何柏生：公理法，构筑法学理论体系的重要方法
一、公理法在构筑法学理论体系时表现出来的优点
公理法包括两个部分，一是公理化方法，一是公理体系。我们知道，公理化方法是从初始概念和初始命题（公理）出发，按一定的逻辑规则，推演出其它有关命题（定理）的一种演绎方法。而公理体系则是由初始概念、公理、定义、推理规则和定理等构成的演绎体系。公理化方法是公理法的第一组成部分，公理体系则是公理法的第二组成部分。公理体系是由公理化方法得到的理论体系，所以，公理体系是建筑在公理化方法的基础之上。公理化方法是一种演绎方法，公理体系是一种演绎体系。所以，公理法是建立在演绎方法和演绎体系的基础之上，它所采用的是演绎推理。公理体系中的所有命题都是由初始命题演绎出来的。
公理法是在古希腊初步形成的，在柏拉图的《理想国》一书中，已有较为完整的记载。在《理想国》中，苏格拉底说：“我想你知道，研究几何学、算学以及这一类学问的人，首先要假定偶数与奇数、各种图形、三种角以及其它诸如此类的东西。他们把这些东西看成已知的，看成绝对假设，他们假定关于这些东西是不需要对他们自己或别人作任何说明的，这些东西是任何人都明白的。他们就从这些假设出发，通过首尾一贯的推理最后达到他们所追求的结论。”[1]从柏拉图借苏格拉底之口说出的这段话中，我们知道公理法在当时的数学中已得到了运用。所以，公理法绝不是亚里斯多德创立的。正确的说法应当是：亚里斯多德使公理法在逻辑中得到了成功的应用，从而创立了三段论推理。当然，亚里斯多德在运用公理法的过程中，也发展并完善了公理法。美国学者莫里斯·克莱因说：“柏拉图是第一个把严密推理法则加以系统化的人，而大家认为他的门人按逻辑次序整理了定理。……不管柏拉图派有否根据明确的公理真正用演绎法整理过数学，有一点是毋庸置疑的，即至少从柏拉图时代起，数学上要求根据一些公认的原理作出演绎证明。由于坚持要有这种形式的证明，希腊人得以把此前几千年来数学里的所有法则、步骤和事实全部抛弃。”[2]
亚里斯多德三段论逻辑的创立是对公理法的一次成功的运用，对公理法的应用和传播都起到了极大地促进作用。但是，对公理法发展和传播起到更大作用的是欧几里得的《几何原本》。该书讲述的465个定理全部是从5个公理和5个公设、23个定义推导出来的。《几何原本》中的公理、公设的选择很有水平，基本概念的提炼也恰到好处，所以，公理法在《几何原本》中得到了最成功、最经典的运用。
公理法最早产生于数学领域，但是，当公理法形成后，由于它的优点极为显著，所以，这种方法很快就越出数学领域，成为自然科学和社会科学众多学科争相借鉴的方法。
那么，与其它方法相比公理法在构筑法学理论体系时有什么优点呢？
首先，公理法能把法学的众多零碎成果整理成有条理的理论体系，实现理论的综合。公理法可以探索到自然现象和社会现象中蕴涵的内在规律，发现原先不了解或没料到的自然现象或社会现象之间的关系。魏尔说：“公理方法常常揭示表面上相差很远的领域之间的内在关系，并使它们的方法能够统一化。”[3]在欧几里得之前，希腊数学家已发现了许多数学定理，但这些数学定理相互之间并没有多少联系，欧几里得采用公理法，把这些定理组织成有条理的理论体系。所以，一门学科若采用了公理法则标志着这门学科理论体系的成熟。在法学理论的建构中，我们应尽量采用公理法整理那些零碎的法学知识，使之成为系统的、有条理的理论体系。
其次，公理法能使法学理论体系无懈可击，增强说服力。公理法的出发点是公理、假设，
如果对公理、假设无异议，那对以公理、假设为出发点而演绎出的结论则应无异议。采用公理法所建构的法学理论体系逻辑严密，环环相扣。尽管经过了多次演绎推理，但结论仍具有必然性。在这里，承认前提则必须承认结论，结论是前提必然推导出的结果。
再次，公理法能提高法学理论的抽象化程度。由于公理法是一种数学方法，而数学远离对象的具体内容，形式化程度最高。法学属于经验科学，在进行法学研究时必须对社会现象进行观察，对观察到的事实进行归纳，在归纳的基础上得到假设。假设是经验科学建构的起点之一。殷海光说：“我们对于可观察的世界发问。发问以后，接着就试着提出解答。这一尝试的解答，就是假设。”[4]推理是在假设的基础上进行的。假设能够推论。“一个假设不应只限于说明已经观察的一组基料(data)，而且应能说明尚未观察的基料。这就含有推广的作用(Generalization)。在这种情形之下，假设能够推演出一串相关的结论。”[4]273由于推理过程遵循的是形式化规则，忽视内容，这样，理论的抽象化程度自然就会高，而抽象化程度高的理论解释的社会现象范围则会更广。
第四，公理法可以弥补对法律现象观察的不足。无论是自然现象还是社会现象，都需要大量的观察。但由于各种主客观原因，有许多现象无法得到观察或无从观察，在这种情况下，公理法就可弥补观察的不足。例如，在近代，牛顿运用公理法把伽利略、开普勒等科学家发现的许多力学定律加以体系化，创立了牛顿力学体系。该体系能用数学的思维，逻辑地、定量地演绎出范围很广的现象，且能与经验相符合，这对天文学的发展具有极其重要的作用。正是有了牛顿力学体系，天体的位置、形状、大小、运行轨道等问题才迎刃而解，能准确地计算出来，这就弥补了观察的不足。试想，海王星、冥王星这些星体，很遥远、很暗，在无方位的情况下，在偌大的天空中想捕捉住它谈何容易？但利用牛顿力学体系却能准确地计算出它的方位、大小、重量、运行轨道。天文学家按照这些计算数据，只要举起望远镜就可发现。这是何等神奇的事情！法律现象也不是都能得到观察的，这就需要公理法弥补其不足。
第五，公理法能加快法学理论知识的发展速度。除了数学、逻辑学科以外，其他学科的理论都是从经验材料中获得的，法学也不例外。有些法学经验知识的获得不容易，甚至不可能（如对黑社会组织的某些观察），所以，当从法律经验中获得的知识达到一定程度，就要考虑采用演绎推理，应用公理法。演绎推理能够保证从少量真实的前提获得大量新的、带有必然性的知识。历史证明，从演绎推理中获得的知识往往是从经验中无法获得的。而且，由于演绎推理是纯粹思维的产物，在获取知识的过程中，比从经验中获取要节省大量的人力、物力。因此，适时地采用演绎推理能加快法学理论知识的发展速度。
二、法学论著、法典采用公理法构筑体系的范例
由于公理法在构筑法学理论体系时具有以上的优点，所以，在历史上，许多法学家在构筑理论体系或制定法典时都曾采用过公理法。
我们知道，亚里斯多德是历史上第一个成功运用公理法的人，他成功地把公理法运用于学术研究中，创立于三段论体系，宣布了逻辑学的创立。
当然，在历史上，运用公理法最成功的人当属古希腊人欧几里得，他的名著《几何原本》就是采用公理法撰写的。《几何原本》的印数仅次于《圣经》，对确立理性的权威具有极其重要的作用。尽管《几何原本》不属于法学论著，但由于它是采用公理法撰写的最经典的著作，所以，在此有必要详加介绍，以使许多不懂公理法的法学界人士能对公理法有较深入的了解。
《几何原本》中的公理体系由三部分组成，即23个定义、5个公设和5个公理。定义回答的是某物究竟是什么的问题，亚里斯多德把它列为出发命题。
《几何原本》对定义是这么下的：点是没有部分的；线只有长度而没有宽度；面只有长度和宽度；一线的两端是点；面的边缘是线；直线是它上面的点一样的平放着的线；平面是
