第六章模糊数学基础6.1概述
6.1.1传统数学与模糊数学
6.1.2不相容原理
6.2 模糊集合与隶属度函数
6.2.1 模糊集合及其运算
6.2.2 隶属度函数
6.3 模糊逻辑与模糊推理
6.3.1模糊逻辑
6.3.2模糊语言
6.3.3 模糊推理
第六章
模糊数学基础
6.1
概述
6.1.1 传统数学与模糊数学
6.1.2 不相容原理
1965年，美国自动化控制专家扎德（L. A. Zadeh ）教授首先提出用隶属度函数
(membership function)来描述模糊概念，创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。
不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特性作出精确而有意义的描述的能力会随之降低，直到达到一个阈值，一旦超过它，精确和有意义二者将会相互排斥”。这就是说，事物越复杂，人们对它的认识也就越模糊，也就越需要模糊数学。不相容原理深刻的阐明了模糊数学产生和发展的必然性，也为三十多年来模糊数学的发展历史所证实。
6.2 模糊集合与隶属度函数 6.2.1 模糊集合及其运算
一、模糊集合（Fuzzy Sets ）的定义
传统集合中的元素是有精确特性的对象，称之为普通集合。例如，“8到12之间的实数”是一个精确集合C ，C ={实数r |8≤r ≤12}，用特征函数μC (r )表示其成员，如图6.1(a)所示。
???
?
?≤≤=其它
，
，
012
81)(r r C μ
在模糊论域上的元素符合程度不是绝对的0或1，而是介于0和1之间的一个实数。例如，“接近10的实数”是一个模糊集合F ＝{r |接近10的实数}，用“隶属度(Membership)”
μF (r )作为特征函数来描述元素属于集合的程度。
1
812
1
107.2911
0.750.275
12.8
r
r
μC （r ）
μF （r ）
(a) (b) 图6.1 普通集合与模糊集合的对比
模糊集合的定义如下：论域U 上的一个模糊集合F 是指，对于论域U 中的任一元素u ∈U ,都指定了[0,1]闭区间中的一个数F μ(u )∈[0,1]与之对应，F μ(u )称为u 对模糊集合F 的隶属度。也可以表示成映射关系：
F μ：U →[0,1] u →F μ(u )
这个映射称为模糊集合F 的隶属度函数（membership function ）。 模糊集合有时也称为模糊子集。
U 中的模糊集合F 可以用元素u 及其隶属度F μ(u )来表示：
()(){}
F u u u U F =∈,μ
仍以前面提到的“年轻”、“中年”、“老年”为例，这三个年龄特征分别用模糊集合A 、B 、C 表示，它们的论域都是U ＝[0，100]，论域中的元素都是年龄u ，我们可以规定模糊集合A 、B 、C 的隶属度函数分别为μA (u )、μB (u )、μC (u )，如图6.2所示。
1u μ
20
304050607080
A B C
0.750.250.5
图6.2 “年轻”、“中年”、“老年”的隶属度函数
二、模糊集合的表示 1、离散论域
如果论域Ｕ中只包含有限个元素，该论域称为离散论域。设离散论域Ｕ＝{u 1,u 2,…，u n }，Ｕ上的模糊集合Ｆ可表示为
∑==n
i i i F u F 1)(μ (6.2.1)
n n F F F u u u u u )()()(2211μμμ+???++=
这只是一种表示法，表明对每个元素u i 所定义的隶属度为μF (u i )，并不是通常的求和运算。
2、连续论域
如果论域Ｕ是实数域，即Ｕ∈Ｒ，论域中有无穷多个连续的点，该论域称为连续论域。连续论域上的模糊集合可表示为
?∈=
U
u F
u u F )(μ
(6.2.2)
这里的积分号也不是通常的含义，该式只是表示对论域中的每个元素u 都定义了相应的隶属度函数μF (u )。
三、模糊集合的基本运算 1、 基本运算的定义
设A ，B 是同一论域U 上的两个模糊集合，它们之间包含、相等关系定义如下： ● A 包含B ，记作A ?B ，有
),()(u u B A μμ≥ U u ∈? (6.2.3) ● A 等于B ，记作A ＝B ，有
),()(u u B A μμ= U u ∈? (6.2.4) 显然，B A B A ??=且B A ?。
设A 、B 是同一论域U 上的两个模糊集合，隶属度函数分别为A μ(u )和B μ(u )，它们的并、交、补运算定义如下：
●
A 与
B 的交，记作A ∩B ，有
)()()(u u u B A B A μμμ∧=?
{})(),(m in u u B A μμ=， U u ∈? (6.2.5)
●
A 与
B 的并，记作A ∪B ，有
)()()(u u u B A B A μμμ∨=?
{})(),(m ax u u B A μμ=， U u ∈? (6.2.6) ● A 的补，记作A ，有
U u u u A A
∈?-=),
(1)(_
μμ (6.2.7)
其中，min 和∧表示取小运算，max 和∨表示取大运算。图6.3显示了这三种运算对应的隶属度函数。
01
r
r μ
A
B
A
B
μ
r
μ
A _
A
1
1
A ∩B
A ∪B
(a)A 和B 的交； (b)A 和B 的并； (c)A 的补
图6.3 模糊集合的三种运算
2. 基本运算定律
论域Ｕ上的模糊全集Ｅ和模糊空集φ定义如下：
1)(=u E μ， U u ∈? (6.2.8) 0)(=u φμ， U u ∈? (6.2.9）
设Ａ，Ｂ，Ｃ是论域Ｕ上的三个模糊集合，它们的交、并、补运算有下列定律： ①恒等律：A A A A A A =?=?, ②交换律：A B B A A B B A ?=??=?,
③结合律：)
()()
()(C B A C B A C B A C B A ??=????=??
④分配律：
)
()()()
()()(C A B A C B A C A B A C B A ???=?????=??
⑤吸收律：A
A B A A
A B A =??=??)()(
⑥同一律：
φ
φφ=?=?=?=?A A A A E A E E A ,,
⑦复原律：A A = ⑧对偶律（摩根律）：
B
A B A B
A B A ?=??=?_______
_______
以上八条运算定律，模糊集合和普通集合是完全相同的，但是普通集合的“互补律”对模糊集合却不成立，如图6.4所示，即
E A A ≠?， φ≠?A A
r
μ
A
_
A
1
r
μ
A
_
A
1
_
A
A ?_
A
A ?
(a) E A A ≠? (b) φ≠?A A
图6.4 模糊集合的运算不满足“互补律”
四、模糊关系
设有两个集合A ，B ，A 和B 的直积A ×B 定义为
},|),{(B b A a b a B A ∈∈?＝
它是由序偶(a ,b )的全体所构成的二维论域上的集合。一般来说A ×B ≠B ×A 。
设A ×B 是集合A 和B 的直积，以A ×B 为论域的模糊集合R 称为A 和B 的模糊关系。也就是说对A ×B 中的任一元素(a ,b )，都指定了它对R 的隶属度),(b a R μ，R 的隶属度函数R μ可看作是如下的映射：
)
,(),(]
1,0[:b a b a B A R R μμ→→?
设R 1是X 和Y 的模糊关系，R 2是Y 和Z 的模糊关系，那么R 1和R 2的合成是X 到Z 的一个模糊关系，记作21R R ，其隶属度函数为
)],(),([),(2
12
1
z y y x z x R R Y
y R R μμμ∧∨=∈ ， Z X z x ?∈?),( (6.2.10)
6.2.2 隶属度函数
正确地确定隶属度函数，是运用模糊集合解决实际问题的基础，是能否用好模糊集合的关键。目前隶属度函数的确定方法大致有以下几种：
①模糊统计方法：用对样本统计实验的方法确定隶属度函数。 ②例证法：从有限个元素的隶属度值来估计模糊子集隶属度函数。
③专家经验法：根据专家的经验来确定隶属度函数。 ④机器学习法：通过神经网络的学习训练得到隶属度函数。 目前常用的隶属度函数有：
① 三角形
三角形隶属度函数曲线如图6.5所示，隶属度函数的解析式为
?????????><≤<--≤≤--=c x b x c
x a a c x
c a x b b a b
x x F 或，
，，
0)(μ (6.2.11) 01
x
b
a c F
μ
01
x
b a
c F
μ
d
图6.5 三角形隶属度函数 图6.6 梯形隶属度函数
② 梯形
梯形与三角形是最简单的两种隶属度函数，应用也非常广泛。梯形隶属度函数如图6.6所示，解析式表示为 ?????????≤<--≤≤<≤--=d x a x d x c c d x d c x b b x a a b a
x x F ＞或＜，
，，
，01)(μ (6.2.12)
③ 正态型
这是一种最主要、最常见的分布，表示为： ()0> 2
b e x b a x ，??
