专题二测量方法与误差分析
观察和测量是科学实验中，经常运用的科学方法。人类在进行定性实验中，主要用到的科学方法是观察。上一专题中，我们主要研究了科学观察。在本专题中，我们将简单了解测量的有关知识，以及在中小学教学中测量这一方法的教学要求及其实现途径。在科学上，测量这一方法用的领域也非常广，几乎所有的定量实验都需要用到测量法。
实验四一般测量
[理论探究]
一、测量
1．测量的含义
测量就是用仪器确定空间、时间、温度、速度、功能等有关数值。在科学实验中，有时需要知道研究对象所含的化学成分及其具体含量，这就需要通过仪器进行分行，不仅进行定性分析，还要进行定量测定。
2．测量的方法
测量物体，无论是固体、液体还是气体，根据测量内容的不多，方法很多。有些测量，我们可以直接使用测量仪器获得所需的结果，这种测量我们叫它直接测量；但在科学实验中，有很多情况需要测量后经过数学公式（如计算面积和体积的公式等）的运算，才能得出所需的数值。测量的内容和方法简介于下表。
从上面的测量简表中，我们可以看出对于物体的测量包括很多方面，而对物体长度的测
量是这些测量中最基本的一种测量，也是研究和分析物体的一种方法。在中小学中涉及的长度测量，主要是让学生掌握测量的方法、科学记录数据和误差分析等方法，从而提高能力。
1.米尺
米尺的最小刻度值为1mm ，用米尺测量物体的长度时，可以估测到十分之一毫米，但是最后一位是估计的。如用米尺测量一张书桌的长度和宽度的数值分别为55.25cm 和48.43cm ，其中55.2和48.4是准确的，而最后一位数字5和3是估计值，也就是含有误差的测量值，根据有效数字的书写方法可知，用米尺做长度测量时，当用厘米做单位时，数值应读到小数点后第二位为止。 2.游标卡尺
游标卡尺简称卡尺，是一种比较精确的常用测量长度的量具，其准确度可达
0.1~0.01mm ，它的外形和结构如图1-1所示。游标卡尺主要由主尺和可以沿主尺滑动的游标尺（副尺）组成。钳口A 、B 用来测量物体的外部尺寸，刀口B A ''、可用来测量管的内径或槽宽；尾尺C 可用来测量槽或小孔的深度。
主尺的最小分度为1mm ，游标尺上刻有游标E ，利用游标可以把主尺上的估读数值准确地测量出来，从而提高了测量的精确度。
以10分度游标为例，图1-2为测量精确到
1
10
分格的游标(称作10分游标)的原理图。游标尺上只有10个分格，是将主尺上的9个分格10等分而成，由此有标尺上的一个分
格的间隔等于主尺一个分格的
110
。图1-3是使用10分游标测量的示意图。测量时将物体ab 的a 端和主尺的零线对齐，另一端b 在主尺的第7和第8格分格之间，即物体的长度稍大于7个主尺格。设物体的长度比7个主尺格长l ?，使用10分游标可将l ?测准到主尺一分格的
1
10
。如图1-3示，将有标的零线和物体的b 端相接，查出与主尺刻线对齐的是由标尺上的第6条线，则
99
(66)6(1)0.61010
l ?=-?
=-=主尺格主尺格主尺格 即物体的长度等于7.6主尺格。如果主尺每分格为1mm ，则被测物体的长度为7.6mm 。由图1-3可以看出，游标卡尺是利用主尺和游标尺上每一分格之差，使测量读数进一步精确的，此种方法称作差示法。
参照上例可知，使用游标卡尺进行测量时，读数分为两步： (1)从游标零线位置读出主尺的整格数.
