连续介质力学基础
物质坐标和空间坐标
对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个质点。用于标示质点的坐标称为物质坐标132(,,)ξξξ；表示空间中几何点的坐标312(,,)x x x 则称为欧拉坐标。
两种坐标是通过连续介质的运动联系起来的：如果在时刻t 质点132(,,)ξξξ占据空间位置312(,,)x x x ，则二者之间具有函数关系：
123(,,,)k k x x t ξξξ=
由于这个函数必须是一一影射的，其反函数存在并且唯一： 123(,,,)
k k x x x t ξξ= 因此，质点的位置矢量、速度等都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述：
(,)((),)t t =r ξr ξx
当我们采用物质坐标时，相应的基矢量：
i i ?ξ
?=?r
g
当我们采用空间（Euler ）坐标时，相应的基矢量：
i i x
?=
?r g 两者之间具有转换关系：
k k i k i k i
i x x ?x ξξξ
????===????r r g g j j
m m ?x ξ?=?g g k k i k i i k
i ?x x x ξξξ????===????r r g g j j
m m x ?ξ
?=?g g 物质导数
质点的速度：
D D k k
k k
(,t )()x (,t )v t t x t ???==???r r ξr x ξv g 算子D D t
称为物质导数（全导数）。它的含义是保持物质坐标不变时，张量随时间的变
化率。
Euler 坐标基底矢量的物质导数：
k k m
i i ik m k D v v Dt x
?==Γ?g g g i i k
k i m mk k D v v Dt x
?==-Γ?g g g 物质坐标（Langrange ）基底矢量的物质导数：
?(,)()i i D t Dt t ξ
??=??g
r ξ 欧氏空间中矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此
?(,)()i i i D t Dt t ξξ
???==???g r ξv
利用协变基与逆变基之间的关系，我们得到：
()
m i i i m ?D ????Dt ξ
?=??=???g v g g v g ()
m i i i m ?D ????Dt ξ
?=??=???g v g g g v Langrange 逆变基底矢量的物质导数可以由逆变基的定义式
j j i i ??δ?=g
g 求得。显而易见：
??()0i m
D Dt
?=g
g
因此
i m i i m m ??D D ???Dt Dt ξ
??=-?=-??g g v g g g 该式左端是逆变基物质导数在协变基下的分量，因而
????()???i i m i m m i i m D Dt ξ
ξ
?=-??=-????=-??=-???g v
g
g g v v g
g v g
（物质坐标基底矢量的物质导数可表示为速度梯度与基矢量的点积；协变基的导数与哈密顿算子相邻；逆变基的导数与负的速度矢量相邻）
张量的物质导数
Euler 描述下，张量是空间坐标和时间的函数，所以张量i j .j i T =?T g g 的物质导数：
()()
k k k k
D Dt t
x t t
v t
x ??+????=+????+????+??==??=T T
T T T v T v T v T
T g
物质描述下，张量i j .j i
???T =?T g g 的物质导数： ()()i
j .j j m j i m i .j
.m i i .j j i i .j m i m j i .j m .m j i ?T ??D D D ?????T T Dt t Dt Dt
?dT
??dt ?dT ???T v T v dt ?=?+?+??=?+??-????=+?-?? ? ???
T g g g g g g g g v T T v g g 由于
i
k .j j l .l i k i k .j l
j
.l k i ?DT D DT ??Dt Dt Dt
?DT D DT ??Dt Dt Dt
=?=?=?=?T g g g g T g g g g
所以
i i l k .j
.l
k j ?DT x DT Dt x Dt
ξξ??=??
i k
i l .j
.l k j ?DT DT x Dt x Dt
ξξ??=??
可以证明度量张量的物质导数为零：
()()
D D D D D D i i i i ??????t t t
=?+?=?
?-??=G g g g g v G G v 0 ()()D D D D D D i i k m
i k i m i i ik m mk i v v t t t
=?+?=Γ??-Γ?=G g g g g g g g g 0 （()()k i m k m
i mk i ik m v v Γ?=Γ?g g g g ）
速度场的加法分解
将速度梯度分解为对称部分D 和反对称部分Ω： ?=v D +Ω
()T
?=?=-v v D Ω
其中：
1
()2=?+?D v v
1
()2
=?-?Ωv v
如果弹性体做刚体运动，则刚体上一点的速度
00()=+?-v r ωr r 因此
i i i i
??ξξ??=?=?=???v r ωωg Ωg （T
=-ΩΩ） i i i i ?ξ
??=?=??=?v
v g Ωg
g Ω 所以，刚体运动时速度梯度的对称部分=D 0，即刚体运动的速度梯度是反对称的。速度梯度的对称部分D 描述变形的速率，而反对称部分Ω描述基矢量的转动速率。
二阶张量场的相对导数
刚体转动会引起张量变化率的改变，客观的应力、应变随时间变化率应剔除刚体转动所引起的那部分。
..?d ??()()d ?d ??()()d ?d ??()()d ?d ??()()
d ij i j i j
j i i j
j i ij
i j D H
Dt t
H t
H t H t
=?+??+??=?+??-??=?-??+??=?-??-??H g g v H H v
g g v H H v g g v H H v g g v H H v 将速度梯度进行加法分解后得到：
?d ??()()d ij i j D H
Dt t
=?+?+?+?-?H g
g D H H D ΩH H Ω .?d ??()()d i
j
j i H D Dt t
=?+?-?+?-?H g
g D H H D ΩH H Ω .?d ??()()d i
j
j i H D Dt t
=?-?-?+?-?H g
g D H H D ΩH H Ω ?
d ??()()d ij i
j H D Dt t
=?-?+?+?-?H g
g D H H D ΩH H Ω 上式右端的前两项定义为Jaumann 导数:
D D D D t
t
=
-?+?=-?+?H
H ΩH H ΩH ωH H ω
Jaumann 导数剔除了局部刚体运动的影响，它是一种相对导数。些材料的本构关系和应变、应力的变化率有关。然而，应力张量（应变张量）的物质导数却不适合在本构关系中使用：例如：一个做刚体运动的弹性体的内部应力是不变的，然而应力张量的物质导数却是非零的，因此应当采用应力、应变的相对导数描述本构关系：
连续介质的变形与运动
变形前物质线元 i i d d ξ=r g ，变形后成为
k k i
k i k
?d d ?d d ?ξξξ
?==???=?r g g F g r r 其中
k k ?=?F g
g ； T k k ?=?F g g 是变形梯度张量，它的逆张量
1k k ?-=?F g g ；T k k ?-=?F g g 这是由于：
?????()()i k k k i k ???=?=g
g g g g g G 从变形梯度张量的表达式中可知：
k k ??=F g g
T k k ?-?=F g g 1k k ?-?=F g
g T k k ??=F g g
变形梯度张量是协变瞬时协变基底矢量k ?g
与初始协变基底矢量k g 的并矢；它的逆是初始协变基底k g 与瞬时逆变基底k ?g
的并矢。
位移梯度与变形梯度张量之间的关系
物质描述下空间一点的矢径
?(,)()(,)
t t ξξξ=+r r u 其中()ξr 为变形前（初始时刻）连续介质中一点所在的位置；(,)t ξu 为质点ξ的位移。
k k k k k k ??ξξξξ????==+=+????r r u u
g
g
因此
?()k k
k k k ξ
?=?=+??=+?u g
g g G g F u
1?????()k k k k k
ξ
-?=?=-??=-?u g g
g g F G u 其中,算子 k k
ξ??=
??g ; k k
??ξ
??=??g 两者之间的联系：
(
)()11 k k T T
k
k
????----*?=*???