它上面的线一样的平放着的面；边界是物体的边缘；图形是被一个边界或几个边界所围成的；大于直角的角叫做钝角；小于直角的角叫做锐角；当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称一条直线垂直于另一条直线；等等。
《几何原本》中的5个公设是：由任意一点到任意一点可作直线；一条有限直线可以继续延长；以任意点为中心及任意的距离可以画圆；凡直角都相等；同平面内一条直线和另一条直线相交，若在某一侧的两个内交的和小于二直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
《几何原本》中的5个公理是：等于同量的量彼此相等；等量加等量，其和仍相等；等量减等量，其差仍相等；彼此能重合的物体是全等的；整体大于部分。
全部《几何原本》共讲述了465个定理，这些定理都是在上述的公设和公理基础上推论出来的。而且定理的编排顺序也是很有讲究的，前面的定理构成后面定理的基础，没有前面定理的证明，后面定理就无法得到证明。前面定理没有证明的东西，后面定理就不能加以引用。如第一卷中的命题5（即在等腰三角形中，两底角彼此相等）的内容很简单，证明也不难，通过做顶角的平分线就可以看得出来。但欧几里得在《几何原本》第一卷中命题9才讲到作角的平分线，因此在命题5的证明过程中是不允许采用它的。
亚里斯多德采用公理法创立了三段论逻辑，欧几里得采用公理法创立了欧氏几何。由于亚里斯多德三段论逻辑和欧氏几何（尤其是后者）的巨大成功，公理法像长上了翅膀，在各个学科中飞翔，西方许多学者在著书立说时都加以采用，从而使西方学者创立的理论体系非常严密。
阿基米德的数学著作和物理著作都是采用公理法撰写出来的。牛顿的名著《自然科学的数学原理》一书也是采用公理法撰写出来的。哲学家笛卡儿的整个哲学体系就是运用公理法建构的[5]。
霍布斯是著名的法学家，他的传世名作《利维坦》在写作过程中也采用了公理法。
霍布斯认为“政治基于心理，心理基于物理，物理基于几何”[6]。他对数学方法特别看重。据说，霍布斯40多岁才发现了数学的奥妙，并对之产生了兴趣。“在一位先生的屋里，霍布斯发现桌子上有一本欧几里得的《几何原理》。当他读到…定理47?时，他说：…这不可能！?于是他开始看对这个定理的证明。这个证明又引他去看前面的定理。最后，他被折服了。这使他爱上了几何学。”几何学对霍布斯哲学的影响是难以估量的。在霍布斯看来，“自然科学必须采用几何证明的形式。必须有清晰的定义，公理必须被明白地规定出来，然后从中得出结论。只有这样，科学才是确定的、合乎逻辑的、必然的。”[7]霍布斯是从事社会科学研究的，他在自己的研究中借鉴了几何学方法。在1655年出版的《论公民》一书中，霍布斯就采用了公理法。在《利维坦》一书中，霍布斯从人性观和自然法学说两个出发点推导出他的全部政治法律理论。霍布斯认为人类在本质上是自私自利、富于侵略性的；自我保存是支配人类行为的根本原则。在国家产生前，人类处于自然状态下，虽说那时人人平等、人人自由，但人人为了自己的保全，导致相互的争斗，人与人像狼一样，充满了仇恨和互不信任，使自然状态成为了一切人反对一切人的战争状态。由于造物主的公平，自然使人在身心两个方面的能力十分相等，纵使个别人体力和智力强一些，但弱者运用密谋或联合起来，就会杀死强者。所以，在自然状态下，人人都生活在暴力死亡的恐惧中，人的生活孤独、贫困、残忍、短寿。在自然状态下，假若人人都用完全自由的手段保全自己，其结果是人人都无法自我保全。为了自身利益，人们便需放弃自己的权力，组织国家，用公共权力保全自己，从而摆脱不堪回首的自然状态。不难看出，国家是由契约产生的，是人们相互之间为了摆脱自然状态所作的共同约定。通过这种约定，个人的全部权力都交给一个人或一些人，据此而设定的主权权力称为“利维坦”(Leviathan)或“人间的上帝”(Mortal God)，用“利维坦”或“人间的上帝”可
以保障人们的和平与安全。为使国家有足够的强力制止内乱，维护和平，主权者便应当是至高无上的、不受法律约束的。《利维坦》一书被称为“现代人的《圣经》”，“因为没有哪一部他的或者他的同时代人的作品能如此有力、如此雄辩、如此全面地表达了现代思想的精神”[7]265。而这部“如此有力、如此雄辩、如此全面”的著作，倘若不采用公理法，就很难达到这个效果。
孟德斯鸠的《论法的精神》一书也采用了公理法。
凡是读过《论法的精神》的人都知道，孟德斯鸠在书中引用了大量资料，以经验为基础对社会和政治制度进行大规模的研究。其观点似乎是从广泛的材料中引申出来的，但事实却并非如此。孟德斯鸠说：“我的原则不是从我的成见，而是从事物的性质推演出来的。”[8]
美国学者萨拜因认为，孟德斯鸠所归纳出来的假设完全受预先的设想支配，对先入之见，并不寻求经验证明[9]。孟德斯鸠是个理性主义者，深受笛卡儿哲学的影响，认为理性是一切知识的最后裁决标准，反对神人同形论，主张科学与神学分开，上帝与人分开。《论法的精神》一书中的理论体系的出发点是自然法，即理性，因为那时的人认为自然法是理性的法。《论法的精神》一书的第一句话就是：“从最广泛的意义来说，法是由事物的性质产生出来的必然关系。”由于法是由事物的性质产生的必然联系，所以，孟德斯鸠必然会从中推导出“一切存在物都有它们的法”的结论。由于一切存在物都有它们的法，即上帝、物质、高于人类的“智灵们”、兽类、人类都有它们的法，而这些智能的存在物是不可能由盲目命运所产生，所以，孟德斯鸠推导出的结论是：世间有一个根本理性存在着，而法就是这个根本理性和各种存在物之间的关系，同时也是存在物彼此之间的关系。《论法的精神》一书讲的就是法与各种存在物之间以及存在物彼此之间的关系，从逻辑上讲，体系是非常严密的，而这种体系就是公理法体系。
近现代制定的法典，也多采用公理法。
我们知道，理论有三个层次，分别是理论原则、自然律（包括社会规律）和假设。理论原则是自然秩序和社会秩序理想的体现。理论原则是一个理论的基本原则，贯穿整个科学理论，构成一个科学理论的“公理”。理论原则、定律都可作为公理；假设虽然作为定律的身份尚未确定，但也可作为公理，作为理论的出发点，在公理法中起着与理论原则和定律相同的作用。在理论原则、自然律、社会规律和假设中，理论原则是自然律、社会规律和假设的基础，自然律、社会规律、假设中出现的概念和意义依赖于理论原则。所以，有许多学科，都有基本的理论原则，全部学科体系就是从这些基本的理论原则推导出来的。在经济学中，即使是最复杂的经济分析也是用这些基本的理论原则建构起来的。
现代宪政国家遵守的基本的理论原则是自由、民主、法治。①现代宪政国家制定的宪法典尽管内容不尽相同，但基本内容都是在自由原则、民主原则和法治原则的框架内建构起来的，所以，自由、民主、法治原则可以说是公理，全部宪法条文都是从其中通过公理法推导出来的。
