一、绘图比例
我们习惯称AutoCAD为1：1绘图，这1：1应该算是比例的概念，但实际上AutoCAD没有什么1：n绘图的说法。我们也先别说输入100就是100mm，严格来说，我们输入的是100个图形单位，因为我们使用的是公制，1m长度的线你就输入1000，这个1000就是1000，什么时候成1000mm，到打印时通过“1mm=**单位”，即由打印比例反映出来。一般来说不会因为图纸比例是1：100就输入1000/100=10。这样，AutoCAD绘图实际是没有绘图比例这个概念的。
二、打印比例
实际工程中不可能实物多大就画多大的图纸，也就是说电脑内的AutoCAD图形文件它还不是图纸，而仅仅是个图形电子文件，要把它变成实实在在的物理图纸就需要1：n打印出图。1：100打印，就是把100长的一条线打印成1，如果采用mm作单位，也即当初1m长是输入1000的，设置“1mm＝100图形单位”，就是1：100打印。如果当初是以m为单位，也即当初1m 长是输入1的，设置“1m＝100图形单位”（当然，打印对话框上没有“米”选项，“1m＝100图形单位”实际要换成“1000mm＝100图形单位”，也即”10mm＝1图形单位“），就是1：100打印，换句话说，如果电子文件上1000长的线通过打印，到图纸上是20的话（注意这个20是有单位的，是对应你采用的单位），那就叫做1：50打印出图（1000/20=50）。
为了叙述方便，我们假定采用公制，也即1米就输入1000，1毫米输入1，这样，尽管ACAD 电子文件上只是图形单位，但我们可以“认为”它真的就是毫米。
正因为这样，用AutoCAD绘图，我们最好把图纸比例理解为打印出图比例更为贴切。
这里必须强调，所谓“打印出图比例”并不一定就与打印对话框上的打印比例数据对应。如果采用公制,那“1毫米＝100图形单位”，正好就是图纸比例1：100，但如果是采用米作单位，应该是“1米＝100图形单位”，才叫1：100。问题在于打印对话框上不能这么设置，因为没有“米”选项，而必须设成“1000毫米＝100图形单位”，单从数据上看，这里是“1000：100”了。
三、实物没有比例，非实物才有比例
既然AutoCAD是实物多大就画多大，那实物实际就没有比例。
可是，非实物性图纸信息，如文字、尺寸标注、符号性图形。原本是没有什么比例之说的，AutoCAD中反倒有比例了，为什么？因为，电子文件打印成物理图纸时用1：n缩放打印，图上所有对象一视同仁都得缩放。这样，物理图纸上5高的文字，当打印比例为1：100时，在AutoCAD电子文件上就非要设成500，以便500/100=5。也即，在绘图过程中，非实物性内容必须要考虑图纸比例。
这里引出一个概念：因为要缩小n倍打印，原本无比例的对象要预先放大n倍。
四、比例的基本概念
我们习惯上喜欢把比例说成1：n，这有二个概念：其一：n倍,比如1：100的图纸上的线长1mm就相当于实际有100mm，工程图纸看多了，可以由图纸马上想象出实物有多大；其二：1/n，我们打印时设置1：100,意味着把1mm（你当初认定的单位，实际ACAD上当然只是图形单位）打印成1/100=0.01mm。这个n术语应该叫比例因子。
五、zoom比例
下图的AutoCAD帮助已经讲得很清楚，只是我们平时往往用即时缩放不必输入nX，但nXP 的概念要清楚，因为如果要使用图纸空间就必须要用到它。
六、尺寸标注样式中的比例
尺寸标注全局比例因子，即系统变量DIMSCALE
测量单位比例因子，即系统变量DIMLFAC
分数高度比例因子，即系统变量DIMTFAC
先讲测量单位比例因子，见下图，
图中DIMLFAC=1，这是缺省设置值。如果我们把图上显示的尺寸值称为尺寸标注值的话，那么：尺寸标注值=实际测量值×测量单位比例因子。
通过上述公式，我们就非常清楚，如果在一张图上要画不同比例的图并且不使用图纸空间的话，我们就得把某些图形人为缩放，比如在1：100的主比例图上要画1：25的放大图，我们就需要把这部分图形放大4倍，1000的长度成了4000，尺寸标注出来也是4000，而我们不希望标成4000，而是仍要它标成1000，也就是说，实际测量值=4000，尺寸标注值=1000，显然这时的测量单位比例因子DIMLFAC=1/4=0.25。
任便讲一下，不用这个系统变量，而是用输入数据或打碎后编辑数据的方法我认为是不可取的。
接着说分数高度比例因子。
这个分数高度比例要在单位格式选择分数时才起作用，它是指分数的字高与整数的字高之比。
用这种单位格式的不多，并且就是字体高度上的比例关系，就简单说这些。
尺寸标注全局比例因子，即系统变量DIMSCALE ，是尺寸标注中的重点，为了理解方便，先
看下图上的各个设置，文字高度在上图已有，请参见。
请各位注意上面图上的各参数的设置，如：文字高度=2.5，基线间距=8，超出尺寸线=1等。如果我们把这些统称为设置值，而在图上显示的大小称为显示值的话，那么：显示值＝设置值×尺寸标注全局比例因子。
这样，常见的尺寸标注样式设置有二种：
1。象我上面的设置，把文字、箭头、尺寸界线等这些设置值取打印出来的图纸（物理图纸）上的规格，而把尺寸标注全局比例因子设成打印比例因子。
2。把尺寸标注全局比例因子设成1.0，根据打印比例分别设置文字、箭头、尺寸界线等这些控制值。
借用代数来比较这二种设置：
第1种：ny=n(a+b+c+d)
第2种：ny=na+nb+nc+nd
很显然，第1种方法简单，对不同比例的图纸，只要设置一个值就行了，第2种方法得设置多个值。对具体单位个人来说，abcd即文字、箭头、尺寸界线等的大小基本是固定的，用第1种方法，就可以把这些预先设置好并保存在acadiso.dwt内，第2种方法就得每次要重新设置，特别是当把1：n的图改成1：m时非要一个一个去修改这些设置值不可。
这个尺寸标注全局比例因子DIMSCALE只影响文字、箭头、尺寸界线等形状的大小，与尺寸值无关。在一张图上可能有几个比例，但尺寸标注的形状大小应该是一样的，于是：在一张图上不管有多少比例，其尺寸标注全局比例因子DIMSCALE只有一个。换句话说，当有不同比例时，就有不同的测量单位比例，如果把不同的测量单位比例都分别建立不同的标注样式如DIM-100，DIM-50，DIM-25时，这些样式中的DIMSCALE都是一样的。
DIM-100：DIMLFAC＝1，DIMSCALE＝100
DIM-50 ：DIMLFAC＝0.5，DIMSCALE＝100
DIM-25 ：DIMLFAC＝0.25，DIMSCALE＝100
所以有DIM-100、DIM-50，说明这些都是在模型空间进行处理的，也即1：50的放大图实际的图形被人为放大了2倍，如果应用图纸空间就不需要这样了，上图中当选择“按布局（图纸空间）缩放标注”后，尺寸标注全局比例因子DIMSCALE为禁选，不能再设置，图中显示为0。关于在图纸空间如何标注尺寸，接下来再谈。
七、视口比例
这个视口是指在图纸空间上开的视口，初学者对图纸空间的概念不是很强，先就图纸空间概念用比喻来说明一下。
你在一张纸上写些文字画些图形，然后再把一张白纸盖在上面，结果什么也看不见。
在这张白纸上开个小方孔，你就看到下面那张纸上的一部分。
拉开这二张纸的距离，你看到的东西越来越多，也越来越小。