(2)根据游标上与主尺对齐的刻线读出不足一分格的小数,二者相加即为测量值. 一般说来,游标是将主尺的1-n 个分格，分成n 等分（称作n 分游标），如主尺的一分格宽为x ，则游标一分格宽为n x n /)1(-，二者的差为/x x n ?=
是游标尺的分度值。
图1-4所示，使用n 分游标测量时，如果是游标的第k 条线与主尺的某一刻线对齐，则所求的l ?值等于
1n x
l kx k
x k n n -?=-= ，即l ?等于游标分度值x n
乘以k 。所以使用游标卡尺时，先要明确其分度值。
一般使用的游标有n 等于10、20和50三种，其分度值即精密度分别为0.1mm 、0.05mm 和0.02mm 。现代生产和实验中使用的常为五十分游标，是将主尺的49mm 等分为游标的50个分格，即游标的一个分格宽度为0.98mm ，它的分度值即精密度为0.02mm 。
3.螺旋测微器
螺旋测微器又称千分尺，是比游标卡尺更精密的测长仪器，准确度可在
001.0~010.mm 之间。常用于测量细丝和小球的直径以及薄片的厚度等。
螺旋测微器的外形与结构如图1-5所示。螺母套管B 、固定套管D 和测砧E 都固定在尺架G 上。D 上刻有主尺，主尺上
有一条横线称作读数准线，横线上方刻有表示毫米数的刻线，横线下方刻有表示半毫米数的刻线。测微螺杆A 和微分筒C 、棘轮旋柄K 连在一起。微分筒上的刻度通常为50
分度。测微螺杆的螺距为0.5，当测微螺杆旋
转一周时，它延轴线方向前进或后退0.5mm ，
而每旋转一格时，它延主轴线方向前进或后退0.5
0.01
50
mm。可见该螺旋测微器的最小
刻度值为0.01mm，即千分之一厘米，故亦称千分尺。
使用螺旋测微器测量物体长度时，要先将测微螺杆A退开，将待测物体放在A
E、的两个测量面之间。螺旋测微器的尾端有棘轮旋柄K，转动K可使测杆移动，当测杆与被测物（或砧台E）相接后的压力达到某一数值时，棘轮将滑动并产生喀、喀的响声，活动套管不再转动，测杆也停止前进，此时即可读数。
读数时，从主尺上读取0.5mm以上的部分，
从微分筒上读取余下尾数部分[估计到最小分
度值的十分之一，即1000
/1(mm)]，然后两
者相加，如图1-6(a)的读数为5.155mm，(b)
的读数为5.655mm。
使用螺旋测微器应注意以下几个问题：
(1)测量前要检查零点读数，并对测量数据作零点修正。
螺旋测微器的测杆A与测砧E相接时，活动套管上的零线应当刚好和固定套管上的横线对齐，而实际使用的螺旋测微器由于调整不充分或使用不当等原因，造成初始状态与上述要求不符，既有一个不等于零的零点读数，图1-7表示两种零点读数的例子。要注意它们的符号不同，每次测量后，要从测量值的平均值中减去零点读数。
(2)检查零点读数和测量长度时，切忌直接转动测微螺杆和微分筒，而应轻轻转动棘轮旋柄。设置棘轮可保证每次测量条件（对被测物的压力）一定，并保护螺旋测微器的精密螺纹，如不使用棘轮而直接转动活动套管去卡物体时，由于对被测物的压力不稳定而测量不准确，另外可使螺纹发生形变和增加磨损，降低了仪器的准确度。
(3)测量完毕应使测砧和测微螺杆留有间隙，以免因热胀而损坏螺纹。
【动手实践】
（一）观察内容
1.仔细观察游标卡尺和螺旋测微器的构造和形状，弄清各部分的功能和使用方法。
2.在实验报告上，画出游标卡尺和螺旋测微器的草图。
（二）常规测量（独立完成）
1.用米尺分别测量实验桌的长度和宽度，计算出实验桌的面积。并按照单次测量误差计算方法计算误差。
2.测量规则长方体的长、宽、高。要求在不同部位分别测量6次。计算出长方体的体积，并进行误差分析。
3.记下游标卡尺的分度值。用游标卡尺测量给定圆柱的外径D、内径d及螺母厚度各6
次(测量时要在垂直交叉方向进行)，计算体积，并进行误差分析。
4.记下螺旋测微器的分度值。测量其零点读数3次，求出平均值。
5.按步骤4用螺旋测微器测量给定细丝不同部位的直径2d ，测量6次。表示测量结果并进行误差分析。
（三）特殊测量（两人合作）
1.利用给定工具，测量指定粗圆筒的体积。
要求：写出原理表达式及测量示意图，每个物理量至少测量6次，并表示出测量结果及误差分析。
2.利用给定工具，测量指定螺母的体积。
要求：写出测量方案及测量示意图，每个物理量至少测量6次，并表示出测量结果及误差分析。
参考表格，也可自行设计。
表1-1米尺测量长度 米尺分度值=_______mm
S l h l h
σ??=
+=
表1-3 用螺旋测微器测量直径 螺旋测微器的分度值=________mm
=+=111d d d σ
=?+?+?=r
d
R D h h
V 22σ=
-=)(4
22d D h V π
【实践反思】
1.将一个钢直尺旁附上一个特制的游标，可以成为一游标尺码？
2.一铜丝的直径大约0.05mm ，用什么仪器以及如何测量其直径，才能使其不确定度不大于0.001mm ？
3.如何确定一螺旋测微器的零点读数？如果某一螺旋测微器的零点读数为01
4.0-，用此螺旋测微器测量钢丝的直径为2.478mm ，则测量值应修定为多少？
4．如何根据测量对象特征、测量要求，选择合适的测量工具？
5．结合动手实践体验，写出指导学生运用游标卡尺、螺旋测微器测量物体的教学指导，并进行数据处理讲解。
