一. 教学内容：
椭圆的几何性质
二. 教学目标：
通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．
通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．
使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．
三. 重点、难点：
重点：椭圆的几何性质及初步运用．
难点：椭圆离心率的概念的理解．
四. 知识梳理
1、几何性质
（1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性
把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称
（3）顶点
在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）．
①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；
②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；
（4）离心率
教师直接给出椭圆的离心率的定义：
椭圆的焦距与长轴的比
椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1．
当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁；
当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；
当e＝0时，c＝0，a＝b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2＋y2＝a2，图形就是圆了．，，
【典型例题】
例1. 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
解：（1）列表。将，根据在第一象限的范围内算出几个点的坐标（x，y）
（2）描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆．
例2. 若椭圆的离心率为e＝，求实数k的值。
解：当焦点在x轴上时，有得k＝8.
当焦点在y轴上时，有得k＝.
所求的k＝8或。
例3. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的距离的最小值为，求椭圆的方程。
解：
∴所求的椭圆方程为
例4. 椭圆（a>b>0）上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2＝α，求证
△F1MF2的面积为b2tan.
解：设M F1＝m，M F2＝n，
则m＋n＝2a，且4c2＝m2＋n2－2mncosα＝（m＋n）2－2mn（1＋cosα）
4b2＝2mn（1＋cosα）
例5. 如图，椭圆的长短轴端点为A，B，过中心O作AB的平行线，交椭圆上半部分于点P，过P作x轴的垂线恰过左焦点F1，过F1再作AB的平行线交椭圆于C，D两点，求椭圆的方程。
解：设所求的椭圆方程为（a>b>0）
则P（－c，），
又AB∥OP∴
直线CD的方程为y＝（x－c），将其代入椭圆方程化简得，2x2－2cx－c2＝0
∵
∴
所求的椭圆方程为
【模拟试题】（答题时间60分钟，满分100分）
一、选择题（5分×8＝40分）
1、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是3，则P点到另一个焦点的距离为：（）
A、2
B、3
C、5
D、7
2、椭圆的一个焦点与两个顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的（）
A、倍
B、2倍
C、倍
D、倍
3、椭圆的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是：（）
A、B、C、D、
4、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率为（）
A、B、C、D、
5、椭圆（a>b>0）的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰好为c，则椭圆的离心率为（）
A、B、C、D、
6、若以椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则此椭圆长轴的长的最小值为（）
A、1
B、
C、2
D、2
7、椭圆的两个焦点分别为F1、F2，以F2为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M，已知直线F1M与圆F2相切，则离心率为（）
A、B、C、D、
8、设椭圆（a>b>0）的两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，若PF1⊥PF2，则｜PF1－PF2｜等于（）
A、B、2
C、D、2
二、填空题（5分×4＝20分）
9、平面上点P到两个定点A、B的距离之和等于|AB|，则P点轨迹是。
10、已知对称轴为坐标轴，长轴长为6，离心率为的椭圆方程为。
11、椭圆的离心率为，则实数m的值为。
12、若M为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠MF1F2＝2∠MF2F1＝2α（α≠0），则椭圆的离心率是。
三、解答题（共40分）
13、（满分8分）已知椭圆的焦点在轴上，焦距是4，且经过，求此椭圆的方程。
14、（满分10分）若点在椭圆上，分别是椭圆的两个焦点，且
，求的面积。
15、（满分10分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点A，上顶点B，左焦点
F1到直线AB的距离为|OB|，求椭圆的离心率。
16、（满分12分）已知F1（－3，0），F2（3，0）分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上的点，满足PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分线交F1F2于M（1，0），求椭圆方程。
【试题答案】
二、填空题
9、线段AB
10、
11、m＝3或m＝
12、
三、解答题
13、解：因为焦距为4，所以即①…………3′
设椭圆方程为因为在椭圆上
所以②…………6′
由①②得所以椭圆方程为…………8′14、解：设
由椭圆得…………2′
即①…………4′
是直角三角形 4 ②…………6′由①②得…………8′
所以…………10′
15、解：直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0，…………4′
则左焦点F1（－c，0）到其距离为
16、解：PF2⊥F1F2，PF2＝，…………2′
∵，………………4'
…………………………6'
………………8'
又………………10'
………………11'
所求的椭圆方程为……………………12'
教案设计高中数学 《椭圆》 一、椭圆的定义 1、平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 定点F1, F2叫做椭圆的焦点，|F1F2|叫做椭圆的焦距。 2、点集P=﹛M | |MF1| + |MF2|=2a,2a2a＞|F1F2|﹜,其中两定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两 焦点的距离叫做椭圆的焦距。 二、椭圆的标准方程 1、焦点在x轴上，焦点坐标（±c,0）,焦距为2c。 2、焦点在y轴上，焦点坐标（0,±c）,焦距为2c。 三、一般方程式 1、Ax2+By2=C 2、Ax2+By2=1 四、椭圆标准方程的求解方法 1、定义法 2、待定系数法 五、几种题型的讲解 1、共焦点 2、焦点三角形 3、与椭圆有关的的轨迹方程的求解 4、直线与椭圆关系 5、中点弦问题及点差法 例题1：过已知圆内的一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是（）。 A.圆 B.椭圆 C.圆或椭圆 D.线段 例题2：如图，Rt△ABC中，|AB|=|AC|=1，以点C为一个焦点的椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A，B两点，则这个椭圆的焦距长为。