底下那张纸称为“模型空间”，上面那张纸称为“图纸空间”，那个小方孔称为“视口”。二张纸的距离用zoom设置，便是视口比例。
注意，小方孔只是为了让你看看，因为方孔上粘了张透明纸，所以，在上面那张纸上不能修改下面纸上的内容。
把小方孔上的透明纸掀开，便成了一个真正的孔，你可以拿笔伸过这个小方孔去改下面纸上的东西了，这叫“激活视口”。
一个小孔能够看到下面那张纸上所有内容，这便是一张小小的图纸能够画整幢大厦，只要调整二张纸的距离，那么，把图框画在上面的纸上，管他下面是多大的东西，总能装进。
距离太大，你想要清楚地看看局部的，那再开一个小小孔，当然要把那张纸剪开，使得小小孔能贴近些（ACAD不需要“剪开”），这便能在一张图上表现不同的比例。
因为有可以表现不同比例这个作用，所以中文版把图纸空间又称为“布局”。
很显然，有了这个功能，在一张图上画不同比例的图形，就不再需要人为缩放图形了，所有对象都是1：1画了。
用图纸空间出图，自然打印比例是1：1了（理论上你也可以1：2打印，问题是没有人会这么去自找麻烦的），这样，视口比例与打印比例毫无关系，而是与图纸比例有关，既然与图纸比例有关，那不同的比例就要开不同的视口，设置不同的视口比例。
为了方便理解，我们可以用一句通俗的说法：用模型空间出图靠打印机来调整图纸比例，用图纸空间则由AutoCAD先调整好比例后打印，不必依赖打印机了。
上帖中有这么一句话：“在一张图上不管有多少比例，其尺寸标注全局比例因子DIMSCALE 只有一个。”这是在模型空间出图，到了这里，我们是用图纸空间出图了，这句话就不对了，在一张图上有不同的比例时，实际上就是相当于以不同的比例从模型空间“打印”到图纸空间，这样，这个DIMSCALE就不是相同的，所幸这时已经有了视口比例，这个“打印”比例已经有了，所以干脆不要用户去用那个DIMSCALE，免得引起混乱，于是在尺寸标注样式中DIMSCALE=0（不设）。
DIMSCALE不要设，又没有人为缩放，DIMLFAC始终等于1.0，这样，不管图上有多少不同的比例，尺寸标注样式就只要一个。
八、尺寸标注方面的技巧
说到这，尺寸标注样式的设置和标注应该没什么问题了，接着讲一点技巧。
1。标注本身的技巧
（1），把尺寸标注样式中的各参数设置成实际图纸（物理图纸）上的规格，这样，当用于不同比例时，只要重新设置全局比例因子DIMSCALE一项，作为模板文件dwt，不妨就把DIMSCALE 设成1.0，并且就设置一个样式就够了，当需要增加样式时（因为测量单位比例不同），新建样式是以当前样式为母本的。
（2），标注文字，线条的样式最好设成随层，这样，如果把尺寸标注都归到一个图层内的话，颜色就可以由图层来决定了，这主要用于图纸的交流，在没有统一的标准的情况下，便于别人修改的设置是最佳的。
2。利用尺寸标注在绘图中的技巧
（1），边画图边标注
手工画图是把尺寸标注纯粹作为图纸说明来处理的，往往把图画得八九不离十了再标注尺寸。但用AutoCAD画图可不必这样，AutoCAD的尺寸是自动获得的，它是严格按测量出来的值标注的，针对这一特点，宜采用边画图边标尺寸之方法，这样做会带来二个好处，一是起到校对作用，二是可以让尺寸标注先占据应该占据的位置。
（2），标注错了不要删除重标
所谓标注错了是指标注出来的尺寸值不对，也就是图形画错了，我们要注意的是，这是图形错误不是标注错误，所以没必要把已经标上去的尺寸删除等图形修改后再标，而是直接修改图形，如果用变形命令则尺寸当场就跟着修改好，用其他方法修改图形，用界标则也很容易把尺寸跟着修改。
（3），利用尺寸标注决定图纸比例特别是放大比例
我们已经知道，尺寸标注是非实物性对象。打印出来的图上其文字大小、箭头大小与图纸比例是无关的。这样，实物性图形与非实物性的尺寸标注就有个匹配问题，从这个相对大小就能大致看出图纸该要的比例。当然，决定图纸比例还有其他方面的要素，但图纸匹配毕竟是个重要因素，特别是在一张图上的局部放大图的比例决定时很起作用。
九、图纸比例的确定
如果已经确定了图纸比例，那么文字输入、尺寸标注以及插入图框应该没多大问题了。
图纸比例如何确定呢？
我们先看看网上各论坛常见到的问题：
1。“图纸画好了，如何插入图框呢？”
这个问题不是指插入图框（图块）的操作，而是如何确定在模型空间插入的比例。照我说，这种问题在实际工程上几乎是不存在的。实际工程上没有文字、没有符号、没有尺寸标注的图纸几乎没有，那么，图纸比例不知道，如何确定文字的字高的呢？如何标注尺寸的呢？因为这些非实物性对象是与打印比例相关的。
2。“如何把图纸装入A3的图框”
这个问题与第1个问题有相似之处，不同的一点是由图框来决定比例。我们不能说这种做法是错的，因为确实有由指定图框出图的做法，比如，原理图、示意图、只求漂亮不求比例精确的文本式图纸。但我要提醒的是，一般情况下，不能单凭图框来确定图纸比例。要不也就没有图纸加长之说了。
3。“为什么尺寸标注文字看不出”
尺寸的值与图形有关，尺寸文字的大小与图形无关，它跟图纸比例有关，不管是什么比例的图，起码要保证打印出来的图上能看清文字。
4。“为什么图形放大后，尺寸跟着变大”
图形人为放大，尺寸值跟着变大是完全正常的，我们就是要AutoCAD的尺寸标注忠实反映图形尺寸，这种情况下应该设置DIMLFAC值让它显示我们所要的尺寸值，但文字的大小跟着放大，这就不好了。一张图上的尺寸标注大大小小是相当不妥的。造成这个跟着变的原因是把尺寸标注打碎了，打碎了的尺寸标注已经不是AutoCAD的尺寸标注而是AutoCAD的图形，它当然要跟着缩放。
所以，没有特殊需要，不要用输入文字的办法标注假尺寸，更不要打碎尺寸标注。
5。“为什么A3打印机打印出来的图框缺了边线”
这是一个无奈的问题，A3打印机用的打印纸是标准的A3尺寸，打印机要压边打印，当然不能把A3的图框全部打印出来。于是，很多人就采取一个不可取的办法：“选打印对话框上的自动调整比例”，显然，这就不可能做到标准的比例输出。
这个问题如何解决？
首先，这是无奈的问题，所谓“无奈”是指我们无法改变A3打印纸，因为它是严格按标准制造的，我们也不能叫打印机不压边打印。
其次，这问题必须解决，严格来说（或从理论上来说），用“自动调整比例”是不符合制图标准的，至于工作图（为了绘图而打印出来的非正式图）倒没必要去计较，对某些简单的图纸，还没到比例不准就完全不行的程度，这些，大可不必去吹毛求疵。
所谓“鱼和熊掌不能兼得”，我们要确保图形是严格按制图标准的比例，就不可能保证图框也是严格按制图标准。相对来说，图框差一点，要比所有图形差一点要好得多。所以，我的做法是：把图框长宽各缩小2mm，不打印图框的外框线。
这个图框的外框线就是制图标准的图框尺寸线，理论上讲这条外框线是不存在的，因为它就是图纸的边线，但很多单位可能出于“有这条外框线更漂亮”或习惯成自然，一般都画这条本没有的线并在线外再留空白边。而我们遇到了这个问题后，放弃外框线并没有违反标准，缩小2mm也是不得已而为之，不过，也不要大鸣大放，而要“偷偷”缩小，意思是如果图框需要标注图纸规格时，仍要写上“420x297=0.12”。
确定图纸比例的要素
如何确定图纸比例，对具有丰富制图经验的工程师来说应该是没有什么困难的，但这个问题对初学者来说非常头疼，频频见于网络。