1804年制定的《拿破仑法典》是建立在自由和平等原则、所有权原则、契约自由原则和公序良俗原则的基础之上。这四条基本原则构成《拿破仑法典》的公理，其它法律条文就是在这几条公理的基础上制定的。《拿破仑法典》第1134条规定：“依法成立的契约，在缔结契约的当事人间有相当于法律的效力。”由于法典如此强调契约的作用，所以，法典后面有关契约的规定可以说都是从第1134条通过公理法推导出来的。
在青少年犯罪问题研究中，有学者也用公理法构筑青少年犯罪理论。设置两个命题作为公理：一是“每个人都需要物质享受”，一是“有钱人比穷人容易合法获得物质享受”。由此推导出一系列结论。比如，“贫穷青少年比富裕青少年的犯罪率高”就是推导出的结论之一[10]。
三、需要注意的几点
在运用公理法创建法学理论或制定法典时，需要注意的几点是：
（一）公理的数量越少越好。假若由一条公理能推导出整个法学理论，那再好不过。但这样的例子是非常少的。②
（二）严格忠实遵守公理法就是要求法学论著或法典中的每一个命题都能从至少一个公理中推导出来。凡不能从公理中推导出的理论则须舍弃，否则就影响了法学理论或法典的严密性。当然，那些不能从公理中推导出的重要问题则是不能舍弃的，但这无疑使法学理论或法典的严密性受损。其实，我国的法学理论在构建时，大多数都没采用公理法，这一方面是由于许多法学研究者对公理法不够熟悉，另一方面也是由于法学中的许多概念和命题的表述不够精确。采用公理法构建法学理论的前提是：所用概念必须有精确的定义；概念之间的关系能得到精确陈述使其成为命题；对所有潜在的外在变量能进行控制（这些变量常表现在大小、程度、强度、密度、速度、总量等方面）。有些法学理论现在看来不能采用公理法建构，但随着人们对一些法学命题之间的内在关系有了新的认识，就可采用公理法。
（三）选择的法学公理在直观上应是有道理的，真理性不证自明。当然，在自然科学中，真理的认定标准相对比较确定，而在社会科学中，真理的认定标准往往因时因地不同。但不管怎样，至少大多数人要有共识，即大多数人认为是正确的道理。否则，尽管采用了公理法，得出的结论认可度却很低，这就影响了理论的说服力、解释力和预测力。
（四）法学公理较为抽象，而从法学公理中推导出来的命题则较为具体。当然，在自然科学中，公理较为抽象，推导出的命题较为具体的特点非常明显，而包括法学在内的社会科学这一特点有时并不明显，但大致上还是存在这一特点的。
（五）法学公理是相对的。一个法学命题在这本书里可以作为公理，而在别的书里则不一定作为公理；是否作为公理全凭构建法学理论体系的需要。
（六）法学不像自然科学中数学、物理等学科那样，采用的是严密的公理化形式，而是形式语言、学科符号描述和定性解析相结合的演绎理论形式。这是一种不严密的公理化形式的演绎型理论。之所以会如此，是因为法学所采用的公理、基本概念客观性程度差，夹杂着更多的个人情感、意志。另外，社会现象比自然现象更复杂，更难以直观地把握。
总之，研究法律，创建法学理论，如果不懂公理法，在一定程度上就会影响法学理论的系统性、条理性和连续性；当然也会影响法学理论内涵的发掘。所以，为了法学理论体系能够更加系统性、条理性和连续性，可能的话，不妨采用公理法构筑法学理论体系。当然，由于法学不属于“硬科学”，学科的整个理论体系不可能都由公理法推导出来。可能的话，先用公理法在法学的某一领域内进行尝试，或用公理法撰写体系严密的法学专著。③收稿日期：2007-05-15
注释：
①参见［美］曼昆著：《经济学原理——微观经济学分册》，梁小民，译，北京：北京大学出版社，2006年版，第1章。
②马克思《资本论》的基本理论观点是从作为资本主义经济细胞的商品及其价值推导出来的。所以，“商品是价值与使用价值的统一”便是一个基本命题，构成《资本论》惟一的公理。《资本论》全书一至三卷是通过从抽象到具体依次阐述的五大经济范畴来揭示资本主义经济形态的经济关系和社会矛盾的。这五大经济范畴是商品、货币、资本、资本主义土地所有制和总收益或总产品，它们之间有着内在的联系，后者是在前者基础上形成的。商品关系是资本主义经济形态中最简单、最表面的关系。货币关系是在商品关系中生成的。资本关系是在商品、货币关系中生成的。资本主义土地所有制关系又是在资本关系形成发展的前提下生成的。最后，总收益范畴包含了前面所有的经济关系，它体现了由资本主义所有制关系决定的资本主义的基本分配关系。《资本论》虽然卷帙浩繁（1-3卷汉字180万字，加上第4
卷共300万字），但采用的公理却只有一个，足以表现出马克思的聪明才智，也使马克思的经济学说变得更加科学，气势恢弘、更加具有说服力。（参见：何干强.《资本论》的基本思想与阐论逻辑[M].北京：中国经济出版社，2001:71-72.）。马尔萨斯的《人口原理》一书的全部理论是由两条公理推导出来的：一是“食物为人类生存所必需”；二是“两性间的情欲是必然的，且几乎会保持现状”。（参见：马尔萨斯.人口原理[M].朱泱，胡企林，译.北京：商务印书馆，1992:6.）。
③近年来其它学科已有学者尝试过用公理法撰写理论著作，如《主客体关系学系列丛书》撰写组撰写的《社会是什么——价值联结的生存单位》（商务印书馆2002年版）一书整个理论体系就用公理法推导了出来。该书提出了“一个公理，三大定律”。“一个公理”是：人总是要生存发展的，从而产生生存发展的需求。“三大定律”是：效率定律、需求定律和合作定律。该书在“一个公理，三大定律”的基础上建立了一个比较完整的社会科学的理论体系，逻辑严密，颇有新意。
希尔伯特的23个问题 希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯特23个问题。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： 1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔 集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973
欧几里得几何学的公理体系. 欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古 埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要 进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是 “丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid 《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理 出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包 含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接 研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为 《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译） 几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在 这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家 把萌芽中的代数学也包括在几何学中. “数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于 代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、 分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先 建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化 为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何 问题. 