?
??--=μ (6.2.13)
其分布曲线如图6.7所示：
01
x
F
μ
a
图6.7 正态型分布曲线
④ Γ型
如图6.8所示，解析式表示为：
?????≥???? ??<=- 0 x 0 0)(x e x x x
F ，，λννλνμ (6.2.14)
其中λ>0,ν>0 。
⑤ Sigmiod 型
如图6.9所示，解析式为： x
F e
x -+=11
)(μ (6.2.15)
1
x
F
μ
1
x
F
μ
0.5
图6.8 Γ型隶属度函数 图6.9 Ｓigmoid 型隶属度函数
6.3 模糊逻辑与模糊推理
6.3.1 模糊逻辑
模糊命题的真值应是隶属度函数，其取值应在区间[0,1]上连续取值。模糊命题是普通命题在概念上的拓广。它对应的逻辑是连续逻辑（或多值逻辑），又称为模糊逻辑。显然，
不仅普通命题能反映客观世界，而模糊命题更是现实生活中常见的。随着模糊逻辑的出现和发展，将对计算机科学、人工智能、模糊控制等方向的研究和发展起推动作用。 下面对模糊逻辑的运算作一简单介绍。
设有模糊命题X 和Y ，对应的真值（隶属度，也称为模糊变量）x ，y ∈[0,1]，称： ①Y X ∧为模糊逻辑合取（交、与），真值为),min(y x y x =∧ ②Y X ∨为模糊逻辑析取（并、或），真值为),max(y x y x =∨ ③X 为模糊逻辑否定（补、非），真值为x x -=1 ④Y X →为模糊逻辑蕴含，真值为y x y x ∨=→
⑤Y X ?为模糊逻辑恒等，真值为)()(x y y x y x ∨∧∨=?
6.3.2 语言变量
一、模糊数与语言变量 模糊数和语言变量的定义如下：
连续论域U 中的模糊数F 是一个U 上的正规凸模糊集合。这里所谓正规集合的含义就是其隶属度函数的最大值是1，即1)(max U
=∈u F u μ。
凸集合的含义是：在隶属度函数曲线上任意两点之间，曲线上的任意一点所表示的隶属度都大于或者等于两点隶属度中较小的一个，即在实数集合的任意区间[a ,b ]上，对于所有的x ∈[a ,b ]，都有
],[,,))(),(m in()(b a x U b a b a x F F F ∈∈≥，
μμμ (6.3.1)
语言变量用一个有五个元素的集合(Ｎ,T (N ),U ,G ,M )来表征，其中 (1) Ｎ是语言变量的名称，如年龄、数的大小等； (2) U 为语言变量N 的论域；
(3) T (Ｎ)为语言变量的值Ｘ的集合，其中每个Ｘ都是论域U 上的模糊集合，如 T (Ｎ)＝T (年龄)=“很年轻”+“年轻”+“中年”+“较老”+“很老”
＝Ｘ1+Ｘ2+Ｘ3+X 4+X 5
(4) G 为语法规则，用于产生语言变量N 的值Ｘ的名称，研究原子单词构成合成词后词义的变化，并求取其隶属度函数。其中，用“或”、“与”、“非”作连接词构成的合成词，可以按模糊逻辑运算取真值，见6.3.1节；带修饰词算子的合成词，其真值可以根据经验公式计算出来。常用的算子有以下几种：
①语气算子，如“很”、“略”、“相当”等；
②模糊化算子，如“大概”、“近乎”、“差不多”等； ③判定化算子，如“偏向”、“多半是”、“倾向于”等。
(5) M 是语义规则，根据语义规则给出模糊子集X 的隶属度函数。 以N ＝年龄为例，表征语言变量的五元素集合如图6.10所示。
N
G
T (N )M
图6.10 表示年龄的语言变量
例 L. A. Zadeh 在论域U =[0,100岁]内给出了年龄的语言变量值“老“的模糊子集隶属度函数为
????
???≥??
? ??-+<=-5055011500)(2
x x x x ，，
老μ 其中修饰词的隶属度函数为： 4A A μμ=极，2A A μμ=非常，25
.1A
A μμ=相当，75
.0A
A μμ=比较，
5.0A A μμ=略，25.0A A μμ=稍微。
现以60岁为例，通过隶属度函数分别计算它属于“极老”、“非常老”、“相当老”、“比较老”、“略老”、“稍微老”的程度为
41.0)8.0()]60([)60(44===老极老μμ
64.0)8.0()]60([)60(22===老非常老μμ
757.0)8.0()]60([)60(25.125.1===老相当老μμ
845.0)8.0()]60([)60(75.075.0===老比较老μμ 89.0)8.0()]60([)60(5.05.0===老略老μμ 946.0)8.0()]60([)60(25.025.0===老稍微老μμ
二、模糊语句 1、模糊直言语句
模糊直言语句的句型为“x 是A ”，其中x 是对象的名称，A 是论域U 上的一个模糊子集。
2、模糊条件语句
常用的模糊条件语句的句型有： ①“若A 则B ”型，也记为if A then B ；
②“若A 则B 否则C ”型，也记为if A then B else C ； ③“若A 且B 则C ”型，也记为if A and B then C 。
6.3.3 模糊推理
模糊推理的两种重要推理规则：
①广义前向推理法（Generalize Modus Ponens ，简称GMP ）
前提1：如果x 是A ，则y 是B 前提2：x 是A ＇ 结论 ：那么y 是B ＇
②广义后向推理法（Generalize Modus Tollens ，简称GMT ）
前提1：如果x 是A ，则y 是B 前提2：y 是B ＇ 结论 ：那么x 是A ＇
1975年Zadeh 利用模糊变换关系，在广义前向推理法的基础上，提出了模糊逻辑推理的合成规则，建立了统一的数学模型，用于对各种模糊推理作统一处理。其推理规则为：
前提 ：如果x 是A ，则y 是B 事实 ：x 是A ＇
结论 ：那么y 是 )(''B A A B →=
即结论B ＇可用A ＇与由A 到B 的推理关系进行合成而得到，其中的算子“ ?”表示模糊关系的合成运算，(A →B )表示由A 到B 进行推理的关系或者条件，即“如果x 是A ，那么y 是B ”的简化表示方法。有时(A →B )也可写成R A →B ，其隶属度函数被定义为 )()(),(y x y x B A B A μμμ→=→ (6.3.2) 那么()'='→?B A A B 的隶属度函数为
{}
{}
)]()([)( ),()()(y x x y x x y B A A x B A A x
B μμμμμμ→=='→''∧∨∧∨ (6.3.3)
如何实现合成运算，有各种不同的方法，这决定于对蕴含运算的定义。
一、 Zadeh 模糊假言推理法 Zadeh 把(A →B )定义成
(A →B )=1∧(1 - A + B ) 或者 (A →B )=(A ∧B )∨(1 - A ) (6.3.4) 对于后者，其隶属度函数为
[][])(1)()(
)
()(),(x y x y x y x A B A B A B A μμμμμμ-=→=→∨∧ (6.3.5) 把(6.3.5)代入(6.3.3)式，便得到了结论B ＇的隶属度函数。
二、Mamdani 推理法
Mamdani 则把(A →B )定义成 (A →B )=A ∧B 。下面是Mamdani 推理法的具体过程。 设U 1，U 2，...， U n 为n 个有界论域，记U i =[ a i ，b i ]。每个论域按一定规则分为l i 个凸模糊子集A ij ，其隶属度函数记为 )(i A x ij μ。记S i ={ A ij |j =1,2,.., l i }。则我们将模糊规则集表示为：
OR IF AND x IS A THEN Y IS B j m
i n
i ij j ==1
1
((()) ) (6.3.6)
其中m 为模糊规则数，n 为输入变量个数，A , B ∈S i 。
如果有事实“ if x 1 is a 1 and x 2 is a 2 and ... x n is a n ”，则结论“Y is B’ ” 可以这样得出：由前提和第j 条模糊规则可得到推理结果为' j B ，则
)()( . . . )()()(2121'z a a a z j nj j j j
B n A A A B μμμμμ∧∧∧∧= (6.3.7)
其中j =1,2 ...m ,“∧”表示min 操作。
