第9章 静电场
9-1 两小球处于如题9-1图所示的平衡位置时，每小球受到张力T ，重力mg 以及库仑力F 的作用，则有mg T =θcos 和F T =θsin ,∴θmgtg F =,由于θ很小，故
l
x
mg
mg mg x q F 2sin tg 41
220=≈==θθπε ∴
3
/1022?
??
?
??mg l q πε
9-2 设q 1,q 2在C 点的场强分别为1E 和2E
，则有
2
1
0141
AC r q E πε=
1
429
9
m V 108.103.0108.1109--??=??
?=
方向沿AC 方向 2
2
0241
BC r q E πε=
1
42
99
m V 107.204
.0108.1109--??=???= 方向沿CB 方向
∴ C 点的合场强E
的大小为：
24242
221)107.2()108.1(?+?=+=
E E E 14m V 1024.3-??=
设E 的方向与CB 的夹角为α，则有
?===--7.337
.28
.11211
tg E E tg α 9-3 坐标如题9-3图所示，带电圆弧上取一电荷元l q d d λ=，它在圆心O 处的场强为
2
01d 41d R
l
E λπε=
，方向如题9-3图所示，由于对称性，上、下两
带电圆弧中对应电荷元在圆心O 处产生的d E 1和d E 2在x 方向分量相
互抵消。
习题9-1图
习题9-3图
习题9-2图
0=∴x E ，圆心O 处场强E 的y 分量为
???
?
??-=
==??2312sin d 412sin d 41202
6
2
6
0R R R R l
E y πελθθ
λπεθλπεπ
π
方向沿y 轴正向。
9-4 （1）如题9-4图(a)，取与棒端相距d 1的P 点为坐标原点,x 轴向右为正。设带电细棒电荷元x q d d λ=至P 点的距离x ，它在P 点的场强大小为 2
0d 41d x x
E P λπε=
方向沿x 轴正向
各电荷元在P 点产生的场强方向相同，于是 ?
?-+-=
=1
1)(20d 41
d d L d P P x
x
E E πε 1
32289110
m V 1041.21028110
81103109114----??=???
???-????=???
? ??+-=
L d d πελ
方向沿x 轴方向。
（2）坐标如题9-4图(b)所示，在带电细棒上取电荷元x q d d λ=与Q 点距离为r ，电荷元在Q 点所产生的场强2
0d 41d r
x
E λπε=，由于对称性，场d E 的x 方向分量相互抵消，所
以E x =0,场强d E 的y 分量为
θλπεθsin d 41sin d d 2
0r x
E E y =
=
因θθθπθθd csc d d ,d 2d ,csc d 2
2222=-=??
?
?
?
-
==x ctg tg x r ∴ θθπελ
θλπεd sin d 4sin d 41d 202
==
r x
E y
)cos (cos d 4d sin d 4d 212
0202
1
θθπελθθπελθθ
-==
=??y y E E
其中 2
2
2
22
22
1)
2/(d 2/cos ,
)
2/(d 2/cos L L L L +-
=+=
θθ
习题9-4图（a ）
习题9-4图（b ）
代入上式得
2
22
2
0)
2/(4L d L d E y +=
πελ
[]
132
12
22
891027.5)
2/2.0()10
8(10
82.0103109----??=+??????=
m V
方向沿y 轴正向。
9-5 带电圆弧长m d R l 12.302.050.04.322=-??=-=π,电荷线密度
199
m C 100.112
.31012.3---??=?==l q λ。带电圆弧在圆心O 处的场强等价于一个闭合带
电圆环（线密度为λ）和一长为d 、电荷线密度为-λ的小段圆弧在O 处场强的矢量和。带电闭合圆环在圆心处的场强为零，而d< C d q 11910202.0100.1--?=?=='λ，故圆心处的场强， 1 2 11920m V 72.05 .010210941 -?=???='=R q E πε,方向由圆心指向空隙中心。 9-6 （1）点电荷q 位于一立方体中心，则通过立方体每一面的电通量相等，∴ 通过每一面的电通量1Φ为总通量Φ的 6 1 ,即 0 01661d 61d 1 εεq q S E S E S ==?=?=Φ?? （2）如果这点电荷移到立方体的一个角上，则电荷q 所在顶角的三个面上，因为各点E 平 行于该面，所以这三个面的电通量均为零，另三个面的电通量相等。如果要把q 全部包围需要有8个立方体，相当于有24个面，每一面上通过的电通量为总通量的 24 1 ，即 ??=?=?=?=Φ1 0124241d 241d S q q S E S E εε 9-7 解法（一）通过圆形平面的电通量与通过以A 为球心，r R x AB =+= 22为半径， 以圆平面的周界为周界的球冠面的电通量相等，该球冠面的面积rH S π2=，通过整个球面 204r S π=的电通量0 0εq = Φ，所以通过该球冠面的电通量为 r H q r rH q S S 02000 242εππε==Φ=Φ 习题9-7图（a ） r r r q α εcos 20-= ???? ?? +-= -= 220012)cos 1(2R x x q q εαε 解法（二）在图形平面上取一同心面元环，设其中半径为r ，宽为d r ,此面元的面积 r r s d 2d π=。设此面元对A 点的半张角为θ，见图所示，由通量公式可得 ? ? ? += += ?=ΦS R R r x r r qx r r r x q S E 0 2 /3202 20 )2(d 2d 2cos 14d επθπε ???? ??