20XX 届高三数学题型与方法专题七：解析几何1【基础知识梳理】
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［例1］已知直线1l 的斜率是3
3
，直线2l 过坐标原点且倾斜角是1l 倾斜角的两倍，则直线2l 的方程为＿＿＿x y 3=
.
［例2］已知直线l 的方程为)0(,0≠=++ab c by ax 且l 不经过第二象限，则直线l 的倾斜角大小为（ B ）
A 、arctan
a b ； B 、arctan(-a b )； C 、p +arctan a b ； D 、p -arctan a b
. ［例3］与圆1)2()1(2
2=-+-y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ B ）
A 、2条；
B 、3条；
C 、4条；
D 、5条. ［例4］过点)3,2(P 与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿026125=+-y x 与2=x
.
［例5］直线21,l l 斜率相等是21//l l 的――――――――――――――――――（ D ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件. ［例6］直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿.]4
3,
2[π
arctg . ［例7］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点)0,2(A 与点(0,6)B 重合，若点)0,3(C 与点D 重合，则点D 的坐标为 ＿；)5
28,51(
D . ［例8］抛物线C 1：x y 22
=关于直线02=+-y x 对称的抛物线为C 2，则C 2的焦点坐标为＿＿＿＿.)2
5,
2(-. ［例9］已知点),(b a 是圆22
2
r y
x =+外的一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系
是（ C ）
A 、相离；
B 、相切；
C 、相交且不过圆心；
D 、相交且过圆心. ［例10］若圆O ：22
2r y
x =+上有且只有两点到直线01543:=-+y x l 的距离为2，则
圆的半径r 的取值范围是＿＿＿＿.51< . ［例11］二次方程02 2 =+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿； 04,0,022>-+=≠=AF E D B C A . ［例12］已知圆C 被y 轴截得的弦长是2，被x 轴分成的两段弧长之比为3:1，求圆心C 的轨迹方程.122 2 =-x y . ［例13］直线l 过定点)0,4(M 与圆42 2=+y x 交于A 、B 两点，则弦AB 中点N 的轨迹方程为＿＿＿＿＿；4)2(2 2 =+-y x （)10<≤x . ［例14］直线l 过定点)0,4(M 与圆42 2 =+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△AOB 面 积的最大值为＿＿＿＿＿＿＿；2. ［例15］已知A 是圆06422 2 =-+-+y ax y x 上任意一点，点A 关于直线012=++y x 的对称点也在圆上，那么实数a 的值为＿＿＿3＿＿. ［例16］已知动圆C 与定圆M ：1)2(2 2=+-y x 相切，且与y 轴相切，则圆心C 的轨迹方程是＿＿； )21(62-=x y 与23 2()2 y x =-. ［例17］已知)3,0(M ，一动圆I 过点M 与圆N ：16)3(22 =++y x 内切. （1）求动圆圆心I 的轨迹C 的方程； （2）经过点(2,0)Q 作直线l 交曲线C 于A 、B 两点，设OB OA OP +=，当四边形OAPB 的面积最大时，求直线l 的方程. （1）14 2 2 =+y x . （2）由+=知，四边形OAPB 是平行四边形.要使得四边形OAPB 面积最大，则△OAB 的面积最大，注意变化中的定值条件.△OAB 的面积是△AOQ 的面积与△BOQ 的面积之差.设A ),(),,(2211y x B y x ，则12||||||AOB S y y ?=-.可在联立方程组时，消去变量x ，保留y .设 直线l 的方程为2x my =+，由2 2221(41)161204 2y x m y my x my ?+ =??+++=??=+? .由△=22(16)412(41)0m m -??+>，得2 430m ->. 由韦达定理得： 1212 221612 ,4141 m y y y y m m +=-=++知021>y y .则12||||||AOB S y y ?=-=||21y y -==.令 243(0)m t t -=> ，那么：2S ==≤=， 当16t t = 时等号成立.