旋转与全等、相似的典型类型总结
25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α?<
且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .
（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；
（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证
明你的结论；
（3） 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =1
3
ABC S ?
时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.
！ 如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M 是AB 上的动点（不与A 、B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 中作内接矩形AMPN ．令AM=x ． （1）用含x 的代数式表示△MNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切
（3）在点M 的运动过程中，设△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少
．
(
`
B
（第24题）
B
（第24题）
已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．
(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为________．
(2)如图②，若AB＝BC，你在(1)中得到的结论是否发生变化写出你的猜想，并加以证明．
(3)如图③，若AB＝kBC，你在(1)中得到的结论是否发生变化写出你的猜想，并加以证
明．
[
第25题图
图1
E
D
C
B
A
图2
C
B
A
F 图3
E
D C
B
A
在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ， 将线段AD 绕点A 逆时针旋转90 o 得到AE ，连结EC ．
（1）如果AB =AC ，∠BAC =90o ．
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图1，请你判断线段CE 、BD 之间的位置和数量关系（直接写出结论）；
②当点D 在线段BC 的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
（2）如图3，当点D 在线段BC 上运动时，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB =45 o ， AC
＝CF 长
的最大值．
已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ． 如图甲，当AC=BC ，且CE=EA 时，则有EF=EG ；
（1）如图乙①，当AC=2BC ，且CE=EA 时，则线段EF 与EG 的数量关系是：EF EG ；
（2）如图乙②，当AC=2BC ，且CE=2EA 时，请探究线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论；
（3）当AC=mBC ，且CE=nEA 时，请探究线段EF 与EG 的数量关系，直接写出你的结论（不必证明
图乙②
图乙①
图甲
（第25题）
已知正方形ABCD ，边长为3，对角线AC ，BD 交点O ,直角MPN 绕顶点P 旋转，角的两边分别与线段AB ,AD 交于点M ，N （不与点B ，A ，D 重合）． 设DN =x ，四边形AMPN 的面积为y ．在下面情况下，y 随x 的变化而变化吗若不变，请求出面积y 的值；若变化，请求出y 与x 的关系式． （1）如图1，点P 与点O 重合；
（2）如图2，点P 在正方形的对角线AC 上，且AP =2PC ； （3）如图3，点P 在正方形的对角线BD 上，且DP =2PB ．
25．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =
1
2
. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点. （1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF ，则k = ；
（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．
求证：BE -DE =2CF ；
（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值．
东城
图1（P ）N D
M O
C B A 图2P
A B C O M
D N 图3P A B C O
M D N B C
A
D
E F
B D
E
A F
C
B
A
C
1
图2
图备图
24. 等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC 交于点E 、F . （1）如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状；
（2）如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，求y 与x 的函数关系式，并
写出自变量x 的取值范围；
（3）如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的长.
图1 图2 图3
已知：如图，正方形ABCD 中，,AC BD 为对角线，将BAC ∠绕顶点A 逆时针旋转α°（045α<<），旋转后角的
两边分别交BD 于点P 、点Q ，交,BC CD 于点E 、点F ，联结,EF EQ ．
（1）在BAC ∠的旋转过程中，AEQ ∠的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接
在答题卡上写出结果，不必证明）；
（2）探究△APQ 与△AEF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明．
Q
P F
E
D
C B
A
24． 解：（1）不变； ……………………………………………………………………1分
45°；………………………………………………………………………2分
（2）结论：S △AEF =2 S △APQ ………………………………………………………………3分 证明：
∵AEQ ∠=45°，45EAF ∠=?
∴90EQA ∠=? …………………… ∴2AE AQ =
…………………… ………4分
同理2AF AP = …………………… ………5分 过点P 作PH AF ⊥于H …………… ………6分
∴S △AEF 11222AF EQ AP AQ =?=??
