第四章 级数
单选题：
1.若0lim ≠+∞
→n n u ，则级数
∑∞
=1
n n
u
（ ）。
A.收敛；
B.条件收敛；
C.绝对收敛；
D.发散。 2.设常数0≠a
，几何级数∑∞
=-1
1
n n aq
收敛，则q 应满足（ ）。
A.1 B.1≤q ； C.11<<-q ； D.1>q 。 3.若级数 ∑∞ =-1 1 1 n p n 发散，则有（ ）。 A. 0>p ； B.2>p ； C.2≤p ； D.1≤p 。 4.数项级数 ∑∞ =1 41 n n =（ ）。 A.31； B.4 1 ； C.3； D.4。 5.设幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 在2=x 处收敛，则该级数在3=x 处 （ ）。 A.条件收敛； B.发散； C.绝对收敛； D.敛散性不确定。 6.若级数 ∑∞ =0 n n n x a 在2=x 处收敛，则该级数在1-=x 处 （ ）。 A.发散； B.绝对收敛； C.条件收敛； D.敛散性不能确定。 7.设幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 在2=x 处发散，则该级数在4=x 处 （ ）。 A.条件收敛； B.发散； C.绝对收敛； D.敛散性不确定。 8.下列级数为绝对收敛的级数是 （ ）。 A.23)1(1++-∑∞ =n n n n ； B.n n n ∑∞ =-1 )1( ； C.211)1(n n n ∑∞=- ； D.n n n 1)1(1 ∑∞=- 。 9. ∑∞ =-+-1 1 1 1 ) 1(n n n 是 （ ）的级数。 A.发散； B.绝对收敛； C.条件收敛； D.敛散性不能确定。 10.若幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 的收敛区间为（-2，2），则幂级数 ∑∞ =-0 )3(n n n x a 的收敛区间 为( )。 A.（-2，2）； B.(-1,5) ； C.(-5,-1) ； D.(1,5)。 11.∑∞ =+1 ) 11(1n n n 的敛散性为（ ）。 A.发散； B.收敛； C.敛散性不定； D.以上选项都不对。 12. ∑∞ =-1 1 3 n n n 的敛散性为（ ）。 A.发散； B.收敛； C.敛散性不定； D.以上选项都不对。 13.幂级数 n n n x ∑∞ =-115的收敛半径为（ ）。 A .0； B. 5 1 ； C. 5； D.∞+。 14.幂级数∑∞ =1 22n n n x n 的收敛区间为（ ）。 A.)2,2(-； B.（-3，3）； C. )21 ,21(-； D.)3 1,31(-。 15. ∑ ∞ =1 24 n n n x 的收敛区间为（ ）。 A. )21,21(-； B. )2,2(-； C. )4 1,41(-； D.)4,4(-。 16.∑∞ =+1 )4(n n n x 的收敛区间为（ ）。 A.（-1，1）； B. (-5,3) ； C.(3,5) ； D. (-5,-3)。 17.∑∞ =?-1 2)1(n n n n x 的收敛域为（ ）。 A.（-1，3）； B. )3,1[-； C.]3,1(-； D.]3,1[-。 18.函数x e 的马克劳林级数展开式为（ ）。 A. +++++!!212n x x x n ),(+∞-∞∈x ； B. ! !212n x x x n ++++ ),(+∞-∞∈x ； C. n n x x x x )1(13 2 -++-+- ),(+∞-∞∈x ； D. +-++-+-n n x x x x )1(13 2 ),(+∞-∞∈x 。 19.函数x y += 61 展开为)1(+x 的幂级数为（ ）。 A. ++-+++++-5)1()1(5)1(51122n n x x x )11(<<-x ； B ++-+++++-+13225)1()1(5)1(5151n n n x x x )11(<<-x ； C. ++-+++++-5)1()1(5)1(51122n n x x x )46(<<-x ； D. ++-+++++-+1 3225)1()1(5)1(5151n n n x x x )46(<<-x 20. 函数x e x x f 22)(=展开成x 的幂级数为（ ）。 A. ∑∞ =+02!2n n n n x ； B. ∑∞=+02 ! n n n x ； C. ∑∞=0 !2n n n n x ； D. ∑∞ =0! n n n x 。 答案：1.D ； 2.C ； 3.C ； 4.A ； 5.D ； 6.B ； 7.B ； 8.C ； 9.C ； 10. D ； 11.A ； 12.B ； 13.B ； 14.C ； 15.B ； 16.D ； 17.B ； 18.A ； 19.D ； 20.A 。 第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2． 证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7． 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c 复变函数练习题 第四章 级数 系 专业 班 姓名 学号 §1 复数项级数 §2 幂级数 23521 24221 1(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1() 2!4!2!1() 2!! n n n n n n z z z z z z z z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞ 一些重要的级数 一、选择题： 1．下列级数中绝对收敛的是 [ ] （Ａ）11(1)n i n n ∞ =+∑ （Ｂ）1 (1)[]2n n n i n ∞ =-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞ =∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞ =-∑ 2．