活用平面的法向量巧解空间角 高中数学教材中增加了向量知识，随着课程改革的进行,向量作为几何与代数的结合点,向量的应用将会更加广泛。用向量作为工具，大大降低了思维的难度,充分体现了几何问题代数化的优势。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角,特别是平面的法向量,它是中学数学中的一颗明珠，是解决立体几何的锐利武器。法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰而规范。本文将介绍平面法向量在空间几何证明、计算中的应用。
一、 平面法向量的概念和求法
向量与平面垂直:如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作a α⊥。
平面的法向量:如果a α⊥,那么非零向量a 叫做平面α的法向量。
一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量,进而可以利用平面的法向量解决相关的立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：在给定的空间直角坐标系中,设平面α的法向量n=(x,y,1)[或(x,1，ｚ）或（１，ｙ，z)],在平面α内任找两个不共线的向量ɑ，b ，由n ⊥ɑ,n ⊥b, 得n ·ɑ=0且ｎ·b =0,由此得到关于x,y 的方程组,解此方程组即可得到ｎ,有时为了需要,也求法向量ｎ上的单位向量n 0,则0n n =
n
.【例1】在棱长为1的正方体ＡB ＣD-A 1B 1Ｃ1D 1中,求平面ACD １的法向量n 和单位向量n 0． 解：建立空间直角坐标系，如图所示，则
A （1，0，0），C(0,1,0)，D 1(0，０，1）设平面ＡC Ｄ1的法向
量n =(x ，y,１)得1(1,1,0),(1,0,1)AC AD =-=-，
又n ⊥平面ACD 1，得,.n AC n AD ⊥⊥
有(,,1)(1,1,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y -=??-=?得11
x y =??=? ∴n=（1,1,１),ｎ０=
333(,,)333111n
n ==++ 二、 用法向量巧解空间角
在高考中，利用向量方法求线线角、线面角、二面角等重
点考查的知识点,特别是用法向量求解线线角、线面角、二面角
更成为高考考查的新视点，随着新课标的推广运用,这一重点必将成为高考的一个热点。1、求直线与平面所成的角
（１）直线与平面所成的角，应分三种情况：
①直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它所在平面上的射影所成的锐角; ②直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是900；
③直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角是０0。
由此可知，直线与平面所成角的范围是［00,900]。
(２)斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成的角互余，或与该平面的法向量所成角的补角互余，故要求斜线与平面所成的角，只要求斜线与该平面的法向量所成的角即可。常记斜线AB 与平面α所成的角为θ(０＜θ≤π2），则c ｏs(错误!-θ)＝AB n AB n
,
即si ｎθ=AB n AB n .
【例２】(2０0７全国高考卷Ⅰ19）四棱锥S ABCD -中,底面ABC Ｄ为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=?，2AB =
,
BC =SA SB ==（Ⅰ)证明：SA BC ⊥； (Ⅱ）求直线SD 与平面ＳBC 所成角的大小． 解：(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ，由侧面SBC ⊥
底面ABCD ,得SO ⊥平面ABCD ． 因为SA SB =,所以AO BO =. 又45ABC =∠，AOB △如图,以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向建立直角坐标系O xyz -,
因为AO BO AB ===SO =(0B ，(0C -，．(001)S ，，,(21)SA =-，
，， (0
CB =,0SA CB =，所以SA BC ⊥.
