年级七年级学科数学版本通用版
课程标题平行线的判定
一、三线八角图析（同位角、内错角、同旁内角）
1. 同位角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线同一方、且在截线同一侧的两个角，叫做同位角。
上图中，同位角有4对：
∠1和∠2,∠3和∠4,∠5和∠6,∠7和∠8
2. 内错角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线的内部,且在第三直线的两侧的两个角,叫做内错角。
上图中，内错角有2对：
∠4和∠5，∠2和∠7
3. 同旁内角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线的内部,
且在第三直线的同旁的两个角,叫做同旁内角。
上图中，同旁内角有2对：
∠4和∠7，∠2和∠5
技巧归纳：同位角是F形状；
内错角是Z形状;
同旁内角是U形状。
二、平行线的判定方法
如（1）如图，下列条件不能判定直线a∥b的是（）
A. ∠1=∠2
B. ∠1=∠3
C. ∠1+∠4=180°
D. ∠2+∠4=180°
解：A. ∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；
B. ∵∠1=∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；
C. ∠1+∠4=180°与a、b的位置无关；
D. ∵∠2+∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。
故选C。
（2）图中有直线L截两直线L1、L2后所形成的八个角。由下列哪一个选项中的条件可判断L1∥L2（）
A. ∠2+∠4=180°
B. ∠3+∠8=180°
C. ∠5+∠6=180°
D. ∠7+∠8=180°
解：∵∠3+∠8=180°，而∠4+∠8=180°，
∴∠3=∠4，
∴L1∥L2。（内错角相等，两直线平行）。
故选B。
（3）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（）
A. ∠1=∠2
B. ∠1=∠5
C. ∠1+∠3=180°
D. ∠3=∠5
解：A. 根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故本选项错误；
B. ∵∠5=∠3，∠1=∠5，
∴∠1=∠3，
即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；
C. ∵∠1+∠3=180°，
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故本选项正确；
D. 根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；
故选C。
例题1 如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需满足下列条件中的（）
A. ∠1=∠2
B. ∠2=∠AFD
C. ∠1=∠AFD
D. ∠1=∠DFE
解析：要使DF∥BC，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，选项中∠1=∠DFE，根据已知条件可得∠1=∠2，所以∠DFE=∠2，满足关于DF、BC的内错角相等，则DF∥BC。
解：∵EF∥AB，∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）。∵∠1=∠DFE，
∴∠2=∠DFE（等量代换），∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行），所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE，故选D。
答案：D
点拨：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角。本题是一道探索性条件开放性题目，其中牵涉“等量代换”这一解题思想，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力。
例题2 如图所示，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN=∠DNF，∠1=∠2，那么MQ∥NP。为什么？
解析：由已知结合等式的性质，可得∠PNF=∠QMN，根据同位角相等，两直线平行可得MQ∥NP。
答案：证明：∵∠BMN=∠DNF，∠1=∠2（已知），∴∠BMN+∠1=∠DNF+∠2，即∠QMN=∠PNF ∴MQ∥NP（同位角相等，两直线平行）。
点拨：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行。
例题3 如图所示，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2。
（1）AB与CD平行吗？为什么？
（2）DF与AE平行吗？为什么？
解析：（1）根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°，推出∠3=∠4，根据平行线的判定推出即可。
答案：解：（1）AB∥CD。理由是：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=∠BAD=90°，∴CD∥AB；（2）DF∥AE，理由是：由（1）知，∠2+∠3=90゜，∠1+∠4=90゜，∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴DF∥AE。
点拨：灵活选用平行线的判定的应用，以及等式的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的首要条件。
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行。找准第三条直线，如果两个角不是被同一条直线所截得到的，那一定不是同位角、内错角或同旁内角。
满分训练如图，A、B、C和D、E、F分别在同一条直线上，且∠D=∠C，∠1=∠3 求证：∠A=∠F（要求：写出证明过程中的主要依据）
错解:证明：∵∠C=∠D，
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。
错解分析：
错解的错误在于没正确识别“三线八角”中的内错角，以致误用平行线的判定定理。
正解：
证明：∵∠1=∠3，
∴DB∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠C=∠DBA（两直线平行，同位角相等），
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠DBA（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。
（答题时间：45分钟）
一、选择题
1.如图，能判定EB∥AC的条件是（）
A. ∠C=∠ABE
B. ∠A=∠EBD
C. ∠C=∠ABC
D. ∠A=∠ABE
2. 如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB、AC、AE、ED、EC、DB中，相互平行的线段有（）
A. 4组
B. 3组
C. 2组
D. 1组
*3. 如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（）
A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 两直线平行，同位角相等
**4. 学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
**5.如图，给出下列四个条件：①AC=BD；②∠DAC=∠BCA；③∠ABD=∠CDB；④∠ADB=∠CBD，其中能使AD∥BC的条件是（）
A. ①②
B. ③④
C. ②④
D. ①③④
二、填空题.