若幂级数 n n n c z ∞ =∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ] （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定 () 122i Abel += >，由定理易得 3．幂级数1 (1)1n n n z n ∞ +=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln 1z + （D ） 1 ln 1z - ' 100 '110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n n n n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==????-=-=?? ?++?????????? --==+ ???+++???? ∑∑∑∑?? 二、填空题： 1．设(1)2 n n i α-=+，则lim n n α→∞ = 0 。 2．设幂级数 n n n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0 (21)n n n n c z ∞ =-∑的收敛半径为 2 R 习题四 1. 复级数1 n n a ∞=∑与1 n n b ∞=∑都发散,则级数1 ()n n n a b ∞ =±∑和 1 n n n a b ∞ =∑发散.这个命题是否成立?为什 么? 答.不一定．反例: 2211111111 i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞∞∞ =====+=-+∑∑∑∑发散 但2 1 1 2()i n n n n a b n ∞ ∞ ==+=? ∑∑收敛 112()n n n n a b n ∞ ∞ ==-=∑∑发散 2411 11 [()]n n n n a b n n ∞∞ ===-+∑∑收敛. 2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛? (1)2111i n n n +∞ =+∑ (2)115i ( )2n n ∞=+∑ (3) π 1 e i n n n ∞=∑ (4) 1i ln n n n ∞ =∑ (5) 0 cosi 2n n n ∞=∑ 解 (1) 21111 1i 1(1)i 1(1)i n n n n n n n n n n +∞ ∞∞===++-?-==+?∑∑∑ 因为11n n ∞ =∑发散,所以21 1 1i n n n +∞ =+∑发散 (2)11 15i (22n n n n ∞ ∞ ==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222 n n n n →∞ →∞+=+≠ 所以1 15i ()2n n ∞ =+∑发散 (3) πi 1 1e 1 n n n n n ∞ ∞===∑ ∑发散,又因为π11 1 ππcos isin e 1ππ(cos isin )i n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ===+==+∑∑∑收敛,所以不绝对收敛. 第四章解析函数的幂级数表示法 §1、复级数的基本性质 1、(定理4、1)复级数收敛的充要条件:实部虚部分别收敛。 2、(定理4、2)复级数收敛的充要条件(用定义):对任给的>0,存在正整数N(),当n>N 且p为任何正整数时, 注1:收敛级数通项必趋近于零; 注2:收敛级数各项必有界; 注3:级数省略有限个项不改变敛散性。 3、(定理 4、3)收敛 4、(定理4、4) (1)绝对收敛的复级数可任意重排,不改变收敛性,不改变与; (2)两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积(柯西积)级数,也绝对收敛于。 5、一致收敛的定义:对任给的>0以及给定的,存在正整数N=N(,z),当n>N时,有 式中 6、不一致收敛的定义 7、(定理4、5 柯西一致收敛准则):级数收敛的充要条件就是:任给>0,存在正整数N=N(),使当n>N时,对一切,均有 8、(定理4、5’不一致收敛准则): 9、(优级数准则):如果有正数列,使对一切,有|)|≤,且正项级数 收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。 10、优级数定义:称为的优级数。 11、(定理4、6)级数各项在点集E上连续,且一致收敛于f(z),则与函数 也在E上连续。 12、(定理4、7 积分求与符号可交换)级数的各项在曲线C上连续,且一致收敛于f(z),则沿C可逐项积分 13、内闭一致收敛:有界闭集上一致收敛 14、(定理4、8)在圆K:|z-a| 15、(定理4、9 魏尔斯特拉斯定理):设(1)函数在区域D内解 析;(2)在D内内闭一致收敛于函数f(z): 则: (1)f(z)在D内解析; (2) (3)在D内内闭一致收敛于 §2、幂级数 1、(定理4、10 阿贝尔定理):幂级数在某点(≠a)收敛它必在 圆K:|z-a|<|-a|(以a为圆心,圆周通过的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。 2、(推论4、11):幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心,圆周通过的圆周外发散。 3、收敛半径:圆周内部绝对收敛,圆周外部发散。 4、(定理4、12 收敛半径R的求法柯西-阿达马公式):(不能缺项)如果幂级数 的系数满足: 或 第 1 页 第四章 级数 本章先介绍复级数的基本概念及其性质，然后从柯西积分公式这一解析函数的积分表示式出发，给出解析函数的级数表示—泰勒级数及洛朗级数。然后，以它们为工具，进一步研究了解析函数的性质。 §4.1 复数项级数 1.复数序列 给定一列无穷多个有序的复数 111ib a z +=，222ib a z +=，…，n n n ib a z +=，… 称为复数序列，记为}{n z 。 定义 4.1.1：给定一个复数序列}{n z ，设0z 为一复常数。若对于任意给定的正数0>ε，都存在一个充分大的正整数N ，使得当N n >时，有 ε<-||0z z n ， 则说当n 趋向于∞+时，}{n z 以0z 为极限，或者说复数序列}{n z 收敛于极限0z ，记为 0lim z z n =。 定义4.1.2：设有复数序列}{n z ，表达式 ΛΛ++++=∑∞=n n n z z z z 211 (4.1.1) 称为复数项级数。 定义4.1.3：若复数项级数(4.1.1)的部分和（也称为前n 项和）序列 }{21n n z z z s +++=Λ，Λ,2,1=n 以有限复数ib a s +=为极限，即若 s s n n =∞ →lim ， 则称复数项级数(4.1.1)是收敛的，并称s 为级数(4.1.1)的和，记为 s z n n =∑∞ =1 ； 若部分和 }{21n n z z z s +++=Λ，Λ,2,1=n 由此可见，则级数收敛的充分必要条件是级数的实部级数∑=1 n n a 和虚部级数∑=1 n n b 都 定义4.1.4：若级数∑=1 n n z 收敛，则称级数∑=1 n n z 绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数， 称为条件收敛级数。 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=--（3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- 第四章级数(答案) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢17 复变函数练习题 第四章 级数 系 专业 班 姓名 学号 §1 复数项级数 §2 幂级数 23521 24221 1(1)1(1)sin ()3!5!(21)! (1)cos 1() 2!4!2!1() 2!! n n n n n n z z z z z z z z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++ <+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞一些重要的级数 一、选择题： 1．下列级数中绝对收敛的是 [ ] （Ａ）1 1(1)n i n n ∞ =+∑ （Ｂ） 1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞ =-∑ 2．若幂级数0 n n n c z ∞ =∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ] （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定 () 122i Abel += >，由定理易得 3．幂级数1 0(1)1 n n n z n ∞ +=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln 1z + （D ） 1ln 1z - ' 100 ' 110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n n n n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==????-=-=?? ?++?????????? --==+ ???+++???? ∑∑∑∑?? 二、填空题： 第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为 0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. 第四章 复级数 §1.级数的基本性质 教学目的与要求:了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛一致收敛等概念,掌握解析函数项级数的性质. 重点: 解析函数项级数. 难点：一致收敛的函数项级数;解析函数项级数. 课时：2学时 1.复数项级数 定义4.1 复数项级数就是 其中为复数 定义4.2 对于复数项级数，设 若存在，则称级数收敛，否则为发散. 据此定义，我们立即推出：若级数收敛，则 其次，由复数的性质易于推得 定理4.1 设 其中均为实数，则级数收敛的充要条件为基数与均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一给出. 定理4.2（柯西收敛准则）级数收敛的充要条件是，使及，均有定义4.3 若级数收敛，则称级数为绝对收敛. 由关系式及 及定理4.1即可推得. 定理4.3 级数绝对收敛的充要条件为：级数及绝对收敛. 再由定理4.2可知：绝对收敛级数必为.收敛级数. 例1.对于级数当时，由于 ， 而当时，，于是 因此级数收敛且有， 显然，当时，级数亦为绝对收敛的级数. 2.复函数项级数 定义4.4设函数在复平面点集上有定义，则称级数 为定义在上的复函数项级数. 定义4.5 设函数在上有定义，如果，级数均收敛于，则称级数收敛于， 或者说级数和函数记作 定义4.6 如果，使得当时，对任一，均有 则称级数在一致收敛于. 与定理4.2类似地我们有 定理4.4 级数在上一致收敛的充要条件是： ，使当时，对任一及均有 由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法： 定理4.5 魏尔斯特拉斯-判别法设在点集上有定义 为一收敛正项级数，若在上成立则级数 在上一致收敛于，则在上一致收敛. 与实数项级数一样，不难证明以下定理： 定理4.6 设在复平面点集上连续，级数在上一致收敛于，则在上连续. 