确定图纸比例的要素很多，没有一个简单的答案，这里只能列出一些要素。
1。制图标准
这是最基本的要素，或者说它是前提。我们可以用1：1、1：2、1：5、1：10、1：15、1：25、1：50、1：100等，但绝对不能用1：4、1：6、1：35、1：55等。
2。图纸的匹配性
上面贴出的图已经说明了这一点。
3。工程上的统一性
对一个工程来说，图纸与图纸之间是有关联的，如果设成同一比例，在相互比较、核对、匹配对图和相互利用等方面就比较方便。
4。由图框决定
这便是看菜吃饭的做法，GB标准图框虽然有A0~A4，但有些单位又有自己的规定，比如，最大只能是A2，宁愿加长不能加宽。这不是专制，而是从统一性和便于装订等方面考虑。由图框决定图纸比例，实际操作上相对要容易一些。
5。单位的习惯
对某一单位某一特定产品来说，除了单位的规定外，往往还有单位的习惯，别小看这个习惯，实际工作中力量蛮大的。
6。客户要求
对某一单位来说，所做的工作可能是某大型工程中的一部分，业主为了整个工程的统一性，往往会提出图纸比例的限制。
7。特殊要求
为了放样或者为了其他加工需要，要求的比例可能完全不是正常的图纸应该用的大小。
8。相互协作
工程往往是多人参与的，图纸之间也有共享图形，相互约定好后，会给共享带来方便。
十、实物性对象不能1：1画图的情况
上面反复强调，实物性对象1：1绘图，不必考虑图纸比例，非实物性对象才要考虑图纸比例。
但是，实际绘图中也有实物性对象不能1：1画图的情况：
1。制图标准中的“夸张画法”或称“假想画法”
在图上表示工字钢的翼板时，我们要用二条细线表示，但这个工字钢是实物，按理应该实事求是按它的尺寸画，但是，由于翼板厚度太小，比如10mm，如果按它的尺寸画，在1：100的图上，打印出来二线间距只有0.1，早就并成了一条线啦。这种情况下就要画假尺寸。这种假尺寸如何控制？我们只要把它归到非实物性对象去就容易理解了，非实物性对象要考虑比例，那么，要看清楚二条线，二线间距起码要0.5mm，这也就是打印比例的一半，1：100要输50、1：200要输100。
2。过长且不需要全部详细表达的实物，宜用折断线把它断开，这时候的尺寸标注只能编辑
标注文字。
初中函数知识点总复习 姓名
正比例函数的概念 一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数） 当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大． 当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．正比例函数的性质 1.定义域：R（实数集） 2.值域：R（实数集） 3.奇偶性：奇函数 4.单调性：当k>0时，图象位于象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于象限，y随x的增大而减小（单调递减）。 5.周期性：不是周期函数。 6.对称轴：直线，无对称轴。 正比例函数解析式的求法 设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。 另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y 值即可。 正比例函数的图像 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。 正比例函数图像的作法 1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值 2.根据第一步求的x、y的值描出点 3.做过第二步描出的点和原点的直线 正比例函数的应用 正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。 比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然 还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。 ①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？ 以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能
反比例函数定义 一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k大于0时，图像在一、三象限。k小于0时，图像在二、四象限.k 的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。 反比例函数图像及性质 反比例函数图像： 1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或 第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每 一象限的每一支曲线会无限接近x轴、y轴，但不会与坐标轴相交（y≠0）。 反比例函数性质： 1.[增减性]当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大 而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为 增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与 x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与 坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则 n^2+4k·m≥（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。 10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为 |k| 11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.[对称性]反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也 是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。 反比例函数知识点汇总
正比例函数的图象与性质教学设计 教学目标 知识与技能 1、认识正比例函数的意义，理解正比例函数。 2、会用描点法画正比例函数图象，掌握正比例函数的性质。 3、能利用正比例函数知识解决相关实际问题。 过程与方法 1、通过作出函数图象和从图象上获取信息，体会数形结合思想。 2、亲自经历“问题情境——函数解析式——函数图象——从图象 中获取信息——解决问题”的过程，体验数学知识在实际生活 中的广泛应用。 情感态度与价值观 1、通过对实际问题的解决，亲身感觉数学来源于生活。 2、体会在学习活动中与同学合作和独立思考的重要性，并在学习 活动中获得成功的体验，增强学习的自信心。 教学重难点 重点：正比例函数图象的画法和性质的理解。 难点：利用正比例函数图象与性质灵活解题。 教学过程： 一、问题研讨： 问题：1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它。
