第一章小结与复习
知识结构框图
一、全等三角形的判定及性质
1、性质：全等三角形对应相等、对应相等；
2、判定：分别相等的两个三角形全等（SSS）；
分别相等的两个三角形全等（ASA）；
分别相等的两个三角形全等（SSS）；
相等的两个三角形全等（AAS）；
相等的两个直角三角形全等（HL）；
二、等腰三角形
1、性质：等腰三角形的两个底角相等（即------------------）。
2、判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（即----------------------）
3、推论：等腰三角形、、互相重合（即“”）
4、等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴。
判定定理：（1）有一个角是60°的--------三角形是等边三角形；
（2）三个角都----------的三角形是等边三角形。
三、直角三角形
1、勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的等于的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是
2、含30°的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么等于
的一半。
3、直角三角形斜边的中线等于的一半。
四、线段的垂直平分线
性质：垂直平分线上的点到的距离相等；
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的。
三角形三边的垂直平分线的性质：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。．五、角平分线的距离相等；性质：角平分线上的点到判定：在一个角内部，且到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形角平分线的性质定理：性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。这个点叫内心。
六、方法总结：）角平分线的性质定理：角211）证明线段相等的方法：）可证
明它们所在的两个三角形全等；（）中垂线5）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；平分线上的点到角两边的距离相等；3 的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。）全等三角4）平行线性质；3）对顶角相等；（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2 ）角平分线的性质定理和逆定理。5）等边对等角；6形对应角相等；）利用等腰三角形的三32）证和已知直角三角形全等；）证明垂直的方法：（31）证邻补角相等；）勾股定理的逆定理。线合一性质；4 ）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。（4知识模块一等腰三角形与等边三角形
一．选择题（共2小题）
1．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
2．△ABC的三边长分别a，b，c，且a+2ab=c+2bc，则△ABC是（）
A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二．填空题（共4小题）
3.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长
为．
)
的度数为( ＝，∠B70°，则∠C＝中，如图4.1，在△ABCAB＝ADDC ABCD°50．°45．°40．°35．
1)
图(2)
(图
，，若2MN＝NOA°，点P在边上，OP＝12，点M、在边OB上，PM＝PN6025.如图，已知∠AOB＝．＝则OM6．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角
为．
7．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，过D点的
直线EF∥BC且交AB于E、交AC于F，已知AB=7cm，AC=5cm，BC=6cm，
则△AEF的周长为 cm．
8．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的钝角为130°，则∠B等
于．
9．已知：如图，△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm，D、E、F
．cm BE+CF= ，则DF=DC，DE=DB分别是三边上的点，且．
三．解答题（共1小题）
10.如图，等边△ABC中，AE＝CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.求证：BP＝2PQ.
11．（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
知识模块二直角三角形
一．选择题（共4小题）
1．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（）
．一直角边和一角对应相等B ．斜边和一直角边对应相等A．
D．斜边和一锐角对应相等C．两条直角边对应相等
）条．2．一个三角形三边的长是6，8，10，同时平分这个三角形周长和面积的直线有（
4
．A．1 B．2 C．3 D取一值．满足这些条件的互ABC3．在△中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC可以从4，5，7，9，11 ）不全等三角形的个数是（4
D5 ．．7 C．．A6 B ），下底长为11，则连接两底中点的线段长是（ 4．梯形的两底角之和为90°，上底长为56
DC．5 ．．A3 B．4
222 Rt)
＋AC( ＋BC 的值为5.BC△ABC中，斜边＝2，则AB DBCA．6 ．无法计
算．8 ．4
，还需添加的条件是DBF，若使△ACB≌△FD6.如图，已知∠C＝∠FBD＝90°，⊥AB，垂足为点O
使两个直角三角形全等的条件是)
7.(
ABCD．两条边对应相等．两个锐角对应相等．一条边对应相等．一个锐角对应相等三．填空题（共3小题）