[施教体验]
课题：长度的测量
1.施教准备
（1）拟定实验指导方案
根据该实验的教学要求及该实验的教育功能出发，结合动手体验从实验目的、内容、实验安全警示、实验方法和步骤、思考题等编写施教实验指导方案。 （2）器材的准备
实验前应对所用器材、物品逐一检查,发现故障或问题应及时解决；制定测量表格。 2.角色扮演
以实验小组成员为单位，分别扮演实验教师，轮流进行实验教学指导练习。具体练习可参照如下内容：
（1）交代实验目的 （2）具体实验讲解 （3）交代实验注意事项
3.交互指导，总结实验成功关键因素。
=
+=2
2
2
d d d σ
附录：《长度的测量》教学指导
《长度的测量》教学指导
【目的和要求】
1．对长度的各个单位形成具体的观念。
2．知道怎样正确使用刻度尺进行长度的测量。
3．知道测量的准确度是由测量工具的最小刻度决定的，知道如何正确记录测量的结果。【仪器和器材】
最小刻度为分米、厘米和毫米的刻度尺各一支，木折尺、钢卷尺、游标卡尺、螺旋测微器。【实验方法】
1．出示最小刻度分别为分米、厘米和毫米的三种刻度尺，让学生观察它们的量程和最小刻度，并对1米、1分米、1厘米的长度形成具体观念。
2．用上述三种刻度尺测量同一物体的长度，并记录测量结果。
观察重点：刻度尺的刻度情况；教师的测量方法；测量结果的正确记录。
3．出示木折尺、钢卷尺、游标卡尺和螺旋测微器，指出其最小刻度或测量能达到的准确度。
结论：长度测量的准确度由刻度尺的最小刻度决定，应根据测量的准确度要求，选用适当的刻度尺或其他测量工具。
【注意事项】
1．要教给学生正确该数和记录的方法。当被测长度的一端和刻度尺零刻度线对齐，另一端位于两个最小刻度之间时，只能用眼睛估读，因而是不准确的，记录的数字要比刻度尺的最小刻度的示数多一位。
2．由于刻度尺的端面往往被磨损，它的零刻度线不适于作为测量时的起点线，这时可以在刻度尺上任选一刻度线作为测量的起点线。
附录实验数据的误差分析
通过实验测量所得大批数据是实验的主要成果，但在实验中，由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，所以在整理这些数据时，首先应对实验数据的可靠性进行客观的评定。
误差分析的目的就是评定实验数据的精确性，通过误差分析，认清误差的来源及其影响，并设法消除或减小误差，提高实验的精确性。对实验误差进行分析和估算，在评判实验结果和设计方案方面具有重要的意义。本章就化工原理实验中遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。
2.1 误差的基本概念
2.1.1真值与平均值
真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都
不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： （1）算术平均值
这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n
x
n x x x x n
i i
n ∑=++==121 （2-1）
式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。 （2）均方根平均值
n
x n
x x x x n
i i n
∑=
++
=
=1
2
2
2221
均 （2-2）
（3）加权平均值
设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i
n
i i
i n
n n w x
w w w w x w x w x w w 1
1212211 （2-3）
式中；n x x x 21、——各次观测值；
n w w w 21、——各测量值的对应权重。各观测值的权数一般凭经验确定。 （4）几何平均值
n n x x x x x 321??=发 （2-4）
（5）对数平均值
2
1
21
2
121ln ln ln x x x x x x x x x n -=--=
（2-5）
以上介绍的各种平均值，目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。平均值的选择主要决定于一组观测值的分布类型，在化工原理实验研究中，数据分布较多属于正态分布，故通常采用算术平均值。 2.1.2误差的定义及分类
在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，不同时间所测得的结果不一定完全相同，而有一定的误差和偏差，严格来讲，误差是指实验测量值（包括直接和间接测量值）与真值（客观存在的准确值）之差，偏差是指实验测量值与平均值之差，但习惯上通常将两者混淆而不以区别。
根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为：1）系统误差； 2）偶然误差；3）过