（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？ （2）25600÷128＝200（km） （3）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行的时间x（单位：天）之间有什么关系？ y=200x （0≤x≤128） （4）这只燕鸥飞行1个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？ 当x=45时，y=200×45=9000 二、新知构建： 下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？ （1）圆的周长L随半径r 大小变化而变化； （2）铁的密度为7.8g/立方cm，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：立方cm）大小变化变化； （3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本撂在一起的总厚度h （单位cm）随这些练习本的本数n的变化而变化； （4）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。 观察以下函数： （1）l=2πr（2）m=7.8V （3）h=0.5n （4）T= -2t
反比例函数 知识点及考点： （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1（k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ； 其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）下列函数表达式中，y 是关于x 的反比例函数的有（ ） ① ② y=21x -；③ y=x -；④ y=13x -；⑤ y=1x ；⑥ y=23x +；⑦ y=3 2x -； ⑧ -2xy=1 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 （3）关于函数y= 1 2 x -，以下说法正确的是（ ）
A ．y 是x 的反比例函数 B ．y 是x 的正比例函数 C ．y 是x-2的反比例函数 D ．以上都不对 （4）函数22 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （5）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （6）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （7）（2013安顺）若y=(a+1)2 2a x -是反比例函数，则a 的值是 ，该反比例函数为 (二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 例题讲解：
9.1 反比例函数 【教学目标】 知识与能力：（1）理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别反比例函数； （2）能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 过程与方法：经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际问题。 情感、态度与价值观：（1）经历反比例函数的形成过程，使学生体会到函数是描 述变量间对应关系的重要数学模型。 （2）通过学习反比例函数，培养学生合作交流和探索的能 力。 【教学重难点】 重点：根据已知条件确定反比例函数的表达式. 难点：理解反比例函数的意义. 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 同学们，你们还记得在小学里学过的，两个变量满足什么条件时成反比例关系吗？你能写出下列例子中的等式吗？ 1.当路程s 一定时，时间t 与速度v的关系 2.当矩形面积S一定时，长a与宽b的关系 3.当三角形面积S 一定时，三角形的底边y 与高x的关系 学生通过回忆已学知识回答：如果两个量x和y满足xy=k（k为常数, k ≠0）那么x、y就成反比例关系. 现在我们来看生活中的例子。 活动一汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用的时间t（h）随着速度v（km/h）的变化而变化。 （1）你能用含v的代数式表示t吗?
（2）利用（1）的关系式完成下表： 随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？ （3）时间t是速度v的函数吗？ （4）时间t是速度v的一次函数吗？是正比例函数吗？ 引导学生回忆函数、一次函数、正比例函数有关的概念，引出新知：反比例函数. 二、引导学生探索反比例函数的概念和表达式 活动二用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系: 1.一个面积是64002 m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化，则a与b的关系式为＿＿＿＿＿. 2.京沪线铁路全程为1463 km，某列车平均速度为v（km／h），全程运行时间为t（h），则v与t的关系式为＿＿＿＿＿ 3.已知三角形的面积是8,它的底边长y与底边上的高x之间的关系式为＿＿＿＿＿ 4.实数m与n的积是—200,m与n的关系式为＿＿＿＿＿ 【讨论、交流】 1. 函数关系式 6400 a b =、 1463 v t =、 16 y x =、 200 m n =-具有什么共同特征？ 2它们与正比例函数关系式有什么不同？ 3.你能仿照y=kx的形式表示一下上面函数的一般形式吗? 结论：反比例函数的定义: 一般的,形如 (k为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。 注：(1)有时反比例函数也写成y=1 kx-或k=xy的形式. (2)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数知识点总结 李苗 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时， x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比 例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分 别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用 光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐 标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数 值的增减情况，如下表：
