2x+1 )>x 3+5x,构造函数f(x)= x 3 +5x,则原不等式即为f( 2x+1)>f(x)，又f(x)在R 上是增函数，∴2 x+1>x,解此不等式得 x<-2或-1 例27已知函数f(x)=x 2 +ax+b(a,b ∈R),x ∈[-1,1],求证：|f(x)|的最大值M ≥12. 【巧解】反证法 假设M<12,则|f(x)|<12恒成立，∴-12 2 , 令x=0,1,-1,分别代入上式，得 -12 2 ③, 由②+③得-32 2 ，这与①式矛盾，故假设不成立，∴原命题成立。 [答案] 见证明过程 例28 已知二次函数f(x)=ax 2 +bx+c,且方程f(x)=0的两根x 1、x 2都在(0,1)内，求证:f(0)f(1)≤a 2 16 . 【巧解】待定系数法、基本不等式法 因方程有两个实根为x 1,x 2,故可设f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),于是 f(0)f(1)=ax 1x 2·a(1-x 1)(1-x 2)=a 2 x 1(1-x 1)x 2(1-x 2)≤a 2 ·14·14≤a 2 16 。 [答案] 见证明过程 例29 若a 1、a 2、…、a 11成等差数列，且a 12 +a 112 ≤100，求S=a 1+a 2+…+a 11的最大值和最小值。 【巧解】基本不等式法、综合法 (a 1+a 11)2 =a 12 +2a 1a 11+a 112 ≤2(a 12 +a 112 )≤200,∴|a 1+a 11|≤102， 又a 1、a 2、…、a 11成等差数列,∴S=a 1+a 2+…+a 11=11 2(a 1+a 11), ∴ S max =552，S min =-55 2. [答案] S max =552，S min =-55 2. 例30若0≤x,y ≤1，求证：x 2 +y 2 +(1-x)2 +y 2 +x 2 +(1-y)2 +(1-x)2 +(1-y)2 ≥2 2 等号当且仅当x=y=1 2 时成立。 【巧解】构造法 如图，设正方形ABCD 的边长为1，BH=x,AE=y,则 HC=1-x,BE=1-y,于是AP=x 2 +y 2 ,BP=x 2 +(1-y)2 , DP=(1-x)2 +y 2 , PC=(1-x)2 +(1-y)2 ,由AP+PC ≥AC ，BP+DP ≥BD ，而AC=BD=2。看,此时结论是不是显然的了？ [答案] 见证明过程 例31 设m 是方程ax 2 +bx+c=0的实根，且a>b>c>0,求证：|m|<1. 【巧解】综合法 设方程的另一根为n,则由韦达定理得m+n=- b a <0,mn=c a >0,∴ m,n 同为负数， ∴ 1>b a >|m+n|=|m|+|n|,∴ |m|<1,|n|<1.∴结论成立。 [答案] 见证明过程 例32 已知二次函数f(x)=ax 2 +bx+1(a,b ∈R,a>0),设方程f(x)=x 的两实根为x 1和x 2，如果x 1<2 F D C B x 【巧解】 数形结合法 设g(x)=f(x)-x=ax 2 +(b-1)x+1,由题意得???g(2)<0g(4)>0,即 ???4a+2b-1<016a+4b-3>0 ,目标是证明-b 2a >-1,即b a <2.如图作出约束条件下的平 面区域（不含边界），而b a 表示区域内的点(a,b)与坐标原点连线的 斜率，易见b a <2,故命题成立。 [答案] 见证明过程 例33 已知12≤a k ≤1(k ∈N +),求证：a 1a 2…a n +(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n )≥1 2n-1. 【巧解】增量法、换元法 设令a k =12+b k (0≤b k ≤12)，则原式左边=(12+b 1)(12+b 2)…(12+b n )+(12 -b 1)(12 -b 2)…(1 2 -b n )=[(12)n +M]+[(12)n +N]=(12)n-1+M+N ≥(12 )n-1 =右边，∴原式成立。 [答案] 见证明过程 （注：多项式M 和N 正负抵消部分项后，所余部分和必为非负数。） 例35 已知a,b,c ∈R,f(x)=ax 2 +bx+c.若a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大值是2，最小值是-52。证明：a ≠0且|b a |<2. 【巧解】反证法 假设a=0或|b a |≥2。 （1）若a=0,则由a+c=0,得c=0,∴f(x)=bx.由题设知b ≠0，∴f(x)在[-1,1]是单调函数，从而f(x)max =|b|;f(x)min =-|b|,于是|b|=2,-|b|=- 5 2 ,由此得矛盾； （2）若|b a |≥2,则|-b 2a |≥1且a ≠0，因此区间[-1,1]在抛物线f(x)=ax 2 +bx-a 的对称轴 x=-b 2a 的左侧或右侧，∴函数f(x)在[-1,1]上是单调函数，从而f(x)max =|b|;f(x)=-|b|,由（1）知这是不可能的。 综合（1）（2）知，命题成立。 [答案] 见证明过程 例36 是否存在常数C ，使得不等式x 2x+y +y x+2y ≤C ≤x x+2y +y 2x+y ，对任意正数x,y 恒成立？ 试证明你的结论。 【巧解】分析法 令x=y=1，得23≤C ≤23，所以C=2 3 。下面给出证明： (1) 先证明：x 2x+y +y x+2y ≤23，因为x>0,y>0,要证：x 2x+y + y x+2y ≤2 3，只要证 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即证：x 2 +y y ≥2xy,这显然成立， ∴ x 2x+y +y x+2y ≤2 3 ； （2）再证：x x+2y +y 2x+y ≥2 3，只需证：3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y), 即证：x 2+y 2 ≥2xy,这显然成立，∴x x+2y +y 2x+y ≥23 。 综合（1）、（2）得，存在常数C=23，使对于任何正数x,y 都有x 2x+y +y x+2y ≤23≤x x+2y +y 2x+y 成 立。 [答案] 存在常数C=2 3 ,证明略. （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。 ③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数： n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4 (),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b 不等式训练1 A 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522 >-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________. 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b a b +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2．2a b a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若a b 是定值，那么当且仅当a b =时，()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2 m a x 2a b a b +??