*=??*?=?=T g F g F
g T F F T g
T 变形前后线元长度的变化：
22
0(d )(d )d d d ()d d d 2d d T s s =???-?=?-????-=F r F r r r r F F G r r E r
111220???????d d (??d d )(d )d (d )2d d d T s s ----=?-???=?-?=-???r
r F r F r r r F e r G F r 其中
比较这两个应变表达式可知：Almansi应变的协变分量与Green应变的协变分量一致但基底矢量不同，由变形前的基底矢量转换为当前构型下的基底矢量。这种类型的张量称为协变前推。这两个应变张量都满足：
它们之间存在如下联系：T
=??
E F e F
两种张量与位移梯度之间的关系：
()()
()()
11
22
=+?+?-=?+?+???
E G u G u G u u u u
()()
()()
11
22
???
??????
=--?-?=?+?-???
e G G u G u u u u u
小变形、小位移假设下，应变张量的非线性部分：???
u u可以忽略，从而：
1
()
2
≈?+?
E u u;
1??
()
2
=?+?
e u u
变形前后连续体所占据的空间没有明显变化，物质描述与空间描述之间的差别也可忽略，两种应变是一致的。Green应变的分量表示
()
1
()()
2
k
j j
i j i j i i k
E u u u u
=?+?+??
在直角坐标系下
1
2
k
j
i k
ij j i i j
u
u u u
E
x x x x
?
??
???
=++
?
????
??
体积微元
变形前连续介质中一个体积微元dv可以由三个线性无关的线元作混合积表示为123
d d d d
v()
=??
r r r
变形后，这三个微元分别变换为
11
22
33
?d(d)
?d(d)
?d(d)
=?
=?
=?
r F r
r F r
r F r
变形后的体积微元
123123
???
?d d(d d)(d)[(d)(d)]
v=??=?????
r r r F r F r F r
因此d d
?v J v
=
其中 J 表示变形梯度张量的第三不变量，即它的行列式：
123d e t ()i j k
ijk J e F F F ==F
它与基底矢量之间的关系为
123123
123
123????()()dv d d d J dv d d d ξξξξξξ
??===??g g g g g g 面元
变形前连续介质中一片带有方向的面积微元d a 可以由组成它的两条边的线元表示为：
12d d d =?a r r
面元的方向指向该面的外法线方向。变形后的面元可以由变形后的线元1d ?r
和2d ?r 表示为 ()()1212d d d d d ???=?=???a r r
F r F r 选一与变形前的两个线元线性无关的线元3d r ，则它可与面元共同组成一个体积微元
d v 。这个体积微元在变形前后的关系为
d d ?v
J v = 体元与面元之间具有如下的联系
3d d d v ?=a r
()3d d d ??v ??=a F r 因此
33d d d d ?J ??=?a
F r a r 由于上式对任何不在面元内的线元3d r 都成立，所以
d d T ?J -=?a
F a 考虑到：T k k ?-=?F g
g ，代入上式中可得：d d k k ??J a =a g 因此 d d k k ?a
J a = 变形梯度的物质导数
由变形梯度张量的构成，依据Lagrange 基底矢量物质导数的表达式，我们可以得到：
k k ?=?F g g → k k ???=???=??=?F v g g v F v 1k k ?-=?F g g → 1111
k k
???----=-???=-??=-
???
F g g v F v F v F T k k ?=?F g g
→ T k T k ???=???=??=?F g g v F v v
T k k ?-=?F g g → ()
()
()
T T
T
T
k k ???----=-???=-??=-
???F v g
g
v
F F v F
推导以上各式的过程中，我们利用了初始构型下的基矢量的性质： 0k
k
D D D t D t ==g g
线元的物质导数
d d ?=?r
F r 将?=??F
v F 代入后得： d d ???=??r
v r 把线元分解为长度和方向描述，即
d d ?s =r
m 长度的变化率
?????d d d ()d ?d ()d d d s s s s
????===???r r r v r m v m 由于
??()??()()2
?+????=???=??v v m v m m v m m m
所以
d d s
s =??m D m 特别地，如果速度梯度的对称部分等于零，则线元长度不变（局部刚体运动）。线元的物质导数也可表述为：
d d d ?s s =+r m m 由此可得线元方向的变化率
?()(?d d d )s s
-=
=??-??m v m m D m m m r 体元的物质导数
瞬时体积微元：
()123d d d d ???v =??r
r r 因此，它的物质导数：
()()()
123123123
d d d d d d d d d d ??????????v =??+??+??r r r r r r r r r
将各个线元的物质导数代入到上式得：
()()()()
1
2
3
123123d d d
d d d d d d
d ?????????????v =????+????+????v r r r r v r r r r v r 回顾二阶张量第一不变量的性质，可知：
???d ()d v
Tr v =?v 然而：
??()()i i
T r v d i v ?=?=??=v v 所以
???d ()d v
v =??v 另一方面，由变形前后体积微元之间的联系可得：
d d d J ??v
J v v J
== 两种形式的结果应当是一致的，所以
?()J
J =??v 面元的物质导数
由变形前后面元的转换关系 d d T ?J -=?a
F a 可知: 面元的物质导数 ?d ()d T T J J --=+?a
F F a 将变形梯度张量以及体积比的物质导数代入上式得到：
??()d ?????d ()d ()d ()d T T J J --=???-?=????-?v F a v F v a v a a
a 面元矢量的数值是微元的面积，面元的方向是微元的外法线方向，即：
d d ??a =a
n 微元的面积与微元矢量的关系可以表述为：
2d d d ???a =?a a
因此，微元面积的变化率
d d d d ???a ?a
?=a a
将微元矢量的物质导数代入上式中得到：
????d [()()]d a
a =??-???v n v n 微元矢量的物质导数可用微元面积和微元方向矢量表述为
???d d a d a =+a n n
从中可得微元矢量的变化率
??????[()()][()()]
?d d a da
-==??-??-??-???a n n v n v n v n v n n 整理后得到：
??(())()=???-??n
n v n n v n 与线元的物质导数?d d =??r
v r 相比，可见两者之间是不相同的。这是因为面元方向矢量不是由一段物质质点组成的线元。
张量场函数在域上积分的导数
1) ?()d V
I t v
=?Τ 求这类积分时，不但要考虑张量自身随时间的变化，还要考虑积分域也在随连续介质的运动而改变，因此
(
)D D D ????d d +d D D D V V I v v v
t t t
????=+=?? ? ?????
??ΤΤΤΤv 将张量的物质导数
()
D D ?t t
?=+???ΤΤv Τ 代入到上式中，我们得到：
D ???()()d D V I v t t ???=+??+?? ????
?Τv Τv Τ 其中
???()(???()())()k k k k ξξξξ
+????=??+?=???
+??=?????????k k k Τv Τv v g Τv ΤΤv g v v ΤΤg 所以
()D ()??d ??()d ()??d d d V V S V S
I v
t Dt v t v t t ?=+????=+?????
=+??? ???
????