于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接 研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学 的进一步发展，就是射影几何学. 十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否 定了欧几里得几何中的平行线公理. 在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了 n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何. 把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是 “埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国 数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为 由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变 换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对 于G来说不变的性质，这就是几何学. 在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学 的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何 学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世 瞩目.
数学的公理化 十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。 经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法，不过非欧几何学的发展，各种几何学的发展暴露出它的许多毛病；另一类是构造方法或生成方法，这个办法往往有局限性，许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是无法断定的。 对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。 十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间”等没有严格的定义；另外，对于公
理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。 在十九世纪八十年代，德国数学家巴士提出一套公理系统，提出次序公理等重要概念，不过他的体系中有的公理不必要，有些必要的公理又没有，因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进，把度量几何包括在射影几何之中。 十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”，由于基本概念太少而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。 希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展，他这部著作重版多次，已经成为一本广为流传的经典文献了。 希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、
世界数学十大未解难题 （其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决 的问题”） 一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数 13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 三：庞加莱(Poincare)猜想
浅谈中国特色社会主义法学理论体系研究 浅谈中国特色社会主义法学理论体系研究开题报告/html/lunwenzhidao/kaitibaogao/ 一、中国特色社会主义法学理论体系研究的内容 （一）中国特色社会主义法学理论体系的历史基础 理论和实践的相互结合是时代发展进步的必然要求，也是社会制度逐步完善的基本标志。通过对中国特色社会主义法学体系构成历史基础的了解研究，有助于我们理解构建中国特色社会主义法学理论体系的必要性和可能性。马克思列宁主义、毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系为中国特色社会主义法学体系的建立奠定了坚实的思想基础。在不断的发展进步中，中国特色社会主义法律体系的形成完善为中国特色社会主义法学理论体系奠定了稳固的实践基础。对于外国的资本主义和社会主义的法学理论为中国的特色社会主义法学理论体系建立提供了可用资源，是我们发展中的良好借鉴之处。而我国的改革开放步伐的加快进行，取得了众多的学术研究成果，都为中国特色社会主义法学理论体系的建立提供了丰富资源。 （二）中国特色社会主义法学理论体系理论构成 社会主义民主和社会主义法治是中国特色社会主义法学理论体系建立的两大方面。民主政治方面是我国在法治和宪政建设上不断地实践在经验教训中提炼出来的理论。法治建设是根据社会的不断进步发展提出的要求适时的改革完善逐渐形成的。论文代写 二、中国特色社会主义法学理论体系理论的基础