正比例函数概念的教学设计 教学内容： 人教版《义务教育课程标准实验教科书》八年级数学上册第110页《正比例函数》。 教学目标： 1. 通过对不同背景下函数模型（关系式）的比较，接受正比例函数的概念。 2. 培养学生分析和运用正比例函数的兴趣和能力。 3. 初步体验研究函数的一般思路和方法。 教学重点： 理解正比例函数的概念。 教学难点： 正比例函数图像性质特点的掌握以及研究函数的一般思路和方法。 教学过程设计： 一、 创设情境，引出概念 1、写出下列问题中的函数关系式 （1）圆的周长L 随半径r 变化的关系； （2）铁块的质量m （单位：g ）随它的体积v （单位：cm3)变化的关系（铁的密 度为7.8g/cm3) m=7.8v （3）每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本叠在一起的总厚度 h 随练习本的本 数n 变化的关系； h=0.5n （4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T(单位：℃）随冷 冻时间t （单位：分） T=-2t 这些函数解析式都是常熟与自变量的乘积的形式。 r l π2=
函数=常数×自变量 ↓ ↓ ↓ y = k · x 4、通过讨论，归纳总结（让学生思考、分析、讨论，教师给予必要的引导） 一般地，形如y=k x （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． y = k x (k ≠0的常数) 注: 正比例函数y=kx （k ≠0）的结构特征 ①k ≠0 ②x 的次数是1 二、初步应用，感悟新知 1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？ (k 为常数) 2、请同学们举出几个具体的正比例函数的解析式：…… ( 对于学生列举的不属于正比例函数的实例，不回避，恰当引导，紧扣定义，认真分析。) 三、认识的深化 1、已知函数y=(m-1)x 是正比例函数，求m 的取值范围。 2、如果 y=5x m-1 是正比例函数，求m 的值. 3、 若3 2 )2(--=m x m y 是正比例函数，m= 。 四、归纳小结，布置作业 1、本节课学了那些内容？你是如何理解的？ 2、布置作业： （为了更好的体现数学课程的基础性、普及性和发展性，实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念，充分展示分层教学的优势，结合学生的实际水平，设计分层作业。） 案例设计说明： 在前一单元的学习中，学生始终是在数形结合的背景下整体地感受并理解这函数的概念。在描点法的学习中，初步感受了通过描点画出图像，并感知其增减性的过程。函数概念的学习要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换，这样才可以加深对函数概念的理解。但函数概念的学习向来是一个难点，除知识点本身原因外，更因为学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的，所以，在可能的情况下，我们应当设计一种有助于学生整体认识与把 x 2(1)y = 2x (2)y =2 x y 3=）（x 6y 4-=）（kx y 5=）（5 2y (6)+=x
反比例函数知识点归纳
九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题 一、基础知识 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：
则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当
时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析 1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B． C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B．C．D．
正比例函数的概念 一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数） 当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大． 当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小． [编辑本段]正比例函数的性质 1.定义域：R（实数集） 2.值域：R（实数集） 3.奇偶性：奇函数 4.单调性：当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小（单调递减）。 5.周期性：不是周期函数。 6.对称轴：直线，无对称轴。 [编辑本段]正比例函数解析式的求法 设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。 另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。 [编辑本段]正比例函数的图像 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。 [编辑本段]正比例函数图像的作法 1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值 2.根据第一步求的x、y的值描出点 3.做过第二步描出的点和原点的直线 [编辑本段]正比例函数的应用 正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。 比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然 还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。 ①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示： ②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？
