习 题
第二章 线性规划习题
2－1 某桥梁工地需集合料3万立方米，集合料含量为：粘土含量不大于0.8％，细沙含量在5％～8％之间，粗沙含量在60％～70％之间，砾石含量在20％～30％之间，现有材料数量及单价如下表所示。
问如何配料才能使集合料的总成本费用最低？（试列出数学模型）。
2—2 将下列线性规划问题化成标准型：
① 42154max x x x S ++=
s.t.?????
????≥≥+-≤-+≤+++=+0
,,,84310448033430
4432143432432121x x x x x x x x x x x x x x x
② 4321343min x x x x S --+=
s.t.?????
????≤≥≤+-≥++=-+≤+0
,0,8434040403213242132141x x x x x x x x x x x x x
2—3 用图解法求解下列线性规划问题：
2152max x x S +=
s.t.???????≥≤+≤≤0
,8234212121x x x x x x
（答案：19=*S ，()T X 3,2=*。）
2—4 用单纯形法求解下列线性规划问题 ① 321834min x x x S ++=
s.t.???
??≥≥+≤+0,,5223
213231x x x x x x x
（答案：15=*S ，T X ),0,5,0(=*。） ② 432132max x x x x S -++=
s.t. ???????≥=+++=++=++0
,,,102205215
32432143213
21321x x x x x x x x x x x x x x
（答案：15=*S ，T X )0,2/5,2/5,2/5(=*。）
第三章 特殊类型的线性规划习题
3－1用表上作业法求解以下运输问题。
3－2某市区交通愿望图有三个始点和三个终点，始点发生的出行交通量a i ，终点吸引的交通量b j 及始终点之间的旅行费用如下所示。问如何安排出行交通量f ij 才能使总的旅行费用为最小？
3－3某运输公司有5辆汽车分别担负五条运输线的运输任务，由于车辆性能、路线等级及司机水平不同，不同车辆在不同运输线上所需的运输费用是不一样的，试问如何分配
这五辆汽车才能使总的运输费用最少？
3－4用隐枚举法求解下列规划问题： min 321234x x x S ++=
s.t ???????=≥+≥++≤+-0
1,,13344352321323
21321或x x x x x x x x x x x
(答案：min S =2，x 1=0，x 2=0，x 3=1)
3－5用分支定界法求解下列问题
max S ＝－2x 1＋x 2
s.t ???????≥≤+≤+-≤-，整数
，0x 30233021212
121x x x x x x x
(答案：max S ＝6，x 1＝3，x 2=12)
第四章图论习题
4-1 求下列各图的最小树
题4-1图
4-2 某市区六个居民点的分布如题图4-2图所示，现需沿道路在六个居民点之间辅设煤气管线，试求使管道总长度为最佳的最佳辅设方案。
（图中连线为现状道路网）
4-3 某地区七个城镇间的公路交通网如题图4-3图所示，试用标号法计算从A城到G 城的最短路线。
（图中弧旁数据为公路长度）
题4-2图题4-3图
4-4 在题4-4图中，用标号法计算A点到H点的最短路
4-5 在题4-5图中，求任一点至另一任意点之间的最短路线。
题4-4图 题4-5图 4-6 在题4-6图所示的网络中，弧旁的数据为),(ij ij f C ：
① 确定所有的割集； ② 求最小割量； ③ 求出网络最大流。
4-7 某地区的公路交通网络如题图4-7图所示，弧旁数据为路段通行能力（即容量，百辆/小时），试求网络通行能力（即最大流）。
题4-6图 题4-7图
4-8 某矿区有两个堆料场1x 、2x 及三个货运码头1y ，2y ，3y ，堆料场的原媒通过如题4-8图所示的交通网络运送到码头。试确定从堆料场到码头的最大运送能力。 4-9 某地区的公路交通网络如题4-9图所示，弧旁数据为),(ij ij c b （ij b 为行驶费用，ij c 为容量）。试求该交通网络的最小费用最大流。
题4-8图 题4-9图
第五章 排队论习题
5－1 某信号交叉口的车辆到达符合泊松分布，平均到达率为300辆/小时，信号交叉口的红灯时间为30秒，车辆遇到红灯时必须排队。试计算每个周期红灯期末车辆排队长度超过10辆的概率及没有车辆排队的概率。
5－2在某公路收费所处，车辆以泊松分布到达，平均到达率为30辆/小时，收费所收费的时间服从负指数分布，平均服务时间为1.5分钟，试求： ① 在收费所前没有车辆等待的概率。 ② 排队车辆的期望值。 ③ 收费所排队系统中的车辆数。 ④ 车辆在系统中花费的平均时间。 ⑤ 系统中车辆超过3辆的概率。
⑥ 当车辆在系统中花的平均时间超过7.5分钟时，需再增设一个收费所，问车辆平均到达率增大到多少时才需增设第二个收费所？
5－3 利用生灭过程求解以下排队系统各状态的概率。
5－4 汽车通过一检查站时进行验证。汽车按泊松分布到达检查站，平均间隔0.6分钟，验证时间平均为15秒（验证时间服从负指数分布）。请分析该排队系统，求该排队系统各状态对应的概率，以及队长、排队长、顾客逗留时间、顾客等待时间等运行指标。 5－5 某服务机构只有一个服务员，平均每小时有三个顾客到来，接待一个顾客可得16元，服务机构单位时间的成本为4u 元，若顾客到达间隔时间和服务时间都是负指数分布，试问服务能力u 多大时，收入最多？（服务机构内不能排队）。
（提示，收入)341630=-?=u u P E ，答案
S 3
2
4
3
第六章预测习题
6－1某地区历年综合货运量（万吨/年）的调查结果见下表，试采用时间序列法预测该地区2010年综合货运量。
6－2某城市道路交通调查结果见下表，其中x代表机动车车头间距(m)，y为平均车速(Km/h)。请根据该调查资料建立平均车速与车头间距的一元线性回归方程，并预测当机动车车头间距为50米时的平均车速。