??v Τ
a v ΤΤ
Τv a ΤΤ 最后两项中：第一项代表由于张量随时间变化而引起的体积分变化率；第二项则是由于外表面的运动引起的积分区域的变化所导致的体积分变化率。
2) ?()d A
I t =??a
Τ 对张量和面元分别求导得：
()()
??d D ()???[]d d A
A I t Dt =?+?=+??-?????v v a a a ΤΤΤΤΤ
将
?()v t
?+???ΤΤ
Τ = 代入上式得
()()
()
D ????[()]d ???[
()]d A A
I Dt t
t
?=+??+??-?????=+???-??????v v v a v v a ΤΤΤΤΤΤΤ
3) ()d L
I t =??T l
??[()()d d d ?[(d ])]L L
I t v t ?=+=+??+?????????T T T v T l T v l Green 应变张量的物质导数
由Green 应变与变形梯度之间的关系
1
()2T =?-E F F G
得到它的物质导数：
1()2T T =?+?F E
F F F 代入变形梯度张量的物质导数后：
()()
11??1??)2
()(22T T T T =???+?????+????==E F v F F v F F v v F F D F 可见，Green 应变张量的物质导数是否为零张量，取决于速度梯度张量的对称部分D 。如果在连续体某些点处=D 0，则这点附近的连续体做局部刚体运动。 几种应力定义
在已变形的连续介质中，过固定质点的外法线为n 的面积微元?d a
上，周围介质的作用力在这个截面上的合力为?da n p 。对图示的四面体，截面与坐标面之间存在关系（封闭曲面有向面积之和为零）：
123?d (d d d )a
=-++n a a a 其中
23123111
d d d d 2a ξξ=-?=-a
e e e
31231221
d d d d 2a ξξ=-?=-a
e e e
12312331
d d d d 2
a ξξ=-?=-a e e e
因此
11?d d a n a
= 22?d d a n a = 33?d d a n a = 运用牛顿定律可得：
112233??()d ()n n n a
dv ρ---=-n p p p p u f 当截面无限趋近于特定质点时，由于体积微元是比面积微元更高一阶的无穷小量，上式右端将比左端更快地趋近于零。因此,
112233()()()=?+?+?n p n e p n e p n e p
利用并矢定义，我们可以将上式重写为：
()112233=??+?+?n p n e p e p e p
由于矢量的并矢是张量，所以称
112233=?+?+?σe p e p e p
为Cauchy 应力张量，并且过质点外法线为n 的截面上的面力
=?n p n σ
Cauchy 应力张量i j ij σ=?σe e 的分量 ij i j i j σ=?=??p e σe e
表示外法线沿i e 的截面上的面力沿j e 方向的分量。在变形后的面积微元?d a
上的面力合力
d d n ?=?=?t a
σa P 其中P 定义为第一类Piola-Kirchhoff 应力。与Cauchy 不同的是，它参照初始构型中的面积微元度量变形后该面上的面力。根据面积微元的转换关系可得：
()1(d
)d T J J --??=??F a σa F σ 从中可见：第一类Piola-Kirchhoff 应力张量与Cauchy 应力张量之的转换关系：
1J -=?P F σ
如果将Cauchy 应力张量表述为
ij i j ??σ=?σg
g 则
ij i j ?J σ=?P g g
（1i i ?-?=F g g ） 从中可见：第一类Piola-Kirchhoff 应力张量在度量初始构型中面积微元变形后所受的面力时，面力是相对瞬时基底表述的。第二类Piola-Kirchhoff 应力 1T T J ---??=?S F σF P F
则把将Cauchy 应力张量的两个瞬时协变基底都转化为初始协变基底：
km k m
J σ=?S g g
连续介质的基本定律
1) 质量守恒定律
一小块连续介质，变形前的体积为dv ，变形后的体积成为?dv ；同时质量密度也从ρ变
化为?ρ
。物理定律告诉我们：由同量物质组成的物体，无论发生怎样的形状变化，它所含的物体质量是不变的——质量守恒定律。因此：
d d ??v v ρρ
= 将变形前后体积微元之间的联系代入到上式中，我们得到质量密度的变化与变形梯度行列式值之间的关系：
?J ρ
ρ= 对该方程两端求物质导数，得到质量密度变化规律：
??()0ρ
ρ+??=v 体积分?()d V
I t v
ρ=?Τ的物质导数 D D ?d D D V I v
t t
ρ=?Τ
2) 动量定理
牛顿定律指出：质点所受的合外力等于该质点动量的变化率。在连续介质中取出一个无限小的微元体，牛顿定律对这个微元体成立：
d d
其中，f 为微元体所受的体力密度（如重力加速度）；00V ,S 分别是连续介质初始时刻所
占据的空间域和表面；V ,S 是连续介质瞬时所占据的空间域和表面。将沿外表面的积分
转化为体积积分：
d d S
V
???v ?=????a σσ 00
d d S V v ?=????a P P
则动量定理可以改写为：
????()d V
v ρρ+??-=?
f σr 0 0
?()d V v ρρ+??-=?
f P r 0 这个方程对围绕核心质点的任意形状的微元体都成立，因此被积函数必然为零：
????ρ
ρ+??=f σr ?ρρ+=??P f r 连续介质的运动方程还可以写作
?()T ρρ+???=f S F r
这是由于两类Piola-Kirchhoff 应力张量存在联系： T =?P S F 动量矩定理
对质点系统应用牛顿定律可以证明：质点系统相对于固定点的动量矩变化率等于外力对该点的合力矩——动量矩定理。把连续介质中的一团物质看作是质点系，应用动量矩定理，则
d d d d d T V
V S
??????v v t ρρ?=?+?????r r r f r σa 把上式中的面积分转换为体积分得到：
()
???????(())d ???????()d ()d T V
T k k V V
v v v ρρρρξ=?-+????=?+??-+??????0r
f r r σr r f σr σg
根据连续介质运动方程，上式右端的第一项为零。因此，右端第二项也为零：
??????()d ()d T k T k
k k V V
v v ξ???=??=???r σg g σg 0 由于积分区域的任意性，积分函数必然为零：
????????()()()T k ij k ij k k j i i j σσ=??=???=?0g
σg g g g g g g
（取122131132332ij ,,,,,=）即：
122133113223321)))σσσσσσ-+-+-=g g g 0
即Cauchy 应力张量σ是对称的：T σσ=
从P ，S 与σ之间的关系可知：第二类Piola-Kirchhoff 应力张量是对称的，第一类Piola-Kirchhoff 应力张量则是不对称的。依据对称的Cauchy 应力与P 之间的关系
J =?σF P ,可以得到第一类Piola-Kirchhoff 应力张量与变形梯度之间存在等式： T T ?=?P F F P 3) 机械能守恒定律
在连续介质中，任意选定一部分，周围介质对它的作用力的功率为：
d d T
f S
V
???p v ρ=??+???v σa v f 将面积分转换为体积分，则
()
???()d T f V
p
v ρ=?+????v f v σ 其中 ???()()T T k T k ξ????=??+???
