昆明理工大学工科研究生《数值分析》上机实验作业
姓名：白丽珍
学号：2009214009
专业：农业电气化与自动化
试题九——曲线拟合在竹鞭根系特性研究中的应用
姓名：白丽珍学号：2009214009 专业：农业电气化与自动化
摘要：针对植被的机械作用的研究滞后于水文效应研究的现象，本文应用solidworks三维设计软件就野外根系测试装置进行了虚拟设计，并依据此模型制作出测试样机；接着应用该样机对龙竹的竹鞭根系进行了测试；最后对应用多项式拟合和高斯拟合分别对数据进行了分析。得出根径小于1.5mm时用多项式拟合较好和根径大于1.5mm时用高斯拟合较好的结论。
关键词：测试装置，虚拟设计，竹鞭根系，数值分析
中图分类号：TP331 文献标识码：A 文章编号：
0 引言
受特殊的地貌、气候等自然因素和社会经济条件决定，占云南总面积95%的高原山地土壤侵蚀严重，是滑坡、泥石流的高发区，也是地表水土流失的重灾区，在金沙江沿岸地区尤为严重。这里的坡面不稳定现象包括表层不稳定、浅层不稳定和深层不稳定。前两者多见于地表以下1m范围之内，发生最为普遍。大量的调查表明大面积保存尚好的天然和人工植被，对表层、浅层坡面不稳定过程发挥着重要的抑制和削弱作用。针对此种情况，科研工作者们做了大量研究[1-9]。从总体上讲，人们对植被的机械作用的研究比较薄弱，认识十分有限。这种机械作用研究滞后于水文效应研究的现象在所有植被中、在世界范围内都普遍存在。存在这些不足最直接的原因是缺乏能够在野外现场检测根系生物力学特性的装置。现有的研究多数局限于野外环境的室内模拟；或将试样采集回实验室进行测试，试样在运回过程中会发生一些变化。无法准确地反映野外的实际状况。他们都未使用野外现场测试的便携式装置，导致难以及时定量地描述植物地下根系对土壤的加强机理与潜能；不能客观和准确评价现有植被的坡面保护机制与作用程度；无法对拟建植被结构及品种筛选提供科学依据。而如何有目的地保护和选育对土壤结构稳定、对坡面物质稳定最有效、生态友好和经济价值较高的植被类型，并将其与侵蚀环境改善和调控相结合，将是当今和未来我国侵蚀环境调控可持续发展面临的严峻挑战。因此，研发一种能在野外进行测试植被根系生物力学特性的便携式装置有着极其迫切和重要的意义。
1 测试装置的设计
1.1测试装置的方案设计
本方案基于TRIZ理论，进行头脑风暴式的开发，最后进行比较的设计方案如表1所示。
表1 测试装置设计方案比较表
夹持机构牵引导轨滚轮传动方式牵引方式传动机构数据记录方式方案一两个相互对称的1型杆梯形导轨圆柱面形机械传动水平牵引链传动自动记录
方案二两个相互对称的U型杆V型凹形槽手动传动垂直牵引螺纹传动人工记录
1.2 方案分析
1)夹持机构的选择 两个相互对称的U 型杆夹持，并通过螺栓螺母联结能很好地夹持住根系；1型杆设计简单，但夹持时会出现倾斜；故选用两个相互对称的U 型杆夹持机构。
2)牵引导轨 V 型导轨机构并配上凹形的滚轮能够减小很大的摩擦，更重要的是可以配合传动机构使被牵引试件不会发生旋转；用梯形导轨的话滚轮可能会往边上偏移，并不能保证滚轮始终在导轨上平行移动；故选用V 型导轨。
3) 滚轮 圆柱面形滚轮不能很好地沿导轨滑动；而凹形槽滚轮能够和V 形导轨很顺利地配合；故选用凹形槽滚轮。
4) 传动方式 机械传动的平稳性、匀速性等都优于手动传动，但考虑动力来源、在野外工作的工况及实验经费等因素，选用手动传动方式。
5) 牵引方式 水平牵引方式使机构的纵向高度降低，但增加了其水平长度，若试件较粗大时，试件自身的重力作用带来了测试的干扰，其误差的剔除不易；垂直牵引方式使机构的纵向高度增加，但缩小了其水平长度，但试件的重力作用干扰造成的是固定的系统误差，易于解决；故选择垂直牵引方式。
6) 传动机构 链传动制造方便，选用自行车链轮、链条即可，但链传动的多边形效应使得传动精度受限；螺纹传动虽然加工制造成本高，但其传动平稳，结合牵引方式的选定，故选用螺纹传动。
7) 数据记录方式 自动记录具有相应快，记录准确，便于分析等优点，但结合本项目经费问题，还是选择人工记录方式。