此时2 74 m = ，即所求的直线方程为42x y =±+. ［例18］已知复数z 满足4|2||2|=++-i z i z ，则z 对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿； 以i 2与i 2-对应点为端点的线段. ［例19］设P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上的一点，若点P 满足： 2 1 ,02121=∠=?F PF tg PF PF ，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（ D ） A 、 21； B 、32； C 、3 1 ； D 、35. ［例20］一直线l 过椭圆12 42 2=+y x 的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线l 的方程2-=x . ［例21］椭圆13 42 2=+y x 上有2007个不同的点200721,,,P P P ，椭圆的右焦点为F ，数 列)2007,,3,2,1|}({| =n FP n 是公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是＿＿＿＿＿. ]1003 1,0()0,10031[ - ∈d . ［例22］已知点)0,2(),0,2(B A -，点C 在直线1=y 上满足BC AC ⊥，则以A 、B 为焦点 过点C 的椭圆方程为＿＿＿.12 62 2=+y x . ［例23］一双曲线C 以椭圆12 422=+x x 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿.12 22 2=-y x . ［例24］一双曲线与132 2=-y x 有共同渐近线且与椭圆13 22=+y x 有共同焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿；2 1 322=-y x . ［例25］若关于x 的方程)2(12+=-x k x 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是 ＿＿＿.10<≤k . ［例26］已知双曲线的方程为 116 922=-y x ，P 是双曲线上的一点，F 1、F 2分别是它的两个焦点，若7||1=PF ，则=||2PF ＿13； ［例27］椭圆12622=+y x 和双曲线2 21x y a -=的公共焦点为21,F F ，P 是它们的一个公共点，则=∠21cos PF F ＿＿＿＿＿；31 cos 21=∠PF F . ［例28］双曲线)1(122 >=-n y n x 的两焦点为P F F ,,21是此双曲线上的一点，且满足||||21PF PF +＝22+n ，则△21F PF 的面积为＿＿＿1＿＿＿＿＿. ［例29］抛物线2 4x y =的焦点坐标是＿＿)161, 0(＿＿＿；准线方程是＿＿16 1 -=y ＿＿［例30］已知抛物线的焦点为)1,1(F ，对称轴为x y =，且过M （3,2），则此抛物线的准线 方程为＿＿0105=±-+y x ＿； ［例31］直线l 过抛物线y x 42 =的焦点与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点到x 轴的距离之和等于3，则这样的直线l 有（ B ） A 、1条； B 、2条； C 、3条； D 、不存在. ［例32］直线l 过抛物线的焦点与抛物线交于A 、B 两点，O 是抛物线的顶点，则△ABO 的形状是（ C ） A 、直角三角形； B 、锐角三角形； C 、钝角三角形； D 、不确定与抛物线的开口大小有关. [例33]求证：过抛物线)0(22 >=p px y 焦点的所有弦长的最小值是p 2. 分析：本例的证明方法很多.设其焦点弦为AB ，),(),,(2211y x B y x A ，则由抛物线的定义知 12 ||2 AB x x p p p p =++≥==.当且仅当 2 1 x x=时等号成立.此时直线AB与对称轴垂直. ［例34］已知点M是椭圆1 2 2 2 2 = + b y a x 的一条不垂直于对称轴的弦AB的中点，O是坐标原点， 设OM、AB的斜率分别为2 1 ,k k，则2 1 k k?＝―――――――――――――（ C ） A、 2 2 b a ；B、 2 2 a b ；C、 2 2 a b -；D、 2 2 b a -. ［例35］设直线l过椭圆1 4 2 2 = +y x 的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，O是坐标原点，当△OAB的面积最大时，求直线l的方程. 分析：由题可设直线l：3 + =my x代入椭圆方程中得：0 1 3 2 )4 (2 2= - + +my y m，设) , ( ), , ( 2 2 1 1 y x B y x A，可得△OAB的面积S=| | 2 3 |) | | (| 2 3 2 1 2 1 y y y y- = +，可得： 6 1 9 )1 ( 1 3 2 )4 ( 1 3 2 4 4 )4 ( 12 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + = + + = + + + = m m m m m m m S ， 则当3 1 2= + m时，S有最大值为1.此时直线l方程为：3 2+ ± =y x. ［例36］设点P为双曲线1 4 2 2 = -y x 上的动点，F是它的左焦点，M是线段PF的中点，则点M的轨迹方程是＿＿＿＿＿；1 4 ) 2 5 (2 2= - -y x ［例37］已知椭圆的焦点是2 1 ,F F，P是椭圆上的一个动点.如果延长 P F1到Q，使得| || | 2 PF PQ=，那么动点Q的轨迹是（ A ） A、圆； B、椭圆； C、双曲线的一支； D、抛物线. ［例38］已知直线l过点)1,1( M，双曲线C：1 3 2 2= - y x.（1）若直线 l与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l的方程；（2）若直线与双曲线的 右支有两个不同的交点，求直线l斜率的取值范围；（3）是否存在直线l使其与双曲线的有两个不同的交点A、B，且以AB为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由. 