定理4.7 设在简单曲线上连续，级数在上一致收敛于，则. 对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念. 定义4.7 设函数在区域内解析,如果级数在内任一有界闭区域上一致收敛于函数,则称级数在内闭一致收敛于. 由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理. 定理设函数在区域内解析,级数在内中闭一致收敛于函数,则在内解析,且在内成立 证明: ,取,使得.在内任作一条简单闭曲线,根据定理及柯西定理推得.因而由莫勒拉定理知在内解析,再由的任意性即得在内解析. 其次,设的边界,由已知条件得在上一致收敛于,从而 在上一致收敛于,根据定理,我们有 即 于是定理结论成立. 作业:第178页 1. §2幂级数 教学目的与要求:了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法.掌握幂级数在收敛圆内一些基本性质及幂级数在收敛圆周上的性质. 重点: 幂级数收敛半径的求法; 幂级数在收敛圆内一些基本性质. 难点：幂级数在收敛圆周上的性质. 第四章 解析函数的幂级数表示法 级数也是研究解析函数的一个重要工具，这部分内容大都是数学分析中的内容的平移推广。 第一节 复级数的基本性质（1） 教学课题：第一节 复级数的基本性质（1） 教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法； 3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义； 4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则； 5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。 6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。 教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。 教学方法：启发式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。 教学过程： 1、复数项级数和复数序列： 1.1复数序列及其敛散性 复数序列就是： ,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里， n z 是复数， , Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为 } {n z 。按照 |} {|n z 是有界或无界序列，我们也称 } {n z 为有 界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时 ε <-||0z z n , 那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 lim z z n n =+∞ →。 如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列。 令ib a z +=0，其中a 和b 是实数。由不等式 ||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注解1、序列}{n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列}{n a 收敛（于a ）以及序列}{n b 收敛（于b ）。 注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，或者说有极限点0 z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，n z 在这个邻域内。 注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 1.2 复数项级数及其敛散性 复数项级数就是 ......21++++n z z z 或记为∑∞+=1 n n z ，或∑n z ，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： n n z z z +++=...21σ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数∑n z 收敛；如果 {}n σ的极限是σ， 那么说∑n z 的和是σ， 或者说 ∑n z 收敛于σ，记作 σ =∑∞ +=1 n n z ， 精品文档 第四章 级数 本章先介绍复级数的基本概念及其性质，然后从柯西积分公式这一解析函数的积分表示式出发，给出解析函数的级数表示—泰勒级数及洛朗级数。然后，以它们为工具，进一步研究了解析函数的性质。 §4.1 复数项级数 1.复数序列 给定一列无穷多个有序的复数 111ib a z +=，222ib a z +=，…，n n n ib a z +=，… 称为复数序列，记为}{n z 。 定义4.1.1：给定一个复数序列}{n z ，设0z 为一复常数。若对于任意给定的正数0>ε，都存在一个充分大的正整数N ，使得当N n >时，有 ε<-||0z z n ， 则说当n 趋向于∞+时，}{n z 以0z 为极限，或者说复数序列}{n z 收敛于极限0z ，记为 0lim z z n =。 2.复数项级数 定义4.1.2：设有复数序列}{n z ，表达式 ++++=∑∞ =n n n z z z z 211 (4.1.1) 称为复数项级数。 定义4.1.3：若复数项级数(4.1.1)的部分和（也称为前n 项和）序列 }{21n n z z z s +++= ， ,2,1=n 以有限复数ib a s +=为极限，即若 s s n n =∞→lim ， 则称复数项级数(4.1.1)是收敛的，并称s 为级数(4.1.1)的和，记为 s z n n =∑∞ =1 ； 若部分和 }{21n n z z z s +++= ， ,2,1=n 精品文档 由此可见，则级数收敛的充分必要条件是级数的实部级数∑n a 和虚部级数 ∑n b 都收敛。 