第二章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。(10)在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：（1）系统误差；校准砝码。 （2）系统误差；校准仪器。 （3）系统误差；校准仪器。 （4）系统误差；控制条件扣除共沉淀。 （5）系统误差；扣除试剂空白或将试剂进一步提纯。 （6）系统误差；在110℃左右干燥后称重。 （7）系统误差；重新选择指示剂。 （8）偶然误差；最后一位是估计值，因而估计不准产生偶然误差。 （9）系统误差；校准仪器。 （10）系统误差；重新选择分析条件。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/148940515.html, 牛顿第二定律解题技巧分析 作者：姚良波 来源：《速读·上旬》2019年第10期 摘; 要：牛顿第二定律作为中学生在物理学习中的难点与重点知识，在最终的高考试卷中占据了较大的考试内容占比。本文将立足于学生学习情况与客观考试试卷内容，对牛顿第二定律解题技巧进行分析，希望能够促进教师教育教学工作的顺利展开。 关键词：牛顿第二定律;中学生学习;物理问题应用解析 对牛顿第二定律解题技巧展开分析，将能够提升学生的解题技巧，从而改善学生的卷面得分情况，也能够侧面的提高教师的教育教学水平。本文将从找准关键字、想象建模解题和正确书写三个方面对牛顿第二定律解题技巧进行一定分析，希望能够促进教育教学工作的改善。 一、找准关键字 在探讨牛顿第二定律解题技巧前，学生首先要判断该题目考查知识点中是否涉及到牛顿第二定律。判断该题目中是否涉及到牛顿第二定律知识点，则需要学生能够找准题目中的关键字。这就要求教师在日常练习中着重培养学生认真审题的习惯。教师可以让学生在日常解题时用铅笔进行点读，在点读时发现关键字时则要用笔在题目上进行一定标注。在读题时，学生首先要判断该题目属于平衡问题还是非平衡问题，如果题目中有关键字为“静止或匀速运动”，则此时a=0，学生则应该将本题判断为平衡问题;如果题目中的关键字为变速运动，则此时a≠0，为非平衡运动。学生首先要对该题目进行平衡或非平衡判断，才能在该基础上对题目进行进一步的探讨与研究。如果学生判断该题为平衡问题，则要对该题目中所涉及的具体物体或者人做受力分析。学生应该根据具体的题目要求选择其所需要的受力分析方法是合成法还是正分解法。如果该题目中所作受力分析中对力分析有三个，则学生宜采用合成法构建受力三角形;如果该题目中涉及到三个以上的力，则学生应该采用正交分解法对该题目中所涉及物体进行受力分析。如果学生判断该题目为非平衡问题，则以物体所受两个力为界限，两个力为合成法或者正交分解法;三个力及以上则应该使用正交分解法。就牛顿第二定律而言，如果该题目中涉及到非平衡问题，则适用牛顿第二定律，如果涉及到平衡问题，则解题模式为牛顿第一定律解题模式。而在利用牛顿第二定律解题时，一般我们采用正交分解法去进行物体的受力分析。 例如，质量为m的人站在斜面电梯上，该电梯以加速度a向上、向右做加速运动，a的方向与水平方向的夹角为α，根据以上信息，请求该站在斜面电梯上的人受到的支持力与摩擦力。学生根据题目中关键字加速度a、则可以判断该题目所考查知识点为牛顿第二定律，继而学生要根据题目要求判断位于电梯上的人的受力情况，并根据正交分解法对题目中的人进行受力情况分析。再根据具体的题目要求利用牛顿第二定律原始公式进行变式解题。
中国石油大学（华东）现代远程教育 实验报告 课程名称：大学物理(一) 实验名称：验证牛顿第二定律――气垫导轨 实验（一） 实验形式：在线模拟+现场实践 提交形式：提交书面实验报告 学生：学号： 年级专业层次： 学习中心：
提交时间：年月日 一、实验目的 1．了解气垫导轨的构造和性能，熟悉气垫导轨的调节和使用方法。 2．了解光电计时系统的基本工作原理，学会用光电计时系统测量短暂时间的方法。 3．掌握在气垫导轨上测定速度、加速度的原理和方法。 4．从实验上验证F=ma的关系式，加深对牛顿第二定律的理解。 5．掌握验证物理规律的基本实验方法。 二、实验原理 1．速度的测量 一个作直线运动的物体，如果在t~t+Δt时间通过的位移为Δx（x~x+Δx），则该物 体在Δt时间的平均速度为，Δt越小，平均速度就越接近于t时刻的实际速度。当Δt→0时，平均速度的极限值就是t时刻（或x位置）的瞬时速度 （1） 实际测量中，计时装置不可能记下Δt→0的时间来，因而直接用式（1）测量某点的速度就难以实现。但在一定误差围，只要取很小的位移Δx，测量对应时间间隔Δt，就可以用平均速度近似代替t时刻到达x点的瞬时速度。本实验中取Δx为定值（约10mm），用光电计时系统测出通过Δx所需的极短时间Δt，较好地解决了瞬时速度的测量问题。2．加速度的测量 在气垫导轨上相距一定距离S的两个位置处各放置一个光电门，分别测出滑块经过这两个位置时的速度v1和v2。对于匀加速直线运动问题，通过加速度、速度、位移及运动时间之间的关系，就可以实现加速度a的测量。 （1）由测量加速度 在气垫导轨上滑块运动经过相隔一定距离的两个光电门时的速度分别为v1和v2，经过两个光电门之间的时间为t21，则加速度a为 （2） 根据式（2）即可计算出滑块的加速度。 （2）由测量加速度 设v1和v2为滑块经过两个光电门的速度，S是两个光电门之间距离，则加速度a为