分析：（1）当直线l与x轴垂直时，直线1 = x满足题义.当直线l与x轴不垂直时，设直线方程为)1 ( 1- = -x k y，联立得方程：0 )4 2 ( ) 1( 2 ) 3(2 2 2= + - - - - -k k x k k x k---（*）当0 32= -k时，方程（*）是一次方程，直线l与双曲线有一个公共点，此时直线l方程为 )1 (3 1- ± = -x y.当0 32≠ -k时，由△0 24 48= - =k，得2 = k，所以满足题义的直线l为：)1 (3 1 ,0 1 2,1- ± = - = - - =x y y x x. （2）直线l与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由 △k 24 48- =0 >，知2 < k且 ? ? ? ?? ? ? > - + - = ? > - - = + 3 4 2 3 ) 1( 2 2 2 2 1 2 2 1 k k k x x k k k x x ，得2 3< - < k . （3）若以AB 为直径的圆过坐标原点，则0=?，设),(),,(2211y x B y x A ，即 02121=+y y x x .0)1())(1()1(221212=-++-++k x x k k x x k ， 0142=++k k ，32±-=k （满足)2 ［例39］倾角为 3 π的直线l 过抛物线x y 42 =的焦点F 与抛物线交于A 、B 两点，点C 是抛物线准线上的动点. （1）△ABC 能否为正三角形？ （2）若△ABC 是钝角三角形，求点C 纵坐标的取值范围. 分析：（1）直线l 方程为)1(3-= x y ，由x y 42=可得 )332,31(),32,3(-B A .若△ABC 为正三角形，则3π=∠CAB ，由 3π=∠AFx ，那么CA 与x 轴平行，此时4||=AC ，又3 16 2313||=++=AB .与|AC|=|AB| 矛盾，所以△ABC 不可能是下正三角形. （2）设),1(m C -，则}332,34 {},32,4{m m --=-=，2 )3 32(-=?m 不可以为负，所以ACB ∠不为钝角. 若CAB ∠为钝角，则0 38{=BA ，则0)32(3 38332<-+m ，得 3 3 10> m . 若角ABC ∠为钝角，则0 3 2- 3 10()332,36()36,(+∞- ---∞ . 20XX 届高三数学题型与方法专题七：解析几何2【典型题型方法】 班级： 姓名： 一、轨迹问题 例1、如图，已知圆C ：2)1(-x ＋2 y ＝2r （r ＞1），设M 为圆C 与x 轴左半轴的交点，过M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y 轴上．（1）当r ＝2时，求满足条件的P 点的坐标； （2）当r ∈（1，＋∞）时，求N 的轨迹G 方程； （3）过点Q （0，2）的直线l 与（2）中轨迹G 相交于两个不同的点A ，B ，若CA --→CB --→ ?＞0，求直线l 的斜率的取值范围． 解：（1）由已知得，当r ＝2时，可求得M 点的坐标为（－1，0）． 设P （0，b ），则由MP CP k k ?＝－1，得：2b ＝1， 所以b ＝±1，即点P 坐标为（0，±1）． （2）设N （x ，y ），由已知得，在圆方程中令y ＝0， 得M 点的坐标为（1－r ，0）．由MP CP k k ?＝－1，得：r ＝2b ＋1． 因为点P 为线段MN 的中点，所以x ＝r －1＝2 b ，y ＝2b ，又x ＞1， 所以点N 的轨迹方程为：2 y ＝4x （x ＞0）． （3）设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2，M （1x ，1y ），N （2x ，2y ）， ???=+=x y kx y 422 ，消去y ，得：2 2x k ＋x k )44(-＋4＝0． ∵直线l 与抛物线2 y ＝4x （x ＞0）相交于两个不同的点A ，B ， ∴△＝－32k ＋16＞0，得：k ＜ 2 1 ． 又因为CA --→ CB --→ ?＞0，∴)1)(1(21--x x ＋21y y ＞0， ?212)1(x x k +＋))(12(21x x k +-＋5＞0，2k ＋12k ＞0， ∴k ＞0或k ＜－12． 综上可得：0＜k ＜2 1 或k ＜－12． 例2、如图，已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点和上顶点分别为1F 、2F 、B ， 我们称12F BF ?为椭圆C 的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为 椭 圆的相似比.（1）已知椭圆22 1:14x C y +=和222:1164 x y C +=，判断2C 与1C 是否相似，如果相似则求出2C 与1C 的相似比，若不相似请说明理由； （2）已知直线:1l y x =+,与椭圆1C 相似且半短轴长为b 的椭圆b C 的方程，在椭圆b C 上是否存在两点M 、N 关于直线l 对称，若存在，则求出函数()f b MN =的解析式. （3）根据与椭圆1C 相似且半短轴长为b 的椭圆b C 的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）； 解：（1）椭圆2C 与1C 相似. 