222
AP AQ PH AQ S =?=?=△APQ …………………………………7分
22. 如图，在
AOB 中，8OA OB ==，90AOB ∠=?，矩形CDEF 的顶点C 、D 、E 、F 分别在边AO 、OB 、AB 上。
H
Q P F
E D
C B A
图1O E D C
B A R Q P 图2
O E D C B A （1）若C 、D 恰好是边AO ，OB 的中点，求矩形CDEF 的面积； （2）若4
tan 3
CDO
，求矩形CDEF 面积的最大值。
24. 如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，AC =6. △ECD 是△ABC 沿CB 方向平移得到的，连结AE ，AC 和BE 相交于点O . （1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，并证明你的结论； （2）如图2，P 是线段BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接PO 并延长交线段AE 于点Q ，QR ⊥BD ，垂足为点R .
①四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积； ②当线段BP 的长为何值时，以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与△BOC 相似
23． 如图，在△ABC 中，BC =3，AC =2，P 为BC 边上一个动点，过点P 作PD ∥AB ，交AC 于点D ，连结BD ． （1）如图1，若∠C =45°，请直接写出：当
BP
PC
= 时， △BDP 的面积最大； （2）如图2，若∠C =α为任意锐角，则当点P 在BC 上何处时， △BDP 的面积最大
24．现场学习：我们知道，若锐角α的三角函数值为sin α = m ，则可通过计算器得到角α的大小，这时我们用arc sin m 来表示α，记作：α=arc sin m ；若cos α = m ，则记α = arc cos m ；若tan α = m ，则记α = arc tan m ．
解决问题：如图，已知正方形ABCD ，点E 是边AB 上一动点，点F 在AB 边或其延长线上，点G 在边AD 上．连结ED ，FG ，交点为H ．
（1）如图1，若AE =BF =GD ，请直接写出∠EHF = °；
图1A
B C D
P 图2
A
B
P
C D
（2）如图2，若EF =
25CD ，GD =2
5
AE ，设∠EHF =α．请判断当点E 在AB 上运动时， ∠EHF 的大小是否发生变化若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出α．
24．已知在△ABC 和△DBE 中，AB ＝AC ，DB ＝DE ，且∠BAC ＝∠BDE ．
（1）如图1，若∠BAC ＝∠BDE ＝60°，则线段CE 与AD 之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若∠BAC ＝∠BDE ＝120°，且点D 在线段AB 上，则线段CE 与AD 之 间的数量关系是__________________； （3）如图3，若∠BAC ＝∠BDE ＝α，请你探究线段CE 与AD 之间的数量关系（用含α的式子表示），并证明你的
结论．
.已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.
图1
H F
G E
D C
B A 图2
A B C
D E
G F
H A
D
B
图1
B
A
C
D
E
图3
E B
A
C D
图2
图1 图2
(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠，则PMN △的形状是________________，此时
AD
BC
=________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算AD
BC
的值（用含α的式子表示）；
(3) 在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.
．如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点，2tan =B .
（1）求证：AD =AE ；
（2）如图2，点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF .
求证：AF EF DF 2=-；
（3）请你在图3中画图探究：当P 为射线E C 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF ，线
段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系直接写出你的结论.
如图10-1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①请直接写出图10-1中线段BG 、线段DE 的数量关系及所在直线的位置关系；
图1
E B C A D 图3 E B C A D 图2 E C B A D
F P
②将图10-1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图10-2、如图10-3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4～10-6），且kb CG ka CE b BC a AB ====,,, )0,( k b a ≠ ，试判断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立并写出你的判断，不必证明. （3）在图10-5中，连结DG 、BE ，且2
1
,
2,
4===k b a ，则22BE DG += ．
(1)已知：如图1，△ABC 中，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作正方形ABGE 和ACHF ，直线AN ⊥BC 于N ，
若EP AN ⊥于P ，FQ AN ⊥于Q . 判断线段EP FQ 、的数量关系，并证明；
(2)如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC , 分别以两腰AB 、CD 为一边向梯形ABCD 外作正方形ABGE 和DCHF ，线段AD 的垂直平分线交线段AD 于点M ，交BC 于点N ，若EP MN ⊥于P ，FQ MN ⊥于Q ．(1)中结论还成立吗请说明理由.