（一）马克思主义法本文由收集整理学原理及思想的研究 新中国建设以来，中国就一直坚持发展研究马克思主义法学基本原理及其法律思想。在对马克思主义法学原理的研究上中国的学术人士在法学上取得了众多共识与发展。在对马克思主义法学思想的研究上，体现在几大方面。其一，对马列主义的法律思想的深入探讨研究。其二，对毛泽东思想、邓小平理论、江泽民“三个代表”等重要思想在民主和法治思想上的研究。再次，在马克思主义中国化与中国具体实际国情相结合的中国特色社会主义法学理论研究上所做的努力。这些研究都为中国特色社会主义法学理论体系的建立奠定了思想理论基础。 （二）改革开放三十年来的法学基本理论研究 改革开放拉开了新中国面向世界的崭新帷幕，与此同时极大地促进了中国特色社会主义法学理论体系的建立，中国法学研究成果、学术论文等大量涌现，促进社会法治改革与进步。法学理论的建立充分与实际情况相结合，体现了鲜明的时代性特征，改变了传统的模式，促进了制度的进一步发展。法学界发展状况的总结性研究成果，为日后建立中国特色社会主义法学理论体系的建立做了良好准备和铺垫工作。论文代写 三、中国特色社会主义法学理论体系研究的焦点问题及目标 （一）中国特色社会主义法学理论体系如何吸收借鉴历史，发扬民主与法治 中国法学理论体系的建立体现的是中国的特色社会主义，但是对
欧几里德几何 简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。 欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。 欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里德空间。 数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。 公理描述 [编辑本段] 欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。 欧几里德几何的五条公理是： 任意两个点可以通过一条直线连接。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 所有直角都全等。 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900 年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。 希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。 大家知道，在一个欧几里得空间R^n 上，所有的点可以写成为：X= （x1，x2，x3，...， xn ）。那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3 ，xn，.................................................................... ），一个 点的序列。 欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2= ∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2 可以不存在（为无穷大）。于是希尔伯特将所有∑ xn^2 为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'= ∑ xn*xn' 作为两点的内积。这个空间我们现在叫做l^2 ，平方和数列空间，这是最早 的希尔伯特空间了。 注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。只有范数的空间叫做Banach 空间，（以后有时间再慢慢讲:- ）。 如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。 Hilbert 空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑ xn^2 为有限的点。这个最早的Hilbert space 叫做l^2 （小写的l 上标2，又叫小l2 空间），非常类似于有限维的欧氏空间。
何柏生：公理法，构筑法学理论体系的重要方法 一、公理法在构筑法学理论体系时表现出来的优点 公理法包括两个部分，一是公理化方法，一是公理体系。我们知道，公理化方法是从初始概念和初始命题（公理）出发，按一定的逻辑规则，推演出其它有关命题（定理）的一种演绎方法。而公理体系则是由初始概念、公理、定义、推理规则和定理等构成的演绎体系。公理化方法是公理法的第一组成部分，公理体系则是公理法的第二组成部分。公理体系是由公理化方法得到的理论体系，所以，公理体系是建筑在公理化方法的基础之上。公理化方法是一种演绎方法，公理体系是一种演绎体系。所以，公理法是建立在演绎方法和演绎体系的基础之上，它所采用的是演绎推理。公理体系中的所有命题都是由初始命题演绎出来的。 公理法是在古希腊初步形成的，在柏拉图的《理想国》一书中，已有较为完整的记载。在《理想国》中，苏格拉底说：“我想你知道，研究几何学、算学以及这一类学问的人，首先要假定偶数与奇数、各种图形、三种角以及其它诸如此类的东西。他们把这些东西看成已知的，看成绝对假设，他们假定关于这些东西是不需要对他们自己或别人作任何说明的，这些东西是任何人都明白的。他们就从这些假设出发，通过首尾一贯的推理最后达到他们所追求的结论。”[1]从柏拉图借苏格拉底之口说出的这段话中，我们知道公理法在当时的数学中已得到了运用。所以，公理法绝不是亚里斯多德创立的。正确的说法应当是：亚里斯多德使公理法在逻辑中得到了成功的应用，从而创立了三段论推理。当然，亚里斯多德在运用公理法的过程中，也发展并完善了公理法。美国学者莫里斯·克莱因说：“柏拉图是第一个把严密推理法则加以系统化的人，而大家认为他的门人按逻辑次序整理了定理。……不管柏拉图派有否根据明确的公理真正用演绎法整理过数学，有一点是毋庸置疑的，即至少从柏拉图时代起，数学上要求根据一些公认的原理作出演绎证明。由于坚持要有这种形式的证明，希腊人得以把此前几千年来数学里的所有法则、步骤和事实全部抛弃。”[2] 亚里斯多德三段论逻辑的创立是对公理法的一次成功的运用，对公理法的应用和传播都起到了极大地促进作用。但是，对公理法发展和传播起到更大作用的是欧几里得的《几何原本》。该书讲述的465个定理全部是从5个公理和5个公设、23个定义推导出来的。《几何原本》中的公理、公设的选择很有水平，基本概念的提炼也恰到好处，所以，公理法在《几何原本》中得到了最成功、最经典的运用。 公理法最早产生于数学领域，但是，当公理法形成后，由于它的优点极为显著，所以，这种方法很快就越出数学领域，成为自然科学和社会科学众多学科争相借鉴的方法。 那么，与其它方法相比公理法在构筑法学理论体系时有什么优点呢？ 首先，公理法能把法学的众多零碎成果整理成有条理的理论体系，实现理论的综合。公理法可以探索到自然现象和社会现象中蕴涵的内在规律，发现原先不了解或没料到的自然现象或社会现象之间的关系。魏尔说：“公理方法常常揭示表面上相差很远的领域之间的内在关系，并使它们的方法能够统一化。”[3]在欧几里得之前，希腊数学家已发现了许多数学定理，但这些数学定理相互之间并没有多少联系，欧几里得采用公理法，把这些定理组织成有条理的理论体系。所以，一门学科若采用了公理法则标志着这门学科理论体系的成熟。在法学理论的建构中，我们应尽量采用公理法整理那些零碎的法学知识，使之成为系统的、有条理的理论体系。 其次，公理法能使法学理论体系无懈可击，增强说服力。公理法的出发点是公理、假设，