定义 4.1.4：若级数 ∑=1 n n z 收敛，则称级数 ∑=1 n n z 绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛 级数。 【注】：上述柯西乘积等式最右边的式子即是按下述对角线方法作出： p178第四章习题(一)[ 3, 4, 6, 7(4), 10, 12, 13, 14 ] 3. 如果lim n (c n + 1/c n )存在( )，试证下列三个幂级数有相同的收敛半径： (1) n 0 c n z n ；(2) n 0 (c n /(n + 1)) z n + 1；(3) n 0 (n c n ) z n – 1． 【解】事实上，我们只要证明下面的命题： 若 n 0 c n z n 的收敛半径为R ，则 n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径也为R ． 从这个命题，就可以得到幂级数(1)的收敛半径与幂级数(2)的收敛半径相同，幂级数(3)的收敛半径与幂级数(1)的收敛半径相同． step 1. 当R 是正实数或+时．若| z | < R ，则存在r 使得| z | < r < R ． 因 n 0 c n z n 的收敛半径为R ，根据收敛半径定义及Abel 定理， 知 n 0 | c n r n |收敛． 因| (n c n ) z n – 1 | = ( | n /r | · ( | z | /r )n – 1 ) · | c n r n |； 而lim n ( | n /r | · ( | z | /r )n – 1 ) = 0，故M > 0使得0 | n /r | · ( | z | /r )n – 1 M ． 所以| (n c n ) z n – 1 | M · | c n r n |． 由Weierstrass 判别法知 n 0 | (n c n ) z n – 1 |收敛，所以 n 0 (n c n ) z n – 1收敛． 因此 n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径R 1 R ． 特别地，若 n 0 c n z n 的收敛半径为+，则 n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径也为 +． step 2. 当R 是非负实数时．对任意的满足R < r < | z |的实数r ， 根据收敛半径定义， n 0 c n r n 发散．从而 n 0 | c n r n |发散． 当n > r + 1时，| c n r n | = | r /n | · | (n c n ) r n – 1 | | (n c n ) r n – 1 |； 因此， n 0 | (n c n ) r n – 1 |发散． 由Abel 定理， n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径R 1 r ． 由r 的任意性，得R 1 R ． 特别地，若 n 0 c n z n 的收敛半径为0，则 n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径也为0． step 3. 综合step 1和step 2的结论，当R 为正实数时，也有R 1 = R ． 即若 n 0 c n z n 的收敛半径为R ，则 n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径也为R ． [这个证明中，我们没有用到条件lim n (c n + 1/c n )存在( )，说明该条件是 可以去掉的．因为一般的幂级数并不一定满足这个条件，因此去掉这个条件来证明结论是有意义的．] 4. 设 n 0 c n z n 的收敛半径为R (0 < R < +)，并且在收敛圆周上一点绝对收 敛，试证明这个级数对所有的点z : | z | R 为绝对收敛且一致收敛． 【解】设z 0在收敛圆周上，且 n 0 | c n z 0 n |绝对收敛． 那么对于点z : | z | R ，都有| z | | z 0 |． 因此级数 n 0 | c n z n |收敛，即 n 0 c n z n 绝对收敛． 而由Weierstrass 判别法知知级数 n 0 c n z n 对所有的在闭圆| z | R 上一致收 敛． 6. 写出e z ln(1 + z )的幂级数展式至含z 5项为止，其中ln(1 + z )|z = 0 = 0． 【解】在割去射线L = { z | Im(z ) = 0，Re(z ) 1}的z 平面上，能分出 Ln(1 + z )的无穷多个单值解析分支(Ln(1 + z ))k = ln| (1 + z ) | + i arg(1 + z ) + 2k i ，k ． 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ） 1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ） i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321 +- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ <<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ） )]2 sin()2 [cos(sec θπ θπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-4 3 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ） i --4 3 第四章 解析函数的幂级数表示方法 第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： 111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数， ,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列， 我们也称}{n z 为有界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当 n>N 时 ε<-||0z z n , 那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 0lim z z n n =+∞ →。 