（Ⅱ)(21)SD SA AD SA CB =+=-=--，
,(20)OA =，，. OA 与SD 的夹角记为α,SD 与平面ABC 所成的角记为β,因OA 为平面SBC 的法向量， 所以α与β互余．22cos 11
OA SD
OA SD α==,sin 11β=, 所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin 11
． 【例3】(20０５全国高考卷Ⅱ）如图，四棱锥P-ABCD 中， 底面A ＢC Ｄ为矩形,PD 垂直于底面A ＢC Ｄ,AD=PD,Ｅ、F 分别为C
Ｄ、PB 的中点．
（Ⅰ)求证:EF 垂直于平面PAB ；
（)设ＡB=2BC ，求ＡC 与平面AEF 所成的角的大小. （Ⅰ)证明：建立空间直角坐标系(如图),设A Ｄ＝P Ｄ=1,AB=2a(a ＞0)则E （a ，0,0），C(2a ，0,0),A （0,1,0),Ｂ（2ａ,1,0),P(0,０，1）,F(a ，
1２,错误!),得11(,,),(2,1,1),(2,0,0)22
EF o PB a AB a ==-=
S
C D A B
“ 量无论无论是 和具有规具有规律性。 时有时会显得特别探索空间平面法向量的求法与方向的判定 问题，都离不开平面的 成角 ” ” 距离 “ 问题，还是 杨玉春 (铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300) 向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质 转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实 现了“数”与“形”的结合。因此用量知识解决某些立体几 何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。但用向量无论 是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的 法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶 颈，平面法向量的正确求出是关键。而用向量来求二面角的 大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是 指向二面角外。本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判 定。 一、平面法向量的求法 1、几何法：如图(1)，若λ⊥α，在λ上任取两点A、B， 则或即为平面α的一个法向量。 2、待定系数法(两种设法)：
（1）设n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ, μ，1)是平面α的一个法向量。a ，b 是平面α内任一两个不共线向量，由 n ·a=0 n ·b=0求出λ，μ即可。 （2）或设n=（x ，y ，z ）是平面a=0 ·b=0 得出关于x 、y 、z 的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。 3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A 、B 、C 不同时为零)，则n=（A ，B ，C ）为平面的一个法向量。 4利用向量的向量积：如图(1)，设a=(111,,x y z ),b=（223,,x y z ） 则a ×b= =( ,| |,|) =(122121121221,,y z y z x z x z x y x y ---) 取n=(a ×b )(λ∈R 且λ≠0)是平面α的法向量。 二、空间平面法向量方向的判定 1、由几何法求出的法向量，此时方向看图即可。 2、由向量的向量积求出的法向量，用“右手定则”可确定a ×b 的方向，取n=λ(a ×b),当＞0时，则n 方向与向
平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
平面向量与空间向量知识点对比 内容 平面向量 空间向量 定义 既有大小，又有方向 既有大小，又有方向 表示方法 （1）用有向线段AB 表示； （2）用c b a ,,或a,b,c 表示 模 向量的长度，用|AB |或|a |表示 零向量 长度为0的向量，记为a 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相等向量 长度相等，方向相同的向量叫做相等向量 相反向量 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量；例如：AB 的相反向量是AB -或者BA 夹角范围 0≤θ≤π 0≤θ≤π 数乘 平面向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a. 空间向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a. 共线向量定理 向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量() 0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量共线 （共面） 向量( ) 0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量p 与a 与b 共面的充要条件是存在有序实数对（x,y ），使 b y a x p += 点共线（共面） OB OA OC μ+=若，且1=+μλ，则A 、B 、C 、三点共线 OC z y x ++=OB OA OP 若，且1=++z y x ，则P 、A 、B 、C 、四 点共面 数量积 θcos b a b a ?=? θcos b a b a ?=?
运算律满足交换律、分配律，不满足三个向量连乘的结合律 向量的运算 线性运算坐标运算线性运算坐标运算 加法 三角形法则:首尾相连首尾连；例 如：AC BC AB= + 平行四边形法则：同起点，对角线 () 2 1 2 1 ,y y x x b a+ + = + 三角形法则:首尾相连首尾 连；例如：AC BC AB= + () 2 1 2 1 2 1 , ,z z y y x x b a+ + + = + 减法 三角形法则:同起点，连终点，指 向被减向量；例如：CB AC AB= + () 2 1 2 1 ,y y x x b a- - = - 三角形法则:同起点，连终点， 指向被减向量；例如： CB AC AB= + () 2 1 2 1 2 1 , ,z z y y x x b a- - - = - 数乘 倍的向量 的 ），长度为 或者相反（ ） 方向相同（ 表示与 x a x x a a x < > () 1 1 ,y x aλ λ λ= 倍的向量 的 ），长度为 或者相反（ ） 方向相同（ 表示与 x a x x a a x < > () 1 1 ,y x aλ λ λ= 数量积 模 夹角 平行 1221 //0 a b a b x y x y λ ?=?-= 2 1 2 1 2 1 , , //z z y y x x b a b aλ λ λ λ= = = ? = ? cos a b a bθ ?=cos a b a bθ ?= 1212 a b x x y y ?=+ 121212 a b x x y y z z ?=++ 1122 (,)(,), a x y b x y == 若，则有 111222 (,,)(,,) a x y z b x y z == 若，，则有 a a a =?22 11 a x y =+a a a =?222 111 a x y z =++ cos a b a b θ ? =1212 2222 1122 cos x x y y x y x y θ + = ++ cos a b a b θ ? =121212 222222 111222 cos x x y y z z x y z x y z θ ++ = ++++ (0) a b b λ =≠111222 222 x y z x y z x y z ==≠ （） (0) a b b λ =≠ 11 22 22 x y x y x y =≠ （）
状元堂一对一个性化辅导教案 教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日 学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解 难度星级★★★★ 教学内容 上堂课知识回顾（教师安排）： 1.平面向量的基本性质及计算方法 2.空间向量的基本性质及计算方法 本堂课教学重点： 1.掌握空间法向量的求法及其应用 2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距 3.熟练灵活运用空间向量解决问题 得分：
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.| |||arccos 2,2 →→→ →→ →??->= <-= AB n AB n AB n π π θ 图2-1-2:2| |||arccos 2,π π θ-??=->=<→ →→ → → → AB n AB n AB n (2)、求面面角:设向量→ m ，→ n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为： θ β α → m 图2-2 → n θ → m α 图2-3 → n β | ,cos |sin ><=→ →AB n θA B α 图2-1-2 θ C → n 图2-1-1 α θ B → n A C
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。
学习必备 欢迎下载 向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