一、反比例函数的概念 1． （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量x 的指数为 ，在解决有关自 变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2． （ ）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得 到反比例函数的解析式； 3．反比例函数 的自变量 ，故函数图象与x 轴、y 轴无交点． 二、反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原 点对称）． 三、反比例函数及其图象的性质 反比例函数 )0#(k x k y = k 的符号 0>k 0 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性： 图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在D 双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1图2 5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系． 函数的概念与正比例函数 八年级数学学科总计20 课时第课时 课题函数的概念与正比例函数 概念回顾： 1、在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做；保持数值不变的量叫做。 2、函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的。 3、如果变量y是自变量x的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的。 4、解析式形如的函数叫做正比例函数。 5、正比例函数的图像是。 一、求函数定义域应注意的问题 ○5若函数中含有0x，则应0 x 例：求下列函数的定义域 练习：（1）4 241 y x x =+-；（2）3 22 x y x --=+；（3）0 3(2)y x =- （4）2439 y x x =---+；（5）24 x y -= 二、()y f x =的相关问题 把语句“y 是x 的函数”用记号()y f x =来表示，这里括号内的字母x 表示自变量，括号外的字母f 表示y 随着x 变化的规律。 练习：已知2(2)32 x y x -=-，把它改写成y=f （x ）的 形式，并求f （3）的值。 三、成正比例的相关问题 例3、已知y+1与2 x 成正比例，且当2,9x y =-=-时。 求（1）y 关于x 函数的解析式；（2）若点A （2，a ）和点B （b,-13）也是函数图像上的点，求a 、b 的值. 练习：y-1与2x+3成正比例，且当1,x =-时3y =。 求（1）y 关于x 函数的解析式；（2）若点A （0，a ）和点B （b ，0）也是函数图像上的点，点O 为坐标原点，求△AOB 的面积。 四、正比例函数(0)y kx k =≠的概念 注：1、系数k 不能为0；2、x 的次数为1 例4、若函数2 2 1 ()k k y k k x --=+?是正比例函数，求函数 的解析式。 练习：若函数222 (1)26 k k y k x k --=-+-是正比例函数，求 函数的解析式。 五、已知点的坐标用待定系数法求正比例函数的解析式 例5、已知正比例函数图像经过点（3,5），（a ，-15），求函数的解析式与a 的值。 精品文档 反比例函数图像与性质试题 一．选择题（共21小题） 安顺）若是反比例函数，则a的取值为（2013?）1．（±l 1C．D．l 任意实数A．B．﹣ 2．（1998?山西）若函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为（） =1 mC．m=2或m=1 ﹣A．m=2 DB．．m=﹣2或﹣1 （m为常数）当x＜3．反比例函数0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（） B．C．D A．m＜0 ．m ≥ 4．下列函数中，是反比例函数的为（） y=2x+1 2y=x D．C．．B． A y= y= 5．下列函数中，y是x的反比例函数是（） C．D．．AB． 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）6．已知函数 ±2 2B．A．C．﹣2 D． 是反比例函数，则m的值为（．若函数7y=） 2 ±2 B．C．．AD．± 8．（2014?自贡）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（） A．B．C．D． 精品文档． 精品文档 y=（m≠0）的图象可能是（y=mx+m与）9．（2014?泉州）在同一平面直角坐标系中，函数 A．B．C．D． 10．（2014?牡丹江）在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D． 11．（2014?海南）已知k＞0＞k，则函数y=kx和y=的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）121C．D．A ．B． 12．（2014?乐山）反比例函数y=与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（） A．B．C．D． 课题名称：初中数学《反比例函数》第一课时 执教者：陈彬彬 执教年级：八年级（1）班 教学目标： 知识与技能： 1.理解并掌握反比例函数的概念。 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数。 3.会根据已知条件，求出反比例函数的解析式。 过程与方法： 通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数式刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化的观点。 情感、态度与价值观： 经历反比例函数的形成过程、使学生体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型，培养学生观察、推理、分析的能力和合作交流的意识、体验数形结合的思想。 教学重点、难点设计： 对于反比例函数的概念的形成过程是这节课的重点，也是难点，教学中要重点联系实际，让概念在实际的背景下形成，使学生体会到反比例函数能够反映实际事物的变化规律，同时通过与一次函数、正比例函数的类比更好地认识和理解反比例函数，教学中进行类比、变化与对应等数学思想的渗透。 教学准备与方法设计： 通过多媒体教学的应用，让概念和规律方法的获得主要以学生自主探究为主，通过实际问题的分析讨论得到反比例函数的概念，通过与一次函数、正比例函数的类比获得反比例函数解析式的求法，通过练习、巩固学生的知识，检验规律的正确性。 教学内容与程序设计： 一、问题引入 1.小明家到学校约5千米，在他骑车上学的过程中，你能找出其中变化的量与不变的量吗？ 2.你能表示出上述过程中几个量之间的关系吗？ 二、自主探索 1.利用所列关系式，填写下表： 速度v（千 5 10 15 20 米/小时） 时间t （小 时） 2.