例题3：求适合下列条件的椭圆的标准方程。 （1）、两个焦点的坐标分别是（-4,0），（0，-4），椭圆上任意一点p 到两焦点距离之和等于10； （2）、两个焦点的坐标分别为（0，-2），（0,2），并且椭圆经过 (23 -,25) (3)、焦点在y 轴上，且经过两个点（0,2），（1,0); (4)、经过点P(-23,1),Q(3,-2). 共焦点问题： 例题4：过点（-3,2）且与92x +142 =y 有相同焦点的椭圆的方程为 。 焦点三角形问题： 例题5：已知P 为椭圆174252 2=+y x 上的一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=60°,求△F 1PF 2的面积。 与椭圆有关的的轨迹方程的求解问题： 例题6：已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′,点M 在PP ′上，并且 求点M 的轨迹。 直线与椭圆关系问题 例题7：已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，直线y=x+1与该椭圆交于点P 、Q ，且 0·=→ → OQ OP ,|PQ|=210 ,求椭圆的方程。 ' =→→MP PM 2
（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：
2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本理 1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( ) A. B.(1,+∞) C.(1,2) D. 2.(xx黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为( ) A.2 B.2 C.4 D.4 4.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为( ) A.3 B.3或 C. D.6或3 5.已知椭圆+=1(0
人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案 一、课型 新授课 二、教学内容 1、椭圆的定义； 2、椭圆的两类标准方程； 3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。 三、教学目标 1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标 准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程； 2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力； 通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系； 3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学 习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。 四、教学重点、难点 重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程； 难点：椭圆标准方程的推导过程。 五、教学方法 教师引导为主、学生自主探究为辅。 六、教学媒体
幻灯片、黑板。 七、教学过程 （一）创设情境，导入新课 用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。 （二）问题探究 老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？ 1、椭圆的形成 下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？ 如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。 将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子之间的距离小，笔尖没有轨迹。 再用课件给学生进行演示： 通过演示可以发现，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。 请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示，思考：在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？如何来归纳椭圆的定义呢？ 2、椭圆的定义 平面内到两定点F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1 F 2 |)的点的轨迹叫做 椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。通常常数
高中数学-圆锥曲线与方程 第1讲椭圆及其性质 考点一椭圆的标准方程 知识点 1椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数． 2椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S△PF 1F 2 ＝ 1 2|PF1||PF2|·sinθ＝b 2· sinθ 1＋cosθ ＝b2tan θ 2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为 bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种： (1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)． (2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y2 a2＋ x2 b2＝1(a>b>0)． 4特殊的椭圆系方程 (1)与椭圆x2 m2＋y2 n2＝1共焦点的椭圆可设为 x2 m2＋k ＋ y2 n2＋k ＝1(k>－m2，k>－n2)． (2)与椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为 x2 a2＋ y2 b2＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或 y2 a2＋ x2 b2＝k2(k2>0，焦 点在y轴上)．
2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习 1．椭圆的简单几何性质 直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的位置关系： 直线与椭圆相切?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交? ????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1________实数解，即Δ______0. 一、选择题 1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，4 5 C ．5,3，35 D ．10,6，3 5 2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 2 36＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 2 4 ＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1 2 ，则m 等于( )
A ． 3 B ．32 C ．83 D ．2 3 4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°， 则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.2 2 5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。满足1MF ·MF 2→ ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．??? ?0，12 C ．???0，2 D ．???2 ，1 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5 5 ，且过点P (－5,4)，则椭圆的 方程为______________． 8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的 离心率等于______． 9．椭圆E ：x 216＋y 2 4 ＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ____________． 三、解答题 10．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦 点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2 c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交 点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e .