学习必备欢迎下载
学习必备 欢迎下载 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ? ABO COS ∠? ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥，.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ?-=???-=?即340320x y x z -+=??-+=? ∴3432y x z x ?=????=?? 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z = 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n ⊥⊥-=?∴?--+=?∴=，
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一
实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量
法向量的快速求法 在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。 新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 1122y z y z ，－1 122x z x z ，1 12 2 x y x y ) ，这更便 于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面 α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照 右边“草稿纸上演算过程”. a ＝(1，2， b ＝(4，5，交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是 ∴n ＝(－3，6
空间平面法向量求法 一、法向量定义 定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 二、平面法向量的求法 1、内积法 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]， 在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的 方程组，解此方程组即可得到。 2、 任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。 Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3 个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 3、外积法 设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两 者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指 由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。 设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×= （注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。） Code public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3) { try { double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数
平面向量与空间向量 平面向量及其运算 一、知识导学1.模(长度）：向量AB 的大小,记作|AB ｜.长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2。平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作—a 。 5。向量的加法：求两个向量和的运算. 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，=，则向量叫做与b 的和.记作a +b 。 6.向量的减法:求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O,作=a ，=b ，则向量叫做a 与b 的差。记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ，并规定：
①λa 的长度｜λa |=｜λ｜·｜a |； ②当λ＞0时,λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时,λa =0 （2)实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数,则 ①λ(μa )=（λμ）a ②（λ+μ)a =λa +μa ③λ（a +）=λa +λ 8.向量共线的充分条件:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数
λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a //b ?x 1y 2－x 2y 1=0 9。平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 10.定比分点 设P 1，P 2是直线l 上的两点，点P 是不同于P 1，P 2的任意一点则存在一个实数λ,使21P P =λ21P P ，λ叫做分有向线段所成的比.若点P 1、P 、P 2的坐标分别为（x 1，y 1） ，（x ，y)， (x2，y2),则有 特别当λ=1，即当点P 是线段P 1P 2的中点时，有?? ?? ? +=+=222 1 21y y y x x x 11.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ｜｜b |cosθ叫做a 与b 的数量积（或内积),记作a ·b ，即a ·b ＝|a ｜|b ｜cosθ 规定:零向量与任一向量的数量积是0。 （2）几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度｜a ｜与b 在a 的方向上的投影｜b ｜cosθ 的乘积。 (3）性质:设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则e ·a ＝a ·e ＝｜a ｜cosθ ，a ⊥b ?a ·b ＝0 当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ｜|b ｜ 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ｜｜b ｜ 特别地，a ·a ＝｜a ｜2或|a |＝a a ?cosθ＝b a b a ??｜a · b |≤｜a ｜|b | （4）运算律：a ·b ＝b ·a (交换律)(λa )·b ＝λ(b ·a ）＝a ·(λb ） （a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一) 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题. 知识点一直线的方向向量与平面的法向量 思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 梳理(1)用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的________) 形式在直线l上取AB → ＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP → ＝________ 作用定位置点A和向量a可以确定直线的________ 定点可以具体表示出l上的任意________ (2)用向量表示平面的位置 ①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定： 条件平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP→＝x a＋y b
②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定： 平面的法向量直线l⊥α，直线l的________________叫做平面α的法向 量 确定平 面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量能平移到直线上的________向量a，叫做直线l 的一个方向向量 平面的法向量直线l⊥α，取直线l的______，n叫做平面α的法向量 (4)空间中平行关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行l∥m?________?a＝k b(k∈R) 线面平行l∥α?a⊥μ?________ 面面平行α∥β?μ∥v?________ 知识点二利用空间向量处理平行问题 思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