6－3某机非混行的城市道路，经调查后得到一组机动车平均车速y(Km/h)与机动车交通量x1（辆/h）、非机动车交通量x2（辆/h）数据，见下表。试建立机动车平均车速与机动车交通量、非机动车交通量的二元线性回归方程，并预测机动车交通量、非机动车交通量分别达到100、3000（辆/h）时的机动车平均车速。
6－4公交车辆的车况随使用时间而变化。现将公交车辆的车况分为四个等级：S1—车况良好、S2—需要小修、S3—需要大修、S4—需要报废。根据经验，得到正常使用下车况转移概率表（见下表）。某公交公司第一年处于S1、S2、S3、S4四种状态的公交车辆数分别为100、150、50、20辆，试分别预测正常使用下第二年、第三年末该公司需要报废的公交车辆数。
第七章决策习题
7－1为改善某交叉口的交通状况，提出了三个方案：方案A：建设高标准立交桥，投资最大，收益也最大；方案B：建设简易立交桥，投资较少，收益也较少；方案C：改建原有设施，调整车流运行方式，加强交通管理，投资最少，收益也最少。预测未来该交叉口交通量的增长情况有三种：迅速增长、一般增长和缓慢增长。各方案相对于不同交通量增长情况的效益净现值如下表。
试分别采用悲观准则、乐观准则、折衷准则、等可能性准则进行决策。
7－2在上题中，经过分析，认为未来该交叉口交通量三种增长情况出现的概率分别为：迅速增长的概率为0.35，一般增长的概率为0.45，缓慢增长的概率为0.2。试分别采用最大可能准则和期望值准则选择合适的建设方案。
7－3某物流中心拟建设一个货物中转仓库，有两个方案可以选择。一是投资10000万元，一次建成大仓库，货源好时年收益3000万元；货源差时年亏损600万元。二是先建小仓库，投资5000万元，货源好时年收益1200万元，货源差时每年仍能收益400万元；5年后若货源好则扩建成大型仓库，追加投资5000万，年收益3000万元。两个方案的经营期均为15年。预测前5年货源好的概率是0.65，若前5年货源好，则后10年货源好的概率是0.8；若前5年货源差，则后10年的货源肯定差。试用决策树法进行决策。
运筹学习题库 数学建模题（5） 1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示： 试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =70x 1+120x 2 . 2、某公司生产甲、乙两种产品，生产所需原材料、工时和零件等有关数据如下： 建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。 解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2， 设z 为产品售后总利润，则max z = 4x 1+3x 2 . 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：
建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：建立线性规划数学模型： 设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =10x 1+6x 2+4x 3 . 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携 试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。 解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I 5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如下图所示： 根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。 解：设每月生产A 、B 、C 数量为321,,x x x 。 6、A 、B 两种产品，都需要经过前后两道工序，每一个单位产品A 需要前道工序1小时和后道工序2小时，每单位产品B 需要前道工序2小时和后道工序3小时。可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时。 每加工一个单位产品B 的同时，会产生两个单位的副产品C ，且不需要任何费用，产品C 一部分可出售盈利，其余只能加以销毁。 出售A 、B 、C 的利润分别为3、 7、2元，每单位产品C 的销毁费用为1元。预测表明，产品C 最多只能售出13个单位。试建立总利润最大的生产计划数学模型，不求解。
运筹学复习题及参考答案 运筹学》 一、判断题：在下列各题中，你认为题中描述的内 容为正确者，在题尾括号内写“ T” ,错误者写“F”。1.T 2. F 3. T 4.T 5.T 6.T 7. F 8. T 9. F 10.T 11. F 12. F 13.T 14. T 15. F 1.线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个顶点。( T ) 2.用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函 数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j< 0,则问题达到最优。 ( F ) 3.若线性规划的可行域非空有界，则其顶点中 必存在最优解。( T ) 4.满足线性规划问题所有约束条件的解称为可 行解。( T ) 5.在线性规划问题的求解过程中，基变量和非