希尔伯特的二十三个数学问题 1900年，德国数学家D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题 》的著名讲演，其中对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟的见解，而整个 讲演的核心部分则是希尔伯特根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出的23个问题。 ①连续统假设1963年，P.J.科恩证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛－弗伦克尔公理系统内判明。 ②算术公理的相容性1931年,K.哥德尔的“不完备定理”指出了用希尔伯特“元数学”证明算术公理相容性之不可能。数学相容性问题尚未解决。 ③两等高等底的四面体体积之相等M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 ④直线作为两点间最短距离问题希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 ⑤不要定义群的函数的可微性假设的李群概念A.M.格利森、D.蒙哥马利和L.齐平等于1952年对此问题作出了最后的肯定解答。 ⑥物理公理的数学处理公理化物理学的一般意义仍需探讨。至于希尔伯特问题中提到的概率论公理化，已由А.Н.柯尔莫哥洛夫(1933)等人建立。 ⑦某些数的无理性与超越性1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德各自独立地 解决了问题的后半部分，即对于任意代数数□≠0，1，和任意代数无理数□证明了□□的超越性。 ⑧素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想最佳结果属于陈景润(1966)，但离最终解决尚有距离。 ⑨任意数域中最一般的互反律之证明已由高木□治(1921)和E.阿廷(1927)解决。 ⑩丢番图方程可解性的判别1970年，□.В.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的一般算法不存在。 11 系数为任意代数数的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936，1951)在这问题上获得重要结果。 12 阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域尚未解决。 13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程连续函数情形于1957年由В.И.阿诺尔德解决。解析函数情形则尚未解决。 14 证明某类完全函数系的有限性1958年,永田雅宜给出了否定解决。 15 舒伯特计数演算的严格基础代数几何基础已由B.L.范·德·瓦尔登(1938～1940)与A.韦伊(1950)建立，但舒伯特演算的合理性仍待解决。 16 代数曲线与曲面的拓扑对该问题的后半部分，И.Г.彼得罗夫斯基曾声明证明了□=2时极限环个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例(1979)。
法学基础理论 1. 法的定义 答：广义法律，指法的整体，包括国家制定的宪法、法律、法规、条例、规章等规范性文件，即国家具有法律效力的一切规范性文件的总和。 狭义法律，特指最高国家立法机关依照法定程序制定的规范性文件。 2. 马克思主义关于法的本质的基本观点 答：（1）法律是一种国家意志 （2）表现为法律的国家意志实际上是统治阶级的意志 （3）统治阶级的意志不是凭空产生的，而是根源于现实的经济关系 3. 法的特征 （规范性国家意志性普遍性强制性程序性可诉性） 4. 法的作用 答：规范作用与社会作用、法的局限性 5. 法律规则（法律规则的含义逻辑结构法律规则与法律条文的区别法律规则的分类） 答：（一）法律规则就是法律的基本要素之一，是法律中赋予一种事实状态以明确法律效果的一般性规定。 （二）法律规则的逻辑结构：（1）假定 （2）处理 （3）后果 （三）法律规则与法律条文的区别：法律条文只是法律规则的表述形式，而不是法律规则的同义语。通常情况下，一条规则的全部要素是通过数个条文加以表述的，有时，其中的一个要素（如假定）也可能分别见诸于不同的条文，而且，规则的诸要素分散于不同的法律文件之中，甚至跨越两个以上的法律部门的现象，也是存在的。 （四）法律规则的分类： （1）权利规则、义务规则和复合规则； （2）强行性规则和任意性规则； （3）确定性规则、委任性规则和准用性规则； （4）调整性规则和构成性规则。 6. 权利与义务（权利、义务的含义、分类及相互关系） 1、答：（一）权利：权利是规定或隐含在法律规范中、实现于法律关系中的、 主体以相对自由的作为或不作为的方式获得利益的一种手段。 （二）义务是设定或隐含在法律规范中、实现于法律关系中的、体以相对受动的作为或不作为的方式保障权利主体获得利益的一种约束手段。 （三）分类： （1）应有权利和义务、习惯权利和义务、法定权利和义务、现实权利和义务 （2）基本权利和义务与普通权利和义务 （3）一般权利和义务与特殊权利和义务 （4）第一性权利和义务与第二性权利和义务 （5）行动权利和消极义务与接受权利和积极义务
数学分支之欧氏几何 欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。 一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。 在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的
希尔伯特23个数学问题及其解决情况 已有 95 次阅读2011-10-3 21:02|个人分类:Mathematics&Statistics|系统分类:科研笔记|关键词:数学世纪亚历山大希尔伯特全世界 希尔伯特（HilbertD.，1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪 的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项 就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： （1）康托的连续统基数问题。 1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF 集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 （2）算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。 根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的