经(6.3.6)式推理后的结论B’可综合推理结果B 1'，B 2',...,B m '
得到:
)(. . . )()()('''' 2
1 z z z z m
B B B B μμμμ∨∨∨= (6.3.8)
其中“∨”表示max 操作。
最终系统的输出可以由“重心法”求出：
∑∑==?=
m i i B i
m
i i B O z z z z 1
1)
()(
μ
μ
, z i 为常数。 (6.3.9)
图6.11所示的是规则数为3（m =3），变量个数为2（n =2）的Mamdani 推理过程。
图6.11 Mamdani 推理过程
三、模糊加权推理法
在模糊加权型推理法中，模糊规则集的结论表示为w j / z j ，即将式(6.3.6)表示为：
OR IF AND x IS A THEN Y IS w z j m
i n
i ij j j ==1
1
((()) / ) (6.3.10)
其中m 为模糊规则数，n 为输入变量个数，A ∈S i , z j 为常数。w j / z j 是构成模糊集合的一个元素，w j 表示权重，并不表示z j 的等级，应看作模糊规则自身的加权，即模糊规则的重视度或重要度。当w j >1时，表示对第j 条规则的强调，当0 ≤w j ＜1时，表示对第j 条规则的抑制。
将推理结果中的∧运算改为“.”运算，我们定义事实“x 1 is a 1 and x 2 is a 2 and ... x n is a n ”和各模糊规则的前件的适合度为：
)( . . . )( )()(2121n A A A j a a a z nj
j
j
μμμμ???= j =1,2 ...m (6.3.11)
则最终的结论z 0可将规则后件z j 在各适合度μj 中带上权重w j ，由加权平均法求得，即：
∑∑===
m
i i
i m
i i
i i O w
z
w z 1
1
μμ (6.3.12)
四、广义模糊加权推理法
定义输入变量x i 的模糊子集数为k i ，输出变量Y 的模糊子集数为l ，设m k i i n
==∏1，则
模糊规则的最大条数为l m ?。试图列举出模糊规则的各种可能形式，并用各规则对不同结果的权重来表示推理结果的各种可能性。即将式(6.3.10)中规则的结论变为w j 1 / z 1, w j 2/ z 2,..., w j l / z l ,则模糊规则集可表示为
)/, , / / )) (((22111
1
l jl j j ij i n
i m j z w z w z w IS Y THEN A IS x AND IF OR ???==， (6.3.13)
其中m 为模糊规则数，n 为输入变量个数，l 为输出变量模糊子集个数，z i 为常数，是结论隶属度函数的支集值。w ji 表示权重。定义事实和各模糊规则前件的适合度为μj : )( . . . )( )()(2121n A A A j a a a z nj j j μμμμ???= j =1,2,...,m (6.3.14) 则最终的结论z 0可由下面改进的加权平均法求得：
∑∑∑∑====?=
l i m
j ji
j
l i i m
j ji
j
O w
f z w
f z 1
1
11
))
(()
)((μμ (6.3.15)
其中f (x )可取Sigmoid 形函数， 为常数、，βαβα))
(ex p(11
)(-?-+=x x f (6.3.16)
高三数学基础差补习技巧 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高三数学基础差补习技巧》的内容，具体内容：数学是令很多高中生头疼的一个科目，尤其到了高三，如果数学基础差就更不知道怎么去补了，你想知道有哪些吗?接下来就一起分享我为大家整理的吧!：具体方法第一层就是看书... 数学是令很多高中生头疼的一个科目，尤其到了高三，如果数学基础差就更不知道怎么去补了，你想知道有哪些吗?接下来就一起分享我为大家整理的吧! ：具体方法 第一层就是看书 它不是单纯的看书，而应该是了解之后的深入思考，甚至高三你可以撇开课本，仅仅靠思考和必要的演算来完成这一过程。 这就需要学习中对每个问题都能亲自思考、透彻理解。我通常习惯于在遇到新概念时，自己先分析、推导一下它的性质; 高三碰到定理、公式时自己先试着证明一下，这样再学习书本上的内容时，与自己所思考的有种比较，对知识的体会就更多些，理解也能更深一点。 比如说，这样做后就会比较清楚某个定理为什么会有这样的限制条件，在那些情况下适用等。 清楚了逻辑上的推理之后，还应回过头来从总体上考虑一下这些结论，考虑一下它们所描述的事实与其它数学知识间的依赖关系。 这样做也有助于从宏观上把握知识，对其主要观念有更深刻的领悟，最好是在一个部分的知识学完后，能花点时间整理一下这部分理论，理顺其主要
知识点间的联系。 这不是简单的高三"复习"，而是确定这些东西成为你"自己"的知识。这一层次要求你做到对一些基本的公式推理做到熟记于心就可以了。 第二层就是能独立运用书中知识去解决大部分题目 当高三理解记忆的差不多，就可以做本小节对应的练习题了。 基础不好的同学一定要注重平时的作业，一般这些作业老师第二天都会认真评讲的，千万不要眼高手低对于作业不屑一顾。 时间紧迫的话老师可能会挑一些大家普遍不会的题来讲， 这个时候可能你其他题目也有问题但老师并没有讲，那你下课一定要找老师问，没什么不好意思， 高三一轮就是注重基础的，基础夯实不了，后面的复习会有很大的隐患，而且一般老师也会比较乐意为同学解答。 第三层也就是最高的一层 是用经典题目去反演书中的内容，高三这个时候，题就是课本，课本就是题，这也就是为什么课本这么重要的原因。 ：高三一年努力来得及吗 第一，学会放弃。 我当时高考是150分，10道选择，5道填空，6个大题。 要明白大多数人是不需要做完所有的题，只要把简单题做对，中档题做好，难题可狂草，分一般不低，前8个选择，前3个填空，前4个大题做全对就已经能拿到大概100分了，再加最后两个选择可能猜对1个吧，填空能蒙对一个吧，最后两个大题动1.2个问吧，110+是妥妥的。 高三不要再做那些难题，偏题，怪题了，没用。回归教材，抓住基础才是
5.5 灰色评估系数向量的熵 对于灰色关联聚类评估,评估结果的灰度表现在灰色关联度) ,,2,1(m i i =ε或 ),2,1,(s j i ij =ε的接近性上.若诸),,2,1(m i i =ε或诸),2,1,(s j i ij =ε彼此十分接近, 就会使评估结果的灰度增大. 灰色变权聚类评估、灰色定权聚类评估和基于三角白化权函数的灰色评估的灰度表现在诸聚类系数),2,1(s k k i =σ的接近性上.张歧山曾利用差异信息熵研究了灰色聚类分析结果的灰度.为讨论方便,以下将上述各类灰色评估的结果统一用向量 ),,,(2 1 s i i i i σσσσ = 表示.评估结果的灰度表现在i σ之各分量取值的均衡程度上, i σ之各分量取值越趋均衡, 评估结论就越灰.为讨论方便,不妨假定11 =∑=s i k i σ. 定义5.5.1 称 k i s i k i i I σσσ∑=-=1 ln )( （5.5.1） 为灰色评估系数向量i σ的熵。 由式（5.5.1）的熵值)(i I σ可以作为灰色评估系数向量i σ之各分量取值的均衡程度的一种度量. i σ之各分量k i σ的取值越趋于均衡，)(i I σ的值越大。 对于单个的聚类系数k i σ而言，其数值越小，k i σln -越大，亦即k i σln -对)(i I σ的影 响越大，同时它的权重相对较小。反之，当k i σ较大时，k i σln -则较小，它的权重相对较 大。 灰色评估系数向量的熵)(i I σ具有以下性质： 性质5.5.1 非负性，即0)(≥i I σ。 (5.5.2) 证明：（1）若存在' k ，1' =k i σ ，由0≥k i σ 和11 =∑=s k k i σ ， 可知s k ,,2,1 =?