机变量的个数是固定的。( T ) 6.对偶问题的对偶是原问题。( T ) 7.在可行解的状态下，原问题与对偶问题的目 标函数值是相等的。( F ) 8.运输问题的可行解中基变量的个数不一定遵 循m＋n－1 的规则。( T ) 9.指派问题的解中基变量的个数为m＋n。 ( F ) 10.网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。( T ) 11.网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。( F) 12.工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往是不相等。( F ) 13.在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。 (T ) 14.单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是不一致的。( T ) 15.动态规则中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。( F ) 二、单项选择题 1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9. D 10.B 11.A 12.D 13.C 14.C 15.B 1、对于线性规划问题标准型：maxZ=CX, AX=b, X
【例1-2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1-2所示。 j 息的营业员，该模型如何变化． 【例1-3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是，1，（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴 如果要求余料最少，数学模型如何变化； 【例1-4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1-4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低 在例中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化． 【例1-5】投资问题。某投资公司拟将5000万元的资金用于国债、地方国债及基金三种类型证券投资，每类各有两种。每种证券的评级、到期年限及每年税后收益率见表1-5 2。问每种证券各投资多少使总收益最大。 【例1-6】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大 在例中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每
运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束
B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是
四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省 ? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当 于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3
(一)线性规划建模与求解 B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1 单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大？ 要求：1、建立该问题的线性规划模型。 2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。 解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1 、x 2 单位 。 (2)目标函数： max z=2 x 1+x 2 (3)约束条件如下：1221 12 25..3,0+≤??≥??≥?x x s t x x x x 2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线， 结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1 +x 2 与 约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。 （二）图论问题的建模与求解样题 A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例 13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
基础课程教学资料祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量 运筹学填空/选择/简答题题库 第一章运筹学概念部分欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学 决策的依据。欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，s.t表示约束（subject to 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 1．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求D．竞争价格 2．我们可以通过（C）来验证模型最优解。 A．观察 B．应用 C．实验 D．调查 3．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施 1
《运筹学》试卷一 一、（15分）用图解法求解下列线性规划问题 二、（20分）下表为某求极大值线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，、 为松弛变量，试求表中到的值及各变量下标到的值。 -13 1 1 6 1 1-200 2-1 1 1/2 1/2 1 4 07 三、（15分）用图解法求解矩阵对策， 其中 四、（20分） （1）某项工程由8个工序组成，各工序之间的关系为 工序a b c d e f g h 紧前工序——a a b,c b,c,d b,c,d e 试画出该工程的网络图。 （2）试计算下面工程网络图中各事项发生的最早、最迟时间及关键