因为2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为32的等腰三角形，而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为3的等腰三角形， 因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1 （2）椭圆b C 的方程为：)0(1422 22>=+b b y b x . 假定存在，则设M 、N 所在直线为 y x t =-+，MN 中点为()00,x y .则??? ??=++-=1 422 22b y b x t x y 0)(485222=-+-?b t xt x . 所以5,5420210t y t x x x ==+= .中点在直线1y x =+上，所以有3 5 -=t . 12x x -= = 12()f b MN x b ==-=> （3）椭圆b C 的方程为：)0(1422 22>=+b b y b x . 两个相似椭圆之间的性质有： （1）两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；（2）分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；（3）两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合； （4）过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. 二、最值问题 例3、已知椭圆 ,1n y m x 2 2=+常数m 、n +∈R 且m>n (1) 当m=25,n=21时,过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于点P,与y 轴交于点Q, 若FP 2QF =,求直线PQ 的斜率； （2）过原点且斜率分别为k 和k -(1k ≥)的两条直线与椭圆,1n y m x 2 2=+的交点A 、B 、C 、D （按逆时针顺序排列，A 位于第一象限内），试用k 表示四边形ABCD 的面积S （3）求S 的最大值。 解：（1）椭圆 121 y 25x 2 2=+，)0,2(F - ，设P )t ,0(Q ),y ,x (00 ()()00y ,2x FP ,t ,2QF +=--=，?=FP 2QF ?? ???-=-=????=-+=-2t y 3 x y 2t )2x (2200 00 5 21 42t k 5218t 121y 25x 2 02 0±==?±=?=+ （2）根据椭圆的对称性知四边形ABCD 为矩形，设)0y ,0x )(y ,x (A 1111>> 设kx y :l =与椭圆方程 ,mn my nx 22=+n mk mn x mn x mk nx 2 1222+= ?=+? )1k (n mk kmn 4y x 4S kx y 21111≥+= =?= （3）)1k (k n mk mn 4S ≥+ = ,当1m n ,n m ,m n k k n mk <∴>== 时，即 又[)上单调递增，在∞+∈+ ∴≥1k k n mk ,1k 0n m k n mk >+≥+? n m mn 4S 1k ,n m mn 4S max +==+≤ ∴时，当 例4、已知直线L 1：y=kx+1与双曲线1y x :C 2 2 1=-的左支交于A 、B 两点， （1）求k 的取值范围； （2）直线L 经过点P （-2，0）及线段AB 的中点Q ，CD 是y 轴上的一条线段，对任意的直线L 都与线段CD 无公共点，试问CD 长的最大值是否存在，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明下由。 解：（1）2k 1< < ()y ,x Q AB )2(中点设，则??? ????-=-=22 k 11y k 1k x ， ()2x 2 k k 21 y :l 2 +++-= ，令8 17 )41k (22 2k k 22b ,0x 22+ --=++-== () 上是减函数 在2,1k ,817 )41k (2)k (g 2∈+--= 1)1(g )k (g )2(g 22=<<<-∴，即()2b 22b >+- <或 与直线l 无公共点的线段CD 长的最大值是()[]24222+=+-- 三、参数的取值范围 例5、已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q ）.（Ⅰ）求椭圆C 的方程; （Ⅱ）设点P (4,0)-，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M,N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 的斜率的取值范围。 解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为2222 x y a b +=椭圆C 的方22 184 x y += . （Ⅱ）点P 的坐标(4,0)-，显然直线l 的斜率k 直线l 的方程为(4)y k x =+。如图，设点M ，N 为1122(,),(,),x y x y 线段MN 的中点为G 00(,)x y ，由22(4), 18 4y k x x y =+???+=??得2222(12)1632k x k x k +++-由22 2 2 (16)4(12)(328)0k k k ?=-+->解得k <<. ……② 因为12,x x 是方程①的两根，所以21221612k x x k +=-+，于是12 02 x x x +==22812k k -+， 002 4(4)12k y k x k =+=+ .