，当' k k ≠时，0=k i σ，从而 0ln )(' '=-=k i k i i I σσσ （2）若s k ,,2,1 =，1≠k i σ ，则10<≤k i σ，故0ln 高三基础差的学生如何快速提高数学成绩 数学对于大多数来说确实是比较难的学科，但如果你学通了，其实数学一点都不难，只要按照题目所给已知条件就能推导出答案。 ? ?看课本补基础 如果高中生的基础很差，那就不要总想着有什幺捷径，不要给自己找理由去偷懒，积累的过程从来就没有捷径，看课本补上基础，是一个缓慢但却最实际最靠谱的方法，特别是高三第一轮复习的时候，对于概念，公式，如何推导公式等一定要重点弄懂，还有每个知识点后面的例题，至于有同学会问那些课后习题需要做幺?我觉得应该没有那幺多时间，而且那些针对性也不强，毕竟有些必修课本是面向全部学生，没有分文理科的。做基础题补知识点 很多同学刚开始总会说，我知识点看了，可是一做题就是不会，或是换种出题方法我就不会了?做了这幺多题，我后来在来做就全部忘了，感觉没学到什幺。如果你是知识点看了，可做题就是不会的，或不知怎幺变通了的不会做题的同学，不用自我怀疑，骂自己笨，这不是笨，只是说明你在数学逻辑方面没有天赋或是没有所谓的积累，但要相信勤能补拙，一道题你看答案懂了，并不能说明你懂了;你自己在看完答案后自己能再做一遍，也不能说你完全懂了。那幺如何才算真正弄懂一道题?如果老师今天讲了这个知识点，那幺拿到一道题，试着用老师讲的知识点去解答，如果不能解出来，那幺翻看答案，对于答案中出现的概念，公式全部回去看课本，具体做法参照第一步骤，等到这些全部弄懂，你再不看答案做一次，如果还是不能完全做出，再重复做，知道你能思路完全清晰做出来为止。 ?高中生如何保证数学的解题质量 ①题不在多，而在于精，学会“解剖麻雀”。充分理解题意，注意对整个问题的转译，深化对题中某个条件的认识; 高中数学基础差该怎么学习 众所周知数学是高考的拉分科目，成绩好的的同学可以考到130、140分以上，低分的同学有可能90分以下，学好数学，基础非常重要。下面是分享的高中数学基础差的学习方法，一起来看看吧。 一、快速掌握基础知识 对于基础薄弱的同学来说，课本就是他们第一步需要掌握的提分法宝。想要提高数学成绩，你需要记熟数学课本里的每一个知识点，看懂每一个例题，一章一章的进行掌握。 你可以先记公式，背熟之后在接着研究例题，最后去看课后习题，用例题和习题去思考该怎么解，不要急着去计算，先想就好，然后在翻看课本看公式定理是怎么推导的，尤其是过程和应用案例。对于课本中的典型问题，更是要深刻的理解，并学会解题后反思。这样才能够深刻理解这个问题，跳出题海这个怪圈。 做好错题笔记，记录容易犯的错误，分析错误的原因，找到正确的办法。不要盲目的去做题，必须要在搞清楚概念的基础上做这些才是有用的。 二、学会运用基础知识 在掌握数学基础知识的同时，要学会知识的运用，这样你才能在考试中拿到分数。高中数学学习的特点是：速度快、容量大、方法多。而这对于基础差的同学来说，有时听了会记不住，或是记住了却不会 解题。这时候就需要我们把笔记记好，不需要一字不落的记下老师说的话，只需要把关键的思路和结论记下来就可以了，课后在去整理、回看笔记，这也是再学习的一个过程。 想要学好数学题就必须要多做题，只有做了一定题目才能学好数学，而且做题是高中数学学习的主旋律。但是这里的做题不是盲目做题，而是要看题思考，学会思考、反思、总结才是学习数学的王道。 其实数学解题并不难，分析题干，挖掘已知条件，寻找这些条件之间有什么关系，得出一个有用的结论，这个结论是我们所要用来解决问题的关键，这就是数学解题的形式。所以想要学好数学，主要靠的是答题的思路，而不是作出某道题的方法。 高中学习数学的注意事项一)、课内重视听讲，课后及时复习。 新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。 如何提高差生的数学成绩 学生成绩差的原因： （一）学生自身因素造成的学习兴趣低和学习意志的薄弱 失去了学习兴趣,放弃学习,自甘堕落,甚至有破罐子破摔的想法,成绩直线下降. 对于初中生来说,学习的积极性主要取决于学习兴趣和克服学习困难的毅力。而学习毅力是学生为了学习而努力克服学习困难的心理活动，是学习能动性的重要体现。相对于小学来说，初中数学难度加大，学习困难越来越多，而老师的教学方式也与小学大有不同，教师辅导减少，学生学习的独立性减弱，在学习衔接过程中有的学生适应性强，有的学生适应性差。因此，一遇到学习困难，有的学生迎难而上，有的学生退退缩缩，甚至丧失信心。因此有的学生学习上升，有的下降 （二）知识结构掌握不全，技能不熟练，没有良好的数学基础 进入初中以后，学生接触的都是新知识。但是这些新知识都是在小学基础上延伸的。而有的学生小学基础不扎实，学习起来很吃力，于是就产生了放弃的念头。还有在掌握学习数学技巧上有的学生因为上课不认真听讲，导致学习技巧上达不到老师的要求，不能及时掌握新知识，造成了连续学习过程中的薄弱环节，跟不上集体学习的进程，导致学习落后。 （三）思维的不同和学习方法的差异 初中阶段与小学阶段的数学相比有很大的差异，其中最主要的差异是抽象思维的知识相对来说增多。比如小学学习三角形是通过图或者实际的三角板来帮助学生理解掌握，而初中学习三角形不光要了解三角形的形状，还要掌握其性质。这些都不是靠图片或实物来学习的，而是要靠学生抽象三角形和根据学习经验来了解的。再如函数的学习，完全是抽象的知识，学生理解起来相当吃力。有的学生逻辑思维能力强一些，学习则快一些，而有的学生逻辑思维能力较薄如，则学习起来慢一些。这些都是造成学习差异的原因。而学习方法也是影响学生学习的另一重要原因。有的学生从小就养成了良好的学习习惯，而有的学生则由于自身懒惰或者意志薄弱，容易受到外界的干扰，学习马马虎虎，造成成绩差。 针对学生基础特差的情况，可采用的教学方法： 一、针对学生基础差，我们就应该低起点、低要求，先让学生先能够学会。 二、尽量多占用学生时间，即延长学生的效学习时间，你在教室学生也方便问你呀。 三、努力培养学生的学习兴趣 有人说“兴趣是学习最好的老师”，笔者也非常认同这个说法。兴趣是推动数学学习的动力，没有兴趣，那么数学永远学不好。因此培养学生良好的数学兴趣就是教师的一个艰巨的任务。这就要求教师要在现有的基础上努力学习教学方法，改进教学技巧，创设一个良好的数学情景，发挥趣味数学的作用，提高自身的教学艺术。另外学生也可安排一些课外数学实践课，带领学生走向实际，走向生活，让学生切身感受到数学在实际生活中的用处，努力提高他们学习数学的兴趣。让学生从“要我学”转变成“我要学” 四、及时了解学生的知识结构，利用课间和课后时间帮助学生建立健全知识基础 有的学生在小学的时候，数学基础就没有打牢，因而进入初中以后，感觉很多知识不会，从而产生许多学习困难。那么此时教师就要发挥教师的主观能动性，不能歧视学生，对学习好的不能过于娇纵，对学习差的学生歧视。老师要在新知识讲解的时候，合理的复习巩固以前的知识，帮助后进生理解掌握。同时，还可以建立数学学习小组，让学习好的同学担任组长，吸收成绩较为薄弱的学生做为成员。利用课余时间开展各种数学活动，帮助后进生提高数学基础。 五、加强学生思维方式的转变和提高学生的学习效率 初中阶段是学生由儿童学习思维方式转变成青年学习是思维方式的一个转折期。因此，如何 数学基础不好该怎么办 数学基础不好该怎么办 有朋友问：我数学基础不好，该怎么办？嗯，这是一个相当笼统、相当棘手的问题。 如果在网上一搜，你就会找到很多答案。然而答案常常是千篇一律、尽人皆知的，比如：搞懂基本概念、拼命做题，等等。我准备 本着负责任的态度，写点更具有操作性的方法。 如果是我自己，我会首先把教材上所有内容快速浏览一遍。然后，我会花一天的时间，把自己沉在书店里，找两三本既把书上知识通 讲一遍，又有带答案的例题习题的复习材料，快速浏览，看的时候，主要看通讲的知识点和例题的大概类型，至于例题的详细解法可边 看边跳。 也许几本都不错，但千万不要一下子全买，一定只买一本，把这本吃透了，还有时间和精力时，再去买下一本。 过一两周后，将书再读一遍，重点关注那些上一次作标记的题。如果作标记的题这次读时，发现已会做而且很简单，该是多么高兴 的事情啊！不过，如仍不会做，也没关系，别花太多时间，跳过。 