线路（箭线下的数字是完成该工序的所需时间，单位：天） 五、（15分）已知线性规划问题 其对偶问题最优解为，试根据对偶理论求原问题的最优解。 六、（15分）用动态规划法求解下面问题：
七、（30分）已知线性规划问题 用单纯形法求得最优单纯形表如下，试分析在下列各种条件单独变化的情况下，最优解将如何变化。 2 -1 1 0 0 2 3 1 1 3 1 1 1 1 1 6 10 0 -3 -1 -2 0 （1）目标函数变为； （2）约束条件右端项由变为； （3）增加一个新的约束： 八、（20分）某地区有A、B、C三个化肥厂向甲、乙、丙、丁四个销地供应同一种化肥，已知产地产量、销地需求量和各产地运往不同销地单位运价如下表，试用最小元素法确定初始调运方案，并调整求最优运输方案 销地 产地 甲乙丙丁产量 A41241116 B2103910
C8511622需求量814121448 《运筹学》试卷二 一、（20分）已知线性规划问题： （a）写出其对偶问题； （b）用图解法求对偶问题的解； （c）利用（b）的结果及对偶性质求原问题的解。 二、（20分）已知运输表如下： 销地 产地B1B2B3B4供应量 50 A 1 3 2 7 6 A 2 60 7 5 2 3 25 A 3 2 5 4 5 需求量60 40 20 15 （1）用最小元素法确定初始调运方案； （2）确定最优运输方案及最低运费。 三、（35分）设线性规划问题 maxZ=2x1+x2+5x3+6x4
运筹学试题库 一、多项选择题 1、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的标准型右端项非零； B、线性规划的标准型目标求最大； C、线性规划的标准型有等式或不等式约束； D、线性规划的标准型变量均非负。 2、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划有可行解则有最优解； D、线性规划的最优值至多有一个。 3、设线性规划问题（P），它的对偶问题（D），那么（）。 A、若（P）求最大则（D）求最小； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、若（P）的约束均为等式，则（D）的所有变量均无非负限制； D、（P）和（D）互为对偶。 4、课程中讨论的运输问题有基本特点（）。 A、产销平衡； B、一定是物品运输的问题； C、是整数规划问题； D、总是求目标极小。 5、线性规划的标准型有特点（）。 A、右端项非零； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量均非负。 6、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 7、线性规划模型有特点（）。 A、所有函数都是线性函数； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量非负。 8、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是最优； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 9、一个线性规划问题（P）与它的对偶问题（D）有关系（）。 A、（P）有可行解则（D）有最优解； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、（P）可行（D）无解，则（P）无有限最优解； D、（P）（D）互为对偶。 10、运输问题的基本可行解有特点（）。 A、有m＋n－1个基变量； B、有m+n个位势； C、产销平衡； D、不含闭回路。
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四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250 ，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋 90根，长度为4米的 钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相 当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3
运筹学习题课 一、选择题 1.用图解法解线性规划时，以下几种情况中不可能出现的是（ ）。 A. 可行域有界，无有限最优解 B. 可行域无界，有唯一最优解 C. 可行域是空集，无可行解 D. 可行域有界，有多重最优解 2.根据线性规划的互补松弛定理，安排生产的产品机会成本一定（ ）利润. A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 大于等于 3.已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为（ ）。 A. 3 B. 2 C. 1 D. 以上三种情况均有可能 4.在求解整数规划问题时，不可能出现的是（ ）。 A. 唯一最优解 B. 无可行解 C. 多重最佳解 D. 无穷多个最优解 5.1m n +-个变量构成一组基变量的充要条件是（ ）。 A. 1m n +-个变量恰好构成一个闭回路 B. 1m n +-个变量对应的系数列向量线性相关 C. 1m n +-个变量中部分变量构成一个闭回路 D. 1m n +-个变量不包含任何闭回路 6.线性规划具有唯一最优解是指（ ）。 A. 最优表中存在常数项为零 B. 可行解集合有界 C. 最优表中存在非基变量的检验数为零 D. 最优表中非基变量检验数全部非零 7.有6 个产地4个销地的产销平衡运输问题模型具有特征（ ）。 A. 有10个变量24个约束 B. 有24个变量10个约束 C. 有24个变量9约束 D. 有9个基变量10个非基变量 8.下列关于网络最大流的说法中，不正确的是（ ）。 A. 可行流*f 是最大流，当且仅当网络中存在关于* f 的增广链 B. 用标号法求解最大流问题，同时可得到一个最小截集 C. 最小截集的容量的大小影响网络总的输送量的提高 D. 网络的最大流需满足容量条件和平衡条件