如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。 令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。由不等式 0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。 注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于 0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个 邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z 在这个邻域内。 注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 定义4.1复数项级数就是 12......n z z z ++++ 或记为1 n n z +∞ =∑，或n z ∑，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： 12...n n z z z σ=+++ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是 σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作 1 n n z σ+∞ ==∑， 如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。 注1、对于一个复数序列{}n z ，我们可以作一个复数项级数如下 121321()()...()...n n z z z z z z z -+-+-++-+ 则序列{}n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2级数 n z ∑收敛于σ的N ε-定义可以叙述为： 0,0,,N n N ε?>?>>使得当时有 1 ||n k k z σε=-<∑， 注3如果级数n z ∑收敛，那么 1 第四章解析函数的幂级数表示法 §1.复级数的基本性质 αn ∞ n =1 =α1+α2+?+αn +? f z = f n (z )∞ n =1 1.（定理4.1）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。 2.（定理4.2）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的ε>0，存在正整数N(ε)，当n>N 且p 为任何正整数时， |αn +1+αn +2+?+αn +p |<ε 注1：收敛级数通项必趋近于零； 注2：收敛级数各项必有界； 注3：级数省略有限个项不改变敛散性。 3.（定理 4.3） |αn |∞n =1 → αn ∞n =1收敛 4.（定理4.4） （1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和； （2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于s 1s 2。 5.一致收敛的定义：对任给的ε>0以及给定的z ∈E ，存在正整数N=N(ε,z)，当n>N 时，有 f z ?s n z <ε 式中s n z = f k (z )∞k =1 6.不一致收敛的定义 7.（定理4.5 柯西一致收敛准则）：级数 f n (z )∞n =1收敛的充要条件是：任给ε>0，存在正整数N=N(ε)，使当n>N 时，对一切z ∈E ，均有 |f n +1(z )+f n +2(z )+?+f n +p (z )|<ε 8.（定理4.5’不一致收敛准则）： 9.（优级数准则）：如果有正数列M n ，使对一切z ∈E ，有|f n (z )|≤M n ，且正项级 数 M n ∞n =1收敛 → 复级数 f n (z )∞n =1在集E 上绝对收敛且一致收敛。 10.优级数定义： M n ∞n =1称为 f n (z )∞n =1的优级数。 11.（定理4.6）级数 f n (z )∞n =1各项在点集E 上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数f z = f n (z )∞n =1也在E 上连续。 12.（定理4.7 积分求和符号可交换）级数 f n (z )∞n =1的各项在曲线C 上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C 可逐项积分 f z dz C = f n z dz C ∞ n =1 13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛 14.（定理4.8） f n (z )∞n =1在圆K ：|z-a| 第四章解析函数得幂级数表示法 §1、复级数得基本性质 1、(定理4、1)复级数收敛得充要条件:实部虚部分别收敛。 2、(定理4、2)复级数收敛得充要条件(用定义):对任给得>0,存在正整数N(),当n>N 且p为任何正整数时, 注1:收敛级数通项必趋近于零; 注2:收敛级数各项必有界; 注3:级数省略有限个项不改变敛散性。 