一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；
第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的
第52讲椭圆的几何性质 一、课程标准 1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质 2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围 3、掌握直线与椭圆的位置关系 二、基础知识回顾 1、椭圆的标准方程和几何性质 2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)y2 a2＋x2 b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积
为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)中 (1)当P 为短轴端点时，θ最大． (2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ 2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0 a 2y 0. 5、直线与椭圆的关系 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0?直线与椭圆相交； ②Δ＝0?直线与椭圆相切； ③Δ＜0?直线与椭圆相离． 6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|． 三、自主热身、归纳总结 1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的位置关系为( ) A . 相交 B . 相切 C . 相离 D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A 【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A . 第2题图
选修1-1《2.1.1 椭圆及其标准方程》教学设计 一、指导思想与理论依据 1. 新课程标准理念——高中数学新课程标准指出：“强调本质，注意适度形式化。高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的思想方法。”在“椭圆及其标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思等过程，让学生逐步将认识由感性上升到理性，把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学，努力揭示知识的发生、发展过程。 2. 建构主义理论——建构主义认为：知识不是通过教师讲授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过意义建构而获得。由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。 二、教学背景分析 1. 教材分析 解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，科学合理地把几何问题代数化，运用代数的方法来研究几何问题。 在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。在选修1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。本章所研究的三种圆锥曲线都是重要的曲线，因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种圆锥曲线的学习的重点放在了椭圆上，通过求椭圆的标准方程，是学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用方法。因此，“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。 2. 学情分析 知识方面 （1）在必修2第二章里学生已经学习了直线和圆的方程，并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤，具备主动探究椭圆知识的基础； （2）根据日常生活中的经验，学生对椭圆有了一定的认识，但仍没有上升到成为“概念”的水平，将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战； （3）在初中阶段没有涉及过含两个字母、两个根式的方程化简问题； 自身特征方面 （1）我所教授的班级是文科班，他们普遍对数学有一定的畏难情绪，但是他们思维比较活跃，对新鲜事物有一定的好奇心和探索欲望，对老师的讲授敢于质疑，有自己的想法和主见，愿意自己去探索是什么和为什么。并且具备了初步的探索能力；
河北阜城中学--高二数学组 组题人：高泽宁 审核人：沈志华 日期：2019年 月 日 …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 学校： 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 第 1 页 共 3 页 学习目标： 1：熟练掌握椭圆的定义。 2：熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆并确定椭圆的标准方程。 学习重点：椭圆的定义及标准方程。 学习难点：椭圆的定义及标准方程的推导。 教学过程： 一：椭圆概念的引入： 1：动画演示：（1）天体行星和卫星运行的轨道。 （2）立体几何中作圆的一种直观图。 2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F 1,F 2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 分析：在这个运动过程中，什么是不变的？ 答：两个定点，绳长。 