《运筹学》 一、判断题：在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“T”，错误者写 “F”。 1. T 2. F 3. T 4.T 5.T 6.T 7. F 8. T 9. F 10.T 11. F 12. F 13.T 14. T 15. F 1. 线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个顶点。( T ) 2. 用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j≤0，则问题达到最优。( F ) 3. 若线性规划的可行域非空有界，则其顶点中必存在最优解。( T ) 4. 满足线性规划问题所有约束条件的解称为可行解。( T ) 5. 在线性规划问题的求解过程中，基变量和非机变量的个数是固定的。( T ) 6. 对偶问题的对偶是原问题。( T ) 7. 在可行解的状态下，原问题与对偶问题的目标函数值是相等的。( F ) 8. 运输问题的可行解中基变量的个数不一定遵循m＋n－1的规则。( T ) 9. 指派问题的解中基变量的个数为m＋n。( F ) 10. 网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。( T ) 11. 网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。( F) 12. 工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往是不相等。( F ) 13. 在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。(T ) 14. 单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是不一致的。( T ) 15. 动态规则中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。( F ) 二、单项选择题 1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9. D 10.B 11.A 12.D 13.C 14.C 15.B 1、对于线性规划问题标准型：maxZ=CX, AX=b, X≥0, 利用单纯形法求解时，每作一次迭代，都能保证它相应的目标函数值Z必为（ A ）。 A. 增大 B. 不减少 C. 减少 D. 不增大 2、若线性规划问题的最优解不唯一，则在最优单纯形表上（ B ）。 A. 非基变量的检验数都为零 B. 非基变量检验数必有为零 C. 非基变量检验数不必有为零者 D. 非基变量的检验数都小于零 3、线性规划问题的数学模型由目标函数、约束条件和（ D ）三个部分组成。 A. 非负条件 B. 顶点集合 C. 最优解 D. 决策变量
运筹学题库 一、选择题 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.科技预测的短期预测时间为【】 A.1～3年 B.3～5年 C.5～10年 D.3～7年 2.下述预测方法中，不属于 ．．．定量方法的是【】 A.算术平均数预测法 B.特尔斐法 C.非线性回归预测法 D.指数平滑法 3.适用在风险条件下进行决策的方法是【】 A.最大最小决策标准 B.保守主义决策标准 C.期望利润标准 D.现实主义决策标准 4.在不确定 ．．．条件下的决策标准中，最大最小决策标准把每个可行方案在未来可能遇到最佳的自然状态的概率定为【】 A.1 B.0 C.0.5 D.0～1间任意值 5.投入库存物资方面的资金应属于【】 A.订货费用 B.保管费用 C.进厂价 D.其它支出 6.用单纯形法求解线性规划问题时引入的松弛变量在目标函数中的系数为【】 A.0 B.很大的正数 C.很大的负数 D.1 7.为建立运输问题的改进方案，在调整路线中调整量应为【】 A.负号格的最小运量 B.负号格的最大运量 C.正号格的最小运量 D.正号格的最大运量 8.求解某运输问题过程中得到如下运输方案： 以下说法错误 ．．的是【】
A.该方案中出现了退化现象 B.对于这种方案，表上作业法无法继续往下求解 C.这是一个供需平衡问题 D.对于这种方案，表上作业法仍可继续往下求解 9.下列选项中结果一定为0的是【 】 A.虚活动的作业时间 B.活动的总时差减去专用时差 C.活动的局部时差减去专用时差 D.结点时差 10.已知某一活动i →j 开始的最早时间ES i,j =3，该活动的作业时间为5，则结点j 的最迟完成时间LF j 为【 】 A.3 B.8 C.不确定 D.2 11.若u=(u 1,u 2,……,u n )为概率向量，则【 】 A.u i ≥0,(i=1,2,……,n) B. ∑=n 1 i i u =0 C.u i ≠0,(i=1,2,……,n),且 ∑=n 1 i i u =1 D.u i ≥0,(i=1,2,……,n),且 ∑=n 1 i i u =1 12.要用最少费用建设一条公路网，将五个城市连接起来，使它们可以相互到达，已知建设费用与公路长度成正比，那么该问题可以看成是【 】 A.最小枝杈树问题求解 B.树的生成问题求解 C.最短路线问题求解 D.最大流量问题求解 13.据教材介绍，不属于．．．盈亏平衡分析在企业管理中应用研究的内容是【 】 A.产品规划 B.厂址选择、设备选择 C.推销渠道的选择、自制或外购选择 D.预测人口变动情况 14.“计划性能法”是盈亏平衡分析的基础。作为“计划性能法”的第一步，是把固定成本分为【 】 A.预付成本和计划成本 B.预付成本和可变成本 C.可变成本和计划成本 D.总成本和计划成本 15.处理等待时间问题，应该运用【 】 A.随机系统的模拟方法 B.仓库系统的模拟方法 C.网络系统的模拟方法 D.排队系统的模拟方法 16．下列向量中的概率向量是【 】 A ．（0.1,0.4,0,0.5） B ．（0.1,0.4,0.1,0.5） C ．（0.6,0.4,0,0.5） D ．（0.6,0.1,0.8,-0.5） 17．当企业盈亏平衡时，利润为【 】 A ．正 B ．负 C ．零 D ．不确定 18．最小最大遗憾值决策准则用来解决【 】条件下的决策问题 A ．不确定性 B ．确定 C ．风险 D ．风险或不确定 19．在不确定的条件下进行决策，下列哪个条件是不必须具备的【 】 A ．确定各种自然状态可能出现的概率值 B ．具有一个明确的决策目标
