基本初等函数Ⅱ（三角函数）
【学法导航】
三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 方法技巧：
1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的
2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正
3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取
4.求三角函数值域的常用方法：
求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：
（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域； （2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域；
（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性
5. 三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；
⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ω?=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
sin y x =的对称轴是2
x k π
π=+
()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；
cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2
k π
π+
()k Z ∈
tan y x =的对称中心是(
,0)()2
k k Z π
∈
注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0ω>.
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数
sin()y A x ω?=+的简图，并能由图象写出解析式．
⑴“五点法”作图的列表方式；
⑵求解析式sin()y A x ω?=+时处相?的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ?
ω
=-. （三）正弦型函数sin()y A x ω?=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩 s
i n y x =的图象???0)或向右(0)平移个单位长度
得sin()y x ?=+的图象()
ωωω
?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()
A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ?=++的图象． 先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><
得sin y A x =的图象(01)(1)
1
()
ωωω
<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)???ω
>
个单位
得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ω?=++的图象．
【专题综合】
例1.已知2tan =θ，求（1）
θ
θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2
2cos 2cos .sin sin +-的
值.
解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=
++θθθ
θθθ
θθθθ； (2) θ
+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ2
2222
2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin
3
2
4122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=
++-=+θ
θ+θθ
-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化
例2.已知向量2
(2cos sin )(sin cos )(3)a ααb ααx a t b =-=+- ，2，=，，，
y ka b =-+
，且0x y ?= ，
(1)求函数()k f t =的表达式；
(2)若[1
3]t ∈-，，求()f t 的最大值与最小值 解：(1)24a = ，21b = ，0a b ?= ，又0x y ?=
，
所以22222[(3)]()(3)[(3)]0x y a t b ka b ka t b t k t a b ?=+-?-+=-+-+--?=
，
所以31344k t t =-，即313()44
k f t t t ==-； (2)由(1)可得，令()f t 导数233
044
t -=，解得1t =±，列表如下：
t
－1 (－1，1) 1 (1，3) ()f t 导数 0 － 0 + ()f t 极大值
递减
极小值
递增
而1
1
9(1)(1)(3)2
22f f f -==-=，，，所以max min 91()()22
f t f t ==-
， 说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。 例3. 平面直角坐标系有点]4
,4[),1,(cos ),cos ,1(π
π-
∈x x Q x P （1）求向量OP 和OQ 的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）求θ的最值.
解：（1）θOQ OP OQ OP cos ??=? ，
x
x x x x 2cos 1cos 2cos cos )2cos 1(cos cos +=
∴+=+∴θθ
即 x x x f 2
cos 1cos 2)(+=
)4
4(π
π≤≤-x
（2）x
x cos 1cos 2cos +
=
∴θ ， 又 ]2
23,2[cos 1cos ∈+
x x ， ]1,322[
cos ∈∴θ ， 0min =∴θ ， 3
2
2arccos
max =θ. 说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意 例4.
设 θ ∈[0, 2π], 且 cos2θ+2m sin θ-2m -2<0 恒成立, 求 m 的取值范围.
解法 1 由已知 0≤sin θ≤1 且 1-sin2θ+2m sin θ-2m -2<0 恒成立.
令 t =sin θ, 则 0≤t ≤1 且 1-t 2+2mt -2m -2<0 恒成立.
即 f (t )=t 2-2mt +2m +1=(t -m )2-m 2+2m +1>0 对 t ∈[0, 1] 恒成立. 故可讨论如下:
(1)若 m <0, 则 f (0)>0. 即 2m +1>0.