最后综合考虑，选用方案二,其样机如图1所示。
2 实验数据及分析 2.1 实验数据
利用测试样机对云南典型的护坡植被之一禾本科牡竹属的龙竹(Dendrocalamus giganteus Munro)的竹鞭根系在野外进行实地测试。测得部分数据如表2，其数据散点图如图2所示。
表2 龙竹竹鞭根径与纵向应变的数据表
直径(mm)
0.36
0.62
0.7
0.8
0.9
1
1.18
1.28
纵向线应变ε 0.06667 0.06655 0.08229 0.09290 0.07315 0.11557 0.09053 0.07386 直径(mm)
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
纵向线应变ε 0.09889 0.09685 0.10014 0.07046 0.08025 0.07467 0.08374 0.11046 直径(mm)
2.2
2.3
2.4
2.5
2.64
2.76
2.84
3.02
纵向线应变ε 0.07742 0.07226 0.09027 0.06401 0.13986 0.09319 0.11635 0.06757
1
23
4
567
89
1011
1214
13
2.2 拟合分析
2.2.1利用最小二乘法对该组数据进行拟合。
1、 一次拟合
其结果如图3所示。数学表达式为()07773
.0005602.0+=x x f ，方差：0.008015，方程的
确定系数：0.0504。
2、 二次拟合
其结果如图4所示。数学表达式为()07043.001621.0003105.02
++-=x x x f ，方差：
0.007948，方程的确定系数：0.05836。
3、 三次拟合
其结果如图5所示。数学表达式为：
()04667.007456.004212.000762.023++-=x x x x f ，
方差：0.007742，方程的确定系数：0.08274。
图2 实验数据的散点图
图3 一次拟合
图4 二次拟合
4、 四次拟合
其结果如图6所示。数学表达式为：
()02707.03372.03352.01352.001888.0234-+-+-=x x x x x f ，
方差：0.007063，方程的确定系数：0.1632
5、 五次拟合
其结果如图7所示。数学表达式为：
()1494.05013.0016.18227.02884.003648.02345+-+-+-=x x x x x x f ，
方差：0.005882，方程的确定系数：0.3031。
6、 六次拟合
其结果如图8所示。数学表达式为：
()002027
.03742.08049.09748.06206.0191.002229.023456-+-+-+-=x x x x x x x f 方差：0.005707，方程的确定系数：0.3238。
7、 七次拟合
其结果如图9所示。数学表达式为：
()5425
.0256.336.865.10521.7001.36331.005486.0234567+-+-+-+-=x x x x x x x x f 方差：0.005324，方程的确定系数：
0.3693
图5 三次拟合
图6 四次拟合
图7 五次拟合
图8 六次拟合
8、 八次拟合
其结果如图10所示。数学表达式为：
()6722
.0229.424.1112.1555.11185.5333.11771.0008948.02345678+-+-+-+-=x x x x x x x x x f 方差：0.00532，方程的确定系数：0.3697。
9、 九次拟合
其结果如图11所示。数学表达式为：
()02032
.0166.1944.606.1893.2408.20757.9816.24439.002939.023456789++-+-+-+-=x x x x x x x x x x f 方差：0.005309，方程的确定系数：0.371。
2.2.2利用高斯曲线对该组数据进行拟合。
1、 一次拟合
其结果如图12所示。数学表达式为()???