?v
v σσg v σ 而
????():()::()T k k T k k
ξξ????=?=?=???v v σg g σv σσv (T σσ=） 由于 Cauchy 应力张量是对称的
1????():():():2?=?=?+?v σv σv v σ ； ??T ??=??σσ
因此
d 1???????[]:d ()d :d d 2f V V V V
p
dv v v v t ρρ=???++=?++????v σf σD v v σD 从普遍的能量守恒定律，我们知道：外力功率应当等于系统动能变化率与系统内能变化率之和。在不考虑热能的前提下，连续介质内能只有变形能。可见:σD 表示连续体内储存的变形功率密度。利用二阶张量内积与求迹之间的关系：
.....()::()()()
i k T T
k i i
k j k j i
Tr A B Tr A B C Tr Tr ?===??==??=??A B A B A B
A B C C A B B C A
可以证明：
11[()()](())()::T T Tr J JTr JT J r ---=?????=???=?=F σF F D F F σD F σD S E σD ()()()()()1d 12d 2
1
2
k k k
k T T T T T ??t =?=???=??=?-=?+?=??+??=??F g g v g g v F E F F G F
F F F F v v F F D F 以及
1??(())(())::Tr J JTr J -?=???=??=F σv F σv P F
σD 所以，变形功率密度
::J :==S E P F σD
应用实例
极坐标系中，矢径
12?rcos r sin θθ=+r e e 协变基矢量
12r r ??cos sin r θθ?==+?r
g
e e e ()12??r sin cos r θθθθθ?==-+?r g e e e
单位矢量r e 和θe 随曲线坐标的变化
r r ?=?e 0 ； r θθ
?=?e
e r θ?=?e 0 ； r θ
θ?=-?e e
逆变基矢量
r
r ?=g e 1?r
θθ=g e
梯度算子
r ?r
r θ
θ
???=?+???e e 弹性体内一点的位移
r r ?u u θθ=+u
e e 其右梯度
r r r r r r r r r r r r r
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发信人: Rubik (韦小宝@好事多磨), 信区: Mathematics 标题: 个人体会－如何学习《连续介质力学》－基本概念zz 发信站: 吉林大学牡丹园站(2008年04月07日00:04:04 星期一), 站内信件 作者为baibing@SimWe 连续介质力学，也叫连续统理论，或者叫理性力学。叫连续介质力学，是因为他的框 架内一个最重要得假设是“介质是宏观连续的”，可以用连续的数学理论来处理，显 然这种命名方法带有物理，力学的的痕迹。 叫连续统理论，实际上是借用了数学上的概念。学数学的人都知道，数学中就有“连 续统”的概念，比如，连续的线段，连续的曲面，和连续的体。由于数学上这些概念 都是抽象出来的，没有物理意义的，可以叫连续统。很多人不知道连续统，连续介质 ，我想实际上可以理解为不同学科的不同称呼。但是，说连续介质，实际上表示考虑了具体物理特性的连续统。 叫理性力学，实际上是从力学研究的方法论上来命名的。以那种理性的，数学化的， 公理化的思维和方法来研究力学。看过连续介质力学书籍的人应该是深有体会的。里 面到处充满这理性的思维的魅力。 说明：本人2004年在中国科学院研究生院学习了王文标教授的《连续介质力学基础》课程。这是本人一年后的感悟，欢迎我得同学一同加入进来讨论。 不知道从什么时候开始，我养成了一个习惯，那就是每接触一个新的学科，总是希望 获得这门学科最权威而且是最经典，最全面的书籍。当然这样的书籍是找不到的。但是，相对而样比较好的书籍还是有的，力学更是这样。 《非线性连续统力学》，北航出版社，李松年，黄执中的作品，80年代中期写的。这本书我第一次看到的时候，惊为天人所写，前半部分写的是张量分析，后面是连续统 力学，两方面都比一般的连续介质力学全面，而且讲解浅显易懂。特别是其前言和结语写的尤为出色，不仅概括了这门学科的梗概，而且指出了这门学科的前景，真是绝 佳的资料。 A.C.ERIGEN的《连续统力学》，这是我目前见到的最经典的书，实际上前面一本书很大一部分是参考了这本书编写的，当然，加入了自己的内容（这是我读后才知道的） 。这一点都不奇怪， A.C.ERIGEN是连续统力学的鼻祖人物，也是集大成者。和钱伟长先生关系很好。 英国东英格兰大学的查德威克先生写的《连续介质力学简明理论和例题》，虽然这本书只有短短一百多页，但是用逼一般力学书籍夺得数学，比数学书籍少得多的数学非 常准确地阐释了连续介质力学理论，尤其是和数学地结合方面，能够让你从本质上， 从数学的角度认识和理解连续介质力学。而且有大量的习题。 陈志达先生的《理性力学》。大家都知道陈志达先生吧，中国矿业大学的老师，98年
一、选择题 [ C ] 1、（基础训练2）一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1 和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图5-7所示．绳 与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． 【提示】逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外，由于(m 1＜m 2)，实际上滑轮在作减速转动，角加速度方向垂直纸面向内，所以，由转动定律21()T T R J β-=可得：21T T > （或者：列方程组：1112 2212m g T m a T m g m a T R T R J a R ββ-=??-=???-=? ?=?? ，解得：()()122 12m m gR m m R J β-=++，因为m 1＜m 2，所以β<0，那么由方程120T R T R J β-=<，可知，21T T >） [ B ] 2、（基础训练5）如图5-9所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为m 0，可 绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为2 01 3 m L ．一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 2 1，则此时棒的角速度应为 (A) 0v m m L ． (B) 03v 2m m L ． (C) 05v 3m m L ． (D) 07v 4m m L 【提示】把细棒与子弹看作一个系统，该系统所受合外力矩为零， 所以系统的角动量守恒： 20123v mvL m L m L ω??=+ ??? ，即可求出答案。 [ C ] 3、（基础训练7）一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线 上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定． 【提示】把三者看成一个系统，则系统所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒。设L 为一颗子弹相对于转轴O 的角动量的大小，则有 图5-7 m m 图5-11 v ? 2 1 v ? 俯视图 图5-9