解得 m >12-, ∴1
2
- (2)若 0≤m ≤1, 则 f (m )>0. 即 -m 2+2m +1>0. 亦即 m 2-2m -1<0. 解得: 12- 综上所述 m >12- . 即 m 的取值范围是 (1 2 -, +∞). 解法 2 题中不等式即为 2(1-sin θ)m >-1-sin2θ.∵θ∈[0, 2 π ], ∴0≤sin θ≤1. 当 sin θ=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 m ∈R; 当 0≤sin θ<1 时,21sin 2(1sin ) m θ θ+>--恒成立. 令 t =1-sin θ, 则 t ∈(0, 1], 且 21(1)1 1()22t t m t t +->- =-+ 恒成立. 易证 g (t )=1-1 ()2t t +在 (0, 1] 上单调递增, 有最大值 - , ∴m >12- . 即 m 的取值范围是 (1 2 -, +∞). 说明：三角函数与不等式综合，注意“恒成立”问题的解决方式 【专题突破】 一、选择题 1．有下列命题： ①终边相同的角的三角函数值相同； ②同名三角函数的值相同的角也相同； ③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同； ④不相等的角，同名三角函数值也不相同． 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．角α的终边上有一点P （a ，a ），a ∈R ，a ≠0，则sin α的值是( ) A ． 2 2 B ．－2 2 C ． 22或－2 2 D ．1 3．若 x x sin |sin |+|cos |cos x x +x x tan | tan |=－1，则角x 一定不是( ) A ．第四象限角 B ．第三象限角 C ．第二象限角 D ．第一象限角 4．如果 4π＜θ＜2 π ，那么下列各式中正确的是( ) A ．cos θ＜tan θ＜sin θ B ．sin θ＜cos θ＜tan θ C ．tan θ＜sin θ＜cos θ D ．cos θ＜sin θ＜tan θ 5．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．若sin αtan α＞0，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第四象限 C ．第二或第三象限 D ．第一或第四象限 7．若角α的终边与直线y =3x 重合且sin α＜0，又P （m ，n ）是角α终边上一点，且|OP |=10，则m －n 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 8．下列三角函数： ①sin（n π+ 3π4）；②cos（2n π+6π）；③sin（2n π+3π）；④cos［（2n +1）π－6 π ］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）．其中函数值与sin 3π 的值相同的是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤ 9．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2 π ，0），则tan （2π3+α）的值为（ ） A ．－ 3 6 B ． 3 6 C ．－ 2 6 D ． 2 6 10．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ） A ．cos （A +B ）=cos C B ．sin （A +B ）=sin C C ．tan （A +B ）=tan C D ．sin 2B A =sin 2 C 11．下列函数中，同时满足①在（0，2 π ）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y =tan x B ．y =cos x C ．y =tan 2 x D ．y =|sin x | 12．函数y =2tan （3x －4 π ）的一个对称中心是( ) A ．（ 3 π ，0） B ．（ 6 π ，0） C ．（－ 4 π ，0） D ．（－ 2 π ，0） 二、填空题 13．若角α的终边经过P （－3，b ），且cos α=－ 5 3 ，则b =_________，sin α=_________． 14.若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________． 15．tan α=m ，则 =+-+++) cos(-sin() cos(3sin(απα）απ）απ ． 16.函数 y=f(x) 的图象右移π 4 ，横坐标缩小到原来的一半，得到y=tan2x 的图象， 则y=f(x)解析式是_______________． 三、解答题 17.已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α的终边过点P （－3，y ），且sin α= 4 3 y （y ≠0），判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值． 18. 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角α的取值集合． （1）sin α= 21；（2）cos α=21；（3）tan α=－1；（4）sin α＞21． 19. 化简： ? +?? ?+790cos 250sin 430cos 290sin 21． 20. 