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
第二章 定量分析的误差及数据处理 一、填空 1.分析化学是化学学科的一个重要分支，是研究物质 、 、 及有关理论的一门科学。 2.分析化学按任务可分为 分析和 分析、 分析；按测定原理可分为 分析和 分析。 3、增加平行测定次数可以减小 误差。 4、由不确定因素引起的误差属于 。 5、某学生几次重复实验，结果都很相近，但老师却说这结果偏高，则该学生实验中存 在 误差。 6、多次平行测定结果的重现性越好，则分析结果的 越高。 7、只有在 的前提下，精密度越高，准确度也越高。 8、用返滴定法按下式计算组分x 的含量时，则应保留 有效数字。 ()000 .11047.24632.400.251000.03 -??-?=w 9、减免系统误差的主要方法有 、 、 。 10、用沉淀滴定法测定纯NaCl 中氯的质量分数，得到下列结果：0.5982，0.6006，0.5986， 0.6024，0.6046。则测定的平均值为 ；相对误差为 ；平均偏差 为 ；相对平均偏差为 ；分析结果应表示为 。 11. 在少量数据的统计处理中，当测定次数相同时，置信水平越__ ，置信区间越__ _，可靠性越___ ，包括真值在内的可能性越___ 。 . 12 对某盐酸溶液浓度测定4次的结果为：0.2041,0.2049,0.2039,0.2043, 则 为________， 为________， 为________，S r 为________。 13．置信区间的定义应当是：在一定置信度下，以____ _为中心，包括______ 的范围。 二、选择题 1.按被测组分含量来分，分析方法中常量组分分析指含量（ ） （A ）＜0.1％ ；（B ）＞0.1％ ；（C ）＜1％ ；（D ）＞1％ 2.若被测组分含量在1%~0.01%，则对其进行分析属（ ） （A ）微量分析 （B ）微量组分分析 （C ）痕量组分分析 （D ）半微量分析 3. 由精密度好就可以断定分析结果可靠的前提是（ ） （A ） 随机误差小； B. 系统误差小； C. 平均偏差小； D. 相对偏差小。 x d S
牛顿第二定律 知识要点梳理 知识点一——牛顿第二定律 ▲知识梳理 一、牛顿第二定律 1．牛顿第二定律内容：物体运动的加速度与所受的合外力处边成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力相同。 2．牛顿第二定律的比例式为；表达式为。 3．力的单位是牛（N），1 N力的物理意义是使质量为1的物体产生的加速度的力。 4．几点说明： （1）瞬时性：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，力是加速度产生 的根本原因，加速度与力同时存在、同时变化、同时消失。 （2）矢量性：是一个矢量方程，加速度a与力F方向相同。（3）独立性：物体受到几个力的作用，一个力产生的加速度只与此 力有关，与其他力无关。 （4）同体性：指作用于物体上的力使该物体产生加速度。 二、整体法与隔离法 1．连接体：由两个或两个以上的物体组成的物体系统称为连接体。2．隔离体：把某个物体从系统中单独“隔离”出来，作为研究对象进 行分析的方法叫做隔离法（称为“隔离审查对象”）。 3．整体法：把相互作用的多个物体视为一个系统、整体进行分析研 究的方法称为整体法。 三、正交分解法与牛顿第二定律的结合应用 当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题，
多数情况下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上，有：（沿加速度方向）；(垂直于加速度方向） 特殊情况下分解加速度比分解力更简单。 应用步骤一般为： ①确定研究对象；②分析研究对象的受力情况并画出受力图；③建立直角坐标系，把力或加速度分解在x轴和y轴上；④分别沿x轴方向和y轴方向应用牛顿第二定律列出方程；⑤统一单位，计算数值。四、用牛顿运动定律解题的一般步骤 1．审题，明确题意，清楚物理过程； 2．选取研究对象，可以是一个物体，也可以是几个物体组成的系统；3．运用隔离法对研究对象进行受力分析，画出受力示意图； 4．建立坐标系，一般情况下可选择物体运动方向或加速度方向为正 方向； 5．根据牛顿运动定律、运动学公式、题目所给的条件列方程； 6．解方程，对结果进行分析，检验或讨论。 ▲疑难导析 一、对牛顿第二定律的理解 牛顿第二定律是动力学的核心内容，在中学物理中有非常重要的地位。为了深刻理解牛顿第二定律，要从不同的角度，多层次、系统化地揭示其丰富的物理内涵。概括地讲，牛顿第二定律有“四同”“一相对”的特点。“四同”即同一单位制、同体、同时、同向；“一相对”即运动相对一定的参考系。 统一国际单位制：F的单位用牛（N），m的单位用千克（）， a的单位用米／秒（)，采用同一单位制的单位时， “”中的比例系数k为1，牛顿第二定律的表达式