? ????? ??--=2512.5686.209166.0x e x f ，方差：0.007962，方程的
确定系数：0.05665。
图9 七次拟合
图10 八次拟合
图11 九次拟合
2、 二次拟合
其结果如图13所示。数学表达式为()???
?
????? ??--???
? ????? ??--+=22147.2447.12205.0739.209087.005633.0x x e
e x
f ，
方差：0.005302，方程的确定系数：0.3718。
3、 三次拟合
其结果如图14所示。数学表达式为:
()???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--++=22208928.0099.2412.1242.13476.0758.204321.009375.008592.0x x x e
e
e
x f
方差：0.004166，方程的确定系数：0.5064。
4、 四次拟合
其结果如图15所示。数学表达式为：
()???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--+++=22221127.0531.109517.0097.247.1191.13536.0754.201582.004573.009046.008621.0x x x x e e e e
x f ，
方差：0.003943，方程的确定系数：0.5329。
5、 五次拟合
其结果如图16所示。数学表达式为： ()???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--++++=222223547.0754.21127.0532.109546.0096.2464.1191.1007384.0544.208648.001582.004585.009053.000000.0x x x x x e
e
e
e
e
x
f
图12 一次拟合
图13 二次拟合
图14 三次拟合
图15 四次拟合
方差：0.003943，方程的确定系数：0.5329。
6、 六次拟合
其结果如图17所示。数学表达式为：
()???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
? ????? ??--+-+++=2222221766.0248.11748.0249.13059.0751.208435.0097.2764.1279.1006153.0568.2288.4301.4074.004062.008584.000000.0x x x x x x e
e e e e e
x f 方差：0.00313，方程的确定系数：0.6292。
7、 七次拟合
其结果如图18所示。数学表达式为：
()???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--++++++=2222222367.2345.1533.1105.2902.2173.16358.205871.00000.001655.00517.0112.009093.01074.0x x x x x x x e
e
e
e
e
e
e
x f 方差：0.001603，方程的确定系数：0.8101。
2.3 不同函数形式对拟合结果的影响
具体比较见表3。
表3 不同拟合函数的方差和方程确定系数的对照表
图16 五次拟合
图17 六次拟合
图18 七次拟合
由此可见：这两种方法拟合的结果均不太理想，同时不难发现，在根径小于1.5mm 时用多项式拟合较好，当根径大于1.5mm 时用高斯曲线拟合较好。于是将数据分段进行拟合。
根径小于1.5mm 的多项式拟合和根径大于1.5mm 的高斯拟合进行分段拟合，其结果如图19，图20。 根径小于
1.5mm 的拟合多项式表达式为：
()1330
0001477.0000705
.000001907.000003229.000003559.000002558.000001158.00003.0334923456789-+-+-+-+-=x x x x x x x x x x f 拟合结果为：方差为4.973e-019，方程确定系数为1。
根径大于1.5mm 的拟合高斯曲线表达式为： ()???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--???
?