3 一、选择题 1甲乙两人造卫星质量相同， 分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行, 与乙相比，甲的： (A) 动能较大，势能较小， (B) 动能较小，势能较大， (C) 动能较大，势能较小， (D) 动能较小，势能较小， 4长为L 、质量为M 的匀质细杆 轴，平 衡时杆竖直下垂，一质量为 端并嵌入其内。那么碰撞后 A 端的速度大小: 5 一根质量为m 、长为I 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直 的水平光 滑固定轴转动.抬起另一端使棒竖直地立起，如让它 掉下来，则棒将以角速度 ⑷撞击地板。如图将同样的棒截成长 为少2的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近 于： 6如图：A 与B 是两个质量相同的小球， A 球用一根不 能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位 置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球 第五章刚体力学基础 甲的轨道半径较小, 总能量较大; 总能量较大; 总能量较小; 总能量较小; C ］难度: 2 一滑冰者，以某一角速度开始转动, (A) 角速度增大，动能减小； (B) 角速度增大，动能增大； (C) 角速度增大，但动能不变； (D) 角速度减小，动能减小。 当他向内收缩双臂时，则: 3两人各持一均匀直棒的一端，棒重 受 的力变为： (A)% ； W , —人突然放手，在此瞬间, 另一个人感到手上承 (B) W 2 OA 如图悬挂.0为水平光滑固定转 m 的 子弹以水平速度v 0击中杆的 12mv 0 (A) 12m+M 3mv 0 (B) 3m + M V o mv o (C) mmM (D)倍。 (A) 2 ; (B) 42^ :A ］难度：难 (C) (D)
液压复习参考题 注意:以下题目仅供参考,并非考试题目 一、填空题 1．液压系统中的压力取决于（负载），执行元件的运动速度取决于（流量）。 2．液压传动装置由（动力元件）、（执行元件）、（控制元件）和（辅助元件）四部分组成，其中（动力元件）和（执行元件）为能量转换装置。 3．液体在管道中存在两种流动状态，（层流）时粘性力起主导作用，（紊流）时惯性力起主导作用，液体的流动状态可用（雷诺数）来判断。 4．由于流体具有（粘性），液流在管道中流动需要损耗一部分能量，它由（沿程压力）损失和（局部压力）损失两部分组成。 5．通过固定平行平板缝隙的流量与（压力差）一次方成正比，与（缝隙值）的三次方成正比，这说明液压元件内的（间隙）的大小对其泄漏量的影响非常大。 6．变量泵是指（排量）可以改变的液压泵，常见的变量泵有( 单作用叶片泵)、( 径向柱塞泵)、( 轴向柱塞泵)其中（单作用叶片泵）和（径向柱塞泵）是通过改变转子和定子的偏心距来实现变量，（轴向柱塞泵）是通过改变斜盘倾角来实现变量。 7．液压泵的实际流量比理论流量（小）；而液压马达实际流量比理论流量（大）。 8．斜盘式轴向柱塞泵构成吸、压油密闭工作腔的三对运动摩擦副为（柱塞与缸体）、（缸体与配油盘）、（滑履与斜盘）。 9．外啮合齿轮泵位于轮齿逐渐脱开啮合的一侧是（吸油）腔，位于轮齿逐渐进入啮合的一侧是（压油）腔。 10．为了消除齿轮泵的困油现象，通常在两侧盖板上开（卸荷槽），使闭死容积由大变少时与（压油）腔相通，闭死容积由小变大时与（吸油）腔相通。 11．齿轮泵产生泄漏的间隙为（端面）间隙和（径向）间隙，此外还存在（啮合）间隙，其中（端面）泄漏占总泄漏量的80%～85%。 12．双作用叶片泵的定子曲线由两段（大半径圆弧）、两段（小半径圆弧）及四段（过渡曲线）组成，吸、压油窗口位于（过渡曲线）段。 13．调节限压式变量叶片泵的压力调节螺钉，可以改变泵的压力流量特性曲线上（拐点压力）的大小，调节最大流量调节螺钉，可以改变（泵的最大流量）。 14．溢流阀为（进口）压力控制，阀口常（闭），先导阀弹簧腔的泄漏油与阀的出口相通。定值减压阀为（出口）压力控制，阀口常（开），先导阀弹簧腔的泄漏油必须（单独引回油箱）。 15．调速阀是由（定差减压阀）和节流阀（串联）而成，旁通型调速阀是由（差压式溢流阀）和节流阀（并联）而成。 16．两个液压马达主轴刚性连接在一起组成双速换接回路，两马达串联时，其转速为（高速）；两马达并联时，其转速为（低速），而输出转矩（增加）。串联和并联两种情况下回路的输出功率（相同）。 17．在变量泵—变量马达调速回路中，为了在低速时有较大的输出转矩、在高速时能提供较大功率，往往在低速段，先将（马达排量）调至最大，用（变量泵）调速；在高速段，（泵排量）为最大，用（变量马达）调速。 18．顺序动作回路的功用在于使几个执行元件严格按预定顺序动作，按控制方式不同，分为（压力）控制和（行程）控制。同步回路的功用是使相同尺寸的执行元件在运动上同步，同步运动分为（速度）同步和（位置）同步两大类。 19.在研究流动液体时，把假设既（无粘性）又（不可压缩）的液体称为理想流体。 20.液体流动时，液体中任意点处的压力、流速和密度都不随时间而变化，称为恒定流动。
连续介质力学基础 物质坐标和空间坐标 对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个质点。用于标示质点的坐标称为物质坐标132(,,)ξξξ；表示空间中几何点的坐标312(,,)x x x 则称为欧拉坐标。 两种坐标是通过连续介质的运动联系起来的：如果在时刻t 质点132(,,)ξξξ占据空间位置312(,,)x x x ，则二者之间具有函数关系： 123(,,,)k k x x t ξξξ= 由于这个函数必须是一一影射的，其反函数存在并且唯一： 123(,,,) k k x x x t ξξ= 因此，质点的位置矢量、速度等都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述： (,)((),)t t =r ξr ξx 当我们采用物质坐标时，相应的基矢量： i i ?ξ ?=?r g 当我们采用空间（Euler ）坐标时，相应的基矢量： i i x ?= ?r g 两者之间具有转换关系： k k i k i k i i x x ?x ξξξ ????===????r r g g j j m m ?x ξ?=?g g k k i k i i k i ?x x x ξξξ????===????r r g g j j m m x ?ξ ?=?g g 物质导数 质点的速度： D D k k k k (,t )()x (,t )v t t x t ???==???r r ξr x ξv g 算子D D t 称为物质导数（全导数）。它的含义是保持物质坐标不变时，张量随时间的变
化率。 Euler 坐标基底矢量的物质导数： k k m i i ik m k D v v Dt x ?==Γ?g g g i i k k i m mk k D v v Dt x ?==-Γ?g g g 物质坐标（Langrange ）基底矢量的物质导数： ?(,)()i i D t Dt t ξ ??=??g r ξ 欧氏空间中矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此 ?(,)()i i i D t Dt t ξξ ???==???g r ξv 利用协变基与逆变基之间的关系，我们得到： () m i i i m ?D ????Dt ξ ?=??=???g v g g v g () m i i i m ?D ????Dt ξ ?=??=???g v g g g v Langrange 逆变基底矢量的物质导数可以由逆变基的定义式 j j i i ??δ?=g g 求得。显而易见： ??()0i m D Dt ?=g g 因此 i m i i m m ??D D ???Dt Dt ξ ??=-?=-??g g v g g g 该式左端是逆变基物质导数在协变基下的分量，因而 ????()???i i m i m m i i m D Dt ξ ξ ?=-??=-????=-??=-???g v g g g v v g g v g （物质坐标基底矢量的物质导数可表示为速度梯度与基矢量的点积；协变基的导数与哈密顿算子相邻；逆变基的导数与负的速度矢量相邻）