论宪法学的理论体系 【摘要】作为现代民主国家根本法的宪法，是规范国家机关活动、实现公民权利的最高准则。宪法以人民总契约的形式出现，制约公共权力，促进公民的权利与维护公共利益。正是通过这种契约机制，才能使国家权力最终掌握在人民的手中。通过宪法是什么，为什么学习宪法，宪法能为我们做什么的思考，进一步加深对宪法的认识。 【关键词】逻辑起点；契约视角；两个基本概念；三个问题 【正文】 一、逻辑起点 （一）“人是什么”的探讨 “人是什么”这是一个古老面又常新的话题。古希腊德菲尔神庙中的一句隐言：“认识你自己”，昭示了人类自己本质的探讨。人性，顾名思义即人之本性，或称人之本质，是与其他动物相比较而显现和凸现出人所独具有的，区别于他物的质的规定性。但是，人的存在不单是个体的存在，而且是作为集合的社会类的存在，因此人性又是与社会的历史发展相伴而随的。“人是有意识的类的存在物[1]” 概言之，就是人具有自由意志这一人类特有的本质属性，这种以自然本能为基础但对自然本能的超越，是在人的生存环境即自然的物质环境、社会的物质环境、社会的精神环境之中不断地社会化，也就由自然人到社会人的过程中逐渐完成的。 （二）自由意志——人类本质属性
每个人受利益的驱使做出一定的行为，欲望无止境，是不是自由也无止境呢？人的自由和自然的自由是不是都没有限制呢？从本质上说，人的自由是有限的而自然的自由是无限的。自由就是最大的不自由，过度自由就是不自由，这是自由最基本的辩证特征[2]。 宪法的自由理念有其肯定和否定两重形态，这两种不同的形态产生出宪法的具体框架，即肯定性自由构建起人民主权，基本人权，权利的神圣与平等，否定性自由构建起权力制约，依法治国保障权利的实现。一言之：法是人的意志自由的自在自为的定在[3]。 二、契约视角 契约一词最早源于私法。民事当事人在商品交易中主体地位平等，彼此选择意志自由，共享利益，实现互赢。约的效力，本质上是话语的效力。所谓“giveyoumywords”，对已成立的契约的遵守，是契约最基本的内容。因此，从一定意义上讲，平等、自由、互利是契约精神的本质内容。 国家的权力属于人民，但不可能人人都参与权力的行使。为解决这一矛盾，霍布斯最早提出了社会契约论，他认为有两类国家：一类是“以力取得的国家”，一类是“按约建立的国家”[4]。因此，人们以契约形式来确定人民与政府的权利与义务，这个契约就是以宪法为中心的法律法系。宪法以最高法出现，它规定了国家权力属于人民，政府的权力来源于人民的授予与委托；契约思想也为宪法具体制度提供了合理的运行机制，代议制的核心在于通过直接选举和间接选举，选举自己满意的代表去行使国家权力，选举的过程是“多数表决”的过程，
连续统假设
提示：本条目的主题不是连续体假设。 在数学中，连续统假设（英语：Continuum hypothesis，简称 CH）是一个猜想， 也是希尔伯特的 23 个问题的第一题，由康托尔提出，关于无穷集的可能大小。 其为：
在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。
康托尔引入了基数的概念以比较无穷集间的大小， 也证明了整数集的基数绝对小 于实集的基数。康托尔也就给了出连续统假设，就是说，在无限集中，比自然数 集{0，1，2，3，4......}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而连续 统就是实数集的一个旧称。 更加形式地说，自然数集的基数为 为 。而连续统假设的观点认为实数集的基数
。由是，康托尔定义了绝对无限。
等价地，整数集的序数是 出不存在一个集合 使得
("艾礼富数")而实数的序数是
，连续续假设指
假设选择公理是对的， 那就会有一个最小的基数 连续统假设也就等价于以下的等式：
大于
， 而
连续统假设有个更广义的形式，叫作广义连续统假设（GCH），其命题为：
对于所有的序数 ,
库尔特·哥德尔在 1940 年用内模型法证明了连续统假设与 ZFC 的相对协调性， 保罗·柯恩在 1963 年用力迫法证明了连续统假设不能由 ZFC 推导。也就是说连 续统假设成立与否无法由 ZFC 确定。
作为希尔伯特第一问题
主条目：希尔伯特的 23 个问题
1900 年, 大卫· 希尔伯特以 “连续统假设是否成立” 作为 “希尔伯特第一问题” 。 Kurt Godel 和 Paul Cohen 确定了连续统假设在 ZFC 系统下，加上了选择公理， 也不能证明或证否。 Cohen 的结果并没有被广泛认同作为连续统假设问题的解决，而希尔伯特的问题 依然为当代研究的热门课题。(见 Woodin 2001a).
集合的大小
主条目：基数 要正式地列出这个猜想， 我们需要一些定义：假如两个集合 S 与 T 之间存在着一 个双射，我们会说这两个集合拥有相同的基数。直观的意思是在“T 的每个元素 只能配上仅仅一个 S 的元素，反之亦然”这个前提下，把 S 与 T 的元素拿出来配 对是可能的。因此，集合{蕉, 苹果, 橙}与集合{黄, 红, 绿}拥有相同基数。 当情况去到如整数集或有理数集等无穷集的情况时，事件就变得复杂得多。当考 虑所有有理数的集合时， 有些门外汉可能会天真地认为有理数理所当然地多于整 数，而有理数又显然少于实数，因此把连续统假设证否。但透过简单集合论的方 法， 我们能证明有理数集能与整数集形成一双射，因此有理集跟整数集有着一样 的大小， 而它们都被称为可列集。 对角论证法则证明了整数集跟连续统 （实数集） 的基数并不一样。 连续统假设亦指出，实数集中每一个子集，要么和整数集有相同的基数，要么和 实数集有相同的基数。
证明或证否的不可能性（在 ZFC 系统下）
康托尔相信连续统假设是对的，花了很多年尝试证明它，结果徒劳无功。它成为 了希尔伯特那重要难题名单中的第一条，并在 1900 年巴黎的国际数学家大会上 宣布此事。在那个时候，还没有公理化集合论的概念。 库尔特·哥德尔在 1940 年指出连续统假设不能在 ZFC 系统下证否，即使接受了 选择公理为前提。这个定理称为哥德尔定理。Paul Cohen 在 1963 年证明了连续 统假设同样不能在 ZFC 下被证明。因此，连续统假设“逻辑地独立于”ZFC。这 些结果都是以 ZFC 的公设系统本身并不存在自相矛盾（相容性）为假设大前提， 而这个大前提是被广泛接受为对的。 连续统假设并非被证明跟 ZFC 互相独立的第一个命题。 哥德尔不完备定理一个立 即的结论在 1931 年被发表，那是“‘存在着一个正式命题表达 ZFC 的相容性’ 乃独立于 ZFC”。有别于纯粹数学的，这个一致的命题乃是有着在数学之上的特 性。连续统假设和选择公理乃是最先被证明跟 ZF 集合论独立的命题。在 Paul Cohen 在 1960 年代发展出力迫法以前，这些独立性的证明并没有完成。