????? ??--++++=2222204292.0356.24322.0543.1175.0111.22168.0862.208135.0584.22313.009706.008929.01161.016.0x x x x x e
e e e e
x f 拟合结果为：方差为0.0004188，方程确定系数为0.9319。
由此可见，分段拟合后各自的方差接近0，而拟合程度也很高，表明此时的回归表达式解释能力很强。
3 实例检验
针对分段拟合的效果，分别进行实例验证，具体数据见表4。
表4 分段拟合值与测试值对照表
图19 根径小于1.5mm 的多项式拟合
图20 根径大于1.5mm 的高斯拟合
分别针对多项式拟合值与实例验证的测试值做对照图见图21、22所示。
图21 多项式拟合值与实例验证的测试值对照图
图22 高斯曲线拟合值与实例验证的测试值对照图
4 结论
由此可见：竹鞭在被拉伸时，其纵向应变与根系直径存在一定关系：当根径小于1.5mm时表现为高次多项式曲线；当根径大于1.5mm时表现为高斯曲线。同时，通过实例验证拟合方程，发现高斯曲线能更好地解释根径与延伸率的关系，但根径不是影响其延伸率的主要因素。
参考文献
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附录
>> X=[0.36, 0.62, 0.70, 0.80, 0.90, 1.00, 1.18, 1.28, 1.40, 1.50, 1.60, 1.70, 1.80, 1.90, 2.00, 2.10, 2.20, 2.30, 2.40, 2.50, 2.64, 2.76, 2.84, 3.02];
>> Y=[0.066666667, 0.066551724, 0.082291622, 0.092898621, 0.073147378, 0.115567206, 0.090533794, 0.073863636, 0.098888516, 0.096848225, 0.100136054, 0.070459976, 0.080246914, 0.074674203, 0.083737921, 0.110459662, 0.077419355, 0.072260562, 0.090273876, 0.064006727, 0.13986014, 0.093190382, 0.116352201, 0.067567568]; >> cftool
>> xx=min(X):0.01:max(X);
>>
yy=0.02939*xx.^9-0.4439*xx.^8+2.816*xx.^7-9.757*xx.^6+20.08*xx.^5-24.93*xx.^4+18 .06*xx.^3-6.944*xx.^2+1.166*xx+0.02032;
>> plot(xx,yy,'*',X,Y,'o')
>>yy=0.1074*exp(-((xx-2.635)/ 0.1129)^2) + 0.09093*exp(-((xx-1.173)/ 1.398)^2) + 0.112*exp(-((xx-2.902)/ 0.134)^2) + 0.0517*exp(-((xx-2.105)/ 0.1093)^2) + 0.01655*exp(-((xx-1.533)/ 0.1148)^2) + 0*exp(-((xx-1.345)/ 0.006396)^2) + 0.05871*exp(-((xx-2.367)/ 0.06871)^2);
>> plot(xx,yy,'o',X,Y,'*')
>>clc
>>X1=[0.36, 0.62, 0.70, 0.80, 0.90, 1.00, 1.18, 1.28, 1.40, 1.50];
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>>cftool
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plot(xx,yy,'o',X1,Y1,'*')
>>X2=[1.50, 1.60, 1.70, 1.80, 1.90, 2.00, 2.10, 2.20, 2.30, 2.40, 2.50, 2.64, 2.76, 2.84, 3.02];
>>Y2=[0.096848225, 0.100136054, 0.070459976, 0.080246914, 0.074674203, 0.083737921, 0.110459662, 0.077419355, 0.072260562, 0.090273876, 0.064006727, 0.13986014, 0.093190382, 0.116352201, 0.067567568];
>>cftool
>>xx=min(X1):0.01:max(X2);
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>>plot(xx,yy,'o',X2,Y2,'*')
>>X1=[0.36, 0.62, 0.70, 0.80, 0.90, 1.00, 1.18, 1.28, 1.40, 1.50, 1.60, 1.70, 1.80, 1.90, 2.00];
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>>Y2=[0.115567206, 0.090533794, 0.073863636, 0.098888516, 0.096848225, 0.100136054, 0.070459976, 0.080246914, 0.074674203, 0.083737921, 0.110459662, 0.077419355, 0.072260562, 0.090273876, 0.064006727, 0.13986014, 0.093190382, 0.116352201, 0.067567568];
>>xx=min(X1):0.05:max(X2);
>>yy=0.16*exp(-((xx-2.584)/ 0.08135).^2) + 0.1161*exp(-((xx-2.862)/ 0.2168).^2) + 0.08929*exp(-((xx-2.111)/ 0.175).^2) + 0.09706*exp(-((xx-1.543)/ 0.4322).^2) + 0.2313*exp(-((xx-2.356)/ 0.04292).^2) ;
>>plot(xx,yy,'o',X2,Y2,'*')
>>X=[0.36, 0.62, 0.70, 0.80, 0.90, 1.00, 1.18, 1.28, 1.40, 1.50, 1.60, 1.70, 1.80, 1.90, 2.00, 2.10, 2.20, 2.30, 2.40, 2.50, 2.64, 2.76, 2.84, 3.02];