~ 第一章 流体力学 【1-1】 椰子油流过一内径为20mm 的水平管道，其上装有一收缩管，将管径逐渐收缩至 12mm ，如果从未收缩管段和收缩至最小处之间测得的压力差为800Pa ，试求椰子油的流量。 【1-2】 牛奶以2×10－3m 3/s 的流量流过内径等于27mm 的不锈钢管，牛奶的粘度为×10－， 密度为1030kg/m 3，试确定管内流动是层流还是紊流。 【1-3】 用泵输送大豆油，流量为×10－4m 3/s ，管道内径为10mm ，已知大豆油的粘度为40 ×10－，密度为940kg/m 3。试求从管道一端至相距27m 的另一端之间的压力降。 】 【1-7】某离心泵安装在高于井内水面 5.5m 的地面上，吸水量为40m 3/h 。吸水管尺寸为 4114?φmm ，包括管路入口阻力的吸水管路上的总能量损失为kg 。试求泵入口处的真空度。（当地大气压为×105Pa ） 【1-9】每小时将10m 3常温的水用泵从开口贮槽送至开口高位槽。管路直径为357?φmm ， 全系统直管长度为100m ，其上装有一个全开闸阀、一个全开截止阀、三个标准弯头、两个阻力可以不计的活接头。两槽液面恒定，其间垂直距离为20m 。取管壁粗糙度为0.25mm 、水的密度为1000kg/m 3、粘度为1×10－。试求泵的效率为70％时的轴功率。 【1-10】用泵将开口贮槽内密度为1060kg/m 3、粘度为×10－的溶液在稳定流动状态下送到蒸 发器内，蒸发空间真空表读数为40kPa 。溶液输送量为18m 3/h 。进蒸发器水平管中心线高于贮槽液面20m ，管路直径357?φmm ，不包括管路进、出口的能量损失，直管和管件当量长度之和为50m 。取管壁粗糙度为0.02mm 。试求泵的轴功率（泵的效率为65％）。 【1-13】拟用一台3B57型离心泵以60m 3/h 的流量输送常温的清水，已查得在此流量下的允 许吸上真空H s ＝5.6m ，已知吸入管内径为75mm ，吸入管段的压头损失估计为0.5m 。试求： 1) ； 2) 若泵的安装高度为5.0m ，该泵能否正常工作该地区大气压为×104Pa ； 3) 若该泵在海拔高度1000m 的地区输送40℃的清水，允许的几何安装高度为若干米当地大气压为×104Pa 。
第一章习题简答 1-3 为防止水温升高时，体积膨胀将水管胀裂，通常在水暖系统顶部设有膨胀水箱，若系统内水的总体积为10m 3，加温前后温差为50°С，在其温度范围内水的体积膨胀系数αv ＝0.0005/℃。求膨胀水箱的最小容积V min 。 锅炉 散热器 题1-3图 解：由液体的热胀系数公式dT dV V 1V = α ， 据题意， αv ＝0.0005/℃，V=10m 3，dT=50°С 故膨胀水箱的最小容积 325.050100005.0m VdT dV V =??==α 1-4 压缩机压缩空气，绝对压强从4 108067.9?Pa 升高到5 108840.5?Pa ，温度从20℃升高到78℃，问空气体积减少了多少？ 解：将空气近似作为理想气体来研究，则由 RT P =ρ 得出 RT P = ρ 故 () 34 111/166.120273287108067.9m kg RT P =+??==ρ () % 80841 .5166.1841.5/841.578273287108840.52121 211213 5 222=-=-=-=-=?=+??==ρρρρρρρm m m V V V V m kg RT P 1-5 如图，在相距δ＝40mm 的两平行平板间充满动力粘度μ＝0.7Pa·s 的液体，液体中 有一长为a ＝60mm 的薄平板以u ＝15m/s 的速度水平向右移动。假定平板运动引起液体流
动的速度分布是线性分布。当h＝10mm时，求薄平板单位宽度上受到的阻力。 解：平板受到上下两侧黏滞切力T1和T2作用，由 dy du A Tμ =可得 12 U1515 T T T A A0.70.0684 0.040.010.01 U N h h μμ δ ?? =+=+=??+= ? -- ?? （方向与u相 反） 1-6 两平行平板相距0.5mm，其间充满流体，下板固定，上板在2 N/m2的力作用下以0.25m/s匀速移动，求该流体的动力黏度μ。 解：由于两平板间相距很小，且上平板移动速度不大，则可认为平板间每层流体的速 度分布是直线分布，则 σ μ μ u A dy du A T= =，得流体的动力黏度为 s Pa u A T u A T ? ? = ? ? = ? = =- - 4 3 10 4 25 .0 10 5.0 2 σ σ μ 1-7 温度为20°С的空气，在直径为2.5cm的管中流动，距管壁上1mm处的空气速度为3cm/s。求作用于单位长度管壁上的黏滞切力为多少？ 解：温度为20°С的空气的黏度为18.3×10-6 Pa·s 如图建立坐标系，且设u=ay2+c 由题意可得方程组 ?? ? ? ? + - = + = c a c a 2 2 ) 001 .0 0125 .0( 03 .0 0125 .0 解得a= -1250，c=0.195 则u=-1250y2+0.195
力学学科分类---力学是从物理学中独立出来的一个分支学科 力学分类 力学是研究物质机械运动的科学。机械运动亦即力学运动,是物质在时间、空间中的集团变化,包括移动、转动、流动、变形、振动、波动、扩散等。力学原是物理学的一个分支学科,当物理学摆脱了机械(力学) 的自然观而获得进一步发展时,力学则在人类生产和工程技术的推动下按自身逻辑进一步演化和发展,而从物理学中独立出来。它既是探索自然界一般规律的基础科学,又是一门为工程服务的技术科学,担负认识自然和改造自然的任务。力学的研究对象是以天然的或人工的宏观的物质机械运动为主。但由于本学科自身的发展和完善以及现代科技发展所促成的学科的相互渗透,有时力学也涉及微观各层次中的对象及其运动规律的研究。机械运动是物质的最基本的运动形式,但还不能脱离其他运动(热、电磁、原子、分子运动及化学运动等) 形式而独立存在,只是在研究力学问题时突出地甚至单独地考虑机械运动形式而已。如果需要考虑不同运动之间的相互作用,则力学与其他学科之间形成交叉学科或边缘学科。力学产生很早, 古希腊的阿基米德(约公元前287 —212) 是静力学的奠基人。在欧洲文艺复兴运动以后,人们对力和运动之间的关系逐渐有了正确的认识。英国科学家牛顿继承和发展了前人的研究成果,提出了物体运动三定律,标志着力学开始成为一门科学。到了20 世纪,力学更得到蓬勃的发展。到目前为止,已形成了几十个分支学科,诸如一般力学、固体力学、结构力学、物理力学、流体力学、空气动力学、流变学、爆炸力学、计算力学、连续介质力学、应用力学、岩土力学、电磁流体力学、生物力学,等等。为了充分发挥这些力学文献的作用,必须对其进行科学的分类。本文拟对力学文献的分类标准、分类体系和分类方法进行研究。 一、力学文献的分类标准 根据力学文献的属性,其分类标准很多,但根据读者(用户) 的检索需求和文献分类法的立类列类原则,主要采用以下9 种标准: 1.1 根据研究对象分 根据研究各种物体不同的运动,力学就形成了不同的分类。例如:当物体是液体或气体时,就是流体力学;当物体是固体时,就是固体力学;当研究固体在外界加力影响下,内部的变形和应力状态,以及它受力的性能时,就是弹塑性力学;当研究物体的整体运动的时候,而不去仔细考虑物体每一部分的情况便是一般力学。 1.2 根据研究方法分 根据研究方法,力学可以分为实验力学、理论力学、物理力学、理性力学和计算力学等。1.3 根据研究的时代分 根据研究的时代,力学可以分为经典力学和近代力学。从牛顿至哈密顿的理论体系称为经典
第五章刚体力学基础 一、选择题 1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的： (A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小； (D)动能较小，势能较小，总能量较小； ［ C ］难度：易 2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变； (D)角速度减小，动能减小。 ［ B ］难度：易 3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：
(A)3w ； (B) 2w (C) 43w ； (D) 4 w 。 ［ D ］难度：难 4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A 端并嵌入其内。那么碰撞后A 端的速度大小： (A) M m mv +12120； (B) M m mv +330 ； (C) M m mv +0 ； (D) M m mv +330。 ［ B ］难度：中 5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另 一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。如图将同样的棒截成长为 2 l 的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于： (A)ω2； (B) ω2； (C) ω； (D) 2ω。 ［ A ］难度：难 6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的线速度： L