3、(定理 4、3)收敛 4、(定理4、4) (1)绝对收敛得复级数可任意重排,不改变收敛性,不改变与; (2)两个绝对收敛得复级数可按对角线方法得出乘积(柯西积)级数,也绝对收敛于。 5、一致收敛得定义:对任给得>0以及给定得,存在正整数N=N(,z),当n>N时,有 式中 6、不一致收敛得定义 7、(定理4、5 柯西一致收敛准则):级数收敛得充要条件就是:任给>0,存在正整数N=N(),使当n>N时,对一切,均有 8、(定理4、5’不一致收敛准则): 9、(优级数准则):如果有正数列,使对一切,有|)|≤,且正项级数 收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。 10、优级数定义:称为得优级数。 11、(定理4、6)级数各项在点集E上连续,且一致收敛于f(z),则与函数 也在E上连续。 12、(定理4、7 积分求与符号可交换)级数得各项在曲线C上连续,且一致收敛于f(z),则沿C可逐项积分 13、内闭一致收敛:有界闭集上一致收敛 14、(定理4、8)在圆K:|z-a| 第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角的直线； （3）双曲线。 解设，则 因此 （1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。 （3）因，故，在平面上对应的图形为：直线。 例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。 证令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线，时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。 证因。故 但 在时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性，并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求之值。 解设，则 由代入得 解得：，从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简 1 第四章 级数 本章先介绍复级数的基本概念及其性质，然后从柯西积分公式这一解析函数的积分表示式出发，给出解析函数的级数表示—泰勒级数及洛朗级数。然后，以它们为工具，进一步研究了解析函数的性质。 §4.1 复数项级数 1.复数序列 给定一列无穷多个有序的复数 111ib a z +=，222ib a z +=，…，n n n ib a z +=，… 称为复数序列，记为}{n z 。 定义4.1.1：给定一个复数序列}{n z ，设0z 为一复常数。若对于任意给定的正数0>ε，都存在一个充分大的正整数N ，使得当N n >时，有 ε<-||0z z n ， 则说当n 趋向于∞+时，}{n z 以0z 为极限，或者说复数序列}{n z 收敛于极限0z ，记为 0lim z z n =。 2.复数项级数 定义4.1.2：设有复数序列}{n z ，表达式 ++++=∑∞ =n n n z z z z 211 (4.1.1) 称为复数项级数。 定义4.1.3：若复数项级数(4.1.1)的部分和（也称为前n 项和）序列 }{21n n z z z s +++= ， ,2,1=n 以有限复数ib a s +=为极限，即若 s s n n =∞ →lim ， 则称复数项级数(4.1.1)是收敛的，并称s 为级数(4.1.1)的和，记为 s z n n =∑∞ =1 ； 若部分和 }{21n n z z z s +++= ， ,2,1=n 2 由此可见，则级数收敛的充分必要条件是级数的实部级数∑n a 和虚部级数 ∑n b 都收敛。 定义 4.1.4：若级数 ∑=1 n n z 收敛，则称级数 ∑=1 n n z 绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛 级数。 复变函数习题答案第4章习题详解 第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+=11 ； 2) n n i a -??? ??+=21； 3) ()11++-=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-=。 2． 证明：??????? ≠==>∞<=∞→1 11 111 0a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞=1n n n i ； 2) ∑∞=2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞ =02n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0 z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞=-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞=1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) () ∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-?? ? ??11n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ??1n n in z ln 。 7． 如果∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c 复变函数习题答案第4章习题详解
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