高中数学《必修四》导学案
班级________ ___________
第一章 三角函数 1.1.1 任意角
【学习目标】
1、 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念
2、 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合
表示
【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入
问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？
______________________________________________________ 所学的角的围是什么？
______________________________________________________
问题2：在体操、跳水中，有“转体0
720”这样的动作名词，这里的“0
720”，怎么刻画？
______________________________________________________
二、建构数学 1．角的概念
角可以看成平面一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类
按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 3. 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合_________ ， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。
4．象限角、轴线角的概念
我们常在直角坐标系讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。
象限角的集合
（1）第一象限角的集合：_______________________________________
（2）第二象限角的集合：_______________________________________
（3）第三象限角的集合：_______________________________________
（4）第四象限角的集合：_______________________________________
轴线角的集合
（1）终边在x轴正半轴的角的集合：_______________________________________
（2）终边在x轴负半轴的角的集合：_______________________________________
（3）终边在y轴正半轴的角的集合：_______________________________________
（4）终边在y轴负半轴的角的集合：_______________________________________
（5）终边在x轴上的角的集合：_______________________________________
（6）终边在y轴上的角的集合：_______________________________________
（7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________
三、课前练习
在同一直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。
000000
---
30,150,60,390,390,120
【典型例题】
例1 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？
（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？
例2 在0
03600到的围，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。
（1）0650 （2）0150- （3）0240- （4）'
015990-
例3 已知0
240与α角的终边相同，判断2
α
是第几象限角。
例4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。
例5 写出角的终边在下图中阴影区域角的集合（包括边界）
（1） （2） （3）
【拓展延伸】
已知角α是第二象限角，试判断2
α
为第几象限角？
【巩固练习】
1、设0
60-=α，则与角α终边相同的角的集合可以表示为__________________ _. 2、把下列各角化成),3600(3600
Z k k ∈<≤?+αα的形式，并指出它们是第几象限的角。 （1）0
1200 （2）0
55- （3）0
1563 （4）0
1590-
3、终边在y 轴上的角的集合_______________，终边在直线x y =上的角的集合
________________，终边在四个象限角平分线上的角的集合_____________________ . 4、 终边在030角终边的反向延长线上的角的集合___________________________. 5、 若角α的终边与0
45角的终边关于原点对称，则
若角βα,的终边关于直线0=+y x 对称，且0
60-=α，则
6、 集合},3690|{0
Z k k A ∈-?==αα，
}180180|{00<<-=ββB ，则A
B
______________________________
7、 若
2
α
是第一象限角，则α的终边在______________________________ _ 8、（1）与'30350
-终边相同的最小正角是________; （2）与0
715终边相同的最大负角是___________; （3）与0
1000终边相同且绝对值最小的角是__________; （4）与0
1778-终边相同且绝对值最小的角是___________. 9、与0
15-终边相同的在00
3601080
-<≤-β之间的角β为_______________________.
10、已知角βα,的终边相同，则βα-的终边在___________________________. 11、若β是第四象限角，则β-0180是第_____象限角；β+0
180是第____ 象限角。 12、若集合},9018030180|{0
Z k k k A ∈+?<<+?=αα， 集合},4536045360|{0
Z k k k B ∈+?<<-?=ββ， 则._____________=?B A
13、已知集合}{锐角=M ，}90{0
的角小于=N ，}{第一象限的角=P .
（1）N P ?，（2）M P N =?，（3）P M ?，（4）P N M ??)( 其中正确的是_______ _.
14、角α小于0180而大于0
180-，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角α。
15、已知α与0
60角的终边相同，分别判断
αα2,2
是第几象限角。
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班级________ ___________
1.1.2 弧度制
【学习目标】
1、理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数
2、掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题
3、了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系
【学习重点、难点】
弧度的概念，弧度与角度换算
【自主学习】
一、复习引入
请同学们回忆一下初中所学的01的角是如何定义的？
二、建构数学
1．度量角还可以用_______为单位进行度量，___________________________________ 叫做1弧度的角，用符号_____表示，读作________。
2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____ 如果半径为r的圆心角所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是____________ 这里，α的正负由___________________________决定。
3．角度制与弧度制相互换算
360°＝_________rad 180°＝_________rad
1°＝_________rad 1 rad＝_________°≈ _________°
4．角的概念推广后,在弧度制下, ________________与______________之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即______________ _)与它对应;反过来,每一个实数也都有________________(即_______________ )与它对应。
5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：
α=______________ （l为弧长，r为半径）
角α的弧度数的绝对值||
弧长公式：____________________________
扇形面积公式：____________________________
【典型例题】
例1．把下列各角从弧度化为度.
（1）53π （2）12π （3）65π- （4）712 （5）115
例2．把下列各角度化为弧度。
（1）0
750- （2）0
1440- （3）0
'
6730 （4）0252 （5）'15110
例3．（1）已知扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2，求该扇形的面积。
（2）已知扇形周长为cm 4，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。
变式：已知一扇形周长为C （0C >），当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？
并求出最大面积。
【巩固练习】
1、特殊角的度数与弧度数的对应：
2、若角3=α，则角α的终边在第____象限；若6-=α，则角α的终边在第___ 象限.
3、圆的半径为10，则2rad 的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________.
4、将下列各角化成)20(,2παπα<≤+k ，Z k ∈的形式，并指出终边所在位置.
（1）319πα= （2）0
315-=α （3）322πα= （4）2
23πα=
5、用弧度制表示下列角终边的集合. （1）轴线角
（2）角平分线上的角
（3）直线x y 3=上的角
6、若一圆弧长等于其所在圆的接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____ .
7、已知角的终边与角3
的终边相同，则在0,2
与角
3
的终边相同的角为
8、若角和角
的终边关于x 轴对称，则角可以用角
表示为（ ）