法学体系中的四大类分 支学科 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
2.1理论法学 即：从总的方面探求法学研究对象的各种基本概念、基本原理、基本原则和基本规律的法学分支学科的总称。 注：理论法学主要不是从认识论的角度划分出来的结果，而是依据法学的研究对象和方法划分出来的。那些研究对象比较抽象、研究方法偏重于理论分析的分支学科基本都可列为理论法学，其主要代表是法理学。如果一国法学体系中不设综合法学这个大的部类，那诸如立法学、法社会学、法解释学、比较法学等也可视为理论法学。法学边缘学科中侧重于理论研究的也可列为理论法学。 2.2应用法学 即：旨在直接服务法律实际生活、帮助解决法律实际问题的法学分支学科的总称。 注：应用法学的研究对象主要是法律实际生活中的经验材料，其比之理论法学更具有实践性，它是理论法学的具体化，也是理论法学的资料渊源。但应用法学并非没有理论，其产生的理论不是用来起跨学科的普遍指导作用，而是为解决本应用学科的实际问题服务的。应用法学的代表性学科是各种部门法学，如宪法学、民商法学、刑法学、程序法学等等，有关法律实务的分支学科，法学边缘学科中侧重于解决实践问题的分支学科也可列入应用法学。 2.3历史法学 即：专门研究法、法的现象以及与法相关问题中的历史问题的法学分支学科的总称。 注：历史法学之所以作为法学体系中的一个专门的类别，主要因为它既包括理论内容（即论从史出），也包括应用内容（即古为今用、推陈出新）。历史法学主要研究历史上不同国家、不同历史类型的法律制度和法律思想，研究研究这些法律制度和法律思想的实质、内容、形式、特点及其产生、发展、消亡的规律等。它主要包括中外法律制度史学、中外法律思想史学、法学史学。 2.4综合法学 即：具有相当大的跨越性的法学分支学科的总称。 注：综合法学有两个显着特征：其一，它的研究对象跨越多种甚至各种法学分支学科；其二，理论、应用和历史不是各有侧重，而是三者兼容并包。法学总论或概论之类是典型的综合法学。同时也包括立法学、法社会学、法解释学、比较法学、国际法学等。 3、法学的具体分支学科 法学可以分为很多分支学科，主要有： ①理论法学，又称基础法学。研究法的基本概念、原理和规律。中国法律院系为这个学科开设的课程称为法学基础理论（简称法理学）。 ②法律史学。可分为法制史和法律思想史。 ③国内法学。指一国各部门法学，包括宪法学、行政法学、民法学、经济法学、劳动法学、环境法学、刑法学、诉讼程序法学以及军事法学等。宪法是一国的根本法，因此，在国内法学体系中，宪法学占有主导地位。 ④国际法学。包括国际公法学、国际私法学和国际经济法学等。 ⑤立法学。研究立法原则、规划、立法体制、立法风格、立法程序、立法技术以及法律汇编、立法评价等问题。 ⑥法律解释学。对法律条文的内容和文字进行阐释，相当于中外历史上所称的注释法学。 ⑦法社会学。通常指通过社会现实问题研究法律的社会功能、实行和效果等问题。 ⑧比较法学和外国法学。比较法学是对不同国家（或特定地区）法律（包括本国法和外国法之间，外国法之间）的比较研究。因此，比较法学和外国法学密切联系。 ⑨法学和自然科学、技术科学或其他社会科学之间的一些边缘学科。如科技法学、法医学、司法鉴定学、司法精神病学、法律统计学等。 在每一独立的分科中，又可再划分为不同层次的较低的分科。而在各分科中，每个国家的法学都总是以研究本国现行法为重点的。
希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个问题"。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： 1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。 2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。 《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。 6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力
教育法学理论体系现状探讨 一、我国教育法学研究现状 十一届三中全会之后，我国教育法学的研究进入了萌芽阶段，教育界和法学界开始考虑对教育立法，标志着我国真正意义上开始对教育法学进行研究。在今后这三十多年的发展中，教育法学的研究由最初的设想到现在的深化以及分化研究阶段，致使现如今己经写形成了符合我国基木国情的教育法学理论和体系。对于我国教育法学的研究现状我们可以通过对《评论》杂志和教育法学年会范文集这两本期刊进行分析。《评论》是我国在教育法学研究上对具有影响力的期刊，教育年会范文集是由教育法学的研究人员在年会上交流讨论的范文组成，具有很强的针对性并且信息量比较大。通过这两本渗透出来的信息分析，我们不难发现我国对教育法学理论的研究在不断的深入, 研究人员的视野也在扩展，将更广的领域纳入到研究中来，教育法学研究己经进入到发展阶段。但是与一些成熟学科如社会科学相比，教育法学还显得比较年轻和稚嫩，还需要不断的去探索。 二、我国教育法学既有理论体系研究 在我国教育法学发展的这三十年里，教育法学中涉及的概念、概念体系、教育法学主体以及主体间的关系都取得了巨大的成就。但是也存在这一些问题如：2）教育法学研究对象不明确；2）教育法学研究方法单一；3）教育法学性质界定不清；4）教育法学理论体系不健全；以下将对这些问题作简要探讨。 1.教育法学理论体系的选择标准
由于我国教育法学这门学科的建立比较晚，发展时间也比较短, 就必定存在着一些问题需要依据理论来进一步说明。而缺乏理论说明将会使得学者们对教育法学的研究无法用理论体系来标示。教育法学是一门独立的学科，具有：自组织其理论、自固化其思维、自健全其机构和自外化其理论等功能。学者们在满足这些功能的过程中对教育法学理论体系进行探讨研究，然后以《教育法学》的名义出版，这将是教育法学理论体系建立的必要过程。 2.既有理论体系分析 我国以《教育法学》为名的教育法学类著作截止到现在己经有 23木之多，作者都以不同的角度对我国教育法学的学科属性、概念、理论和法制形成体系进行分析探讨。本文借用申素平教授编写的《教育法学》进行分析。申素平教授编写的《教育法学》一共分为八章, 由教育法语受教育权、教育主体与教育的法律关系、主体制度论和弱势群体受教育权这三部分组成。是以一种新的视角来研讨教育法学理论体系。根据内容我们进行分析，作者首先对教育法和受教育权的概念进行系统阐述，然后在对教育法的内涵以及受教育权的法律规范作为基础，对社会个体与教育的法律关系进行讨论，最后通过对学生、老师、学校的制度问题进行分析，从而达到对我国教育法学理论体系的研究。 三、以“受教育权〃为逻辑起点的教育法学理论体系的构建 理论体系的起点也是终点，以受教育权作为逻辑起点，那么在对教育法学理论体系的构建过程中，它的终点也必将是受教育权。对教育法学理论体系的构建应注意以下几方面的内容：