顿第二定律的案例分析(二）编写：赵燕贺德旺审核：贺德旺包科领导签字： 班级：小组：姓名：评价： 【学习目标】 1.知道什么是连接体与隔离体，怎样区分内力和外力； 2.学会连接体问题的分析方法，并用牛顿运动定律和运动学公式解决简单问题。 【重点、难点】应用整体法和隔离法解答有关问题 【学习指导】 一、连接体与隔离体 两个或两个以上物体相连接组成的物体系统，称为连接体。如果把其中某个物体隔离出来，该物体即为隔离体。 二、外力和内力 如果以物体系为研究对象，受到系统之外的作用力，这些力是系统受到的外力，而系统内各物体间的相互作用力为内力。 应用牛顿第二定律列方程不考虑内力。如果把物体隔离出来作为研究对象，则这些内力将转换为隔离体的外力。 三、连接体问题的分析方法 1.整体法：连接体中的各物体如果有相同的加速度，求加速度时可以把连接体作为一个整体。运用牛顿第二定律列方程求解。 2.隔离法：如果要求连接体间的相互作用力，必须隔离其中一个物体，对该物体应用求解，此法称为隔离法。 3.整体法与隔离法是相对统一，相辅相成的。本来单用隔离法就可以解决的连接体问题，但如果这两种方法交叉使用，则处理问题就更加方便。如当系统中各物体有相同的加速度，求系统中某两物体间的相互作用力时，往往是先用整体法求出加速度，再用隔离法求两物体间的相互作用力。 【自主学习——问题导学】 1.什么是连接体、隔离体？ 2.怎样区分外力和内力？ 3．连接体问题的一般怎样分析？有哪些方法？
【合作探究一—突破疑难】 〖合作探究一〗 1.如图所示，一细线的一端固定于倾角为θ=30°的光滑楔形块的顶端处，细线的另一端拴一质量为m 的小球. (1)当楔形块至少以多大的加速度向左加速运动时，小球对楔形块压力为零? (2)当楔形块以a=2g 的加速度向左加速运动时，小球对线的拉力为多大？ 〖合作探究二〗 2.如图所示，箱子的质量M ＝5.0kg ，与水平地面的动摩擦因数μ＝0.22。在箱子顶板处系一细线，悬挂一个质量m ＝1.0kg 的小球，箱子受到水平恒力F 的作用，使小球的悬线偏离竖直方向θ＝30°角，则F 应为多少？（g ＝10m/s 2） 【课堂检测——巩固成果】 3.如图所示，质量分别为m 和2m 的两物体A 、B 叠放在一起，放在光滑的水平地面上，已知A 、B 间的最大摩擦力为A 物体重力的μ倍，若用水平力分别作用在A 或B 上，使A 、B 保持相对静止做加速运动，则作用于A 、B 上的最大拉力F A 与F B 之比为多少？
牛顿第二定律实验 1．(8分)某探究学习小组的同学要验证“牛顿第二定律”，他们在实验室组装了一套如图所示的装置：水平轨道上安装两个光电门，小车上固定有力传感器和挡光板，细线一端与力传感器连接另一端跨过定滑轮挂上砝码盘．实验时，调整轨道的倾角正好能平衡小车所受的摩擦力(图中未画出)． (1)实验中小车所受的合力 (填“等 于”、“大于”或“小于”)力传感器的示数，该实验 (填“需要”或“不需要”)满足砝码和砝码盘的总质 量远小于小车的质量。 (2)已知小车、传感器和挡光板的总质量为M， 挡光板的宽度为L，光电门l和2的中心距离为s．在某次实验过程中，力传感器的读数为F，小车通过光电门1和2的挡光时间分别为t1、t2(小车通过光电门2后，砝码盘才落地)．则该实验要验证的式子是F= 。 2．“探究加速度与物体质量、物体受力的关系”的实验装置如图甲所示． (1)保持小车的质量M不变，改变所挂砝码的数量，多次重复测量．在某次实验中根据测得的多组数据可画出a-F关系图线如图乙所示．此图线的AB段明显偏离直线，造成 此误差的主要原因是： (2)该同学在实验中保持拉力不变，得到了小车加速度随质量变化的多组数据,如下表所示：
请你在图丙所示的方格纸中建立合适坐标并画出能直观反映出加速度与质量关系的图线． (3)图丁所示为实验中打出的一条纸带，所用电源的频率是50Hz，从比较清晰的点起，每5个点取一个计数点，量出相邻计数点之间的距离如图中所示．由该纸带可求出小车的加速度a= m/s2．(结果保留两位有效数字) 3．某实验小组用如图甲所示的装置测量木块与木板间的动摩擦因数μ，提供的器材有：带定滑轮的长木板，打点计时器，交流电源，木块，纸带，米尺，8个质量均为20g 的钩码以及细线等．实验操行过程如下： A．长木板置于水平桌面上，带定滑轮的一端伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上并与电源连接，纸带穿过打点计时器并与木块相连，细线一端与木块相连，另一端跨过定滑轮挂上钩码，其余钩码都叠放在木块上； B．使木块靠近打点计时器，接通电源，释放木块，打点计时器在纸带上打下一系列点，记下悬挂钩码的个数n； C．将木块上的钩码逐个移到悬挂钩码端，更换纸带，重复实验操作步骤B； D．测出每条纸带对应木块运动的加速度a，实验数据如表乙所示． (1)实验开始时，必须调节滑轮高度，保证． (2)根据表乙数据，在图丙中作出a-n图象；由图线得到μ= (取g=10m/s2)，还可求的物理量是。(只需填写物理量名称)．