= ??? ，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ，当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1m x n y +=上，则m n 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=，明显，和为 定，根据和定积最大法则可得：2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ，当且仅当12m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2 122 x x f x +=+ ，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =，当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式：已知2x >-，则12 x x + +的最小值为 。 解析：由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++，当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号，此时可得 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x 均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥. 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 第二讲 解不等式（一） 一、知识梳理 （一）考点目标定位 高考中解不等式主要涉及到一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）、分式不等式（组）、绝对值不等式（组）、指数不等式（组）、对数不等式（组）、三角不等式（组）以及含参数的不等式等。其中尤以一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、三角不等式为热门。 解不等式在高考中的题型主要是在综合题中作为解题的一个步骤有所涉及，在填空题中和集合结合为简单题型。 （二）复习方略指南 熟悉各种不等式的解题方法，特别是要注意分式不等式、对数不等式和三角不等式的定义域情况以及一元二次不等式的判别式情况。 二、知识回顾 1、不等式|2x 2－1|≤1的解集为 {x |－1≤x ≤1} 2、已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U M e= {} ()()+∞-∞--<>,22,22 或或x x x 3、不等式09 311421 2≥-x x 的解集为______(,3][2,)-∞-+∞_________ 4、不等式3 2-+x x x ）（＜0的解集为 ()(),20,3-∞- 5、不等式()210ax ab x b +++>的解集为{}12x x <<，则a b +=___－ 23或－3____. 解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴???? ?????==+-<.2310a b a ab a ，，解得?????-=-=121b a ，或???-=-=.21b a ， ∴a +b =－23或－3. 6、不等式||52||1 x x ->-+的解集是 (1)(1-???，， ． 三、典型例题 例1、解不等式：()R a x a ax ∈+<+2 1 解：原不等式化为()112-<-a x a 当1,1+<>a x a 有时； 当11+>-x x 解一：原不等式可化为??????<<-?∈<<-?∈-<-222223022x R x x R x x 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 高中数学-不等式的解法 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0， n € N *， n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 高中数学不等式练习题 一．选择题（共16小题） 1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+ C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜ 2．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 3．若x，y满足，则x+2y的最大值为（） A．1 B．3 C．5 D．9 4．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 5．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6 6．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（） A．0 B．1 C．2 D．3 7．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3] 8．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．0 C．D．3 9．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3 10．若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（） A．1 B．C．2 D．2 11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（） A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c 12．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（） A．2 B．2 C．4 D．2 13．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（） A．6 B．C．D． 14．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（） A．35 B．105 C．140 D．210 15．设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（） A．2 B．4 C．8 D．16 16．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（）A．B．C．D． 二．解答题（共10小题） 17．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同． （Ⅰ）求m﹣n； （Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值． 18．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求A∩B； 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??=(完整版)高中数学不等式归纳讲解
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