每读一遍之前，先把书上所有的公式象练字一样抄写一遍，一边抄，一边在大脑里进行公式间的推导。抄完公式后，再读复习材料，就会觉得简单一些。 按这样的步骤方法，多数学生都会收获进步。然而遗憾的是，此方法并不能解决所有人的问题，有的学生会进步较小，或没有进步，或甚至没有能力独自按这样的方法进行学习。之所以会这样，原因 在于有些学生的语言阅读能力较差，或某些逻辑思维能力还不够， 或其他各种不同的具体情况。 不过，大多数家教，也就是会做题、会讲题而已，并不一定能够根据学生的表现，分析出学生在哪方面知识有欠缺，哪方面能力有 不足，并采取相应的措施来提高。因此，在选择家教之前，最好能 和对方沟通，谈谈自己的问题，让对方谈谈他觉得该如何提高，看 看对方是不是一个会变通、有想法、有能力的家教。太差的家教， 就算再会做题，也未必能教会他人做题，反而会让学生的学习信心 受打击。 我觉得，一个好的家教，只需要有一小半的时间来讲题和教学生做题。其余时间，他会将多章节的知识给学生串讲一遍，然后根据 学生的理解和反馈，确定进度和方法。有些知识可能需要不厌其烦 地反复多次串讲，学生才会恍然大悟，那些耐心不足的家教可能会 因为学生反应迟钝而抓狂，并在潜意识里把太笨的标签传递给学生，但事实上是除了个别的智力不足者之外，绝大多数学习有困难的学生，在合适的帮助下，最后都是能学好的。 把知识串讲之后，下一次家教时，就要重点看学生的反馈了。可以让学生用自己的话把一些定理复述出来，或者让学生用图形把定 理表述的事实简单推导一下。通过这些反馈交流，不仅让学生自己 在大脑里把这些知识过一遍，组织一遍，同时还从一些较易的问题 入手，来提高学生的逻辑思维能力。 可不可以不选择家教，而向学校的老师求助呢？老师要面对几十上百个学生，如果一本复习材料，你读下来之后，发现上面有很多 题都不会做，你都去问老师，恐怕老师累得半死，也给你讲解不过来。所以，当有很多不会的题时，最好先通过反复阅读和其他自学 手段，在大多数题都会做了以后，仍然有少量题不会时，才选择问 老师，会更好一些。 这就是我现在能想出来的两种学习选择。考虑到提问的朋友时间紧迫关系，这两种选择都是比较注重短期疗效，急功近利的方法。 也许对于教育来说，更好的解决方案是如何避免学生对数学不感兴趣，如何避免学生数学基础太差，而不是坐等问题出来后再来解决。但这是一个长期的、关联到方方面面的大工程，这里就不谈了。 数学基础薄弱学生帮扶计划 数学基础薄弱的同学，主要表现为数学基础不扎实，对数学缺少兴趣，信心不足，畏惧数学；但是有些基础薄弱的学生又对学好数学抱有美好的愿望，默默下决心，争取一搏，体现个人价值。在这矛盾与困惑中会逐步形成焦虑心理，欲速则不达，甚至导致恶性循环。其实，数学基础薄弱的同学，同样能够学好数学，考好数学，甚至能够爱上数学。这就需要我们结合数学复习的特点，精心构建复习策略，科学安排辅导计划，从知识、智力、技能、心理多方位着手，才能收到理想的效果，下面就基础薄弱学生如何学习训练、提高技能谈点看法，共同研究，来提高学生的数学成绩。 一、培养基础薄弱学生学数学的自信心 “自信”是人们做好一切事情的基础，是学生学好数学最基本的心理条件。基础薄弱的学生由于学习差，往往会失去自信，对自己失望，会由学困变成厌学，最终弃学。帮助基础薄弱的学生树立自信心是每位数学老师的首要任务。让基础薄弱同学树立学习信心，必须从知识辅导与心理启迪双管齐下。通过揭示数学问题以及解题的本质，消除对数学的恐惧心理；把数学问题趣味化、基础化、生活化，使同学们体会数学的可参与性；把数学思维方法合情化、自然化、人文化，使同学们亲近数学,去体验成功的快乐；老师要时时寻找学生的闪光点，不失时机的进行激励，让学生觉得“我在进步”；单元检测可用分出层次的AB测验，让基础薄弱的同学找回自信，即使做错了题目也觉得有所收获，激发热情，积极投入！以下谈感受最深的三点： 1.用特别的关注，树立他们学习的自信 对基础薄弱的学生，在课上给予特别的关注，增强他们学习的兴趣和信心。对这些学生降低门槛，放宽要求，经常有意地把一些简单的题留给他们完成，培养他们的成就感，从而增强其求知欲望。练习时，注意到分层要求，经常出两组题，对基础薄弱的学生只要求做第一组。在练习巡视时，关注基础薄弱的学生，及时给予辅导，使他们一节课下来有所收获，久而久之，使他们树立了“我也行”的自信。 2.用耐心的补课，帮助他们消化知识 基础薄弱的学生由于学习成绩较差，往往会产生悲观失望的自卑感，一般不会主动去请教别人。作为教师，在课堂上很难做到既让优等生吃得饱，又让基础薄弱的学生消化得好，因此，课下应积极地给予基础薄弱的学生必要的补课。但补课要讲究效率，要分清情况，区别对待，因材施教，要有针对性地帮助学生补上所缺的知识。可采用“闲谈”、“面批作业”等方法，帮助他们一点一滴补上漏洞。在这“修补”的过程中，教师必须要有耐心和爱心，鼓励他们的点滴进步，从而调动学生学习的主动性。 3.用正确的评价，激励他们的学习愿望 “教育的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞”。我们教师在课堂上一句不经意的话、一个不经意的眼神都会直接影响学生的心理。作为教师，在课堂上要善于持赞赏的态度正确地评价学生，以表扬、鼓励为主，使学生感到如沐春风。特别是对那些基础薄弱的学生，千万不要使用挖苦、讽刺的语言来挫伤他们的信心，而应给予启发开导。哪 高三数学基础差怎么逆袭 如果高一高二没有好好学习数学，怎么才能在最后一年逆袭呢？下面小编整理了高三数学基础差怎么逆袭，供大家参考！ 高三数学怎么逆袭 1.做老师会发的模拟卷（或者学校测试发的），做完后（或考完后）老师一般会讲。听讲时请红笔勾出错题，蓝笔在试卷旁边记下老师对这个错题的讲解步骤（只记关键步骤） 2.一张试卷下来，基本选择填空小题会勾个十道（比较差的），大题4道左右。 然后晚自习时把这张试卷整理到刚才说的那种笔记本上。按类型整理，比如函数是一个大类，这个大类下面有：函数的性质、零点存在性问题等等。那么函数的性质又有奇偶性、单调性等。就是说，按类型把你的错题整理出来。黑笔简抄题目，蓝笔写过程，红笔写你为什么会错以及要注意什么。 3.按照一天整理一到两张的速度，两百天就是两百多张，这上面会有几千道题，几乎能涵盖所有的类型。那么你的笔记本也会越来越厚。再碰到不会的题，就只要找到这个题属于的类型并看看这个类型的方法基本都能解决。对于错题很多的类型，也是你薄弱的点，可以做专题（如龙门专题）、或请教老师突破。 4.用线圈式活页笔记本的话，你可以自由添加页数。比如你做到解析几何这个类型，几页纸写完了，可以再添加几页纸继续写。这样也不会挤占解析几何后面的类型的书写空间。因为从第一张试卷开始，你并不知道要给一个类型的题目留多少空间。 5.先做两个月，你就会发现这个方法会让数学提分很多也很快。后面这个方法成为你学习习惯的时候，你的数学也不会在成为你的弱项，甚至还能帮你提分。尤其对于文科生，因为文科生短时间内是非常能够提高数学成绩的。 6.可能有人会问整理试卷会不会浪费时间，其实只要你集中精力，效率是很快的。你付出的时间与你从积累题目中的经验相比是值得的。所以推荐活页本-分类持久积累错题法。 高三数学基础差怎么学 1.打好基础消灭第一类问题 我对提高初中数学“基础差”学生的几点看法 抚州市实验学校吴均辉 素质教育就是整体提高全民族人民各方面素质，但在我们的教育工作中或在我们的心目中，提及“优生”，常令教师谈论的津津乐道，设及“基础差生”，常令教师深恶痛绝，它好比一颗毒瘤，无不抹杀着广大教师的劳动成果。回顾我自己的教学实践，深知造成差生的主要原因是学习目标不明确，学习方法不正确，时间安排不合理、不肯用功等。然而衡量一个班级教学水平关键是差生转化率的高低，差生转化率高，教学质量就会越高，由此可见，提高差生的学习成绩是提高教学质量“重中之重”，是每个教师绞尽脑汁急需解决的问题，下面我就数学基础差的学生转好谈几点看法。 一、数学“后进生”的学习状况 从我带的班级看，数学“后进生”大致可分为这样几种类型：第一种是愿意努力学习，但由于基础较差，加上学习方法不恰当，思维刻板，缺乏灵活性，不善于分析题目的条件和要求，根据题目的特点选择合理的解决问题的方法，吸收、消化和掌握新知识较慢，致至学习数学很吃力，数学成绩徘徊不前。