§2.2.1 分数指数幂（1）
【教学目标】
1．理解n 次方根及根式的概念；
2．掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值； 3．提高观察、抽象的能力． 【课前导学】
1．如果2x a =，则x 称为a 的 ； 如果3x a =，则x 称为a 的 ．
2. 如果*(1,)n x a n n N =>∈，则x 称为a 的 ；0的n 次实数方根等于 ．
3. 若n 是奇数，则a 的n 次实数方根记作n a ； 若0>a 则为 数，若o a <则为 数；若n 是偶数，且0>a ，则a 的n 次实数方根为 ；负数没有 次实数方根．
4. 式子n
a ()1,n n N *
>∈叫 ，n 叫 ，a 叫 ；
n
= ．
5. 若n = ；若n = ． 【例题讲解】
例1．求下列各式的值：
（1）2 （2）3 （3 （4
*变式：解下列方程（1）3216x =-； （2）422240x x --=
例2．设－3 例3．计算：625625++- 【课堂检测】 1. 27的平方根与立方根分别是 （ ） （A ） （B ）± （C ）3± （D ）3±± 2. 求值：54 925-+． 3. 化简()()()0,0778888<<-+++b a b a b a b §2.2.1 分数指数幂（2） 【教学目标】 1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化； 2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简． 3．会对根式、分数指数幂进行互化； 4．培养学生用联系观点看问题． 【课前导学】 1．正数的分数指数幂的意义： （1）正数的正分数指数幂的意义是m n a = ()0,,,1a m n N n *>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义m n a -= ()0,,,1a m n N n *>∈>． 2．分数指数幂的运算性质： 即()1r s a a = ()0,,a r s Q >∈， ()()2s r a = ()0,,a r s Q >∈， ()()3r ab = ()0,0,a b r Q >>∈． 3．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 指数幂同样适用. 4. 0的正分数指数幂等于 . 【例题讲解】 例1．求值（1） 12100， （2）23 8， （3）()32 9-， （4） 34 181- ?? ??? ． 例2．用分数指数幂表示下列各式(0)a >： （1）a ；（2 ；（3． 例3．已知a +a －1 =3，求下列各式的值：（1）2 1 a -2 1- a ；（2）2 3 a -2 3- a *变式：利用指数的运算法则，解下列方程： (1)4 3x +2 =256×8 1－x (2)2x +2－6×2x －1－8=0 【课堂检测】 1. 计算下列各式的值（式中字母都是正数）． (1)(xy 2 ·21 x ·21-y )31·2 1)(xy (2)23 6 9)(a ·26 3 9)(a 2. 已知112 2 3x x -+=，求 332 2 223 2 x x x x - -+-+-的值. 3. 已知21x a =，求33x x x x a a a a --++的值. §2.1.3 指数函数（1） 【教学目标】 1．理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质； 2．初步了解函数图象之间最基本的初等变换。 3．能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小． 【课前导学】 1．形如 ________________ 的函数叫做指数函数，其中自变量是 ，函数定义域是 ，值域是 ． 2. 下列函数是为指数函数有______________________ ． ①2y x = ②8x y = ③(21)x y a =-（1 2 a > 且1a ≠）④(4)x y =- ⑤x y π= ⑥1 22 5+=x y ⑦x y x = ⑧10x y =-． 3.指数函数(0,0)x y a a a =>≠恒经过点 ． 4.当1a >时，函数x y a =单调性为 ； 当01a <<时，函数x y a =单调性为 ． 【例题讲解】 例1．比较大小： （1） 2.5 3.21.5,1.5； （2） 1.2 1.50.5,0.5--； （3）0.3 1.21.5,0.8． 例2．（1）已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围； （2）已知0.225x <，求实数x 的取值范围. 例3．设a 是实数，2 ()()21 x f x a x R =- ∈+， （1）求a 的值，使函数()f x 为奇函数 （2）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； *变式：求函数2 6171()2 x x y -+=的定义域、值域、单调区间． 【课堂检测】 1.若函数(1)x y a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ） （A ）(1,)+∞ （B ）(0,1) （C ）(,1)-∞ （D ）(1,1)- 2.已知函数x y a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，求实数a 的值； 3. 解不等式：(1)293x x -> (2)34260x x ?-?> §2.1.3 指数函数（2） 【教学目标】 1．进一步掌握指数函数的图象、性质； 2．初步掌握函数图象之间最基本的初等变换。 【课前导学】 1．已知0,1a a >≠，x y a =-与x y a =的图象关于 对称； x y a -=与x y a =的图象关于 对称. 2. 已知0,1,0a a h >≠>，由 x y a =的图象 得到x h y a +=的图象； 得到x h y a -=的图象； 得到x y a h =+的图象； 得到x y a h =-的图象. 【例题讲解】 例1．说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图： （1）12x y +=； （2）22x y -=． 例2．说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图： （1）21x y =+； （2）22x y =-． 例3．画出函数的图象并根据图象求它的单调区间： （1）|22|x y =-； （2）||2x y -= *变式：（1）求方程24x x +=的近似解（精确到0.1）；（2）求不等式24x x +≥的解集. 【课堂检测】 1. （1）函数21(0,1)x y a a a -=+>≠恒过定点为___ ______. 2. 怎样由4x y =的图象，得到函数421 ()22 x y -=-的图象？ 3. 