图2
F
F
图1
H
N Q G
H
M
P
E
P
Q
G
E
D
C B
A N C
B
A
已知：如图，在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答
下列问题：
（1）当t为何值时，PQ BC
∥
（2）设AQP
△的面积为y（2
cm），求y与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△的周长和面积同时平分若存在，求出Rt ACB
此时t的值；若不存在，说明理由；
!
x A O Q P B y 动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2） y M C D 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< x A O Q P B y 图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2） 动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 解：1、A （8，0） B （0，6） 2、当0＜t ＜3时，S=t 2 当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； 中考数学题型归纳——探究题 中考真题（2005-2014） （2005·）22、（本小题满分12分） 等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：在 △ABC 中，AB AC ，把底边BC 分成m 等份，连接顶点A 和底边各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m 等分． 问题的提出：任意给定一个正n 边形，你能把它的面积m 等分吗？ 探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手：怎样从正 三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心） 引线段，才能将这个正三角形的面积m 等分？ 如果要把正三角形的面积四等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图①，这些线段将这个正三角形分成了三个全等的等腰三角形）； 再把所得的每个等腰三角形的底边四等分，连接中心和各边等分点（如图②，这些线段把这个正三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起（如图③）．这样就能把正三角形的面积四等分． ① ② ③ 实验与验证:仿照上述方法，利用刻度尺，在图④中画出一种将正三角形的面积五等分的示意简图． 猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m 等分？叙述你的分法并说明理由． 答： C ④ B C B 拓展与延伸：怎样从正方形的中心引线段，才能将这个正方形的面积m 等分？（叙述分法即可，不需说明理由） 答： 问题解决：怎样从正n 边形的中心引线段，才能将这个正n 边形的面积m 等分？（叙述分法即可，不需说明理由） 答： 22、（本小题满分12分） （1）实验与验证：图（略） ························································································ 3分 （2）猜想与证明： 先连接正三角形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起，即可把正三角形的面积m 等分． ·········································································································································· 5分 理由：正三角形被中心和各顶点连线分成三个全等的等腰三角形，所以这三个等腰三角形的底和高都相等；这个等腰三角形的底边被m 等分，所以所得到的每个小三角形的底和高都相等，即其面积都相等，因此，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起合成的图形的面积也相等，即可把此正三角形的面积m 等分． ····························································· 8分 （3）拓展与延伸： 先连接正方形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的四个小三角形拼合在一起，即可把正方形的面积m 等分． ····················································································································· 10分 （4）问题解决： 先连接正多边形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的n 个小三角形拼合在一起，即可把正多边形的面积m 等分． ················································································································································· 12分 A D B C A 34A 5 6 初三中考数学试题分类解析专题01 数与式 1.（2018绍兴）如果向东走2m 记为2m +，则向西走3m 可记为( ) A. 3m + B. 2m + C. 3m - D. 2m - 【答案】C 2.（2020衢州）比0小1的数可能是（ ） A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. ±1 【答案】B 3.（2020台州）计算13-的结果是（ ） A. 2 B. 2- C. 4- D. 4 【答案】B 4.（2020金丽）有理数3的相反数是（ ） A. ﹣3 B. ﹣13 C. 3 D. 13 【答案】A 5（2020 ） A B C ． D ． 【答案】B 6.（2020宁波）﹣3的相反数为（ ） A. ﹣3 B. ﹣13 C. 13 D. 3 【答案】D 7.（2016杭州） =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B 8．（2020湖州）数4的算术平方根是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．±2 D ． 【答案】A 9.（2020温州）数1，0， 2 3 -，﹣2中最大的是（） A. 1 B. 0 C. 2 3 - D. ﹣2 【答案】A 10.（2019温州）计算：(﹣3)×5的结果是（） A．﹣15B．15C．﹣2D．2 【答案】A 11.