从平面向量到空间向量(教学设计) 淮北实验高级中学 李德锋 【教学目标】 1．知识与技能 (1)理解空间向量的概念． (2)掌握空间向量的两种表示法． (3)掌握两个空间向量的夹角、空间直线的方向向量和平面的法向量的概念． 2．过程与方法 通过从平面向量到空间向量的教学，掌握类比的学习方法，培养学生迁移的能力． 3．情感、态度与价值观 学会用发展的眼光看问题，会用联系的观点看待事物． 【教学重难点】 重点：理解两空间向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念． 难点：准确找出已知平面的法向量． 【教学过程】 一、自主学习 （一）、向量概念 观看微课《平面向量的故事》，回顾平面向量的有关概念。完成下面问题 问题1：如何求空间向量的夹角？ 问题2：类比写出空间向量的下列概念：单位向量，零向量，相等向量，相反向量，平行向量。 （二）、向量、直线、平面 阅读课本26页 ，理解空间直线的方向向量，平面的法向量概念。完成下面问题 问题3：如何找出空间直线的方向向量，平面的法向量？ 问题4：过一定点A 且方向向量为a 的空间直线确定吗？过一定点A ，且法向量为a 的平面确定吗？ 二、课堂探究 探究一:空间向量的有关概念 例1下列命题不正确的是_______． ①单位向量都相等. ②任一向量与它的相反向量不相等． ③若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ∥b ④若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ⑤若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4 . ⑥共线的向量，若起点不同，则终点可能相同．
探究二:直线的方向向量与平面的法向量 例2如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， (1)分别给出直线AA 1，BD 的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD 1A 1，平面BB 1D 1D ，平面AB 1C 的一个法向量． 探究三:求空间向量的夹角 例3、如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求下面向量的夹角 (1)〈BA 1→，CC 1→〉(2)〈BA 1→，B 1C 1→〉；(3)〈BA 1→，AD 1→ 〉． (4)〈BA 1→，D 1C →〉；(5)〈BA 1→，D 1A →〉；(6)〈BA 1→，DA → 〉． 三、课堂检测 1.判断命题的真假 (1)空间向量就是空间中的一条有向线段． (2)不相等的两个空间向量的模必不相等． (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． (4)向量BA →与向量AB → 的长相等 2．习题2-1A 组2、3、4 四、小结 1、你有哪些知识方面的收获？ 2、你有哪些数学思想方法上的收获？ 五、课后思考 试用类比的思想探究空间向量有哪些运算
平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用 云南李学元 一、法向量的定义： 与平面垂直的向量叫平面的法向量 （根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下）二、向量的数量积 a·b=∣a︳︳b∣ｃｏｓ
a×b的坐标计算 设a=(x1, y1, z1) b=(x2 , y2, z2) 则：a×b =（︳y1y z1z︱,-︱x1x z1z︱,︱x1x y1y︱）其中：二阶行列式︱a b c d︱=ad-bc 习惯上：作a×b时，把a写在上，把b写在下 作b×a时，把b写在上，把a写在下 练习：已知a=（2，1，0） b =（-1，2，1） （1）求a×b。（2）求b×a 解：a×b= b×a= 注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可。
例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。求平面AEF的一个法向量 解：以D ∴A（ E（ F（ ∴AF=（ AE=（ ∴平面AEF的法向量n=( ) 四、法向量在求角中的应用。 1、用法向量求线面角。如图 Θ=1 2 π-
[ 平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零 向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量. ] 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则. & 2、b a +≤b a +. §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量. | 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则. 《 §2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度
和方向规定如下： ⑴= ⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同；当0<λ时, λ的方向与的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量() ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=. §2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任 一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=. ' §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-， ⑶()11,y x a λλλ=， ， ⑷1221//y x y x b a =?. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为( ) 2 22 121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为 ( ) 333213 21,y y y x x x ++++. 《 §2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
平面法向量的求法 教学目的：掌握快速计算法向量的方法，为空间角的求解、距离的计算服务； 教学重点：熟练应用速算方法求出法向量 教学难点：平面内不共线两向量的坐标中不含0，求此面的法向量 教学过程： 1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 2、法向量坐标的求法 （1）方程法 例1：（2010浙江理数）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243 AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF ?翻折成EF A '?，使平面'A EF BEF ⊥平面. （Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值； 【评析】 （2）含0速算法 如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。
例2、（08陕西卷理科第19题）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠= ，1A A ⊥平面ABC ，1A A = AB =，2AC =，111AC =． （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 【评析】 【探究】已知的一个法向量为则面ABC c C b B a A ),,0,0(),0,,0(),0,0,( (3)公式法：已知平面α的两个非零不共线向量),,,(),,,(222111z y x b z y x a == =的一个法向量则面α 练习：已知平面α的两个非零不共线向量),3,6,2(),4,3,1(== =n 的一个法向量则面α 【评析】 3、应用练习： 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．
平面向量与空间向量知识点及理科高考试题 一、考试内容要求： (一)、平面向量： （1）平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景。②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。③理解向量的几何表示. （2）向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. （3）平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. （4）平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （5）向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. (二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量
语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 二、知识要点归纳： (一)、平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、既有大小又有方向 的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向 量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与 任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.