中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案 《运筹学》 一、判断题：在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“T”，错误者写 “F”。 1. 线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个顶点。( ) 2. 用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j≤0，则问题达到最优。( ) 3. 若线性规划的可行域非空有界，则其顶点中必存在最优解。( ) 4. 满足线性规划问题所有约束条件的解称为可行解。( ) 5. 在线性规划问题的求解过程中，基变量和非机变量的个数是固定的。( ) 6. 对偶问题的对偶是原问题。( ) 7. 在可行解的状态下，原问题与对偶问题的目标函数值是相等的。( ) 8. 运输问题的可行解中基变量的个数不一定遵循m＋n－1的规则。( ) 9. 指派问题的解中基变量的个数为m＋n。( ) 10. 网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。( ) 11. 网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。( ) 12. 工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往是不相等。( ) 13. 在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。( ) 14. 单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是不一致的。( ) 15. 动态规则中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。 ( ) 二、单项选择题 1、对于线性规划问题标准型：maxZ=CX, AX=b, X≥0, 利用单纯形法求解时，每作一次迭代，都能保证它相应的目标函数值Z必为（）。 A. 增大 B. 不减少 C. 减少 D. 不增大 2、若线性规划问题的最优解不唯一，则在最优单纯形表上（）。 A. 非基变量的检验数都为零 B. 非基变量检验数必有为零 C. 非基变量检验数不必有为零者 D. 非基变量的检验数都小于零 3、线性规划问题的数学模型由目标函数、约束条件和（）三个部分组成。 A. 非负条件 B. 顶点集合 C. 最优解 D. 决策变量 4、已知x1= ( 2, 4), x2=(4, 8)是某线性规划问题的两个最优解，则（）也是该线性规划问题的最优解。 A. （4，4） B. (1,2) C. (2,3) D. 无法判断
第一章 线性规划及单纯形法 1．用X j （j=1.2…5）分别代表5中饲料的采购数，线性规划模型： 12345123412341234min 0.20.70.40.30.8.3267000.50.2300.20.8100 (1,2,3,4,5,6)0 j z x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++++≥+++≥+++≥=≥555 +18 +2 0.5+2 2.解：设123456x x x x x x x 表示在第i 个时期初开始工作的护士人数，z 表示所需的总人数，则 123456 161223344556min .607060502030 (1,2.3.4.5.6)0i z x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x i =++++++≥+≥+≥+≥+≥+≥=≥ 3．解：设用i=1，2，3分别表示商品A ，B ，C ，j=1，2，3分别代表前，中，后舱，Xij 表示装于j 舱的i 种商品的数量，Z 表示总运费收入则： 111213212223313233111213212223313233112131122232132333112131max 1000()700()600() .6001000800105740010575400105715008652000z x x x x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤ 122232132333112131122232132333 122232112131 132333865300086515008650.15 8658650.15 8658650.1 8650(1,2.3.1,2,3)ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j ++≤++≤++≤++++≤++++≤++≥== 5. （1）