即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 3：由此总结椭圆定义： 平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常熟（大于）的点的轨迹叫作椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 说明 注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点------两点间距离确定。 （2） 绳长------轨迹上任意点到两定点距离和确定。 思考： 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 二：根据定义推导椭圆标准方程： 1：复习求轨迹方程的基本步骤： 2：推导：取过焦点21F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。 设P （x,y ）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （ c>0）. 则：)0,()0,(21c F c F -，又设M 与F 1,F 2距离之和等于2a （常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得： )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22> 022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得： 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得： 选修2-1 第一章 2.2.2 椭圆的标准方程 教案 试卷类型 学案 ※ 数学是一切知识的最高形式----柏拉图 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在
第十章 圆锥曲线 本章知识结构图 第一节 椭圆及其性质 考纲解读 1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质 3. 了解椭圆的简单应用 4. 理解数形结合的思想 命题趋势研究 椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型 预测2019年高考对本节考查内容为： （1） 利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题. （2） 利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标 准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分. 知识点精讲 曲线与方程 轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义及标准方程 性质 范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线） 离心率 对称性问题 中心对称 轴对称 点(x 1，y 1) ───────→关于点(a ，b )对称点(2a －x 1，2b －y 1 ) 曲线f (x ，y ) ───────→ 关于点(a ，b )对称曲线f (2a －x ，2b －y ) ? ????A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y 2 2＋C ＝0y 2－y 1x 2－x 1·(－A B )＝－1 特殊对称轴 x ±y ＋C ＝0 直接代入法 点(x 1，y 1)与点(x 2，y 2)关于 直线Ax ＋By ＋C ＝0对称
课题：椭圆的简单几何性质 设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 教学目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．培养学生的数形结合的思想方法。 教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。 教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。 二过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率． 〖板书〗椭圆的简单几何性质． （2）新课讲授过程 （i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得， 22 22 10 y x b a =-≥ ，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：
第2课时：椭圆的简单几何性质（二） 【学习目标】 １．进一步熟悉和掌握椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率等）； ２．掌握求曲线方程的一些基本方法； ３．会利用椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。 【知识线索】 椭圆两种标准方程的性质比较 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 2 1 F F）的点的轨迹 标准方程 )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b x a y 图形 焦点坐标 范围 对称性 顶点坐标 离心率 c b a, ,的含义及关系 【知识建构】 1.椭圆中方程思想的应用； 2.注意椭圆的焦点的位置的确定； 3.利用椭圆的定义接相关椭圆问题是很重要的方法。 【典例透析】 高二选修2-1：第二章圆锥曲线与方程 四环节导思教学导学案 课时目标呈现 目标导航 课前自主预习 新知导学 疑难导思课中师生互动 x A2 B2 F2 y O A1 B1 F1 y O A1 B1 x A2 B2 F1 F2