第1章 CFD 基 础 计算流体动力学(computational fluid dynamics ，CFD)是流体力学的一个分支，它通过计算机模拟获得某种流体在特定条件下的有关信息，实现了用计算机代替试验装置完成“计算试验”，为工程技术人员提供了实际工况模拟仿真的操作平台，已广泛应用于航空航天、 热能动力、土木水利、汽车工程、铁道、船舶工业、化学工程、流体机械、环境工程等 领域。 本章介绍CFD 一些重要的基础知识，帮助读者熟悉CFD 的基本理论和基本概念，为计算时设置边界条件、对计算结果进行分析与整理提供参考。 1.1 流体力学的基本概念 1.1.1 流体的连续介质模型 流体质点(fluid particle)：几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微 元体。 连续介质(continuum/continuous medium)：质点连续地充满所占空间的流体或固体。 连续介质模型(continuum/continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：u =u (t ,x ,y ,z )。 1.1.2 流体的性质 1. 惯性 惯性(fluid inertia)指流体不受外力作用时，保持其原有运动状态的属性。惯性与质量有关，质量越大，惯性就越大。单位体积流体的质量称为密度(density)，以r 表示，单位为kg/m 3。对于均质流体，设其体积为V ，质量为m ，则其密度为 m V ρ= (1-1) 对于非均质流体，密度随点而异。若取包含某点在内的体积V ?，其中质量m ?，则该点密度需要用极限方式表示，即 0lim V m V ρ?→?=? (1-2) 2. 压缩性 作用在流体上的压力变化可引起流体的体积变化或密度变化，这一现象称为流体的可压缩性。压缩性(compressibility)可用体积压缩率k 来量度
第5章 刚体力学 一、选择题(共61题) 1．如图所示，一悬绳长为l ，质量为m 的单摆和一长度为l 、质量为m 能绕水平轴自由转动的匀质细棒（细棒绕此轴转动惯量是2 31ml ），现将摆球和细棒同时从与竖直方向成θ角 的位置由静止释放，当它们运动到竖直位置时，摆球和细棒的角速度之间的关系为 （ ） A 、 21ωω> B 、21ωω= C 、 21ωω< [属性]难易度：2分；所属知识点：刚体的定轴转动 [答案] C 2．轻质绳子的一端系一质量为 m 的物体，另一端穿过水平桌面上的小孔A ，用手拉着， 物体以角速度ω绕A 转动，如图所示。若绳子与桌面之间，物体与桌面之间的摩擦均可忽 略，则当手用力F 向下拉绳子时，下列说法中正确的是( ) A 、物体的动量守恒 B 、 物体的角动量守恒 C 、 力F 对物体作功为零 D 、 物体与地球组成的系统机械能守恒 [属性]难易度：2分；所属知识点：动量守恒、机械能守恒、角动量守恒
[答案] B 3．如图，细绳的一端系一小球B ，绳的另一端通过桌面中心的小孔O 用手拉住，小球在水 平桌面上作匀速率圆周运动。若不计一切摩擦，则在用力F 将绳子向下拉动的过程中 ( ) A 、 小球的角动量守恒，动能变大 B 、 小球的角动量守恒，动能不变 C 、 小球的角动量守恒，动能变小 D 、 小球的角动量不守恒，动能变大 [属性]难易度：2分；所属知识点： 角动量守恒、动能 [答案] A 4．光滑的水平桌面上，有一长为L 2、质量为m 的匀质细杆，可绕通过其中点o ，且与杆 垂直的竖直轴自由转动，其转动惯量为 23 1mL 。开始时，细杆静止，有一个质量为m 的小球沿桌面正对着杆的一端A ，在垂直于杆长的方向上以速度v 运动，并与杆的A 端碰撞后与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度为( ) A 、 L v 2 B 、 L v 43 C 、 L v 32 D 、 L v 54 [属性]难易度：2分；所属知识点： 角动量守恒 [答案] C 5．如图所示，一静止的均匀细棒，长为l ，质量为M ，可绕通过棒的中点O ﹑且垂直于棒 长的水平轴在竖直面内自由转动，转动惯量为 212 1Ml 。一质量为m 、速度为v 的子弹在竖直方向射入棒的右端，击穿棒后子弹的速度为v 21，则此棒的角速度为（ ） A 、 l M mv B 、l M mv 3 C 、 l M mv 2 D 、 l M mv 23v
第 二章 流 体 力 学 基础 ξ 1 流体的主要性质 1.1 流体的主要物理性质 1、 流体的流动性 ——流体的易变形性 流体的基本属性 流体的力学定义：不能抵抗任何剪切力作用下的剪切变形趋势的物质 2、流体的连续性 ? 连续介质模型 ? 流体质点：含有大量分子的流体微团 3、质量和重力特性 – 密度（ kg/ m 3）、 比容： （ m 3/kg ）、比重：无量纲量 – 浓度：质量浓度（kg/m3）、摩尔浓度(mol/m3) 4、流体的可压缩性与热膨胀性 ? 等温压缩系数（ m 2/N ）： ? 热膨胀系数（1/K ） ? 液体的压缩系数和膨胀系数都很小 ? 压强和温度的变化对气体密度和体积的变化影响较大 ? 可压缩流体与不可压缩流体 5. 流体的粘滞性 (1) 粘滞性： ? ——由于相对运动而产生内摩擦力以反抗自身的相对运动的性质。 ? 一切流体都具有粘性，这是流体固有的特性。 ? 粘性的物理本质：分子间引力、分子的热运动,动量交换 (2) 牛顿粘性定律 ? 粘性力（内摩擦力）： ? ? 粘性切应力： （3） 粘性系数 动力粘滞系数或动力粘度(μ)（Pa·S ） 运动粘度 （m2/s ） : 理想流体（无粘性流体,μ＝0）与实际流体（粘性流体μ≠0） )/(2m N dy u d μτ-=) (N A dy u d F μ-=ρμν=
1.3 作用于流体上的力 1、 质量力 表征：单位质量力：----单位质量流体所受到的质量力 当质量力仅为重力：F bx =0，F by =0，F bz = -g 2 表面力 表征： 切向应力（剪切应力）：τ =T/（N/m 2） 法向应力（压应力）：p=P/A （N/m 2） ξ 2 流体运动的微分方程 1、 流体运动的描述 （1）描述流体运动的数学方法——拉格朗日法和欧拉法 拉格朗日法—— – 着眼于流体质点，设法描述每个流体质点自始至终的运动过程 – 描述流体质点的物理量表示为：f ＝f （a ，b ，c ，τ） – 欧拉法——空间描述 – 着眼于流体质点，设法描述每个流体质点自始至终的运动过程 – 描述流体物理量表示为：f ＝F （x ，y ，z ，τ） （2） 迹线与流线 迹线： – 同一流体质点在连续时间内的运动轨迹线 – 是拉格朗日法对流体运动的描述 流线： – 某一时刻流场中不同位置的连续流体质点的流动方向线 – 是欧拉法对流体运动的描述 – 流线的性质：流线不能相交，也不能是折线，流线只能是一条光滑的曲线；对于稳定流动，流线与迹线相重合； – (3)系统与控制体 系统 ——某一确定的流体质点集合的总体，与外界无质量交换 流体系统的描述是与拉格朗日描述相对应 控制体 ——流场中确定的空间区域 可与外界进行质量交换和能量交换 控制体描述则是与欧拉描述相对应 2、质量守恒定律——连续性方程 m F F m F F m F F z bz y by x bx ===,,
一、选择题 [ C ] 1、基础训练（2）一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图5-7所示．绳 与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． 参考答案： 逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外, 由于(m 1＜m 2)，实际上滑轮在作减速转动,角加速度方向垂直纸面向内,所以,由转动定律21()T T R J β-=可得：21T T > [ B ] 2、基础训练（5）如图5-9所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为2 3 1 ML ．一质量为m 、 速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 2 1 ，则此时棒的角速度应为 (A) ML m v ． (B) ML m 23v ． (C) ML m 35v ． (D) ML m 47v ． 图5-9 [ C ] 3、基础训练（7）一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度 (A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定． 图5-7 m 图5-11 v 2 1 v 俯视图