你有什么发现？ 3.观察所列式子的特征，你能仿照关系式自编一道类似的题目吗？ 4.思考讨论 用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系： （1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随b（m）的变化而变化； （2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化； （3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化； （4）实数m与n的积为-200，m 随n的变化而变化. 三、交流展示 1.概念归纳： 授课类型 T - 函数的概念 C - 正比例函数的概念 C 正比例函数的图像与性质 授课日期及时段 教学内容 函数的概念 知识要点一：常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，而数值始终保持不变的量为常量. 判断一个量是常量还是变量，需看两个方面： ①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。 知识要点二：定义 在某个变化过程中有两个量x 和y ，如果在x 的允许范围内，变量y 随x 的变化而变化，它们之间存在确定的依 么变 量y 叫做变量x 的函数，x 叫自变量，y 叫做因变量。 自变量与函数概念的形成过程：①一个变化过程；②两个变量；③一个量随另一个量的变化而变化。 若两个量满足上述三个条件，就说这两个量具有函数关系。 对于函数的关系，即两个变量的对应关系，有三种表示方法：（1）解析法（2）列表法（3）图象法 表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式. 知识要点三：定义域与函数值 函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。 求自变量的取值范围的两个依据是：（1）自变量取值范围是使函数解析式(即是函数表达式)有意义． （2）自变量取值范围要使实际问题有意义． 对自变量x 在定义域内的每一个值，变量y 都有唯一确定的值与它对应。在定义域内，取x=a 对应的y 值叫x=a 时的函数值。 有时把y 用()f x 来代替，所以x=a 时的函数值也可以用()f a 来表示。如 ()()()()211,0,1,,12x f x f f f f a x +??=- ?-?? 求 理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系。判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据。 各类型函数的定义域（1）整式-----一切实数 （2）分式-----分母不为零 （3）根式-------()()? ??≥被开方数为一切实数奇数根式被开方数偶数根式0 （4）零指数-----底数≠0 1．汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y (千米)与行驶时间x 之间的函数关系是 。 2．圆的面积y (厘米2)与它的半径x 之间的函数关系是 。 函数的定义域： 1、下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A ．y=2x 2中，x 取全体实数 B ．y= 11x +中，x 取x ≠-1的实数 C ．y=2x -中，x 取x ≥2的实数 D ．y=13 x +中，x 取x ≥-3的实数 2、已知函数y=212 x x -+中，当x=a 时的函数值为1，则a 的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．3 3、已知函数y = 2x －1x ＋2 ，当x=m 时的函数值为1，则m 的值为（ ） （A ） 1 （B ）3 （C ）－3 （D ）－1 4、函数y =x －2＋3－x 中自变量x 的取值范围是（ ） （A ）x ≥2 （B ）x ≤3 （C ）2≤x ≤3 （D ）x ≥3或x ≤2 1.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量. 状元廊学校数学思维方法讲义之三 年级：九年级 §第3讲 反比例函数（1） 【精彩知识】 1．反比例函数的定义 一般地，如果两个变量x ， y 之间的关系可以表示为x k y = （或1 -=kx y ）（k 为常数，且0__k ）的形式，那么称y 是x 的 函数。自变量x 与的取值范围是 。 y 是x 的反比例函数?x k y =?1-=kx y ?k xy =?y 与x 成反比例函数。 2.反比例函数的图象和性质 反比例函数x k y = （0≠k ）的图象是由两支曲线组成的，称为 ，它们关于原点成 对称，关于直线x y ±=成 对称，与两坐标轴 交点。 ①当k ＞0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 ； ②当k ＜0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 。 3.反比例函数x k y = （0≠k ）中的比例系数k 的几何意义 过双曲线上任一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN 所得的矩形PMON 的面积|| ||__S P M P N x y =?=?=；若连接PO ，则 _____==??P O N P O M S S 。 【典例解析】 考点1: 反比例函数的概念 【例1】已知1 2 2)2(-++=m m x m m y （1）如果y 是x 正比例函数，求m 的值； （2）如果y 是x 反比例函数，求m 的值。 【例2】已知12y y y =-，其中1y 与x 成反比例，2y 与2x +成正比例，且12,y y 所表示的函数图象相交于点P （1，5）。求当5x =时y 的值。 变式训练1： 1.已知函数m m x m y 3123--+= 是反比例函数，则m 的值为 ； 2. 若y 与 x 1成反比例函数，x 与z 1 成正比例函数，则y 是z 的（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 考点2: 反比例函数的图象和性质 【例3】若M ??? ??-1,21y 、N ?? ? ??-2,41y 、P ??? ??3,21y 三点都在函数x k y 12--=的图象上，则321y y y 、、的大小关系为（ ） A 、2y ＞3y ＞1y B 、2y ＞1y ＞3y C 、3y ＞1y ＞2y 【例4】如图，一次函数y =x +3的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数x y 4 = 的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =．其中正确的结论 是 。 变式训练2： 1. 如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =－x +6于A 、B 两点，若反比例函数k y x =（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．2≤k ≤9 B . 2≤k ≤8 C . 2≤k ≤5 D . 5≤k ≤8 初中函数知识点总复习 正比例函数的概念 一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数） 当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大． 当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小． 正比例函数的性质 1.定义域：R（实数集） 2.值域：R（实数集） 3.奇偶性：奇函数 4.单调性：当k>0时，图象位于象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于象限，y随x的增大而减小（单调递减）。 5.周期性：不是周期函数。 6.对称轴：直线，无对称轴。 正比例函数解析式的求法 设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。 另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y 值即可。 正比例函数的图像 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。 正比例函数图像的作法 1.在x允许的围取一个值，根据解析式求出y值 2.根据第一步求的x、y的值描出点 3.做过第二步描出的点和原点的直线 正比例函数的应用 正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。 比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然 还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。 ①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？ 以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。 反比例函数的定义 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-1。 [编辑本段]反比例函数表达式 y＝k／x 其中X是自变量，Y是X的函数 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^-1 y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0） 反比例函数的自变量的取值围 ①k ≠ 0; ②一般情况下, 自变量x 的取值围是x ≠ 0 的一切实数; ③函数y 的取值围也是一切非零实数. [编辑本段]反比例函数图象 反比例函数的图象属于双曲线, 曲线越来越接近X和Y轴但不会（K≠0）。 反比例函数性质 1.当k>0时，图象分别位于象限；当k<0时，图象分别位于象限。 2.当k>0时.在同一个象限，y随x的增大而；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而。 k>0时，函数在x<0上为函数、在x>0上同为函数；k<0时，函数在x<0上为函数、在x>0上同为函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 正比例函数教学设计 教学目标 知识与技能：理解正比例函数的意义；识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。 过程与方法：通过现实生活中的具体事例引入正比例函数，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价值观：培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯，同时渗透热爱大自然和生活的教育。 教学重点：识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。 教学难点：理解正比例函数的意义。 教学设计 （一）、创设情境，引入新知 1 ?提出问题，创设情境 丽-年*电类軒究暑建芬兰診一只撫 跨｛帔码）誓上拆進歼匚兀約席8天后，Mrjrt 25 600于厳并的覆光和亚发现r它* 从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力? （二）、观察思考、归纳概念 问题1：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数． （1）圆的周长l 随半径r 的大小变化而变化； （2）铁的密度为7.8g/ cm3，铁块的质量m （单位：g）随它的体积V （单位：cm3的大小变化而变化. （3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化； （4）冷冻一个0 C物体，使它每分下降2 C,物体的温度T （单位：C）随冷冻时间t （单位：分）的变化而变化． 教师活动：教师多媒体呈现上述四个实际问题. 学生活动：学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈. 教师要重点关注：（1）题中学生易将写成.（4）题中每分钟下降2C应 记为“ -2 C” ,避免学生将写为.关注学生能否准确找出中的常量. 设计意图：通过指出常数、自变量、自变量的函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点. 通过对实际问题讨论，使学生体验从具体到抽象的认识过程. 问题2： 教师活动：将上表中的前四个函数进行比较，思考：四个函数有什么共同特点？学生活动：观察、思考. 小组交流，分析、归纳共同特点，出代表反馈. 教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点. 教师根据学生的表述板书： 共同点：常数X自变量. 学生阅读教材正比例函数的概念， 教师板书： 概念：一般地，形如y=kx （k是常数，k工0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 教师追问：这里为什么强调k是常数，k工0呢？正比例函数y=kx （k M 0）函数的概念与正比例函数
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