第二种是学习态度马虎，缺乏毅力和自制力，贪玩，有想取得好成绩的愿望，但缺乏自制力，不善于控制、调节自己的行为，使之服从于学习。对于学习的困难和障碍，本来通过努力是可以克服的，但缺乏坚强的意志，往往半途而废，以致困难成堆，造成成绩不良，数学考试成绩有时及格，有时不及格。第三种是学习目的不明确，求知欲低，对 数学完全没有兴趣，甚至厌恶，畏惧数学，丧失了学好数学的信心，由于在学习数学知识时感到困难，自己不能克服或没有勇气克服以至困难越来越多，对数学产生反感，成绩越来越差。 二、数学“后进生”的学习心理状态 这部分学生的学习心理状态大致如下：第一种是缺乏竞争的心态，没有上进心，对自己要求不高，凡事能过得去就过，在班级里处于表扬不够格，批评不沾边，这样的学生就渐渐地形成了一种“比上不足比下有余”的惰性心理，虽然有提高数学成绩的愿望，但行动上不够努力。第二种是低效率的学习心态，数学后进生的学习方法不恰当，以致于学习效率低，因而使原来就沉重的学业负担更加沉重。第三种是不求甚解的学习心态，对数学基础知识的掌握满足于“差不多”，对问题在难度和深度上没有进一步的探讨，对应该掌握的知识没有系统化，存在较多“空白点”，知识链条严重脱节，听课听不懂，作业不会做，就讨厌学习，以致不懂的问题越积越多，成为提高数学成绩的绊脚石，丧失了努力学习的信心。 三、对数学“后进生”的转化对策 要提高差生的成绩教师首先树立起差生的学习信心，对他们多关心、多爱护。前苏联大教育家苏霍姆林斯基曾经说过，“爱是强大无比的教育者。”爱是教师与学生的桥梁，爱能使孩子克服自卑，获得勇气与力量，让他们知道天生我材必有用；所以我从多方面爱护、照顾差生。在日常生活中，尽可能给差生更多地表现自我的机会，尽可能地把差生能做好的事给差生的变化情况。只要差生有一点点的进步都要给予充分的肯定和表扬，最终要使差生从心理发生感叹：我能行。重 《模糊数学及其应用》课程教学大纲 课程编号：09206 课程类别：学位课 学时：68 学分：3 适用学科（专业）：全院各专业 授课单位：理学院 一、课程的性质、目的与任务： 模糊数学及其应用工科院校控制理论与控制工程、应用数学、机械设计及其自动化、计算机技术、管理等学科的硕士研究生必修的技术基础课之一。通过本课程的学习，使学生对模糊数学的原理和思想方法有一个完整的认识。掌握应用模糊数学的原理分析和解题的基本技巧。了解模糊数学方法在各个领域的应用，特别是模糊信息技术与模糊控制。为理工科研究生在一定的数学基础上，应用模糊数学知识解决问题打下基础。 二、基本要求： 本课以课堂讲授为主，结合多媒体。适当补充一些模糊数学在实际中应用的实例，做到精讲多练，理论联系实际。在各章中均可安排一些内容引导学生自学，通过布置作业和讨论题，提高学生自己解决问题与分析问题的能力。同时，也可适当让学生自己来寻找一些实际问题，应用学过的知识来进行分析、综合、评判，以期达到更好的巩固、应用的目的。 (一) 模糊数学的基本理论和基本原理 1、模糊集合是处理模糊事物的新的数学概念，是模糊数学的基础。理解模糊集的定义、表示方法、模糊集的运算。了解模糊算子的定义及各种模糊算子，了解模糊集的模糊度定义。 2、理解模糊集截集的定义及性质，掌握模糊数学的基本原理：分解定理（联系普通集与模糊集的桥梁）、扩张原理、多元扩张原理。了解凸模糊集、区间数、模糊数及模糊数的运算。 (二) 模糊数学方法及其在各领域中的应用 1、理解模糊关系的概念及性质，深入理解在有限域的情况下，模糊关系可以用矩阵表示。理解模糊关系合成的定义及性质。理解掌握贴近度概念及最大隶属原则和择近原则。掌握模糊映射、模糊变换。 2、对于模糊数学方法的应用。重点掌握模糊模式识别、模糊聚类分析、模糊综合评判、模糊故障诊断，以及了解它们在不同领域的应用举例。 （三）模糊信息技术与模糊控制 掌握模糊语言，模糊推理模型及算法、重点掌握模糊控制的原理及简单应用，了解模糊辨识、模糊T-S模型、模糊自适应控制。 课程主要内容 对基础差的学生怎么办 今天，听了一节五年级的数学课，“除数是小数的除法”计算。教师以复习前一周学习的内容导入，上一周我们学习了除数是整数的除法，请同学们说说应注意什么？教师话音刚落，就有五个学生举手。学生回答完毕之后，教师说：“我们来看一道题，比较一下他和上周学的内容有什么不同。”教师出示小黑板。题目是这样的：“奶奶用来编中国结的丝绸有7.65米，编一个中国结要用0.85米的丝绸，这些丝绸可以编几个中国结？” 教师让学生读题。读后教师问：“这道题的算式怎样列？”这样简单的应用题列式，对五年级的学生来说并不算困难。举手的有十来个。其中一个学生列出了算式，其他同学都表示赞同，并说出了赞同的理由。 7.65÷0.85= 算式写在黑板上，教师说：“同学们看一看今天的这个算式与我们上周学的有什么不同？，这样的算式我们怎样计算呢？”学生们看着算式，你看看我，我看看你。有一个学生举手说：“把它们都扩大100倍，除后商在缩小100倍。”教师说：“还有谁说一说自己的想法？”这时学生们一个举手的都没有。老师说：“他的想法到底对不对呢？请在小组内讨论一下。”孩子们在讨论。过了大约2分钟时间，老师说：“把讨论的结果汇报一下。”结果十五花八门，真让人哭笑不得。尽管老师使尽全身解数，学生还是 想不到上不变的性质。笔者提议让学生复习一下四年级学过的“商不变的性质”后，在来看这道题。结果是只有四、五个学生能记起，其他的学生一副茫然的样子。笔者建议：同学们，现在我们把黑板上的算式看成765÷85=大家会算吗？学生都会算，请把结果告诉我。大家说等于9。那好，大家再看看 7.65÷0.85= 等于几呢？一个学生说等于9，另一个说等于0.9，还有一个说等于0.09。那谁的对呢？学生们有一片茫然。看得出学生不知道0.85于85之间的关系，才出现了刚才的假说。 怪不得学生不能回答老师的问题，原来把“商不变的性质”忘记了。经过简短的复习回忆，学生终于记起来了。这是我说：“同学们再来看7.65÷0.85到底等于几呢？”学生们肯定的回答等于9。继续问，为什么等于9，结果肯定吗？这是笔者总结说：“我们要计算除数是小数的除法，通常是先把除数变成整数再来计算，这样计算比较方便。”在老师的启发和引导下学生们终于把算式的结果计算出来。方法掌握的怎样，没来得及检验就下课了。 本来很容易解决的一道题，大多数学生可以通过观察对比，用以有知识自己解决的问题，却用了一节课的时间复习旧知，真是让人头疼啊！怪不得老师们天天喊累呢？对待基础较差的学生，教师就不要怕牺牲时间，要一边组织学生学习新课，一边复习旧知，让学生把前后知识连贯起来学， 高三数学基础差怎么提高 掌握基本知识内容 对于基础差的同学来说，课本是不可或缺的制胜法宝，记熟课本里每一个知识点，看 懂每一个例题，一个章节的进行掌握，掌握每一个章节都是你学好数学的关键。 你在平时学习数学的时候，可以先看公式、理解、记熟，接着研究例题，最后看课后 习题，用例题、习题来思考怎么解，不要计算，只要思考就好，然后再翻课本看公式定理 是怎么推导的，尤其是过程和应用案例。 学会运用基础知识 想要提高数学成绩，需要在学会基础知识的同时还要会应用，这样才能在考试中拿到 高分。在高中数学的学习特点就是速度快、容量大、方法多。这对于基础差的同学来说， 简直就是灾难。很多基础差的同学都会有这样的毛病，就是有时会听了但记不住，记住了 却解不出题目。这个时候就需要你做好笔记了，记住关键的思路和结论就可以，不需要面 面俱到，课后可以再去整理，这也是再学习的一个过程。 想要学好数学必须要多做题，必须要有一定题目的积累才能学好数学。不过这里讲的 做题不是“死做题”，而是看题思考，学会思考、反思、总结，这才是学习数学正确的方法。 最适合高考学生的书，淘宝搜索《高考蝶变》 第一，学会放弃。 要明白大多数人是不需要做完所有的题，只要把简单题做对，中档题做好，难题可狂草，分一般不低，前8个选择，前3个填空，前4个大题做全对就已经能拿到大概100分了，再加最后两个选择可能猜对1个吧，填空能蒙对一个吧，最后两个大题动1.2个问吧，110+是妥妥的。 不要再做那些难题，偏题，怪题了，没用。回归教材，抓住基础才是王道。 