[ C ] 4、自测提高（2）将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为 ．如果以拉力2mg 代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将 (A) 小于 ． (B) 大于 ，小于2 ． (C) 大于2 ． (D) 等于2 ． [ A ] 5、自测提高（7）质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为 (A) ??? ??=R J mR v 2ω，顺时针． (B) ??? ??=R J mR v 2ω，逆时针． (C) ? ?? ??+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ?? ? ??+=R mR J mR v 22ω，逆时针． 二、填空题 6、基础训练（8）绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为05rad ω=，t ＝20s 时角速度为00.8ωω=，则飞轮的角加速度β= -0.05 rad/s 2 ，t ＝0到 t ＝100 s 时间内飞轮所转过的角度θ= 250rad ． 7、基础训练（9）一长为l ，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m 的小球，如图5-12所示．现将杆由水平位置无初转速地释放．则杆刚被释放时的角加速度β0= g/l ，杆与水平方向夹角为60°时的角加速度β= g/2l ．
5.1、一长为l 的棒AB ，靠在半径为r 的半圆形柱面上，如图所示。今A 点以恒定速度0v 沿水平线运动。试求：(i)B 点的速度B v ；(ii)画出棒的瞬时转动中心的位置。 解：如图，建立动直角系A xyz -，取A 点为原点。B A AB v v r ω=+?，关键是求ω 法1(基点法)：取A 点为基点，sin C A AC A CO A A v v r v v v v ωθ=+?=+=+ 即sin AC A r v ωθ?=，AC r ω⊥，化成标量为 ω在直角三角形OCA ?中，AC r rctg θ= 所以200sin sin sin cos A AC v v v r rctg r θθ θωθθ === 即2 0sin cos v k r θ ωθ = 取A 点为基点，那么B 点的速度为： 20023 00sin [(cos )sin ] cos sin sin (1)cos B A AB v v v r v i k l i l j r v l l v i j r r θ ωθθθθθ θ=+?=+?-+=-- 法2(瞬心法)：如图，因棒上C 点靠在半圆上，所以C 点的速度沿切线方向，故延长OC ， 使其和垂直于A 点速度线交于P 点，那么P 点为瞬心。 在直角三角形OCA ?中，sin OA r r θ = 在直角三角形OPA ?中，2 cos sin AP OA r r r ctg θ θθ == 02 cos ()sin A PA PA PA r v r k r j r i i v i θ ωωωωθ=?=?-===，即20sin cos v r θωθ = 取A 点为基点，那么B 点的速度为： 20023 00sin [(cos )sin ] cos sin sin (1)cos B A AB v v v r v i k l i l j r v l l v i j r r θ ωθθθ θθ θ=+?=+?-+=-- 5.2、一轮的半径为r ，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心以恒定速度0v 前进。求轮缘上任一点(该点处的轮辐与水平线成θ角)的速度和加速度。 解：任取轮缘上一点M ，设其速度为M v ，加速度为M a θ C A v CO v
张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。
流体力学基础理论的学习历来被初学者视为畏途，每到学习结束要进入期末考试的时候，老师和学生一样心中难免忐忑，在流体力学这门课上挂科已经成为某种常态。即使是学习多年的老手也会在具体问题面前感到基础尚不完备，还不够扎实。这个问题的起源当然与流体运动规律本身的复杂性有关，这个复杂性导致流体力学与大家印象中的“学科”概念有一定的出入。比如我们在学习高等数学时，很容易发现，数学是一门“咬文嚼字”的学科，里面充满严格定义的概念，不论学习线性代数还是微积分，都是从一些基本公理出发，循着一条严格的逻辑路线，架构起整门课程。因为数学有这样逻辑严密的特点，所以虽然学起来也不容易，但大家一致认为数学是美的，而且不论谁写的数学书，比如微积分的书，内容都只有程度深浅的差异，而绝没有内容上的巨大差异。 流体力学则有所不同，流体的流动本身是一种连续不断的变形过程，经典的流体力学理论以连续介质假设为基础，将整个流体看作连续介质，同时将其运动看作连续运动。但是由于流体是复杂的，实际上至今还没有完全掌握其全貌，因此流体力学在建立了基本控制方程后，就开始转而从一些特殊的流动出发，采用根据流动特点进行简化的方式，先建立物理模型，再得到数学模型，进而得到我们在书中经常看到的很多“理论”，比如不可压无旋流、旋涡动力学、水波动力学、气体动力学等等，甚至理论中还包括理论，比如不可压无旋流中还有自由流线理论，等等。形成一个类似于俄罗斯套娃的学科结构，这种结构容易给人一种支离破碎的印象。特别是在各个理论之间联系比较薄弱的时候，更容易给人这种印象。似乎一门课中又包含了很多门“小课”，每门“小课”使用的数学工具也完全不同，甚至很多同行还进一步把自己分成是学气的（比如空气动力学），或者是学水的（比如学船舶的）等等。 就象旅行者要有一张地图才能更高效率地到达目的地一样，如果能有一张流体力学的地图，或者叫路线图（roadmap），应该对初学者有很大帮助。这张图就是这门学科的脉络，其中应包含流体力学的主要理论内容，扩展一步的话，还应该包括数学基础（先修课）和主要分支学科。先在这里做个记号，有时间的时候慢慢地先从流体力学基础理论入手，给出一个粗略的路线图，然后再逐渐给出分支学科的路线图，比如空气动力学、计算流体力学的路线图。希望能抛砖引玉，激发出同行们的兴趣，加入绘制路线图的工作。在想象中，这个路线图应该有学科的主要内容，同时应该有相关的参考书。这样初学者就可以按图索骥，沿着一
第一章流体力学基础 流体包括液体和气体。 流体力学是力学的一个分支，研究流体处于平衡、运动状态时的力学规律及其在工程中的应用。 按研究介质不同流体力学分为液体力学（水力学）和气体力学。水力学研究的对象是液体，但是，当气体的流速和压力不大，密度变化不大，压缩性可以忽略不计时，液体的各种平衡和运动规律对于气体也是适用的。 流体力学在建筑设备工程中有着广泛的应用。给水、排水、供热、供燃气、通风和空气调节等工程设计、计算和分析都是以流体力学作为理论基础的。因此，必须了解和掌握流体力学的基本知识。 第一节流体的主要物理性质 流体的连续性假说 流体毫无空隙地连续地充满它所占据的空间。因此，描述流体平衡和运动的参数都是空间坐标的连续函数，从而就可以应用数学分析中的连续函数这一工具，分析流体在外力作用下的机械运动。 流体的力学特性 （1）流体不能承受拉力； （2）静止流体不能承受切力，受微小切力作用流体就会流动，这就是流体易流动性的原因，运动的实际流体能承受切力； （3）静止或运动的流体能承受较大的压力。 一、惯性及万有引力特性 惯性——物体保持原有运动状态的性质。惯性的大小用质量表示。 万有引力——地球上的物体均受地球引力的作用，表现为重力。质量为物体的重力为 （N）（1-1）
式中——重力加速度，取m/s2。 1．密度 对于均质流体，单位体积流体具有的质量，记为。对于质量为，体积为的流体有 （kg/m3）（1-2） 2．容重（重度） 对于均质流体，单位体积流体具有的重量，记为。对于重量为，体积为的流体有 (N/m3)（1-3） 干空气在标准大气压mmHg和20℃时，kg/m3，N/m3。 水在标准大气压和4℃时，kg/m3，N/m3。 水银在标准大气压和20℃时，kg/m3，N/m3。 二、粘滞性 如图1-1所示，为管中断面流速分布。由于流体各流层流速不同，当相邻层间有相对运动时，在接触面上就会产生相互作用的内摩擦力（切力），摩擦生热，耗散在流体中，流体的机械能就会损失一部分。 流体运动时产生内摩擦力或抵抗剪切变形的能力称为流体的粘滞性。