例1．与椭圆)0(2 32 2>=+λλy x 有相同的离心率，且过点)2,32(的椭圆的标准方程是 例2．如图，点B A ,分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点， 点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方， PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标； （2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。 【课堂检测】 1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为_______． 2.已知点P 是椭圆14 52 2=+y x 上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为定点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标。 【课堂小结】 y F O A B x 课后训练提升 达标导练 M P
《椭 圆》导学 椭圆是我们生活中常见的一种曲线，如汽车油罐的横截面、太阳系中九大行星及其卫星运动的轨道、部分彗星的轨道等等都是椭圆形。研究椭圆的方程及其几何性质，可以帮助我们解决一些实际问题。椭圆是解析几何的重要内容，是高考常考的知识点之一。 知识要点梳理 1、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于│F 1F 2│）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 问题一：对于椭园的定义我们应理解哪些内容： （1）椭圆的定义是据椭圆常见、常用的作图方法而得到的，它反映了椭圆的本质属性，是建立标准方程和解决有关问题的根本依据，必须要深刻理解。建议初学的读者，利用课本中椭圆的画法，边画边体会、理解椭圆的定义。 （2）在定义中要抓住关键字词：“两个定点”、“距离的和”、“常数”，弄清它们的确切含义。特别注意这个常数应大于两定点的距离（│F 1F 2│=2c ），即2a ＞2c 。当2a=2c 时，点的轨迹是两定点确定的线段F 1F 2；当2a ＜2c 时，点的轨迹不存在。 （3）要注意利用椭圆的定义解题。与椭圆有关的一些问题，若根据题设条件，利用椭圆的定义来解，往往起到其它方法所不及的作用。 2、如何联系椭圆的标准方程理解几何性质？ 请读者利用类比的方法，将椭圆的两种标准方程、图形、及几何性质列一张表，然后，思考表中哪些是相同的？哪些是不同的？为什么？再认真阅读下面的说明。 对标准方程及几何性质的几点说明： （1）牢记参数关系：222 0,,,,a b a b c a b c >>=+中最大。 （2）在两种标准方程表示的椭圆的几何性质中，凡是与坐标无关的性质（椭圆本身固有的性质）都是相同的。如长轴、短轴的长，焦距，离心率，椭圆的形状、大小等都是相同的。凡是与坐标有关的性质（由于坐标系选取的不同而得到的特殊性质）都是不同的。如焦点的坐标，顶点的坐标，标准方程，准线方程，椭圆的位置等都是不同的。记忆时，将焦点在x 轴上方程、坐标中的x 换成y ，y 换成x 即可。 （2）标准方程中的常数a 、b （a ＞b ＞0）决定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件，这是椭圆本身固有的性质，与坐标系的选取无关。 （6）椭圆的顶点是它与对称轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上。椭
2018届高三数学训练题（65）：椭圆的几何性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于 32 ,在双曲线C 的方程是 ( ) A ．22 1 4x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x -= 2．已知0<θ<π4,则双曲线C 1:22sin x θ2 2cos y θ-=1与C 2:22cos y θ-22sin x θ =1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 3．已知l 是双曲线C ：22 124 x y -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左，右焦点，若120 PF PF ?=，则点P 到x 轴的距离为( ) A ．3 B C ．2 D 4．已知点()1F ，) 2F ，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标为12 时，点P 到坐标原点的距离是( ) A ．2 B ．32 C D ．2 5．已知双曲线22 221y x a b -=(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则此双曲线的方程为( ) A ．22 1916y x -= B ．22143 y x -=
C ．22 1169y x -= D ．22134 y x -= 6．设双曲线22 143 x y -=的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A ．192 B ．11 C ．12 D ．16 7．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线22 2124 x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于 A ． B ．C ．24 D ．48 8．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ，若,,A B C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 二、填空题 9．已知双曲线x 2a ?y 2b =1(a >0,b >0)的离心率e 是2，则此时b 2+13a 的最小值是_____. 10．以椭圆22 195 x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是1F ，2F ，已知点M 的坐标为()21，，双曲线C 上的点()()000000P x y x y >>，，满足11211121PF MF F F MF PF F F ??=，则12PMF PMF S S -=______． 11．圆x 2＋y 2＝4与y 轴交于点A ，B ，以A ，B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左边的交点分别为C ，D ，当梯形ABCD 的周长最大时，此双曲线的方程为________________． 12．称离心率为e = √5+12的双曲线x 2a 2?y 2 b 2=1(a >0,b >0)为黄金双曲线．如图是双曲线