（2020=（） A B C．D． 【答案】B 12.（2019杭州）计算下列各式，值最小的是（） A．20+19B．2019C．2019D．2019 【答案】A 13.（2018临安）我市2018年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2018年温差列式正确的（） A．（+39）﹣（﹣7）B．（+39）+（+7）C．（+39）+（﹣7）D．（+39）﹣（+7） 【答案】A 14.（2016湖州）计算（﹣20）+16的结果是（） A．﹣4 B．4 C．﹣2016 D．2016 【答案】A 15.（2019金丽）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表，则这四天中温差最大的是（） A．星期一B．星期二C．星期三D．星期四 中考数学压轴题分类总结 题型一、探索规律问题 类型一 数式规律 这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系． 例1、古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2，…第n 个三角数记为a n ，计算a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…，由此推算a 399＋a 400＝ ． 【分析】 首先计算a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4的值，然后总结规律，根据规律得出结论，进而求出a 399＋a 400的值． 1．按一定规律排列的一列数依次为23，1，87，119，1411，17 13，…，按此规律，这列 数中的第100个数是 ． 2．观察下列等式：11×2＝1－12＝12，11×2＋12×3＝1－12＋12－13＝23，11×2＋1 2×3＋ 13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝3 4，…，请按上述规律，写出第n 个式子的计算结果(n 为正整数)_______________。(写出最简计算结果即可) 类型二 图形规律 这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题：先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值． 例2、下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( ) 中考数学动点问题题型及解题方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 例1：直线364 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 二、 特殊四边形边上动点 例2：如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．． 的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 初三中考数学分类解析专题 方程及其应用 一、选择题 1.（2019宁波）能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为（ ） A ．1m =- B ．0m = C ．4m = D ．5m = 【答案】D 2.（2020嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组3421x y x y +=??-=? ① ②时，下列方法中无法消元 的是（ ） A. ①×2﹣① B. ①×（﹣3）﹣① C. ①×（﹣2）+① D. ①﹣ ①×3 【答案】D 3.（2016杭州）已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，则可列方程为（ ） A ．518=2 B ．518﹣x=2×106 C ．518﹣x=2 D ．518+x=2 【答案】C 4.（2019杭州）已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x 人，则 （ ） A ．237230x x B ．327230x x C ．233072x x D ．323072x x 【答案】D 5.（2019嘉兴）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何?”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为（ ） A ．4638 3548x y x y +=??+=? B ．4648 3538y x y x +=??+=? C ．4648 5338x y x y +=??+=? D ．4648 3538x y x y +=??+=? 【答案】D 1 1、简单计算 （天津08）11．不等式组322(1)841x x x x +>-?? +>-? ， 的解集为 ． （天津09）3．若x y ，为实数， 且20x ++ =， 则2009 x y ?? ??? 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- （天津11）11．6-的相反数是 。 （天津12）11．|－3|= 。 （天津13）1．计算(－3)＋(－9)的结果等于（ ） （A ）12 （B ）-12 （C ）6 （D ）-6 （天津13）11．计算6a a ? 的结果等于 ． （天津13）（12）一元二次方程(6)0x x -=的两个实数根中较大的根是 ． 2、锐角三角函数 （天津08）1． 60cos 的值等于（ ） A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 （天津09）1．2sin 30°的值等于（ ） A ．1 B C D ．2 （天津10）1．sin 30?的值等于（ ） （A ） 12 （B （C （D ）1 （天津11）1．sin45°的值等于( )（A) 12 (B) 2 (C) 2 (D) 1 （天津12）1．2cos60°的值等于（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 2 （天津13）2．tan 60?的值等于( ) （A ）1 （B （C （D ）2 3、轴对称图形、中心对称图形 （天津08）2．对称现象无处不在，请你观察下面的四个图形，它们体现了中 华民族的传统文化，其中，可以看作是轴对称图形的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （天津09）2．在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 （天津10）（2）下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心 对称图形的为中考数学动点问题题型方法归纳
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