因为2028012k x k =-≤+，所以点G 不可能在y 轴的右边，又直线12F B ,11F B 方程分别为2,2,y x y x =+=-- 所以点G 在正方形Q 内（包括边界）的充要条件为000022y x y x ≤+??≥--?即2 22 22 2 482,1212482, 1212k k k k k k k k ?≤-+??++??≥-?++? 亦即2 2 2210, 2210. k k k k ?+-≤??--≤?? 解得313122k ---≤≤，此时②也成立.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故直线l 斜率的取值范围是3131 [,].22 --- 例6、如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=?，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P . （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．22，求直线l 斜率的取值范围. （Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜｜MA ｜-｜MB ｜｜=｜｜PA ｜-｜ PB ｜｜＝222 2(23)123122++--+（）＝＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中 心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则c ＝2，2a ＝ 22，∴a 2 =2,b 2 =c 2 -a 2 =2.∴曲线C 的方程为12 22 2=-y x . (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得 06kx 4x )k 122=---（∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴ ?????-?+-=?≠0 )1(64)4(012 22 k k k －? ???-±≠331 k k ∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2= 2 212k 16 x x ,k 1k 4--=-,于是 ｜EF ｜＝212x x k 1-+＝.132214)(12 2 2 212212k k k x x x x k --? +=-+?+ 而原点O 到直线l 的距离d ＝ 2 12k +， ∴S △DEF =.1322132211221212222 22k k k k k k EF d --=--?+?+?=? 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有 解得.22,022******** 2 ≤≤-≤--?≥--k k k k k ③ 综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1）∪（-1，1）∪（1，2]. 解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得（1-K 2 ） x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ ?????-?+-=?≠0 )1(64)4(0 12 22 k k k －? ???-±≠331 k k .∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 ｜x 1-x 2｜=.132214)(2 2 2 212 21k k k x x x x --= -?= -+ ③ 当E 、F 在同一支上时（如图1所示）， S △OEF ＝ ;2 1 212121x x OD x x OD S S ODE ODF -?=-?= -?? 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）. +=??ODF OEF S S S △ ODE = .2 1 )(212121x x OD x x OD -?=+? 综上得S △OEF ＝,21 21x x OD -?于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.13222 2k k -- 若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥?OEF S .22,022******* 2 ≤≤-≤-?≥--k k k k k 解得 ④ 综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2] 四、探索性问题 例7、已知等轴双曲线2 2 2 :C x y a -=（0a >）的右焦点为F ，O 为坐标原点. 过F 作一条渐近线的垂线FP 且垂足为P ，2OP = （1）求等轴双曲线C 的方程；（2） 假设过点F 且方向向量为()1,2d =的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，求OA OB ?的值； （3）假设过点F 的动直线l 与双曲线C 交于M 、N 两点，试问：在x 轴上是否存在定点P ，使得PM PN ?为常数.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由． 解：（1）设右焦点坐标为(,0)F c （0c >）. 