求函数y =－2tan （3x + 3 π ）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性． 21. 数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈， （1）求 （2）若1 ()2 g a = ，求a 及此时()f x 的最大值 22. 已知f(x)是定义在R 上的函数，且1()(2)1() f x f x f x ++= - (1)试证f(x)是周期函数. (2)若f(3)=3-，求f(2005)的值. 专题突破参考答案 一、选择题 1．B 2． C 3．D 4．D 5． D 6． D 7．A 8．C 9．B 10．B 11．A 12． C 二、填空题 13．±4 ±54 14.－sin α－cos α 15．1 1-+m m 16.y=tan(x+π4 ) 三、解答题 17. 解：依题意，点P 到原点O 的距离为|OP |=22)3(y +-，∴sin α=23y y r y += =43y ． ∵y ≠0，∴9+3y 2=16．∴y 2 = 3 7 ，y =±321． ∴点P 在第二或第三象限． 当点P 在第二象限时，y = 321，cos α=r x =－4 3 ，tan α=－37； 18．解：（1）已知角α的正弦值，可知MP =21，则P 点的纵坐标为2 1 ．所以在y 轴上取点（0， 2 1 ），过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为｛α｜α=2k π+ 6 π ，或α=2k π+6π5，k ∈Z ｝．如下图． O y x P P 566-π π1 12 2 (0,-) （2）因为OM = 21，则在x 轴上取点（2 1 ，0），过该点作x 轴的垂线，交单位圆于P 1、P 2两点，OP 1、OP 2是所求角α的终边，α的取值集合为｛α｜α=2k π± 3 π ，k ∈Z ｝．如下图． O y x P P 3 3 ---ππ12M （3）在单位圆过点A （1，0）的切线上取AT =－1，连结OT ，OT 所在直线与单位圆交于 P 1、P 2两点，OP 1、OP 2是角α的终边，则角α的取值集合是｛α｜α=2k π+ 4 π 3，或 α=2k π+ 4π7，k ∈Z ｝=｛α｜α=k π±4 3 π，k ∈Z ｝．如下图． O y x P P 374 4ππ 1 2A T （4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合条件的角的范围．如下图，作出正弦值等于 21的角α的终边，正弦值大于2 1 的角的终边与单位圆的交点在劣弧P 1P 2上，所以所求角的范围如下图中的阴影部分，α的取值集合是{α|2k π+ 6 π ＜α＜2k π+6 π 5，k ∈Z}． 当点P 在第三象限时，y =－ 321，cos α=r x =－4 3 ，tan α=37． O y x P P 1 2 19. 解： ? +?? ?+790cos 250sin 430cos 290sin 21 = )360270cos()70180sin() 36070cos()36070sin(21??+?+?+??+??+?-+ = ? -?? ?-70sin 70cos 70cos 70sin 21 =? -??-?70sin 70cos )70cos 70(sin 2 = ? -?? -?70sin 70cos 70cos 70sin =－1． 20. 解：由3x + 3π≠k π+2π，得x ≠18 π3π+k （k ∈Z ）， ∴所求的函数定义域为{x |x ≠ 18π3π+k （k ∈Z ）}，值域为R ，周期为3 π ， 它既不是奇函数，也不是偶函数． k π－ 2π≤3x +3π≤k π+2 π （k ∈Z ）， ∴ 18π53π-k ≤x ≤18 π 3π+k （k ∈Z ） ． 在区间［ 18π53π-k ，18 π 3π+k ］ （k ∈Z ）上是单调减函数． 21. 解：2()122cos 2sin f x a a x x =--- 2122cos 2(1cos )a a x x =---- 2 2cos 2cos 12x a x a =---2 2 2(cos )12()22 a a x a a R =----∈ (1)函数()f x 的最小值为()g a 1.122a a <-<-当时即时，cos 1x =-由得 2 2()2(1)12122a a g a a =-----= 2.11222a a -≤≤-≤≤当时即时，cos 2a x =由得 2 ()122a g a a =--- 3.122a a >>当时即时，cos 1x =由，2 2()2(1)1222 a a g a a =----得＝14a - 综上所述得 21 (2)()12(22)214(2) a a g a a a a a <-?? ? =---≤≤?? ->??－ (2) 221 1243022 a a a a -=++=－ －得 13()a a ∴=-=-或舍 2 21()2(cos )1222 a a a f x x a =-=----将代入 211()2(cos )22f x x =++得 cos 1x =当 2()x k k Z π=∈即时得 max ()5f x = 22. 解： (1)由1()(2)1() f x f x f x ++= -，故f(x+4)= ) 2(1)2(1+-++x f x f =1 ()f x - f(x+8)=f(x+4+4)= 1 (4) f x - + =f(x)，即8为函数() f x的周期 (2)由 f(x+4) = 1 () f x -，得f(5) = 13 (1)3 f -= ∴f(2005)=f(5+250×8)=f(5)= 3 3
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