1.2.1 平面的基本性质与推论
典题精讲
例1根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系.
图1-2-1-4
图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:___________________________________________. 图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:___________________________________________. 思路解析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出.
答案：图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:
α∩β=AB,aα,bβ,a∥AB,b∥AB.
图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:α∩β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B MN,C MN.
绿色通道：熟练掌握图形、文字、符号三者之间的相互转化是学习立体几何的基本要求之一.要正确解决此类问题需要从两个方面入手:一是从观察图形方面,可以联想图形对应的实物情形;二是正确理解对应符号的含义,可以结合集合的含义加以理解.
变式训练1(1)观察下面的三个图形,说出它们有何异同;
(2)用虚线画出图1-2-1-5(4)正方体和图1-2-1-5(5)三棱锥中被遮挡的棱,完成图形.
图1-2-1-5
思路解析：要注意不同侧面观察出的结果是不同的,可以结合实物加以理解.
答案：(1)图(1)可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图；图(2)是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图(3)是MN凹在里面的一个空间图形的直观图.
(2)补充后如图1-2-1-6:
图1-2-1-6
例2求证：两两相交且不共点的四条直线共面.
思路分析：
可以结合公理3及其推论进行证明.需要注意的是,要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明.
答案:已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，
求证：a、b、c、d共面.
图1-2-1-7
证明:(1)无三线共点情况，如图1-2-1-7，设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=Q，a∩c=R，b∩c=S.
∵a∩d=M，∴a、d可确定一个平面α.
∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.
同理,cα.∴a、b、c、d共面.
(2)有三线共点的情况，如图1-2-1-8,
图1-2-1-8
设b、c、d三线相交于点K，
与a分别交于N、P、M且K a，
∵K a，∴K和a确定一个平面，设为β.
∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ,即bβ.
同理,cβ，dβ，∴a、b、c、d共面.
由(1)(2)知a、b、c、d共面.
变式训练2
四条直线两两平行,任意三条不共面,过其中的任意两条作一个平面,共可以作平面__________.
思路解析:任意两条确定一个平面,四条直线确定6个平面.
答案:6
问题探究
问题（1）一个平面将空间分成几部分？
（2）两个平面将空间分成几部分？
（3）三个平面将空间分成几部分？画出图形(要求：至少有两种情况有画法过程).
导思:可以根据实际例子进行联想,也可以根据直线将平面分成多少部分进行类比.采用从简单到复杂递进的方法，首先对两个平面在空间的位置分类讨论，再让第3个平面以不同情况介入，然后分类解决.
探究：（1）一个平面将空间分成两部分.
（2）两个平面平行时，将空间分成三部分;两个平面相交时,将空间分成四部分.
（3）情况比较复杂,需分类予以处理.
情况1：当平面α、平面β、平面γ互相平行（即α∥β∥γ）,将空间分成四个部分,其图形如图1-2-1-9.
图1-2-1-9
情况2：当平面α与平面β平行，平面γ与它们相交，（即α∥β，γ与其相交），将空间分成六部分，其图形如图1-2-1-10.
图1-2-1-10
情况3：当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线重合（即α∩β=l且α∩γ=l）.
将空间分成六部分，其图形如图1-2-1-11.
图1-2-1-11
共点，但互不重合（即α∩β=l，且γ与α、β都相交，三条交线共点）.将空间分成八部分，其图形如图1-2-1-12.
图1-2-1-12
情况4：平面α、平面β、平面γ两两相交且三条交线平行.（即α∩β=l，γ与α、β都相交且三条交线平行）将空间分成七部分，其图形如图1-2-1-13.
图1-2-1-13