因为双曲线C 为等轴双曲线，所以其渐近线必为y x =±， 由对称性可知，右焦点F 到两条渐近线距离相等，且4 POF π ∠=. 于是可知，OPF △为等腰直角三角形，则由2OP = 2OF c ?==， 又由等轴双曲线中，222c a =2 2a ?=. 即，等轴双曲线C 的方程为2 2 2x y -=. （2）设()11,A x y 、()22,B x y 为双曲线C 与直线l 的两个交点.因为(2,0)F ，直线l 的方向向量为()1,2d =，直线l 的方程为 22(2)12 x y y x -=?=-. 代入双曲线C 的方程222x y -=，可得()2 22422316180x x x x --=?-+=，于是有121216,36. x x x x ? +=? ??=? 而 ()()12121212422OA OB x x y y x x x x ?=+=+--()121210 58163 x x x x =-++= . （3）假设存在定点(),0P m ，使PM PN ?为常数，其中),(11y x M ，),(22y x N 为直线l 与双曲线C 的两个交点的坐标.①当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 )2(-=x k y 代入222x y -=，可得0)24(4)1(2222=+-+-k x k x k . 由题意可知，1±≠k ，则有142221-=+k k x x ，1 2 42221-+=?k k x x ． 于是，()()()()2121222PM PN x m x m k x x ?=--+-- 222122124))(2()1(m k x x m k x x k ++++-+= )21(21 )1(412)21(241 )2(41)24)(1(22 222 22222222m m k m m k k m m k k m k k k k k -++--=+-+-=++-+--++= 要使PM PN ?是与k 无关的常数，当且仅当1=m ，此时1PM PN ?=-. ②当直线l 与x 轴垂直时，可得点)2,2(M ,)2,2(-N ， 若1=m ，1PM PN ?=-亦为常数. 综上可知，在x 轴上存在定点(1,0)P ，使1PM PN ?=-为常数. 例8.已知直线220x y -+=经过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点A 和上顶点D ， 椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线10 :3 l x = 分别交于,M N 两点。 （I ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值； （Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ?的面积为1 5 ？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由 解法一：（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==故椭 圆C 的方程为2 214 x y += （Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从 而1016(,)33k M 由2 2 (2) 1 4 y k x x y =+???+=??得2222 (14)16164k x k x k +++-=0 0k 0y x S ,R k 01>?>∴∈?>轴上方，位于又由图示知， ? 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而1 2 414k y k =+即 222 284(,),1414k k S k k -++又(2,0)B 直线SB 的斜率k 412k 41k 82k 41k 422 2-=-+-+ 由1(2)4103y x k x ?=--????=??得103 1 3x y k ? =??? ?=-?? 101(,)33N k ∴-，故161||33k MN k =+ 又1611618 0,||233333 k k k MN k k >∴ =+≥?= 当且仅当16133k k = ，即14k =时等号成立1 4 k ∴=时，线段MN 的长度取最小值 83 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN 取最小值时，1 4k = 此时BS 的方程为6442 20,(,),||55x y s BS +-=∴= 要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ?的面积等于 1 5 ，只须T 到直线BS 的距离等于2，所以T 在平行于BS 且与BS 距离等于2的直线'l 上。 设直线:0l x y t '++= 则由 2 ,42 =解得32t =-或52t =- 4y 4x 03y 2x 2l 23 t (1)22=+=-+'-=：时，当T ,0,05x 12x 52 有两个>=+-????? 4 y 4x 05y 2x 2l 25 t (2)22=+=-+'-=：时，当T ,0,021x 20x 52 没有<=+-????? 综上，存在两个T 20XX 届高三数学题型与方法专题七：解析几何（3）巩固提高 班级： 姓名： 一、填空题 1．若过点)1,1(a a P +-与)2,3(a Q 的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是____．)1,2(- 2．