《椭圆的简单几何性质》教学反思 数学组冶有得 为了提高年轻教师的业务能力和专业素养，学校邀请乌市专家到我校听年轻教师上课, 为了上好木节课，我做了充分准备，下面我从的前期准备、课堂自我感觉及专家评课等方面进行反思，反思如下： 一、课前准备：在前期认真翻看了课木和课标，并多次请教粟登科老师、高志华老师；根据木班学生的实际情况制定了木节的教学目标、教学重难点，列出了框架，再依据框架撰写了教学设计、导学案并制作ppt。 二、课堂自我感觉：从课堂上来看，学生反应积极，教学进程流畅，学生对于知识点达到了掌握和理解，同时能紧跟着老师的思路；基木实现了木节课的预期目标，可惜的是最麻一道练习没处理完。 三、专家评课：一是优点：本节课采用了数形结合的数学思想，更加直观、形象的说明的椭圆的几何性质，使得将难度降低，学生更容易理解、掌握；讲练结合，讲完一个性质练习一道题，使得学生巩同了所学内容，更进一步加深了记忆；课堂较顺利，推进的速度也比较快, 板书较为桀齐；课堂采用了几何曲板，使得复杂的问题简单化。问题的设置较好，层层递进, 使得与学生的互动也比较多，充分体现了新课标要求，以学生为本，将课堂还给学生。 二是缺点：在推到离心率公式的时候速度过快，没有足够的时间去分析和挖掘；例1的讲解只采用了代数法讲解，若结合图形就更能说明问题，学生也更容易理解；本节课的容最较大。四、课后反思： 1.细节决定成败。细节是往往我们忽略的地方，如在复习椭圆的定义时没有强调（| PF】I + I PF2 |= 2a（2a >\ F}F2 |）,如果不满足条件（2a>2c）,那么这个点的轨迹就不是椭圆了，所以要注重教学内容的严谨性。 2.对个别学生的关注度不够，通过检杏笔记和练习本发现上课时没有动笔，一两个学生有打嗑睡的现象。 3.教学语言还需要锤炼。在叙述椭圆的离心率时，语言的表达不是那么精准，也不到位。尔对于一个教师来说最基木就是能够把白己的知识准确的、简单的传授给学生，把复杂的问题简单化，使学生更容易接受，让学生更加认可你。 4?对于教材的挖掘有所欠缺，如叙述离心率是课本上有详细的解答，描述的也比较到位。 五、听专家课的一些想法：乌市专家在高三（14）班上了一节公开课《解三角形》，作为高三的复习课，我们上课的方式一般会是知识梳理、讲解例题、课堂练习；对于公式的推到、背景很少讲解，但是赵老师先复习了最基础的、最简单的公式（三角形的面积公式、锐角三角函数）；Z后利用这两个公式一步步得出了面积公式、正弦定理、余弦定理及推论，使学生更加熟悉了并会应用公式，记忆也比较牢固；然后出了一些较为简单的高考题型进行练习, 最示讲解两道相对复杂的例题。从上课的模式、心态、语言表达等方面给我留下了深刻的印象，也是我学习的内容。 总Z,作为一名年轻教师，要不断的学习，不断地改进，争取早U成熟起来。通过这次的上课和听课，让我也认识到了白己的不足，明确了改进的方向，同时给白己也提出了很多问题，怎样让自己的教学方法多样化，吸引学生？怎样让学生喜欢数学？在今示的教学屮会更加努力。
高二数学椭圆的概念教案及反思 教学目标： 1、通过历史的回溯和实例的展示，了解圆锥曲线的背景和应用，感受其中蕴含的数学文化； 2、经历从具体情境中抽象椭圆的本质特征以及用数量关系形式重塑椭圆定义的过程，掌握椭圆的概念； 根据椭圆的定义建立焦点在轴上的椭圆标准方程，进一步巩固求曲线方程的一般方法和步骤，体验用代数方法研究几何问题的思想方法。 教学重点：掌握椭圆的概念。 教学难点：从具体情境中抽象椭圆的本质特征。 教学过程： 教学过程 设计意图 一、视频引入 1、播放视频：播放经剪辑的嫦娥一号探月的概述，展现嫦娥一号优美的椭圆轨道，引入课题。 2、提出问题 卫星运行的轨迹是椭圆。在生活中还有哪些事物是椭圆？操场的一条跑道线是平面图形，它是不是椭圆呢？什么是数学意义上的椭圆？椭圆有什么性质？椭圆又有哪些应用呢？让我们带着这些问题开始今天的新课——圆锥曲线起始课。 通过振奋人心的音乐和视频剪辑了解圆锥曲线的航天应用并同时引入新课。 通过否定学生心中常见的对椭圆的错误理解，引起认知冲突，激发学生的学习兴趣和求知欲，并引出本节课的学习内容。 二、椭圆的起源和发展 1、介绍椭圆的起源； 2、介绍椭圆的研究成果 介绍解析几何的起 提出问题：能否通过解析几何的方法研究椭圆这些圆锥曲线呢？能否用数量关系表示椭
圆上的点的运动规律呢？ 通过介绍圆锥曲线的历史，使学生了解圆锥曲线的最初定义和历史成果，进一步感受几何图形抽象于生活的特征，欣赏古希腊数学家的信念与智慧。 通过对解析几何的简要介绍，使学生了解解析几何诞生的历史必然性、解析几何的核心思想以及它在数学学科中的地位和作用，了解重塑椭圆定义的时代背景和学科发展背景，并创设悬念引出椭圆的性质。 三、椭圆性质的探索 1、考考空间想象力 第一组试题 我们知道，平行直线之间距离处处相等。那么，平行平面之间的距离有什么性质？ 我们知道，过圆外一点，引圆的两条切线，切线长相等。那么，过球外一点，引球的两条切线，切线长有什么数量关系？ 第二组试题 在圆柱内放置一个与圆柱底面等半径的小球，小球与圆柱侧面的公共点将形成什么曲线？ 同样地，在下方也放置一个相同的小球，它与圆柱侧面的公共点将也形成圆，我们把这两个圆记作圆和圆。请问，圆与圆所在平面有怎样的位置关系？ 如图，在圆柱的最右侧侧面上取圆与圆之间的线段，它与圆、所在平面有怎样的位置关系？与两小球又有怎样的位置关系？ 如果将线段保持铅垂方向，沿着圆柱的侧面转动，与圆、所在平面是否依然垂直？与两小球是否依然相切？ 旋转过程中，线段的长度变不变？为什么？ 第三组试题 这是平面斜截圆柱得到的交线，它是否椭圆。现在，在圆柱内放置一个刚才那样的小球，且与椭圆所在平面相切，请问共有几个切点？ 我们记切点为，在椭圆上任取一点，连结，请问与上方小球有什么位置关系？ 同理，在椭圆所在平面另一侧，再放置一个刚才那样的小球，且与椭圆所在平面相切，将切点记作，则与下方小球相切。请问，当点在椭圆上运动时，，分别与上下两个小球相切不相切？ 2、发现椭圆的性质 椭圆的性质：椭圆上的任意一点到两个定点的距离之和为常数。其中两个定点叫做焦点，