说出函数3x y -=与3x a y -+=(0)a ≠图象之间的关系： §2.1.3 指数函数（3） 【教学目标】 1．熟练掌握指数函数的图象和性质； 2．能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题，体会指数函数是一类重要的函数模型； 3．培养学生从特殊到一般的抽象、归纳的能力以及分析问题、解决问题的能力． 【课前导学】 1．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率 为p ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式y = 表示. 【例题讲解】 例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式． 例2．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息）为y元． （1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和． 例3．20002002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右．按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）． 【课堂检测】 1.（1）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件a个,计划从今年开始的m年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长% p,则此种规格电子元件的年产量y随年数x变化的函数关系式为 _______________. （2）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是a元/个, 计划从今年开始的m年内, 每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降% p,则此种规格电子元件的单件成本y随 2. 2000年10月18日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息:”市政委员会今天宣布:本市垃圾的体积达到3 50000m”,副标题是:”垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体积3 V m与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表 () 格,并回答下列问题: (1)设想城市垃圾的体积每三年继续加倍,问24年后该市垃圾的体积是多少? (2)根据报纸所述的信息,你估计3年前垃圾的体积是多少? n=-,这时的,n V表示什么信息? (4)写出n与V的函数关系式,并画出函数图象(横轴取n轴); (5)曲线可能与横轴相交吗?为什么? 典型例题 比较大小 例1、比较下列各组数的大小: (1)和 ; (2)和 ; (3)和 ; (4)和 , . 分析:当两个幂形数底数相同时,要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数,借助函数的单调性来比较大小. 解: (1)在上是减函数,又 ,故 < . (2) = ,由的单调性可得, >即 > . (3)由 >1而 <1,可知 > . (4)当时, < ,当时, > . 小结:此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值,此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小,而(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂,可构造指数函数来比较大小. 根据条件比较字母的大小 例1、比较下列各组数的大小： （1）若，比较与； （2）若，比较与； （3）若，比较与； （4）若，且，比较a与b； （5）若，且，比较a与b． 分析：设均为正数，则，即比较两个正数的大小，可比较它们的商与1的大小．掌握指数函数的图象规律，还要掌握底的变化对图象形 状的影响．这主要有两方面：其一是对；对 ．用语言叙述即在y轴右侧，底越大其图象越远离x轴；在y轴左侧，底越大，其图象越接近x轴．这部分内容即本题（2），（3）所说的内容．其二是当底均大于1时，底越大，其图象越接近y轴；当底均小于1时，底越小，其图象越接近y轴．一个便于记忆的方法是：若以离1远者为底，则其图象接近y轴．当然这是指底数均大于1或均小于1．这部分内容即本题（4）与（5）． 解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故． （2）由，故．又，故．从而． （3）由，因，故．又，故．从而． （4）应有．因若，则．又，故，这样 ．又因，故．从而，这与已知矛盾． （5）应有．因若，则．又，故，这样有 ．又因，且，故．从而，这与已知 矛盾． 指数函数与对数函数总结 一、[知识要点]： 1. 指数函数y＝a x与对数函数y＝a log x的比较： 定义图象 定义 域 值域 性质 奇 偶 性 单 调 性 过定 点 值的分布最值 y＝a x （a>0且a≠1）叫指数函数 a>1 （－ ∞，＋ ∞） （0， ＋∞） 非 奇 非 偶 增 函 数（0， 1） 即a0 ＝1 x>0时 y>1； 0 3. 几个注意点 （1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。 【典型例题】 例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1 A. a ＜b ＜1＜c ＜d B. b ＜a ＜1＜d ＜c C. 1＜a ＜b ＜c ＜d D. a ＜b ＜1＜d ＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。 解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。故选B 。 解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。 例2. 已知2x x +2 ≤（41 ）x －2，求函数 y ＝2x －2－x 的值域。 解：∵2x x +2 ≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。 又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数， ∴2－4－24≤y ≤2－2－1。 故所求函数y 的值域是［－16255，23 ］。 例3. 要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈（－∞，1）上y ＞0恒成立，求a 的取值范围。 解：由题意，得1＋2x ＋4x a ＞0在x ∈（－∞，1）上恒成立， 即 a ＞－x x 421+在x ∈（－∞，1）上恒成立。 