直线01)1(2 =+++y a x （R a ∈）的倾斜角的取值范围是_?? ? ? ??ππ,43 3．方向向量为(3,4)d =，且过点)1,1(A 的直线l 的方程是 0134=--y x 4．过点()2,3且一()2,3=个法向量为的直线的点法向式方程为_()()02233=-+-y x 5．已知直线 2132+= -y x 的一个法向量为)2,(-=a a n ，实数a = 5 4 =a 6．直线l 的一个方向向量(1 2)d =，，则直线l 与02=+-y x 的夹角大小为 10 10 3arccos .（结果用反三角函数值表示） 7．直线01)12(=--+y a ax 和直线033=++ay x 垂直的充要条件是__0=a 或 1-=a ___． 8．已知直线1l ：ax －y ＋2a ＋1＝0和2l ：2x －y a )1(-＋3＝0(a ∈R )，若1l 与2l 平行，则a ＝ －1，2 9．.直线1310l x y -+=：，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ．6 π 10．平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=+=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值集合为 ．{}0,1,2-- 11．.若直线l ：1)2(--=x k y 被圆C ：02422 2=--+x y x 截得的弦AB 最短，则直线AB 的方程是_____03=--y x __． 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 8150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为 43 13.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点。定义11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点之间的“直角距离”1212(,)d P Q x x y y =-+-。已知(1,0)B ，点M 为直线20x y -+=上的动点，则(,)d B M 的最小值为 。3 14．过抛物线x y 82 =的焦点作弦AB ，点),(11y x A ，),(22y x B ，且1021=+x x ， 则=AB ．14 15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）被围 于由4条直线a x ±=，b y ±=所围成的矩形ABCD 内，任取椭圆上一点P ， 若n m ?+?=（m 、R n ∈），则m 、n 满足的一个等式是_______________． 2 1 2 2 = +n m 16．椭圆2 21(1)x y t t +=>上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1， 则t = ．2 A B C D O y x 17．过抛物线x y 42 =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10=AB ，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于 ．4 18．已知点() Q 及抛物线24 x y =上一动点()00,P x y ，则0y PQ +的最小值为 2 19．点),(y x Q 是函数12 2 -=x y 图像上的任意一点，点(0,5)P ，则P Q 、两点之间距 离的最小值是20．设F 为抛物线2 4y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点.若0FA FB FC ++=,则||||||FA FB FC ++= . 21. 过双曲线122 22=-b y a x 的右焦点F （c ，0）的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，点M 、N 分→ PF 所成定比分别为1λ、2λ，则有21λλ+为定值.222 b a 类比双曲线这一结 论，在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）中，21λλ+为 二、解答题： 1．已知椭圆P 的焦点坐标为)1, 0(±，长轴等于焦距的2倍． （1）求椭圆P 的方程；（2）矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，点C 、D 落在椭圆P 上，求矩形绕y 轴旋转一周后所得圆柱体侧面积的最大值． 解：（1）椭圆的方程为14 32 2=+y x （2）记),(y x D ， ∴xy S ππ4AB B C 2=??=侧 由3 4324312 222xy y x y x = ?≥+=，得3≤xy ，∴π34≤侧S ．当214322==y x ，即2 6 =x ，2=y 时取到． 2．（1）求以02=±y x 为渐近线，且过点)2, 72(-的双曲线A 的方程； （2）求以双曲线A 的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆B 的方程； （3）椭圆B 上有两点P ，Q ，O 为坐标原点，若直线OP ，OQ 斜率之积为 5 1 ，求证：2 2OQ OP + 为定值． 