+-= 220 12R x x q ε 9-8 通过此半球面的电通量与通过以O 为圆心的圆平面电通量相等，无限大平面外任一点的场强为 2εσ ，∴ 通过该球面的电通量为 0 22 022εσππεσR R S E = =?=Φ 9-9 设想地球表面为一均匀带电球面，则它所带总电量为 E R S E S d E q 20004πεεε-=-=?=? C 1092.5130)104.6(41085.85 2612?-=?????-=-π 9-10 设均匀带电球壳内、外半径分别为R 1和R 2，它所产生的电场具有球对称性，以任意半径r 作一与均匀带电球壳同心的高斯球面S ，由高斯定理可得 24d επi q E r S E ∑=?=?? ∴ 2 04r q E i πε∑= 当15R cm r <=时，0=∑i q ,∴01=E 218R cm r R <=< ??-===∑r R r R i R r r r V q 1 1)(3 4 d 4d 3132πρπρρ ??? ? ??-= -=23102 0313234) (34 r R r r R r E ερ πεπρ 习题9-7(b)图 ????? ???-????= -----22322 12 5 )108()106(1081085.83102 1 4 m V 1048.3-??= )(3 4cm 12313 22 R R q R r i -=∑>=πρ ∴ 2 0313 220313233)(4)(34r R R r R R E ερπεπρ-=-= 1 42 12335m V 101.412 .01085.83)06.01.0(102---??=???-?= 9-11 无限长均匀带电圆柱面产生的电场具有轴对称性，方向垂直柱面，以斜半径r 作一与两无限长圆柱面的同车圆柱面以及两个垂直轴线的平面所形成的闭合面为高斯面，由高斯定理可得 ? ∑==?S i q rlE S E 0 2d επ ∴ rl q E i ∑=021 πε （1）当r rl l E 002221πελ λπε= = ; （3）当2R r >时，0=∑i q ,∴ 03=E 9-12 见题9-12图所示，由于平面无限大，电荷分布均匀，且对中心面S 0（图中虚线）对称，电场分布也应具有均匀性和对称性，即在与带电板平行且位于中心面S 0两侧距离相等的平面上场强大小应处处相等，且方向垂直该平面。过板内P 点或板外Q 点作轴线与x 轴平行，两底面积为S 且相对中心面S 0对称的闭合正圆柱面为高斯面，由高斯定理可得： （1）平板内 ?=∑==?0 022d ερ εxS q S E S E i 内 ∴ ??? ? ?≤=2d 0x x E ερ 内 方向垂直板面向外 习题9-12图 （2）平板外 ?==?0 2ερd s S E S d E 外 ∴ ??? ? ? ≥= 220d x d E ερ 外 方向垂直板面向外。 9-13 由于电荷分布具有轴对称性，故其场强必沿柱体的径向，其大小也具有轴对称性，故在圆柱体内取下同心薄圆筒，其半径为r ，厚度d r ，长l ，见右图示，根据高斯定理可得 ? ?= ?S v v S d E d 10 ρε () ?+= r r rl a r rl E 0 2 20 2d 2)/(11 2πρεπ ∴ ? +=+= r r a r a r a r r r a E 0 2 200222200 4) (2)(d ερερ 9-14 设想原来不带电的小空腔内同时存在电荷体密度为ρ±的两种电荷，则原带电荷等价 于一个半径为R ，电荷体密度为ρ+的均匀带电球体和一个半径为r ，电荷体密度为ρ-的均匀带电球体的组合，空间各处的场强等于这两个均匀带电球体产生场强的矢量和。对于球 心O 处，210E E E +=，由于均匀带电球体球心处的场强为零，所以 2 03230 2 020d 3d 3441d 4ερρ ππεπεr r q E E == = = 方向由O 指向O '。 对于球心O '处，121E E E E O =+=' ∴ 03 033013d 434 d 4d ερπερ ππε===='R R R q E E O 方向由O 指向O '。 对于空腔内的任一点P ，位置如图所示。 3 033 0330302143443444r b r R a R r b q R a q E E E περππερππεπε -='+=+= 习题9-13图 习题9-14图 d b a b a 0 0003)(333ερερερερ=-=-= 以上计算表明空腔任意点的场强大小均为 3d ερ且方向均由O 指向O '，所以，空腔内为匀强电场。 9-15 电偶极子在均匀电场中所受的力矩为 θsin PE M = θ为电矩P 与E 两方向间的夹角，当2 π θ=时，外电场作用于电偶极子上 的力矩最大 3 56max 102100.1100.1--?????==qEd M m N 100.24 ??=- 9-16 外力所作的功为 ???? ? ?-=-=-=1202201121124141)(r q r q q u u q W W A πεπε J 1056.642.0125.01 109100.3105.11146988120 2 1---?=?? ? ??-?????=? ??? ? ?-= r r q q πε 9-17 （1）氢原子内负电荷的总电量为 ? ? --=+ =0 2 /23 20 d 4d 4)(a a r e e a e r r e a q q r r r q q πππρ ? ==- =--0 00 22/230 67.05d 4a e e a r e e q e q r r e a q q （2）由于负电荷呈球状对称分布，故可采用高斯定理计算负电荷产生的电场强度1 E 的大小为 ?? = ?v S E S d 1d 0 1ρε ?-= r a r e r r e a q r E 02 /230 02 1d 41 40 ππεπ 习题9-15图
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