高一函数图像对称性及函数周期性作业
高中数学中函数图像的对称性主要以考查轴对称为主，关于点对称主要结合奇函数一起考查，对于轴对称，我们应该首先回顾以下初中学的点的横纵坐标对称，以及水平线、竖直线、轴对称等一些基础概念；而周期性则是重点在于一些选择题、填空题里作为解题关键，考查周期的性质中“周期”性质运用为主。高中阶段对于函数对称性与周期性的学习，教师在授课过程中抓住先以图像分析为先掌握其真正含义再以数学符号的形式表现出来，最常用的轴对称及周期结合奇偶性的考查，记住对称与周期在自变量形式上的体现及求法即能学好此知识点.
1 对称性基础回顾练习（学习对称性注意数形结合）
基础练习1 在直角坐标系中，已知点：()13A ，，()22B -，，()31C ，，()23D --，
，()31E -，，()22F -， （1）在直角坐标系中找出以上点关于原点的对称点；
（2）在直角坐标系中找出以上点分别关于x 轴、y 轴、轴线4x =以及轴线3y =的对称点.
基础练习2 写出下列函数的对称轴线方程：
（1）2()35f x x x =+- （2）1()2
f x x =
+ （3）()2f x x =+ （4）1(2)2f x x +=-
基础练习3 已知：21
()234()2()7f x x x g x x h x x x x
=++=+=+，， （1）写出()()()f x g x h x ，，关于轴2x =对称的函数解析式；
（2）写出()()()f x g x h x ，，关于点(22)A ，对称的函数解析式.
2 周期性质基础练习
练习1 已知函数()f x 为周期函数，且3T =为函数的一个周期，[]12x ∈当，时，2()23f x x x =++，求(3)f 、 (7)f 、(19)f 、(2009)f 以及(2013)f 的值.
3 周期性与对称性考点解析
周期性：考查周期性题型解答抓住周期函数定义，关键是否能找到非零实数T 使之()()f x f x T =+恒成立，则T 为函数一个周期，()kT k Z ∈也为函数的一个周期.
常用抽象周期函数结论：函数()y f x =在其定义域内的任一实数x 满足()a b a b ≠，为常数且
（1）()()f x a f x b +=-恒成立，则()f x 是以T a b =+为周期的周期函数；
（2）()()f x a f x +=-恒成立，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；
（3）()()
1f x a f x +=±恒成立，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； （4）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >）恒成立，若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为
偶函数，则其周期为2T a =．
（5）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期
函数
总结：周期函数模型很多，常用的为以上几种类型，可以发现，上述模型最终都可以推导出()()f x f x T =+恒
成立的形式，也就是说一个函数可以最终推断出等式两边变量相减为常数的形式（可以结合图像分析），则为周期函数，反之亦然.
例1 函数()f x 对任意实数x 满足1(3)()
f x f x +=，若(1)3f -=，(5)f = . 解析：抽象函数周期推导总是以原恒成立等式推到而出 解：由题意有11(33)()(6)1
(3)()
f x f x f x f x f x ++====++，故函数是周期函数，其中一个周期为6，故 (1)(16)(5)
f f f -=-+==.
练习1 函数()f x 对任意实数x 满足1(4)()
f x f x +=，若(1)3f =，(7)f -= . 练习2 函数()f x 对任意实数x 满足1(2)()f x f x +=
，当()03x ∈，时，2()31f x x x =+-，(9)f = . 例2 函数()f x 对任意实数x 满足(3)()0f x f x ++=，若(1)3f -=，(5)f = .
解析：周期函数模型，由题目已知恒等式推导出周期等式
解：由题意(3)()f x f x +=-，则(6)((3)3)(3)()f x f x f x f x +=++=-+=，故(5)(56)(1)3f f f =-=-= 练习1 函数()f x 对任意实数x 满足(2)()0f x f x ++=，若(1)5f =，(5)f = .
练习2 函数()f x 对任意实数x 满足3()()02
f x f x ++=，若(1)0f =，则(1)(4)(7)f f f ++= . 例3 已知函数()f x 是以4为周期的奇函数，且当02x ≤≤时，2()3f x x x =+-，则(5)f -= . 解析：此题考查周期与奇偶性的结合，
解： (5)(1)(1)(113)1f f f -=-=-=-+-=
例4 已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且对于任意的x 满足(2)(4)f x f x +=-，(1)3f =，则(7)f = . 解析：周期结合奇偶性，由奇偶性及题目等式推导出周期，然后求值
解：((4)2)(4(4))()()f x f x f x f x ++=-+=-=，故()f x 是周期为6的偶函数，(7)(1)3f f ==
练习1已知函数()f x 是以3为周期的奇函数，且当01x ≤≤时，52()35f x x x x =+-+，则(7)f -= .
