2.2.3两条直线的位置关系
[学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想.
[知识链接]
1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α＜180°.
2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝
y2－y1
x2－x1
.
3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引]
1.两条直线相交、平行与重合的条件
(1)两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系,
可以用方程组
??
?
??A1x＋B1y＋C1＝0
A2x＋B2y＋C2＝0
的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下：
方程组的解位置关系
交点个
数
代数条件无解平行无交点
A1B2－A2B1＝0且
B1C2－B2C1≠
0(A2C1－A1C2≠0)
或
A1
A2＝
B1
B2≠
C1
C2
(A2B2C2≠0)
有唯一解 相交
有一个
交点
A 1
B 2－A 2B 1≠0 或A 1A 2
≠B 1
B 2
(A 2B 2≠0)
有无数个解 重合
无数个 交点
A 1＝λA 2,
B 1＝λB 2,
C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1
A
2＝B 1B 2
＝C 1
C 2
(A 2B 2C 2≠
0)
(2)两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系,也可用两直线的斜率和在y 轴上的截距来进行判断.具体判断方法如表所示. 位置关系 平行
重合
相交一般
相交垂直
图示
k ,b 满足 条件
k 1＝k 2且b 1≠b 2
k 1＝k 2且b 1＝b 2
k 1≠k 2
k 1·k 2＝－1
对坐标平面内的任意两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,有l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0.
如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1,l 2的斜率k 2＝－A 2
B 2.
又可以得出：l 1⊥l 2?k 1k 2＝－1.
要点一 直线的交点问题
例1 求经过原点,且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的
直线l 的方程.
解 方法一 解方程组?????
2x ＋3y ＋8＝0，
x －y －1＝0，
得?
????
x ＝－1，
y ＝－2， 所以直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1,－2). 又直线l 经过原点,所以直线l 的方程为 y －0－2－0＝x －0
－1－0
,即2x －y ＝0. 方法二 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0, ∵直线过原点(0,0), ∴8－λ＝0,λ＝8,
∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0,10x －5y ＝0, 即2x －y ＝0.
规律方法 本题中的方法一是通法通解.方法二利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程,减少了运算量,因此我们必须熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题. 跟踪演练1 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.
解 方法一 解方程组?
????
x －2y ＋4＝0，
x ＋y －2＝0得 P (0,2).
因为l 3的斜率为3
4,且l ⊥l 3, 所以直线l 的斜率为－4
3,
由斜截式可知l 的方程为y ＝－4
3x ＋2,
即4x ＋3y －6＝0.
方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0, 又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0, 解得λ＝11,∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 要点二 两条直线的平行关系
例2 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行： (1)l 1经过点A (－1,－2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (－1,－1)； (2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2)；
(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (－1,3),N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2),B (－3,10),l 2经过点M (5,－2),N (5,5). 解 (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1,k 2＝－1－4－1－3＝5
4,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行；
(2)k 1＝1,k 2＝2－1
2－1＝1,k 1＝k 2,
∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合.
(3)k 1＝0－11－0＝－1,k 2＝0－32－(－1)＝－1,k 1＝k 2,数形结合知,l 1∥l 2.
(4)l 1与l 2都与x 轴垂直,∴l 1∥l 2.
规律方法 判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,对于横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必需强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.
跟踪演练2 已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a －1,2),直线l 2经过点C (1,2),D (－2,a ＋2).若l 1∥l 2,求a 的值. 解 设直线l 2的斜率为k 2,由斜率公式得
k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)＝－a 3.
若l 1∥l 2,则l 1的斜率k 1＝－a
3, 由斜率公式k 1＝2－a a －4,则2－a a －4＝－a
3,
∴a ＝1或a ＝6.
经检验,当a ＝1或a ＝6时,l 1∥l 2. 要点三 两条直线的垂直关系
例3 判断下列各题中的直线l 1,l 2是否垂直：
(1)l 1经过点A (－1,－2),B (1,2),l 2经过点P (－2,－1),Q (2,1)； (2)l 1经过点A (3,4),B (3,6),l 2经过点P (－5,20),Q (5,20).
解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2,直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝1
2,
因为k 1·k 2＝1≠－1,所以l 1与l 2不垂直.
(2)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率k 2＝20－20
5－(－5)＝0,所以l 1⊥l 2.
规律方法 两条直线垂直需判定k 1k 2＝－1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条斜率不存在,另一条斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.
跟踪演练3 已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2,－4),B (6,6),C (0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率. 解 由斜率公式可得 k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54,
k BC ＝6－66－0
＝0,
k AC ＝6－(－4)0－(－2)
＝5.
由k BC ＝0知,直线BC ∥x 轴,
∴BC 边上的高线与x 轴垂直,其斜率不存在.
设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2, 由k 1k AB ＝－1,k 2k AC ＝－1, 即k 1×5
4＝－1,k 2×5＝－1, 解得k 1＝－45,k 2＝－1
5.
综上可知BC 边上的高所在直线的斜率不存在； AB 边上的高所在直线的斜率为－4
5； AC 边上的高所在直线的斜率为－1
5.
1.直线l 1：2x ＋3y －2＝0；l 2：2x ＋3y ＋2＝0的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.重合
答案 B
解析 ∵A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2≠A 2C 1,∴l 1∥l 2.
2.已知直线l 1的斜率k 1＝－85,直线l 2的斜率k 2＝5
8,则l 1与l 2的位置关
系为()
A.平行
B.重合
C.垂直
D.无法确定
答案 C
解析∵k1·k2＝－1,∴l1⊥l2.
3.下列说法正确的有()
①若两直线斜率相等,则两直线平行；
②若l1∥l2,则k1＝k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在,则两直线平行.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案 A
解析当k1＝k2时,l1与l2平行或重合,①不成立；②中斜率不存在时,不正确；④同①,也不正确.只有③正确.故选A.
4.直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直,则l的方程是()
A.3x＋2y－1＝0
B.3x＋2y＋7＝0
C.2x－3y＋5＝0
D.2x－3y＋8＝0
答案 A
解析与2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y＋m＝0,把(－1,2)代入直线方程得m＝－1.
5.一条光线从A(3,2)发出,到x轴上的M点后,经x轴反射通过点B(－1,6),则反射光线所在直线的斜率为__________.
答案－2
解析 如图所示,作A 点关于x 轴的对称点A ′,
所以点A ′在直线MB 上. 由对称性可知A ′(3,－2),
所以光线MB 所在直线的斜率为k A ′B ＝6－(－2)
－1－3
＝－2.
故反射光线所在直线的斜率为－2.
1.两直线平行或垂直的判定方法
斜率 直线 斜率均不存在
平行或重合 一条直线的斜率为0,另一条直线的斜
率不存在
垂直 斜率均存在
相等 平行或重合 积为－1
垂直
2.