1 前言
我们都知道，图论是源于一个著名的问题——哥尼斯堡七桥问题。后来英国的数学家汉密尔顿通过十二面体“绕行世界”的游戏，使得很多人开始关注这个图论中的另一个著名问题，即汉密尔顿问题。谈到了图论中的著名问题，那就不得不提世界近代三大数学难题，同时对图论发展产生了重大影响的——“四色猜想”，这使得图论中的染色问题成为了研究的热点问题，图的染色问题不但在理论上有着重要的意义而且在实际问题中也有着重要的应用。说到实际应用，对于图论的许多公开问题，比如说，企业生产管理，交通运输，计算机网络，甚至军事等众多领域一直以来都有许多专家学者所研究。而说到图的染色的实际应用，我们得介绍下何谓染色。所谓的染色问题，就是给定一个图，需要把图中的所有的顶点，或者所有的边进行染色，使得相邻的顶点或者边所染的颜色不同，其中优秀的染色方法，就是尽量使得需要的颜色数最少。同样，图的染色在许多领域都会涉及到将某种对象的集合按照一定的规则进行分类，比如说，学生选课系统、电路布局、排序问题、会议安排、电路安排、考试安排等，这些问题都与图的染色理论密切相关，专家学者对图的不同染色问题的研究，已经有了较为丰富的结果，并且这些结果仍在进一步完善中。
2008年，Chartrand, Johns, McKeon 和Zhang 首次提出了图的彩虹连通性的概念，这是对经典连通性概念的一种加强。我们都知道，彩虹连通数是一个自然的组合概念，除了具有理论上的意义，更重要的是在网络问题中有着很重要的应用。事实上，政府机构之间需要进行一些机密信息的传递，这些传输要保证其安全性，于是便产生了彩虹连通的这些概念。假设信息的传输是在一个蜂窝形状的网络中，而这个网络中的任意两个顶点之间都有一条路相连，并且这条路径上的每一段路需要分配一个独特的频道（比如说，分配不同波段的频率）。显然，我们想要网络中所使用的不同的频道的个数最少，而这个最少的个数就是这个蜂窝网络所对应的无向图的彩虹连通数。
在了解图的彩虹连通数之前，我们先对用到的一些图论基础知识做一个简单的介绍。
首先，需要了解图的定义，图定义为一个二元组),(E V 使得k V E ][?，记作),(E V G =。其中，V 代表图G 的顶点的集合，记作)(G V ；E 代表图G 的边的集合，记作)(G E 。可以看出，边集E 中的元素是顶点集V 中元素的-2元子集，并且默认V 和E 的交集为空集。
图的分类众多，本文所研究的图均为有限的简单无向图。
图分为有限的、无限的、可数的等等，是根据图的阶进行分类的。图的阶是指顶点的个数称，记作G 。在本文中研究的图，我们总是假定为有限的，阶为n 的有限图，即G n =。另外，若图只有一个顶点，即1=n ，那么这样的图称为平凡图，相反，若1>n ，那么这样的图就称为非平凡图。
简单图就是既不含平行边也不含自环的图，所说的平行边是指在无向图G 中，如果和顶点u 和v 相关联的无向边多于一条，那么则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。而自环是指两端连接着同一顶点的边。
前面有说到无向图，简单说就是不具有方向性的图。定义在图G 的边的集合中，每个元素),(v u 为一对顶点构成的无序对，表示顶点u 和v 相关联的一条无向边，若是无向图，那么),(v u 和),(u v 表示的是同一条边。
有图必然会有由G 产生而来的别的图，这里只介绍子图的概念。假设G 和H 是两个图，如果顶点集)(H V 是)(G V 的一个子集，边集)(H E 也是)(G E 的子集，那么就称图H 是图G 的一个子图。
我们常常以图的度作为研究图的一个参考，一个顶点u 的度数是指与它相关联的边的数目，若顶点的度为0，则称该顶点为孤立顶点，也就是不与其它任何顶点相连接的点。我们把图G 中最小顶点度称为最小度，记作)(G δ，把图G 中最大顶点度称为最大度，记作)(G ?。
研究图，必然需要知道什么是路。图),(E V P =是一条路，其顶点集和边集分别为},,,{10k x x x V Λ=，},,,{12110k k x x x x x x E -=Λ，这里的i x 均互不相同。在此，顶点0x 和k x 由路P 连接，并称它们是路的端点，而11,,-k x x Λ称为P 的内部顶点。一条路上的边数称为路的长度，记k x x x P Λ10=，称P 是一条0x 和k x 之间的路。
另外，需要了解下研究图的另一个参考量，连通度。
一个图G 是连通的，如果无向图G 中的任意一对顶点都是连通的。顶点连通是指在无向图G 中，若从顶点u 到v 有路相连，则称u 和v 是连通的。相反，如果一个不连通的无向图，称为非连通图。
-k 连通图G 是指一个图G 的任意两个不同顶点之间都至少有k 条相互独立的路相连。连通度是指，使得图G 是-k 连通的最大整数k ，记作)(G κ。-l 边连通图G 是指一个图G 的任意两个不同顶点之间至少有l 条相互独立的路相连。
边连通度是指，使得图G 是-l 边连通的最大整数l ，记作)(G λ。其中，最简单的2-连通图是圈，并且其它的2-连通图都可以由一个圈通过不断添加路而得到。
认识了图的一些基本概念以后，我们来了解下本文研究的图的彩虹连通数。 假设图G 是非平凡的连通的，定义一个边染色},,,2,1{)(:k G E c Λ→ N k ∈，其中相邻的边可能染同种颜色。如果图G 中的一条路径P 上的边分别染不同的颜色，那么称P 是图G 一条彩虹路；如果图G 任意两个不同顶点u 和v 之间至少有一条彩虹路相连，则称图G 是彩虹连通的。在这种情况下，染色c 称为图G 的彩虹边染色。如果使用了k 种颜色，那么称c 是一个彩虹-k 染色。如果k 是对图G 进行彩虹-k 边染色所需的最少颜色数，称为图G 的彩虹连通数，记作)(G rc 。显然，彩虹连通图一定是连通的，且将所有边染不同颜色可以得到连通图的一个彩虹染色。
如果图G 中的两个顶点u 和v 之间有路相连，则称u 和v 之间所有路中最短路的长度为u 和v 之间的距离，记为),(v u d 。连通图G 的任意两个顶点之间距离中的最大值，称为是图G 的直径，记作)(G diam 。如果图G 是一个边数为m 的非平凡连通图，则有m G rc G diam ≤≤)()()1(。
为了说明上述的)1(，我们考虑Petersen 图P 。图1给出了Petersen 图P 的一个3-边染色c ，可以验证图中任意两个不同顶点之间都有彩虹路相连。故Petersen 图P 的3-边染色c 是一个彩虹染色，从而3)(≤P rc 。因为2)(diam =G ，所以，图P 的任何彩虹染色至少使用了两种颜色，即2)(≥P rc 。假设，图P 有一个彩虹-2染色c ，那么对于图P 的相邻的两条边可能染同种颜色，比如说，边
uw e =和边wv f =染相同的颜色。
由于图P 中任意两个不相邻顶点之间有且仅有一条长度为2 的路，而u 和v 之间的2-长路uwv 不是一条彩虹路，故u 和v 之间没有彩虹路相连，这与c 是图P 是一个彩虹-2染色的假设相矛盾。因此，3)(=P rc 。