练习2已知函数()f x 是以5为周期的偶函数，且当31x -≤≤-时，2()34f x x x =+-，则(6)f = . 练习3函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且对于任意的x 满足(2)(2)f x f x +=-，(1)3f =，则(7)f = . 练习4函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且对于任意的x 满足(4)(4)f x f x +=-，(1)3f =，则(7)f = .
对称性：本章重点讲解轴对称，对于函数本身而言，从函数图像上分析轴对称必有对称轴，那么函数在恒等式中的
体现即为等式两边的自变量相加为常数，常数的一半即为函数对称轴，对于函数之间的对称，可以通过图像分析得到.
二次函数对称轴：20()2b f x ax bx c x a
=++?=-对称轴 抽象函数关于对称常用结论：
（1）0()()2a b f x a f b x x ++=-?=
对称轴（本身对称） （2）()f x a +与()f b x -关于02
b a x -=
对称（两个函数间对称）
题型：
例1 （两函数对称求值）已知函数2()3f x x x =++，函数()g x 与()f x 的图像关于轴03x =对称，求函数()g x 在
区间[]34，上的最值.
解析：设(())x g x ，为函数()g x 图像任意上一点，则此点关于轴03x =对称的点为(6())x g x -，，由题意此点必
在函数()f x 的图像上，即有()(6)g x f x =-，由此可解出()g x 的解析式，进一步即能求得()g x 在[]34，上的最值.
解： 由题意22()(6)(6)(6)31345g x f x x x x x =-=-+-+=-+，由此可以得出()g x 在区间[]34，上单调递减，
故最大值为(3)15g =，最小值为(4)9g =.
练习1 已知定义域均为R 的函数2()4f x x ax =+-，()()g x f x =-且(2)5g -=，若()h x 与()f x 的图像关于
轴01x =对称，求函数()h x 的值域.
例2 （函数本身对称）已知函数()f x 定义域为R ，且对于任意实数x 满足(2)(6)f x f x +=-，当02x ≤≤时，
2()235f x x x x =++++，则(1)(3)f f = .
解析：由题意可以得出函数()f x 图像关于轴2x =对称，故(3)(1)f f =，随即可求出(1)(3)f f 的值.
解：由题意函数()f x 的图像关于轴6222x -=
=对称，故有2(3)(1)12113512f f ==+?+++=，则有 (1)(3)1
4f f =. 练习 1 已知函数()f x 定义域为R ，且对于任意实数x 满足(1)(5
)f x f x +=-，当02x ≤≤时，2()235f x x x x =++++，则(0)(4)f f += .
函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f =
高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；
函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ②
高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比
高一函数图像对称性及函数周期性作业 高中数学中函数图像的对称性主要以考查轴对称为主，关于点对称主要结合奇函数一起考查，对于轴对称，我们应该首先回顾以下初中学的点的横纵坐标对称，以及水平线、竖直线、轴对称等一些基础概念；而周期性则是重点在于一些选择题、填空题里作为解题关键，考查周期的性质中“周期”性质运用为主。高中阶段对于函数对称性与周期性的学习，教师在授课过程中抓住先以图像分析为先掌握其真正含义再以数学符号的形式表现出来，最常用的轴对称及周期结合奇偶性的考查，记住对称与周期在自变量形式上的体现及求法即能学好此知识点. 1 对称性基础回顾练习（学习对称性注意数形结合） 基础练习1 在直角坐标系中，已知点：()13A ，，()22B -，，()31C ，，()23D --， ，()31E -，，()22F -， （1）在直角坐标系中找出以上点关于原点的对称点； （2）在直角坐标系中找出以上点分别关于x 轴、y 轴、轴线4x =以及轴线3y =的对称点. 基础练习2 写出下列函数的对称轴线方程： （1）2 ()35f x x x =+- （2）1()2 f x x =+ （3）()2f x x =+ （4）1(2)2f x x +=- 基础练习3 已知：21()234()2()7f x x x g x x h x x x x =++=+=+，， （1）写出()()()f x g x h x ，，关于轴2x =对称的函数解析式； （2）写出()()()f x g x h x ，，关于点(22)A ，对称的函数解析式.