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 min z=23 466 ..424 ,0 x x x x s t x x x x + +≥ ? ? +≥ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为 最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为 min 3 z=2303 2 ?+?= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 max z=10x5x 349 ..528 ,0 x x s t x x x x + +≤ ? ? +≤ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点， 即 1 12 122 1 349 3 528 2 x x x x x x = ? += ?? ? ?? +== ?? ? ，即最优解为* 3 1, 2 T x ?? = ? ?? 这时的最优值为 max 335 z=1015 22 ?+?=
单纯形法： 原问题化成标准型为 121231241234 max z=10x 5x 349 ..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=?? ++=??≥? j c → 10 5 B C B X b 1x 2x 3x 4x 0 3x 9 3 4 1 0 0 4x 8 [5] 2 0 1 j j C Z - 10 5 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10 1x 8/5 1 2/5 0 1/5 j j C Z - 1 0 - 2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10 1x 1 1 0 -1/7 2/7 j j C Z - -5/14 -25/14
实验二用MATLAB解决动态规划问题 问题:有一部货车每天沿着公路给四个售货店卸下6箱货物,如果各零售店出售该货物所得利润如下表所示,试求在各零售店卸下几箱货物,能使获得总利润最 解: 1)将问题按售货店分为四个阶段 2)设s k表示为分配给第k个售货店到第n个工厂的货物数, x k设为决策变量,表示为分配给第k个售货店的货物数, 状态转移方程为s k＋1＝s k－x k。 P k(x k)表示为x k箱货物分到第k个售货店所得的盈利值。 f k(s k)表示为s k箱货物分配给第k个售货店到第n个售货店的最大盈利值。 3)递推关系式: f k(s k)＝max[ P k(x k)+ f k+1(s k－x k) ] k=4,3,2,1 边界条件:f5(s5)＝0 4)从最后一个阶段开始向前逆推计算。 第四阶段: 设将s4箱货物(s4＝0,1,2,3,4,5,6)全部分配给4售货店时,最大盈利值为: f4(s4)＝max[P4(x4)] 其中x4＝s4＝0,1,2,3,4,5,6 x4*表示使得f4(s4)为最大值时的最优决策。 第三阶段:
设将s3箱货物(s3＝0,1,2,3,4,5,6)分配给3售货店与4售货店时,对每一个s3值,都有一种最优分配方案,使得最大盈利值为:f3(s3)＝max[ P3(x3)+ f4(s3－x3) ] ,x3＝ 第二阶段: 设将s2箱货物(s2＝0,1,2,3,4,5,6)分配给2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f2(s2)＝max[ P2(x2)+ f3(s2－x2) ] 第一阶段: 设将s2箱货物(s1＝0,1,2,3,4,5,6)分配给1售货店、2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f1(s1)＝max[ P1(x1)+ f2(s1－x1) ] 按计算表格的顺序反推,可知最优分配方案有6个: 1） x1*＝1,x2*＝1,x3*=3,x4*=1。 2） x1*＝1,x2*＝2,x3*=2,x4*=1。 3） x1*＝1,x2*＝3,x3*=1,x4*=1。
课程名称:《运筹学》 课程号: 2007120 说明: 1、本导出系统可导出你题库中录入的所有本课程试题信息，但只提供单选、多选、判断题答案，其他题型答案可在试题采集系统中查询； 2、答案选项ABCDEF不区分大小写； 3、判断题答案A为正确，B为错误； 4、答案为RetEncryption(**))样式的为RetEncryption算法加密，括号中的为选项答案. 一、单项选择题(共246小题） 1、试题编号：200712001001010,答案：RetEncryption(D)。 运筹学的主要内容包括： A.线性规划 B.非线性规划 C.存贮论 D.以上都是 2、试题编号：200712001001110,答案：RetEncryption(D)。 下面是运筹学的实践案例的是： A.丁谓修宫 B.田忌赛马 C.二战间，英国雷达站与防空系统的协调配合 D.以上都是 3、试题编号：200712001001210,答案：RetEncryption(D)。 规划论的内容不包括： A.线性规划 B.非线性规划 C.动态规划 D.网络分析 4、试题编号：200712001001310,答案：RetEncryption(B)。
关于运筹学的原意，下列说法不正确的是： A．作业研究B．运作管理C．作战研究D．操作研究 5、试题编号：200712001001410,答案：RetEncryption(B)。 运筹学模型： A．在任何条件下均有效 B.只有符合模型的简化条件时才有效 C．可以解答管理部门提出的任何问题 D．是定性决策的主要工具 6、试题编号：200712001001510,答案：RetEncryption(A)。 最早运用运筹学理论的是： A.二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署 B.美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上 C.二次世界大战后，英国政府将运筹学运用到政府制定计划 D.50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上 7、试题编号：200712001001610,答案：RetEncryption(D)。 下列哪些不是运筹学的研究范围： A.库存控制 B.动态规划 C.排队论 D.系统设计 8、试题编号：200712001002910,答案：RetEncryption(B)。 对运筹学模型的下列说法，正确的是： A．在任何条件下均有效 B．只有符合模型的简化条件时才有效 C．可以解答管理部门提出的任何问题 D．是定性决策的主要工具 9、试题编号：200712001003010,答案：RetEncryption(A)。 企业产品生产的资源消耗与可获利润如下表。