ABCABCBCAB= 。，最长边3，最小边∶∠=4 cm∶∠=1∶218、填空：（）△∶中，∠。，其斜边上的高是）直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm （2三角形。）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是（32bcaabcabc)，则这个三角形（按边分类）一定是－=（4）三角形三边分别为、________、(，且－
9．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE折叠，
使得点A与点B重合，则折痕DE的长为．
2． cm10cm10．等腰三角形的腰长为，顶角为120°，此三角形面积为11．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C．已知AC=8，
BC=3．
（1）线段AC的中点到原点的距离是；
．到原点的最大距离是B）点2（．
三．解答题（共4小题）
12．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的
值．
13．如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，G 是FC的中点，连接GD．求证：GD⊥
DE．
14．如图，下午2时一艘轮船从A处向正北方向航行，5时达到B处，继续航行到达D处时发现，灯塔C恰好在正西方向，从A处、B处望灯塔C的角度分别是∠A=30°，∠DBC=60°，已知轮船的
的长度．/时，求AD航行速度为24海里
中、BDM，M、′分别为ABAB=BDBC=DEBDE=90ABC=BDEABC111．如图，在△与△中，∠∠°，，点．′有怎样的数量关系？请证明你的结论；EM与CM）探索1（．（2）如图2，连接MM′并延长交CE于点K，试判断CK与EK之间的数量关系，并说明理
由．
知识模块三线段垂直平分线与角平分线
范例在△ABC中，AB的垂直平分线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为( )
ABCD．40°或50°．40°或140° 50．° 40．°
仿例1：如图，D是线段AB、BC垂直平分线的交点，若∠ABC＝150°，则∠ADC 的大小是 ( )
ABCD．80 °° 75° 60．°．70 ．
,
,
3题图仿例2题图仿例仿例1题图
的面积分和△AED＝DG，△ADGABC是△的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE仿例2：如图，AD的面积为．38，则△EDF 别为50和仿例3：如图，在△ABC 中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平 ( ) D，连接AD，下列结论中不正确的是分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点ABCD．∠DAC＝55°．∠BDC＝35°．∠BAC＝70°．∠DOC＝90°中垂线提升一．选择题（共4小题）
°，D，且∠A=1301．如图，线段AB、AC的中垂线交于点）的度数为（则∠BDC
B．100° C．120°A．90° D．130°
第四题图第三题图第二题图
的BCNAC=4cm2．如图，在△ABC中，，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△的周长是7cm，则BC 长为（）
4cm
．D2cm
．C．3cm
A．1cm
B
3．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）
A．65° B．60° C．55° D．45°
4．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l 与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（）
A．24° B．30° C．32° D．42°
小题）2二．填空题（共．
的周长为EDC于点E．若△交边BC于点D，交边AB．如图，在△5ABC中，BC边上的垂直平分线DE 的长为，则线段的周长之差为12DE ．24，△ABC与四边形AEDC
5
6
6．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF= ．
三．解答题（共2小题）7．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D 为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．
8．如图，点B，E关于y轴对称，且E在AC的垂直平分线上，一直点C（5，0）．（1）如果∠BAE=40°，那么∠C= °；
（2）如果△ABC的周长为13cm，AC=6cm，那么△ABE的周长= cm；
（3）
AB+BO= ．
角平分线提升
小题）一．选择题（共1
E，、∠ACB的平分线交于中，∠1．如图，△ABCBAC=60°，∠ABC °；BEC=120延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠D是AE ）．其中正确结论的个数为（②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE3 2 D．0 A．B．1 C．
二．填空题（共2小题）于BC，、BE交于点OOF平分∠BOC交＞2．如图，△ABC 中，∠A=60°，ABAC，两内角的平分线CD）A、O、F三点在同一直线上，（4，则，（F1）∠BOC=120°；（2）连AOAO平分∠BAC；（3）（填序号）． BD+CE=BC ．其中正确的结论是，（OD=OE5）
3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．
三．解答题（共2小题）
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，
求证：FK∥
AB．
5．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中
点．