2 周期性质基础练习 练习1 已知函数()f x 为周期函数，且3T =为函数的一个周期，[]12x ∈当，时，2 ()23f x x x =++，求(3)f 、 (7)f 、(19)f 、(2009)f 以及(2013)f 的值. 3 周期性与对称性考点解析 周期性：考查周期性题型解答抓住周期函数定义，关键是否能找到非零实数T 使之()()f x f x T =+恒成立，则T 为函数一个周期，()kT k Z ∈也为函数的一个周期. 常用抽象周期函数结论：函数()y f x =在其定义域内的任一实数x 满足()a b a b ≠，为常数且 （1）()()f x a f x b +=-恒成立，则()f x 是以T a b =+为周期的周期函数； （2）()()f x a f x +=-恒成立，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； （3）()() 1f x a f x +=±恒成立，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； （4）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >）恒成立，若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为 偶函数，则其周期为2T a =． （5）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期 函数 总结：周期函数模型很多，常用的为以上几种类型，可以发现，上述模型最终都可以推导出()()f x f x T =+恒 成立的形式，也就是说一个函数可以最终推断出等式两边变量相减为常数的形式（可以结合图像分析），则为周期函数，反之亦然. 例1 函数()f x 对任意实数x 满足1(3)() f x f x +=，若(1)3f -=，(5)f = . 解析：抽象函数周期推导总是以原恒成立等式推到而出 解：由题意有11(33)()(6)1 (3)() f x f x f x f x f x ++====++，故函数是周期函数，其中一个周期为6，故 (1)(16)(5)3f f f -=-+==.
高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 抽象函数的对称性 关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。 一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b = +2的对称点为()A a b m n '+-，。 []∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2 的对称点为()A b a m n '--，。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2 的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。 易知，函数y f x a b =++? ? ???2与y f x a b =-++?? ?? ?2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--?? ???++?? ????=+22()的图象，由y f x a b =-++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---?? ???++????? ?=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 三、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x c f b x ()()+=--2，则函数y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称。 证明：设点() A m n ，是y f x =()图象上任一点，则f m n ()=，点A 关于点a b c +?? ?? ?2，的对称点为()A a b m c n '+--，2。 []∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222 ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称 说明：（1）当a b c ===0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。 四、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -?? ?? ?2，对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于点b a c -?? ?? ?2，的对称点为()A b a m c n '---，2 高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写 作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数 的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的 y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x)(x∈A),则， y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)，称为f、g的复合函数。 高一数学函数的性质 题型一：判断函数奇偶性 1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断． 【例1】 判断下列函数的奇偶性： ⑴ 1 y x =； ⑵ 422y x x =++； ⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-． 【例2】 判断下列函数的奇偶性： ⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+ ； ⑷21()f x x =． 【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由： ⑴ 221()1x x a f x a += -(0a >且1)a ≠； ⑵ ()f x = ⑶ 2()5||f x x x =+． 典例分析 板块二.函数的奇偶性与对称 性 【例4】 判别下列函数的奇偶性： （1）31 ()f x x x =-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 【例5】 判断函数 的奇偶性． 2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数； （2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数； （3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数． 【例6】 判断下列函数的奇偶性： ⑴ ()(f x x =- ⑵ 11 ()()( )12 x f x F x a =+-，其中0a >且1a ≠，()F x 为奇函数． 【例7】 若函数f(x)= 3 (x x)+g(x)是偶函数，且f (x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性． 【例8】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有 ()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则2() ()()()1 f x F x f x g x = +-是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 函数的单调性习题 一． 选择题： 1．函数1 1 --=x y 的单调区间是 （ ） ),.(+∞-∞A )0,.(-∞B ),1(),1,.(+∞-∞C ()+∞-∞,1)1,.(Y D 2．如果函数)(x f 在],[b a 上是增函数，那么对于任意的)(],,[,2121x x b a x x ≠∈，下列结论中不正确的是 （ ） 0) ()(. 2 121>--x x x f x f A 0)]()()[.(2121>--x f x f x x B )()()()(.21b f x f x f a f C <<< 0) ()(. 121 2>--x f x f x x D 3.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） ),3.[+∞-A ]3,.(--∞B ]5,.(-∞C ),3[+∞ 4．函数2 1 )(++= x ax x f 在区间),2(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） )21,0.(A ),1()1,.(+∞--∞Y B ),2 1 .(+∞C ),2.(+∞-D 5．函数)2(,2 3 -≠+=x x y 在区间]5,0[上的最大值、最小值分别是（ ） 0,73.A 0,23.B 73,23.C .D 最大值7 3 ，无最小值。 6．函数23)(2++=x x x f 在区间)5,5(+-上的最大值、最小值分别是（ ） 12,42.A 41,42.-B 41,12.-C D 最小值4 1 -，无最大值。 7．下列命题正确的是 （ ） A 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 B 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若有无穷多对),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 C 若)(x f 在区间1I 上为增函数，在区间2I 上也为增函数，那么)(x f 在21I I Y 上也一定为增函数， D 若在)(x f 区间I 上为增函数且),(),()(2121I x x x f x f ∈<，那么21x x <。 