5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量x i或x ij的值（i =1，2，…m j=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数 第二章线性规划的基本概念 一、填空题 1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。 4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。 5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。 7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。 8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。 9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。 10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。 11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。 13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。 14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。 15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解 16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。 17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。 19.如果某个变量X j为自由变量，则应引进两个非负变量X j′,X j〞,同时令X j＝X j′－X j。 20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑c ij x ij。
习题: 1. 试述LP 模型的要素、组成部分及特征。判断下述模型是否LP 模型并简述理由。（式中x ,y 为变量；θ为参数；a,b,c,d,e 为常数。） （1）max z =2x 1-x 2-3x 3 s.t.12312312312135824350,0 x x x x x x x x x x x ++=??-+≤??-+≥??≥≤? （2）min z =1 n k k kx =∏ s.t. 1,1,2...,0,1,2...,n ik k i k k a x b i m x k m =?≥=???≥=?∑ （3）min z = 1 1 n n i i j j i j a x b y ==+∑∑ s.t. ,1,2,...,,1,2,...i i j j i i ij x c i m y d j n x y e ?≤=? ≤=?? +≥? （4）max z = 1 n j j j c x =∑ s.t. 1,1,2,...,0,1,2,...n ij j i i j j a x b d i m x j n θ=?≤+=???≥=?∑ 2. 求解下述LP 问题： （1）min w =1234x x x ++ s.t. 1231 31 2322410,0,0 x x x x x x x x -+=?? -=??≥≥≥? （2）min w = 12323x x x -+ s.t. 1231231 23232 234100,0,0 x x x x x x x x x -++=?? ++=??≥≥≥? （3） max z =2.5x 1+x 2
s.t. 12121 2351552100,0 x x x x x x +≤?? +≤??≥≥? （4） min z =-10x 1-11x 2 s.t. 1212 12123410 528220,0x x x x x x x x +≤??+≤??-≤??≥≥? 3. 用单纯形法求解下述LP 问题： （1）max z = x 1+2x 2+3x 3+4x 4 s.t. 12341234 1,,,0x x x x x x x x +++=??≥? （2）max z = x 1+x 2+x 3+x 4 s.t. 123412341234 62,,,0x x x x x x x x x x x x +++=?? -+-=??≥? （3）min w = x 2-3x 3+2x 5+2x 6 s.t. 234 1 3523562412327438100,1,2,...,6j x x x x x x x x x x x j -++=??++=??-+++=? ?≥=? （4）max z =10 x 1+15x 2+12x 3 s.t.12312312312323235226,,0 x x x x x x x x x x x x ++≤??++≤??++≤??≥? （5） max w =10 x 1+7x 2+4x 3+3x 4+x 5 s.t.123123451 235267 23482350,1,2,3,4,5j x x x x x x x x x x x x x j ++≤??++++≤??+++≤??≥=? 4. 试写出下列问题的对偶问题。 （1）max z =4x 1+3x 2+6x 3