第二，摆正心态。 如果你不是追求清华北大上交复旦这样的国内顶尖大学，或许现在的学校排名参照往 年没有达到那类学校的高度，那么还是静下心来钻基础吧，答主高考精品课之前一直面对 我只是普通一本的成绩妄想考人大，大把时间做难题，结果高考卷子下来题目爆简单，同 考室还有提前半小时交卷的 一不小心做得对的题粗心做错结果优势科目的数学只有120多，就加上惨不忍睹的英语，来到了现在这个学校，数学单科还没有我们班上那些我平时甩几十分的人高，所以说 还是回归基础吧！ 如何教数学差的三年级学生学好数学 部分小学学生对数学学习不感兴趣，普遍认为数学学习难，现我将我教的学生的数学学习情况整理如下,希望得到各位老师的具体指导。 小学生数学学不好，主要有以下几点 （一）数学概念掌握不好。 （二）计算不过关。 （三）应用题不会分析。 （四）速度慢。 曾以上几点看，我认为学生根本没有找到学习数学的方法，所以数学的基础知识和基本技能都存在着很大的问题。现在，学生已经上三年级了，如果再不下决心把数学补起来，学生在将来的学习中，数学将会给他造成很大的麻烦。我们不保证每个学生都能成为数学尖子，但是，我相信觉得绝大多数学生都能掌握最基础的数学知识，都能够在数学方面有所收获。为此，我提出如下建议： 一、充分发挥家长的作用 1、让我们从头学数学。 学生的数学已经是一塌糊涂了。一般来说，学生的老师对这这种情况的学生也无能为力，毕竟一个班有五、六十个学生，把提高学生数学成绩的希望全部寄托在数学老师那儿，我以为可能性不太大。在这种情况下，家长是唯一能帮助学生提高数学成绩的人。 学生的数学成绩差，从学生内心来说，也是非常着急，对数学存在畏惧情绪。家长在学生做错数学题以后，千万不要责难学生，非常平和的心态对待学生的数学错误。就像学生在学骑自行车的时候，大人总是手把手的扶着学生前进，学生进步得非常快。同样的道理，学生现在的数学，我们也需要耐心地、非常平静的帮助学生，不能有半点严厉。和学生耐心地谈一次话。告诉学生：爸爸妈妈有信心共同帮助你提高数学成绩，相信你，一定能在数学方面有所提高。 2、家长和孩子一起来复习数学。 学生每天回家以后，先不要急着做数学作业，在家长的指导下，认真的进行复习，让学生说一说：今天学了些什么？哪些地方懂了？哪些地方还不太清楚？家长帮助学生把不懂的地方在讲一讲，特别是课本上应该掌握的基础知识。复习结束，再完成数学家庭作业。这样学生在完成家庭作业方面就不会感到有压力，解决当前的数学问题就比较轻松了。 二、教师要教会学生轻轻松松预习新课。 通过预习新课学生可以复习、掌握一些旧有的知识，初步认识知识的构架和网络，为完成由旧到新、由浅入深、由简单到复杂、由具体到抽象的知识迁移奠定基础。学生对所要学习的内容有了一定的认识，将一些简单易懂、自己有兴趣的内容进行了内化，并有了困惑和疑问，在课堂上学生提出问题，师生共同探讨。激起了学生的学习兴趣和解决问题的欲望，使听课具有针对性，为掌握新知识作好心理方面的准备。增强学生学习数学的信心。 对数学预习方法的指导可以分以下四步进行。 1．通读数学内容，动手画、圈知识要点，了解主要内容。这一过程主要针对概念性的数学知识。 2．细读内容，理解主要数学知识。这是预习的主要环节。学生在对数学知识有了一定的了解后，就要指导学生怎样“消化”这些知识。 3．精读难点内容，思考、标注疑点，这是数学预习的重要一环。预习不等于自学，对预习中遇到的疑难之处，要鼓励学生通过自己的思考和分析，努力去理解知识，不一定非要在预习时解决，发现问题才是预习的关键所在。 本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！ == 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ == 考研数学基础差该怎么复习备考 数学本来就是公共课中难度最大的科目，而对于基础差的考生来说需要掌 握一些技巧才能提高效率。小编为大家精心准备了考研数学基础差的指南攻略，欢迎大家前来阅读。 考研数学基础差的复习建议 建议同学们把书读透，一定要深刻理解基本概念、公式、结论的内涵和 外延，并逐渐掌握它们的使用方法。试卷上一般是不需要考生默写某个概念或 公式，而是用这些概念或公式解决问题，这种灵活运用公式的能力只有也只能 通过做题来获得，所以也建议做一定数量的题目。我们知道题目做的多了，做 题才有思路。在考试中才能自然而然地迅速形成解题思路。考场上碰到“看似 会做但有做错”的情况与考生的做题数量有关。考生在之前没有碰到过这类题，没有意识到做这类题时有一些注意事项。考生平时做题时应积累和改正这些错误，并培养谨慎，细心的做题习惯，考场上就不会轻易犯这些错误了。 有些同学可能感觉书看懂了，碰到题目却不会做，做题的速度也比较慢。 出现这种问题的原因只有两点，一是书没真看懂，没有融会贯通，二是题目做 的太少了手太生。在这里建议同学们边看书边动笔，要思考分析，也要记忆。 有一些同学像看小说一样看数学书，不动笔写写算算是肯定不行的，数学书不 是看表面的文字，要挖掘深层次的本质。数学知识要在理解的基础上记忆，记 住的东西只有通过做题才能巩固和熟练应用。看书和做题相辅相成，互相促进，看书和做题时一定要多动脑子思考多问为什么。 数学基础薄弱的同学一点要下决心，要有信心，要吃苦。一是要早早准备,早早复习,狠抓基础, 吃透基本概念、基本方法和基本定理。基础比较差的同学,这方面应该比较薄弱,所以要花比较长的时间复习教材,教材看懂了,真正掌握了,后面的路就好走了。二是多练习。注意做题速度和做题准确度,只要是会的就别做错。填空题和选择题题量和难度都不大,也容易得分,所以平时的训练中,这部分要重视.基础差的同学不要抠一些难题、偏题,这样没有太大意义。要注意解 题方法和技巧。长此以往当量的积累达到一定程度时，一定会有质的飞跃! 考研基础阶段数学高数复习 一、考研高等数学复习目标及资料选择 高三基础差学生如何快速提高数学成绩 1.建议多做真题，最好做一个错题本; 2.做题对答案的时候不仅仅是对答案，更要看自己是怎么错的。高考之前，理解并且会做一道题目比做对一道题目更有用; 3.假如遇到不会的题目可以和你的授课老师交流，相信老师是愿意帮你的。 4.平时可以多做一些数学的模考试卷，原因是从中能够学会合理控制时间，并且，能强化做题的思路和做题的速度和准确度这两点通过多做试卷会有很好的提升。 5.可以把近五年的高考真题的提醒总结一下，数学的题目类型有很多都是相似的。比如数学的大题目考点：1.三角函数;2.数列和函数的综合应用;3.导数;4.空间几何;5.平面几何等。还有一道大题目的考点近几年都有变化。 高三快速提高数学成绩的方法首先一个是多做题，哪个专题知识点不会就做哪方面的题，直到把类型题都做会了为止。光做题也不是解决问题的最佳办法，要想学好数学，还必须学会用数学思维去思考问题，只有入门了才能真正学好数学。 数学成绩提高也是分档次的，数学要想及格容易，但考高分是比较难的，尤其是考140多分甚至是满分更难。考高分，基础题必须不丢分，难题争取得步骤分。选择题最后2道和大题最后2道算是比较难的，其余题目尽量都得分。 学数学最佳方法就是多写写、画画、算算，也就是看题目给什么条件就画什么图或是推导出一个无知条件，因为每个条件都不是白给的，都是有价值的，所以不要小看每个条件甚至是每个字。 1高一新生大都自我感觉良好，认为自己的学习方法是成功的。自己能考上全市重点高中，就说明了自己在学习上有一套。自己初中怎样学，高中还怎样学，就一定能成功。不知道改进学习方法的必要性。 2甚至认为，刚上高一，适当让自己放松一下，奖励奖励自己前一段的苦学，一两个月以后再追，也不会出现什么问题。这种不求上进，甚至釜底抽薪的想法，一定要尽早向学生讲清楚，让他们防患于未然。 3新生面临着新的学习任务，缺少迎难而上的思想准备。暑假期间，疯玩疯闹。基础知识大滑坡，基本技能大退步，头脑时常出现空白。学习时跟不上教学的进度与要求。 4对高中课程的学习特点，缺少全面准确的了解。对高中学生应该掌握的学习方法，缺少系统的学习和掌握。 