又∵－x x 421+＝－（21）2x －（21 ）x ＝－［（21）x ＋21］2＋41 ， 当 x ∈（－∞，1）时值域为（－∞，－43 ）， ㈠ 与幂函数αx y =有关的大小比较 ⑴ 两个幂函数的指数相同(底数为负数时须先化为正数)，利用幂函数的单调性判定大小； ⑵ 两个幂函数的指数不同，能化为同指数的，利用幂函数的单调性判定大小，不能化为同指数的，利用中间数0来比较大小； 幂函数αx y =的性质： ⑴ 在),0(∞上，0>α时是增函数，0<α时是减函数： ⑵ 1>x 时，指数大的图象在上方，10< 指数函数与对数函数总结 一、 [知识要点]： x a log x 定义 图象 定义域 值域 性质 奇偶性 单 调 性 过定 点 值的分布 最值 y ＝a x （a>0且a ≠1） 叫指数函数 a>1 （－∞，＋ ∞） （0，＋∞） 非奇 非偶 增 函数 （0，1） 即a 0 ＝1 x>0时y>1；0 1、 已知0707..m n >，则m n 、的关系是（ ） A 、 10>>>m n B 、 10>>>n m C 、 m n > D 、 m n < 2、三个数a b c =-==(.)(.).030320203，，，则a b c 、、的关系是（ ） A 、 a b c << B 、 a c b << C 、 b a c << D 、 b c a << 3、三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是 （ ） A 、60.70.70.7log 66<< B 、60.70.70.76log 6<< B 、0.760.7log 660.7<< D 、60.70.7log 60.76<< 4 、 设 1.5 0.9 0.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则 （ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、 123y y y >> 5、当10<> B 、a a a a a a >> C 、a a a a a a >> D 、a a a a a a >> 6．设y 1＝，y 2＝，y 3＝(12 )－ ，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 7．设13<(13)b <(13 )a <1，则( ) A ．a a b >c B ．a 0，且a ≠1)． 12．设y 1＝，y 2＝，y 3＝(12)－ ，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 《指数函数比较大小》专题 2014年（）月（）日班级：姓名 每道错题做三遍。第一遍：讲评时；第二遍：一周后；第三遍：考试前。 【类型一】比较大小 1.比较下列各组数中两个值的大小： (1) 30.8，30.7；(2) 0.75－0.1，0.750.1；(3) 1.012.7，1.013.5；(4) 0.993.3，0.994.5. 2. (1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围． 3．已知下列不等式，比较m、n的大小． (1)2m<2n； (2)0.2m>0.2n； (3)a ma n(a>1)． 4．比较下列各组数中两个值的大小： （21）32和（21）31 （21）32和 （51）32 （21）31和 （5 1）32 5．将下列各数排列起来 （21）31，（21）32，（5 1）32 6.已知a>b,ab 0≠下列不等式①a 2>b 2, ②2a >2b , ③b a 11<, ④a 31>b 31 ,⑤(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7．若a 23 指数函数对数函数比较大小 题型总结 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1、 已知0707..m n >，则m n 、的关系是（ ） A 、 10>>>m n B 、 10>>>n m C 、 m n > D 、 m n < 2、三个数a b c =-==(.)(.).030320203，，，则a b c 、、的关系是（ ） A 、 a b c << B 、 a c b << C 、 b a c << D 、 b c a << 3、三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是 （ ） A 、60.70.70.7log 66<< B 、60.70.70.76log 6<< B 、0.760.7log 660.7<< D 、60.70.7log 60.76<< 4、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -??=== ???，则 （ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 5、当10<> B 、a a a a a a >> C 、a a a a a a >> D 、a a a a a a >> 6．设y 1＝，y 2＝，y 3＝(12)－，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 7．设13<(13)b <(13)a <1，则( ) 指数函数及其性质 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>? ?≤??x x 时，a 恒等于，时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠? 且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； （2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ． 举一反三： 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）4x y =；（2）4 y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1 (21)(1)2 x y a a a =-> ≠且；（6）4x y -=． 幂函数与指数函数的区别 1、指数函数:自变量x在指数的位置上,y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就是递增函数,且y>0; 当0 幂函数的性质: 根据图象,幂函数性质归纳如下: (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点 (1,1); (2)当a>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+ ∞)上就是增函数. 特别地,当a>1时,幂函数的图象下凸;当0 《指数函数比较大小》专题 2017年（）月（）日班级：姓名 每道错题做三遍。第一遍：讲评时；第二遍：一周后；第三遍：考试前。 1.