6. 如图，请填写一个你认为恰当的条件________，使AB∥CD。
*7.如图所示，请写出能判定CE∥AB的一个条件_________。
*8. 设a、b、l为平面内三条不同直线。①若a∥b，l⊥a，则l与b的位置关系是_______；
②若l⊥a，l⊥b，则a与b的位置关系是_______ ；③若a∥b，l∥a，则l与b的位置关系是_______。
**9. 如图所示，用直尺和三角尺作直线AB、CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为________。
三、解答题
10. 如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB∥CD 对吗？为什么？
11.你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢。潜水艇下潜后，艇内人员可以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①。其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜
与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4。你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？
*12. 如图所示，如果两个角满足某种关系，就可以判断AE∥BF。请你将这样相关的角写出几组，并说明理由。
**13. 如图，直线AB与CE交于D，且∠1+∠E=180°。求证：AB∥EF。
**14.当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了改变，即水中的光线与原来空气中的光线不在一条直线上，这是光线在水中的折射现象。同样，水中的光线射入空气中也会发生这种现象。如图所示，是光线从空气射入水中，再从水中射入空气中的示意图。由物理学知识知，∠1=∠4，∠2=∠3。请你用学过的知识来说明光线c与光线d是否平行。
1. D 解析：A和B中的角不是三线八角中的角；
C中的角是同一三角形中的角，故不能判定两直线平行。
D中内错角∠A=∠ABE，则EB∥AC。
故选D。
2. B 解析：∠B=∠DCE，则AB∥EC（同位角相等，两直线平行）；
∠BCA=∠CAE，则AE∥DB（内错角相等，两直线平行）；
∠ACE=∠DEC，则AC∥DE（内错角相等，两直线平行）。
互相平行的线有：AE∥DB，AB∥EC，AC∥DE，共三组。
故选B。
3. A 解析：∵∠1=∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。
故选A。
4. C 解析：由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；
可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。
故选C。
5. C 解析：①AC=BD，不能判断两直线平行，故错误；
②∠DAC=∠BCA，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，故正确；
③∠ABD和∠CDB是直线AB、CD被BD所截形成的内错角，故可得AB∥CD，故错误；
④∠ADB=∠CBD，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，故正确。
故选C。
6. ∠FCD=∠FAB（或∠CDA=∠DAB或∠BAC+∠ACD=180°）
解析：根据同位角相等，两条直线平行，可以添加∠FCD=∠FAB；
根据内错角相等，两条直线平行，可以添加∠CDA=∠DAB；
根据同旁内角互补，两条直线平行，可以添加∠BAC+∠ACD=180°。
7. ∠DCE=∠A（或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°）
解析：能判定CE∥AB的一个条件是：∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°8. l⊥b；a∥b；l∥b 解析：①根据如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条平行线也垂直，知l⊥b；
②根据垂直于同一条直线的两直线平行，知a∥b；
③根据平行于同一条直线的两直线平行，知l∥b。
9. 平行解析：根据题意，∠1与∠2是三角尺的同一个角，
所以∠1=∠2，
所以，AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。
故答案为：平行。
10. 解：说管道AB∥CD是对的。
理由：∵∠ABC=120°，∠BCD=60°
∴∠ABC+∠BCD=180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。
11. 解析：∵∠1=∠2=45°，∠3=∠4=45°，
∴∠5=180°-45°×2=90°，
∠6=180°-45°×2=90°，
∴∠5=∠6，
故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的。
12. 解析：满足条件的两个角有：
①∠B=∠7（内错角相等，两直线平行）；
②∠B=∠6（同位角相等，两直线平行）；
③∠B+∠BAE=180°（同旁内角互补，两直线平行）；
④∠1=∠5（内错角相等，两直线平行）；
⑤∠1+∠CAG=180°（同旁内角互补，两直线平行）；
⑥∠3=∠E（内错角相等，两直线平行）；
⑦∠BCE+∠E=180°（同旁内角互补，两直线平行）；
⑧∠ACF=∠CAG（内错角相等，两直线平行）；
⑨∠ACF+∠5=180°（同旁内角互补，两直线平行）。
13. 证明：方法一：∵∠1+∠E=180°，∠1=∠4，
∴∠4+∠E=180°，
∴AB∥EF；
方法二：∵∠1+∠E=180°，∠1+∠2=180°
∴∠2=∠E，
∴AB∥EF；
方法三：∵∠1+∠E=180°，∠1+∠3=180°，
∴∠3=∠E，
∴AB∥EF。
14. 解：c∥d，
理由：∵∠1+∠5=180°，∠4+∠6=180°，
又∵∠1=∠4，
∴∠5=∠6，
∵∠2=∠3，
∴∠2+∠5=∠6+∠3，
∴c∥d。