《模糊数学》教学大纲 院系名称数学与应用数学系 制定人董媛媛 制定时间 2008年7月6日 《模糊数学》教学大纲 一、总则 1、课程代码： 2、课程名称：中文名称：模糊数学 英文名称：Fuzzy Mathematics 3、开课对象：数学与应用数学专业的本科生 4、课程性质：专业任选课 模糊数学诞生于1965年，40余年来，它的思想已广泛渗透到数学的许多分支，在科技、工程等领域显示出了强大的生命力，并在人文科学（经济、管理、社会等）领域里，也已获得了相当多的应用。本课程是数学系专业选修课，为数学系本科数学与应用数学专业四年级学生所选修。 5、教学目的和要求： 通过本门课程的学习： （1）了解和掌握模糊集合，模糊关系，模糊矩阵，模糊聚类与模糊变换等基本概念和基本理论；掌握模糊聚类分析，模糊模型识别，模糊决策的实际应用所运用的模糊数学方法；初步了解模糊规划及模糊控制理论，并运用上述有关理论和方法进行进一步的科学研究与实际应用； （2）掌握模糊数学有关方面的理论知识和处理模糊现象的基本思维方法； （3）培养学生的抽象概括问题、自我学习接受知识的能力及科学研究能力；同时培养学生综合运用所学知识分析并通过相关数学模型的建立与运用进而解决生活中实际问题的能力。（4）提高学生的素质，为部分考研学生的后继学习以及将来从事科学研究等工作奠定必要的数学基础。 6、教学内容： 本课程主要研究了利用用模糊数学的知识来解决实际问题的理论及其方法。主要内容有：模糊集合的基本概念、模糊聚类分析、模糊模型识别、模糊决策、模糊线性规划、模糊控制。 7、教学重点与难点： 重点：通过本课程的学习，掌握模糊数学的基本思想，基础理论，从而进一步了解模糊理论的基本应用，能够运用模糊理论解决生活中的实际问题。 难点：模糊数学的基本理论及如何正确运用这些理论知识来解决实际问题。 8、先修课程： 考研数学基础差怎么办怎么复习 有很多考研数学逆袭的例子。不管你的数学基础有多差，只要努力，零基础也是有机会拿高分的。下面就是给大家整理的考研数学基础差的复习方法，希望对你有用! 所以，建议同学们把书读透，一定要深刻理解基本概念、公式、结论的内涵和外延，并逐渐掌握它们的使用方法。试卷上一般是不需要考生默写某个概念或公式，而是用这些概念或公式解决问题，这种灵活运用公式的能力只有也只能通过做题来获得，所以也建议做一定数量的题目。我们知道题目做的多了，做题才有思路。在考试中才能自然而然地迅速形成解题思路。考场上碰到“看似会做但有做错”的情况与考生的做题数量有关。考生在之前没有碰到过这类题，没有意识到做这类题时有一些注意事项。考生平时做题时应积累和改正这些错误，并培养谨慎，细心的做题习惯，考场上就不会轻易犯这些错误了。 有些同学可能感觉书看懂了，碰到题目却不会做，做题的速度也比较慢。出现这种问题的原因只有两点，一是书没真看懂，没有融会贯通，二是题目做的太少了手太生。在这里建议同学们边看书边动笔，要思考分析，也要记忆。有一些同学像看小说一样看数学书，不动笔写写算算是肯定不行的，数学书不是看表面的文字，要挖掘深层次的本质。数学知识要在理解的基础上记忆，记住的东西只有通过做题才 能巩固和熟练应用。看书和做题相辅相成，互相促进，看书和做题时一定要多动脑子思考多问为什么。 数学基础薄弱的同学一点要下决心，要有信心，要吃苦。一是要早早准备,早早复习,狠抓基础, 吃透基本概念、基本方法和基本定理。基础比较差的同学,这方面应该比较薄弱,所以要花比较长的时间复习教材,教材看懂了,真正掌握了,后面的路就好走了。二是多练习。注意做题速度和做题准确度,只要是会的就别做错。填空题和选择题题量和难度都不大,也容易得分,所以平时的训练中,这部分要重视.基础差的同学不要抠一些难题、偏题,这样没有太大意义。要注意解题方法和技巧。长此以往当量的积累达到一定程度时，一定会有质的飞跃! 考研数学经验分享基础差如何逆反夯实基础阶段 在刚开始复习的时候，我最先想到的是把基础打牢，就像老师说的"基础不牢，地动山摇"，我对这句话非常赞同并且付诸在行动上。由于大一的时候基础很不牢靠，甚至还有过挂科的经历，所以这一阶段我的重点是梳理一遍教材，强化薄弱环节的知识点。在配合教材的基础上，我还使用了同济六版的高等数学习题全解这本书，按照这本书把教材后面的习题仔细地梳理了一遍。在复习过程中，事无巨细，这期间我养成了随时笔记的习惯，不理解的知识点和题目我都写在笔记上，反复的看，直到弄懂，弄不懂的我会上网搜，加入同好的考研QQ群去询问。基础阶段复习完成之后，我已经记满了两个笔记本 提高加强阶段 基础不好的同学如何把高中数学学好 升人高一后，有些同学认为自己的数学基础没有打好，怕影响高中阶段的学习，其实，大家不妨把高一数学的学习当做一个新起点,基础不好的同学只要掌握正确的学习方法，认真刻苦地学习，也一样能把数学学好。同学们不妨尝试着从如下方面努力： 第一，改变固有观念，走出数学学习的误区 初中数学学好了，固然可以为高中数学的学习奠定良好的基础，使高中的数学学习顺利一些。但是如果中考数学成绩不理想，千万不要泄气，更不能有应付和放弃的想法。 数学知识有相对的独立性，比如集合、函数问题，同学们在初中已经学过,高一还要学习，当然是在初中学习基础上的延伸，如果初中没学好，借此之机可以补上初中知识的漏洞。到了高中阶段，随着身心的发展和认知水平的提高,再反过来看初中的知识会感觉非常简单，有时会有顿悟的感觉，即使没有学好这一专题，在学习新知识的同时使旧知识得到复习和巩固。 再如，高中学习的集合、函数、三角、数列等章节，这些知识之间是相对独立的，不要因为一章知识没有学好就对其他章节失去信心，而应该在学习新的一章知识的同时弥补其他知识的缺陷。明确了这些，建议同学们把高中数学的学习当做新的学科来学，对初中未接触过的新知识要打好基础，不明白的问题不过夜，及时弄懂弄通；对在初中已经学过的知识的延伸学习中，要多思考自己在初、高中知识的衔接中有哪些断层，多问几个是什么、为什么，争取使高一数学的学习起到承上启下的作用，为高中的学习打下坚实的基础。 第二，培养兴趣，让自己爱上数学 学好数学最关键的就是培养学习数学的兴趣，古代著名的教育家孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这里的“好”与“乐”就是愿意学、喜欢学，就是学习兴趣。兴趣是最好的老师，有了兴趣，学习的主动性和积极性就高。经常看到一些同学为了解答一道数学习题而废寝忘食，这是因为他们对数学学习和研究感兴趣。很难想象，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人能够学好数学。 对数学学科产生兴趣靠同学们有意识的培养。在学习数学时要克服只为考试而学数学的功利思想，从数学的功效和作用、数学对人的发展和生活需要的高度认识学习的重要性和必要性，从自己感兴趣的章节人手。比如喜欢几何，可以多做这方面的题目，在解题的过程中体会数学的思维方法，体会数学中蕴涵的美，体会数学学习的快乐，来带动其他章节的学习，从而培养对学数学的兴趣。 第三，适当多练习，掌握多种典型解体思路 要想学好高中数学，多做题目是难免的。刚开始要从基础题人手，以课本上的习题为准，反复练习，打好基础。再找一些课外的习题，以帮助开拓思路．提高自己的分析、解决问题的能力，掌握各种解题规律。对于一些做错的题．可记入错题本。在平时要养成良好的解题习惯，让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中才能运用自如，发挥正常。实践证明，越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习没有很大差异。如果平时解题时有粗心大意，经常看错、算错等不好的习惯，往往在考试中会充分暴露出来，成绩肯定不会很理想。因此，平时养成良好的解题习惯是非常重要的。 第四，学会应用数学思维解决数学中的问题，学会建立数学问题模型 数学是一门逻辑性最强的学科。学习数学就是要养成运用数学的思维方式解决问题，面对陌生的问题要学会与所学知识联系，运用数学推理和计算得出结论，不能无依据的乱猜。学习高三基础差的学生如何快速提高数学成绩
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