解：（1）设双曲线方程为λ=-2 24y x )0(≠λ将)2, 72(-代入，得20=λ，得双 曲线A ： 15 202 2=-y x （2）椭圆的顶点为)0,5(±，焦点为)0,20(±，∴52 =b ，椭圆B ：15 252 2=+ y x （3）设k k OP =，k k OQ 51=，由?????=+=1 5 2522y x kx y ，得152522 +=k x ，∴15)1(252 2 2++=k k OP 同理可得1 5)125(5222 ++=k k OQ ，301530150222 2=++= +k k OQ OP 3．已知：椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为 6 π ，原点到该直线的距离为23． （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过 )0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程； （3）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点 )0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）由 33=a b ，222 3 2121b a b a +??=? ，得3=a ，1=b ，所以椭圆方程是：13 22 =+y x （2）设EF ：1-=my x （0>m ）代入13 22 =+y x ，得022)3(22=--+my y m ，设), (11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=．由 322221+= -=+m m y y y ，32222 221+-=-=m y y y 得3 1)32(2 22+=+-m m m ， 1=∴m ，1-=m （舍去）， 直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x （3）将2+=kx y 代入13 22 =+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记), (11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(), 1(), 1(21212211=+++=+?+y y x x y x y x ，又211+=kx y ， 222+=kx y ，得01 314125))(12()1(2 21212=++-= +++++k k x x k x x k ．解得67 =k ，此时（*）方程0>?，∴存在6 7 =k ，满足题设条件． 4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件22PM PN -=，记动点P 的轨迹为W 。 （1）求W 的方程； （2）过)0,2(N 作直线l 交曲线W 于,A B 两点，使得=||AB 22，求直线l 的方程。 （3）若从动点P 向圆C ：2 2 (4)1x y +-=作两条切线，切点为A 、B ，令|PC|=d, 试用d 来表示PA PB ?，并求PA PB ?的取值范围。 解：（1）由22PM PN -=，知点P 的轨迹是以(2,0),(2,0)M N -为焦点，实轴长为22的双曲线。 即设222,242,2,2a c a c b ==?=== 所以所求的W 的方 程为2 2 2x y -= （2）若k 不存在，即x =2时,可得A(2,2)，B(2,-2),|AB|=22满足题意；若k 存在，可设l:y=k(x-2)联立???=--=2)2(2 2y x x k y ，?0244)1(2222=--+-k x k x k 由题意知?? ?>?≠-0 012k ?R k ∈且1±≠k 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则|AB|=21|a |k +? 即 2221| 1|88k k k +-+=22? k=0 即l:y=0 所以直线l 的方程为 x=0或y=0 （3）2 2 cos (1)(12sin )PA PB PA PB APB d APO '?=∠=-- 2 222 2 1(1)(2)(1)12d d d d d ??--??=--=?? ??????? 又2222222 (4)2(4)28182(2)1010d x y y y y y y =+-=++-=-+=-+≥ 则PA PB ?222 22 (1)(2)23d d d d d --= =+-210d ≥ 222()3f d d d =+ -在) +∞是增函数， 21()1037105 f d ∴≥+-= 则所求的PA PB ?的范围为1 7,5??+∞???? 。 5．已知椭圆22 2:1x C y m +=（常数1m >），点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的 坐标为(2,0)。 ⑴ 若M 与A 重合，求C 的焦点坐标； ⑵ 若3m =，求||PA 的最大值与最小值； ⑶ 若||PA 的最小值为||MA ，求m 的取值范围。 解：⑴ 2m =，椭圆方程为2 214x y +=，c ==∴ 左、右焦点坐标为 (。 ⑵ 3m =，椭圆方程为2 219 x y +=，设(,)P x y ，则22 2 2 2 2891 ||(2)(2)1()(33)9942 x PA x y x x x =-+=-+-=-+-≤≤ ∴ 9 4 x = 时min ||2PA =； 3x =-时max ||5PA =。 ⑶ 设动点(,)P x y ，则
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