比较下列各组数中两个值的大小： (1) 30.8，30.7；(2) 0.75－0.1，0.750.1；(3) 1.012.7，1.013.5；(4) 0.993.3，0.994.5. 0.90..2，30.3. 1.1-0.2，1.3-0.1. 2. (1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．3．已知下列不等式，比较m、n的大小． (1)2m <2n ； (2)0.2m >0.2n ； (3)a m a n (a >1)． 4．比较下列各组数中两个值的大小： （21）32和（21）31 （21）32和 （51）32 （21）31和 （5 1 ）32 5．将下列各数排列起来 （21）31，（21）32，（5 1）32 【选做】将下列各数从大到小排列起来 132()3-， 123()5， 2 33， 12 2()5， 233()2， 05()6 ， 3(2)-， 135()3-， 6.已知a>b,ab 0≠下列不等式①a 2 >b 2 , ②2a >2b , ③b a 1 1<, ④a 31>b 31 ,⑤(31)a <(31)b 中 恒成立的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7．若a 2 3 1、 已知0707..m n >，则m n 、的关系是（ ） A 、 10>>>m n B 、 10>>>n m C 、 m n > D 、 m n < 2、三个数a b c =-==(.)(.).030320203，，，则a b c 、、的关系是（ ） A 、 a b c << B 、 a c b << C 、 b a c << D 、 b c a << 3、三个数6l o g ,7.0,67.067.0的大小顺序是 （ ） A 、60.70.70.7log 66<< B 、60.70.70.76log 6<< B 、0.760.7log 660.7<< D 、60.70.7log 60.76<< 4 、 设 1.5 . 90 . 48 12 314 ,8 , 2y y y -??== = ??? ，则 （ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、 123y y y >> 5、当10<> B 、a a a a a a >> C 、a a a a a a >> D 、a a a a a a >> 6．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(1 2)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 7．设13<(13)b <(1 3)a <1，则( ) A ．a a b >c B ．a 0，且a ≠1)． 12．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(1 2)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 2．设a ＝lge ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 3．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b 4．设a ＝log 1312，b ＝log 13 23，c ＝log 34 3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) 指数函数的图象及其性质教学设计 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、学生学习情况分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、设计思想 1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 2.在本课的教学中我努力实践以下两点： ⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 ⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 四、教学目标 根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 五、教学重点与难点 指数与对数比较大小专项练习 一．选择题（共30小题） 1．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=ln2，则a，b，c的大小关系为（） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 2．已知a=0.52.1，b=20.5，c=0.22.1，则a、b、c的大小关系是（） A．a＜c＜b B．b＞a＞c C．b＜a＜c D．c＞a＞b 3．已知a=0.40.3，b=0.30.4，c=0.3﹣0.2，则（） A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c 4．已知a=0.30.3，b=0.31.3，c=1.30.3，则它们的大小关系是（） A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞b＞c 5．已知，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 6．设a=0.20.3，b=0.30.3，c=0.30.2，则下列大小关系正确的是（） A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 7．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b 8．设a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，则a，b，c的大小关系是（） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 9．已知a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 10．下列关系中正确的是（） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 指数对数幂函数比较大小 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设1 2 1log 3a =，1 212b ??= ???，13 13c ?? = ??? ，则,,a b c 的大小关系是（） A. a b c << B. c b a << C. b c a << D. c a b << 2．设a=lo 12 g 3,b=0.2 13?? ???,c=1 32,则 ( ) A. a 指数、对数比较大小 1．