绳拉物问题 【问题综述】 此类问题的关键是： 1.准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 2.根据运动效果寻找分运动； 3.一般情况下，分运动表现在： ①沿绳方向的伸长或收缩运动； ②垂直于绳方向的旋转运动。 4.根据运动效果认真做好运动矢量图，是解题的关键。 5.对多个用绳连接的物体系统，要牢记在绳的方向上各点的速度大小相等。 6.此类问题还经常用到微元法求解。 1 汽车通过绳子拉小船，则（ ） A 、汽车匀速则小船一定匀速 B 、汽车匀速则小船一定加速 C 、汽车减速则小船一定匀速 D 、小船匀速则汽车一定减速 分析： （1）如图甲，被分解的速度应是实际的速度，即小船上系绳那一点的水平速度，而不应是沿绳子方向的分运动的运动，故甲图是错误的 （2）如乙图，v 2还有沿绳方向的速度分量，还需再将v 2分解，才能符合实际效果。但此法麻烦复杂。
（2）如丙图，将船在水平方向的运动分解为两个分运动，一个分运动沿绳方向，根据运动的合成与分解的独立性原理，当这个分运动消失，表现为另一个分运动，可见是以滑轮为圆心的圆周运动，故另一个分运动方向与绳方向垂直。 由图可知v 1=vcos θ，v 1不变，当θ增大时，v 增大，故B 1减小，故D 正确；注意它的逆推断不一定，故C 错 2：如图，汽车拉着重物G ，则（ AcD ） A 、汽车向左匀速，重物向上加速 B 、汽车向左匀速，重物所受绳拉力小于重物重力 C 、汽车向左匀速，重物所受绳拉力大于于重物重力 D 、汽车向右匀速，重物向下减速 3：如左图，若已知物体A 的速度大小为v A ，求重物B 的速度大小v B ？v A /cos θ 4：如右图，若α角大于β角，则汽车A 的速度 大于 汽车B 的速度 5 如图所示，A 、B 两物体用细绳相连，在水平面上运动，当α=45度，β=30度时，物体A 的速度为2 m/s ，这时B 的速度为 。 6．质量分别为m 和M 的两个物体跨过定滑轮如图所示，在M 沿光滑水平面运动的过程中，两物体速度的大小关系为（ A ） A ．V 1﹤V 2B ．V 1﹥V 2C ．V 1=V 2 v B v A θ A B G α A B β α A B β
专题六 《验证牛顿运动定律》 1某同学设计了一个探究加速a 度与物体所受合力F 及质量m 的关系实验。实验装置简图如图14－12所示，A 为小车，B 为打点计时器，C 为装有砂的砂桶，D 为一端带有定滑轮的长方形木板，实验中认为细绳对小车拉力F 等于砂和砂桶总重量，小车运动加速度a 可用纸带上点求得： 图14－12 (1)保持砂和砂桶质量不变，改变小车质量m ，分别得到小车加速度a 与质量m 及对应的m 1 数据如下表： 物理量建立坐标系，并作出图线。 图14－13 从图线中得到F 不变时小车加速度a 与质量 m 1 之间定量关系式是______。 (2)保持小车质量不变，改变砂和砂桶重量，该同学根据实验数据作出了加速度a 与合力F 图线如图14－14所示，该图线不通过原点，明显超出偶然误差范围，其主要原因是______。
2某实验小组利用图示的装置探究加速度与力、质量的关系。 ①下列做法正确的是___________（填字母代号） A ．调节滑轮的高度，使牵引木块的细绳与长木板保持平行 B ．在调节木板倾斜度平衡木块受到的滑动摩擦力时，将装有砝码的砝码桶通过定滑轮拴木块上 C ．实验时，先放开木块再接通打点计时器的电源 D ．通过增减木块上的砝码改变质量时，不需要重新调节木板倾斜度 ②为使砝码桶及桶内砝码的总重力在数值上近似等于木块运动时受到的拉力，应满足的条件是砝码桶及桶内砝码的总质量木块和木块上砝码的总质量（填“远大于”、“远小于”或“近似等于”） ③甲、乙两同学在同一实验室，各取一套图示的装置放在水平桌面上，木块上均不放砝码，在没有平衡摩擦力的情况下，研究加速度a 与拉力F 的关 系，分别得到图中甲、乙两条直线。设甲、乙用的木块质量分别为m 甲、m 乙，甲、乙用的木块与木板间的动摩擦因数分别为μ甲，μ乙，由图可知，m 甲m 乙，μ甲μ乙。（填“大于”、“小于”或“等于”） 32012海淀二模）用如图甲所示装置做“探究物体的 加速度跟力的关系”的实验。实验时保持小车的质量不变，用钩码所受的重力作为小车受到的合力， 用打点计时器和小车后端拖动的纸带测出小车运动 的加速度。 ①实验时先不挂钩码，反复调整垫木的左右位置，直到小车做匀速直线运动，这样做的目的是。 ②图乙为实验中打出的一条纸带的一部分，从 比较清晰的点迹起，在纸带上标出了连续的5个计数点A 、B 、C 、D 、E ，相邻两个计数点之间都有4个点迹没有标出，测出各计数点到A 点之间的距离，如图乙所示。已知打点计时器接在频率为50Hz 的交流电源两端，则此次实验中小车运动的加速度的测量值a =____________m/s 2。（结果保留两位有效数字） ③实验时改变所挂钩码的质量，分别测量小车在不同外力作用下的加速度。根据测得的多组数据画出a -F 关系图线，如图丙所示。此图线的AB 段明显偏离直线，造成此现象的主要原因可能是。（选填下列选项的序号） 木 甲 乙 丙