8.设),(),,(d c b a 都是)(x f 的单调增区间，且),(),,(21d c x b a x ∈∈21x x <，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系为 （ ） )()(.21x f x f A < )()(.21x f x f B > )()(.21x f x f C = D 不能确定 9．考察函数：①x y =；②x x y =；③x x y 2 -=；④x x x y +=。其中在)0,(-∞上 为增函数的有（ ） .A ①② B 。②③ C 。③④ .D ①④ 10.已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） ),1.[+∞A ]2,0.[B ]2,.(--∞C ]2,1.[D 二． 填空题： 1． 函数x y -=在),[+∞a 上是减函数，则a 的取值范围是 2． 函数x x y 1 2- =的单调递增区间是 3． 函数562+-=x x y 的单调增区间是 4． 已知函数)(x f 在区间),0(+∞上是减函数，那么)1(2+-a a f 与)4 3 (f 的大小关 系为 5． 函数245x x y --=的单调递增区间是 1.3.1 三角函数的周期性 一、课题：三角函数的周期性 二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义； 2.会求正、余弦函数的最小正周期。 三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。 四、教学过程： （一）引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变量x 2π- 32π- π - 2 π- 2π π 32 π 2π 函数值sin x 1 0 1- 0 1 1- 正弦函数()sin f x x =性质如下： 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 （二）新课讲解： 1．周期函数的定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：（1）T 必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 【思考】 （1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin( )sin 636π ππ+ =，能否说 23 π 是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠） （3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，* k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2．最小正周期的定义 对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。 说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期； （2）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； （3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期） 3．例题分析： – – 标准文档 实用文案对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1.函数()yfx?有()()faxfbx???（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()axbxab?????），则()fx的图像关于2abx??轴对称；当ab?时，若()() (()(2))faxfaxfxfax?????或，则()fx关于xa?轴对称； 2.函数()yfx?有()()fxafxb???（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()xaxbab?????），则()fx是周期函数，其周期Tab??；当ab?时，若 ()()fxafxa???，则()fx是周期函数，其周期2Ta?； 3.函数()yfx?的图像关于点(,)Pab对称?()(2)2 (()=2(2))fxfaxbfxbfax?????或；函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称? ()=(2) fxfax??( ()=())faxfax???或； 4.奇函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且 4Ta?是函数的一个周期； 5.奇函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且4Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期； 6.函数()yfx?的图像关于点(,0)Ma和点(,0)Nb对称?函数()yfx?是周期函数，且2()Tab??是函数的一个周期； 7.函数()yfx?的图像关于直线xa?和直线xb?对称?函数()yfx?是周期函数，且 2()Tab??是函数的一个周期。 标准文档 高中数学——函数的周期性 一、知识回顾 1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．关于函数周期性常用的结论 (1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1() f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (3)若函数满足1()() f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=?． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=?． （7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=?． 二、方法规律技巧 1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω| 计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ． 2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期． 高一数学公式总结 复习指南 1．注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。 在这里我再一次强调听课要做到“五得” ◆听得懂 想得通?记得住?说得出?用得上 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点：理解概念。 教学过程： 一、复习准备： 1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？ 2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ 3. 画出函数f(x)= x ＋2、f(x)= x 2的图像。（小结描点 法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课： 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念： ①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论： 随x 的增大，函数值怎样变化？ 当x 1>x 2时，f(x 1)与f(x 2)的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ ③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高一数学函数的单调性 与最值教案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 高一数学——函 数 第三讲 函数的单调性与最大（小）值 【教学目标】： （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性； （4）理解函数的最大（小）值及其几何意义。 【重点难点】： 1.重点：函数的单调性、最大（小）值及其几何意义， 2.难点: 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。 【教学过程】：用具： 一、知识导向或者情景引入 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： （3）函数图象是否具有某种对称性 2、画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______ ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （2）f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______ ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． （3）f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x 2 ，当x 1 高中数学总结归纳 抽象函数的对称性
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