下图是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =，（4）x y d =的图象，则a ，b ，c ， d 与1的大小关系是（ ） A ．1a b c d <<<< B ．1b a d c <<<< C ．1a b c d <<<< D ．1a b d c <<<< 2．图中曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 取4313,,,3510四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为（ ） A ．101,53,34,3 B ．53,101,34,3 C ．101,53,3,34 D ．5 3,101,3,34 3．已知()log a f x x =，()log b g x x =，()log c r x x =，()log d h x x =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为（ ） A ．c d a b <<< B ．c d b a <<< C ．d c a b <<< D ．d c b a <<< 4．如果01a <<，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．1132 (1)(1)a a -<- B ．1(1)1a a +-> C ．(1)log (1)0a a -+> D ．(1)log (1)0a a +-< 5．若log 2log 20n m >>时，则m 与n 的关系是（ ） A ．1m n >> B ．1n m >> C ．10m n >>> D ．10n m >>> 6．已知log 5log 50m n <<，则m ，n 满足的条件是（ ） A ．1m n >> B ．1n m >> C ．01n m <<< D ．01m n <<< 7．设5.1348.029.0121,8,4-??? ??===y y y ，则（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >> 8．以下四个数中的最大者是（ ） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C ．ln 2．ln 2 指数、指数函数 ◆高考导航·顺风启程◆ [知识梳理] 1．根式 (1)根式的概念 ①若 x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． ②a 的n 次方根的表示： x n ＝a ??? ? x ＝ n a (当n 为奇数且n ∈N * 时)， x ＝ ±n a (当n 为偶数且n ∈N * 时). (2)根式的性质 ①(n a )n ＝a (n ∈N *)． ②n a n ＝??? a ，n 为奇数， |a | ＝??? ? ? a ，a ≥0，－a ，a ＜0， n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：a m n ＝ n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝ 1a m n ＝ 1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ③0的正分数指数幂等于 0 ，0的负分数指数幂 无意义 . (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝ a r ＋ s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝ a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝ a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 1．指数函数图象的画法 画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，? ???－1，1 a . 2．应用指数函数性质时要把握的两点 (1)指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究． (2)对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围． [知识自测] 1．(2018·青岛调研)已知函数f (x )＝a x － 2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,2) D ．(2,2) [解析] 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2,3)． [答案] B 2．函数y ＝a x －1 a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( ) [解析] 当a ＞1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0＜1－1 a ＜1，排除A ， B. 当0＜a ＜1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1 a ＜0，故选D. [答案] D 3．函数y ＝8－23－ x (x ≥0)的值域是 ________ . [解析] ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0＜23－ x ≤23＝8，∴0≤8－23－ x ＜8， ∴函数y ＝8－23－ x 的值域为[0,8)． [答案] [0,8) 【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性； 2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异； 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值. 三、教学重难点 教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义。 教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器； ⒉制作教学用幻灯片； ⒊安装软件：几何画板，准备多媒体演示设备 五、教学过程 指数对数幂函数比较大小 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设1 2 1log 3a =， 1 212b ??= ???， 13 13c ?? = ??? ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. c b a << C. b c a << D. c a b << 2．设a=lo 12 g 3,b=0.213?? ???,c=1 32,则 ( ) A. a指数函数典型例题
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