>>Y=[0.066666667, 0.066551724, 0.082291622, 0.092898621, 0.073147378, 0.115567206, 0.090533794, 0.073863636, 0.098888516, 0.096848225, 0.100136054, 0.070459976, 0.080246914, 0.074674203, 0.083737921, 0.110459662, 0.077419355, 0.072260562, 0.090273876, 0.064006727, 0.13986014, 0.093190382, 0.116352201, 0.067567568]; >>plot(X,Y,'o')
>>xx=[0.64,0.76,0.78,0.82,0.84,0.96,0.98,1.08,1.12,1.16,1.24,1.32,1.38,1.42,1.48 ];
>>yy=3394*xx.^9-0.0003*xx.^8+0.00001158*xx.^7-0.00002558*xx.^6+0.00003559*xx.^5-0.00003229*xx.^4+0.00001907*xx.^3-0.000705*xx.^2+0.0001477*xx-1330
>>plot(xx,yy,'o')
>>xx=[1.54,1.58,1.62,1.64,1.68,1.72,1.74,1.78,1.82,1.86,1.88,1.96,2.02,2.04,2.06 ,2.08,2.16,2.24,2.26,2.36,2.42,2.46,2.52,2.54,2.66];
>>yy=0.16*exp(-((xx-2.584)/ 0.08135).^2) + 0.1161*exp(-((xx-2.862)/ 0.2168).^2) + 0.08929*exp(-((xx-2.111)/ 0.175).^2) + 0.09706*exp(-((xx-1.543)/ 0.4322).^2) + 0.2313*exp(-((xx-2.356)/ 0.04292).^2)
>>plot(xx,yy,'o')
一、665仍然（10分）已知矩阵?? ????--=4321A 求p A ，∞=,2,1p 二、（10分）设A 、B 为n 阶非奇异矩阵，?表示矩阵的任一种从属范数，试证 ⑴A A 11≥- ⑵B A B A B A -??≤-----1111 三、（10分）试证Newton 迭代法至少具有二阶收敛 四、（10分）证明方程()01263 =--=x x x f 在区间[]5,2内有唯一实根p ，并对任意的初始值[]5,20∈x ，Newton 序列都收敛于根p. 五、（10分）试证不动点定理： 设()[]b a C x f ,∈，且()b x f a ≤≤对一切[]b a x ,∈成立，则()x f 在[]b a ,上有不动 点，并回答满足什么条件不动点唯一（不要求证明）。 六、（10分）设()4 4,5,3,1R x T ∈-=，分别求出p x ，∞=,2,1p 的值 七、（10分）设A 、B 为n 阶非奇异矩阵，?表示矩阵的任一种从属范数，试证 ⑴A A 11≥- ⑵B A B A B A -??≤-----1111 八、（10分）．应用复合梯形公式计算积分 dx e I x ?-=10 26 时要求误差不超过610-，试确定所需的步长h 和基点个数。 九、（10分）用Newton 迭代法计算115（迭代三次） 十、（10分）试证不动点定理： 设()[]b a C x f ,∈，且()b x f a ≤≤对一切[]b a x ,∈成立，则()x f 在[]b a ,上有不动 点，并回答满足什么条件不动点唯一（不要求证明）。 一、（10分）求证F F A A A n ≤≤21 其中n n R A ?∈
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
数值分析总复习提纲 数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。 一、误差分析与算法分析 误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算 截断误差根据泰勒余项进行计算。 基本的问题是 (1)1 ()(01)(1)! n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。 例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。 解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。由麦克劳林公式，可知 211(01)2!!(1)! n x x n x x e e x x n n θθ+=+++++<<+ 当x=1时，1 111(01)2! !(1)! e e n n θθ=+++ ++ <<+ 故3 (1)(1)!(1)! n e R n n θ=<++。 当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。此时， e≈2.718 285。 2、绝对误差、相对误差及误差限计算 绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。 基本的计算公式是： ①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx ② *()()()ln r e x e x dx e x d x x x x ==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x = ⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,)) ((,))(,) f x x f x x f x x εδ=
数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n
很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =
的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。
数值分析复习题及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
数值分析复习题 一、选择题 1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点( )() 0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数 ()() 01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． () 00l x ＝0， ()111 l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1， ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ． 232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+=D ． 230.5 1.5 x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x * =，取5位有效数字，则所得的近似值x= .
2.设一阶差商 ()()()211221 14 ,3 21f x f x f x x x x --= = =---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商 ()123,,______ f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =?? =?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ?? = ? -??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+==，则 []12,,n n n f x x x ++= 和 []123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123 101(1)(1)y x x x =+ +- ---的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差 ()01,f x x = ？ 13. 已知3n =时，科茨系数 ()()() 33301213,88C C C ===，那么() 33C =
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?
数值分析实验报告模板 篇一：数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二：数值分析实验报告 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收
敛，但精度不够。熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x);
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;
%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);
第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?
实验一、误差分析 一、实验目的 1．通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； 2．通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念； 3．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。 二．实验原理 误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。 三．实验内容 对20,,2,1,0 =n ，计算定积分 ?+=10 5dx x x y n n . 算法1：利用递推公式 151--=n n y n y , 20,,2,1 =n , 取 ?≈-=+=1 00182322.05ln 6ln 51dx x y . 算法2：利用递推公式 n n y n y 51511-= - 1,,19,20 =n . 注意到 ???=≤+≤=10 10202010201051515611261dx x dx x x dx x , 取 008730.0)12611051(20120≈+≈y .: 四.实验程序及运行结果 程序一： t=log(6)-log(5);
n=1; y(1)=t; for k=2:1:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y y =0.0884 y =0.0581 y =0.0431 y =0.0346 y =0.0271 y =0.0313 y =-0.0134 y =0.1920 y =-0.8487 y =4.3436 y =-21.6268 y =108.2176 y =-541.0110 y =2.7051e+003 y =-1.3526e+004 y =6.7628e+004 y =-3.3814e+005 y =1.6907e+006 y =-8.4535e+006 y =4.2267e+007 程序2： y=zeros(20,1); n=1; y1=(1/105+1/126)/2;y(20)=y1; for k=20:-1:2 y(k-1)=1/(5*k)-(1/5)*y(k); n=n+1; end 运行结果：y = 0.0884 0.0580 0.0431 0.0343 0.0285 0.0212 0.0188 0.0169
数值分析期末复习资料
数值分析期末复习 题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明 第一章 误差与有效数字 一、 有效数字 1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说 x*有n 位有效数字。 2、 两点理解： （1） 四舍五入的一定是有效数字 （2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为 4、 考点： （1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3） 二、 避免误差危害原则 1、 原则： （1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ） （2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或 （3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三、 数值运算的误差估计 1、 公式： （1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时 除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5 （2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4 *(1) 11 102n r a ε--≤?;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ??? ? ??+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =
第二章 插值法 一、 插值条件 1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值 yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一 二、 拉格朗日插值及其余项 1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8）） 2、 插值多项式表达式（P26（2.9）） 3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计 4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1 三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）： （1） 可表示为函数值的线性组合 （2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式 四、埃尔米特插值（书P36） 两种解法： （1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相 等各2个） （2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义 n i y x P i i n ,,2,1,0)( ==
1第一章 习题解答 1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 解：设 x 的准确值为x *，则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解： e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982，783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减，得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以，有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简，得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以，计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=4562?≈55.96427，取七位有效数字。