第一章 误差分析与误差的传播 一、判断题： 1.舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( ?) 2. 用1-2 2 x 近似表示cos x 产生舍入误差。 (? ) 3. 任给实数a 及向量x ，则||||||||x x a a =。 (?) 二、填空题： 1.设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则* x 有(3)位有效数字。 2. * x 的相对误差的 1 2 倍。 3. 为了使计算 3 2)1(6)1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写 为 ，为了减少舍入误差，应将表达式 1999 2001-改写为 。 （1 1 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ， 199920012+；） 4. 7 22 , 141.3,142.3分别作为π的近似值有 , , 位有效数字。（4 ,3 ,3；） 5. π的近似值3.1428是准确到 近似值。答： 2 10- 6. 取 3.142x =作为 3.141592654x =┅的近似值，则x 有 位有效数字.答：4 7. 近似值* 0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； *x 的相对误差的( 3 1)倍； 9. 计算方法主要研究( )误差和( )误差；（截断，舍入） 10.近似数x*=0.0310,有（ ）位有数数字。解：3位 11. 按四舍五入原则数 2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 和 。（ 2.7183 和 8.0000） 12. 、，则A 的谱半径 ＝ ，A 的＝ （ ） 11.计算取，利用（ ）式计算误差最小。
牛顿第二定律 1.牛顿第二定律的表述（内容） 物体的加速度跟物体所受的外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合力的方向相同，公式为：F=ma（其中的F和m、a必须相对应）。 对牛顿第二定律理解： （1）F=ma中的F为物体所受到的合外力． （2）F＝ma中的m，当对哪个物体受力分析，就是哪个物体的质量，当对一个系统（几个物体组成一个系统）做受力分析时，如果F是系统受到的合外力，则m是系统的合质量．（3）F＝ma中的F与a有瞬时对应关系，F变a则变，F大小变，a则大小变，F方向变a也方向变． （4）F＝ma中的F与a有矢量对应关系，a的方向一定与F的方向相同。 （5）F＝ma中，可根据力的独立性原理求某个力产生的加速度，也可以求某一个方向合外力的加速度． 若F为物体受的合外力，那么a表示物体的实际加速度；若F为物体受的某一个方向上的所有力的合力，那么a表示物体在该方向上的分加速度；若F为物体受的若干力中的某一个力，那么a仅表示该力产生的加速度，不是物体的实际加速度。 （6）F＝ma中，F的单位是牛顿，m的单位是千克，a的单位是米／秒2． （7）F＝ma的适用范围：宏观、低速 2.应用牛顿第二定律解题的步骤 ①明确研究对象。可以以某一个物体为对象，也可以以几个物体组成的质点组为对象。设每个质点的质量为m i，对应的加速度为a i，则有：F合=m1a1+m2a2+m3a3+……+m n a n 对这个结论可以这样理解：先分别以质点组中的每个物体为研究对象用牛顿第二定律： ∑F1=m1a1，∑F2=m2a2，……∑F n=m n a n，将以上各式等号左、右分别相加，其中左边所有力中，凡属于系统内力的，总是成对出现的，其矢量和必为零，所以最后实际得到的是该质点组所受的所有外力之和，即合外力F。 ②对研究对象进行受力分析。（同时还应该分析研究对象的运动情况（包括速度、加速度），并把速度、加速度的方向在受力图旁边画出来。 ③若研究对象在不共线的两个力作用下做加速运动，一般用平行四边形定则（或三角形定则）解题；若研究对象在不共线的三个以上的力作用下做加速运动，一般用正交分解法解题（注意灵活选取坐标轴的方向，既可以分解力，也可以分解加速度）。 ④当研究对象在研究过程的不同阶段受力情况有变化时，那就必须分阶段进行受力分析，分阶段列方程求解。 解题要养成良好的习惯。只要严格按照以上步骤解题，同时认真画出受力分析图，那么问题都能迎刃而解。 3.应用举例 【例1】质量为m的物体放在水平地面上，受水平恒力F作用，由静止开始做匀加速直线运动，经过ts后，撤去水平拉力F，物体又经过ts停下，求物体受到的滑动摩擦力f．
验证牛顿第二定律实验 1、为了更直观地反映物体的加速度a与物体质量m的关系，往往用二者的关系图象表示出来，该关系图象应选用（） A．a-m图象B．m-a图象C．a-1/m图象D．1/m-a图象 2、在本实验中，下列说法正确的是（） A、平衡摩擦力时，小桶应用细线通过定滑轮系在小车上，但小桶内不能装沙 B、实验中无需始终保持小车和砝码的质量远远大于沙和小桶的质量 C、实验中如用纵坐标表示加速度，用横坐标表示小车和车内砝码的总质量，描出相应的点在一条直线上时，即可证明加速度与质量成反比 D、平衡摩擦力时，小车后面的纸带必须连好，因为运动过程中纸带也要受到阻力 3、在“探究加速度与作用力的关系”的实验中，有位同学按照图3-3-6的装置（将长木板平放在水平桌面上）做五次实验.他在做第一次实验时，钩码总质量为m，小车质量M=30m，以后每次增加一个钩码，这五次实验中，若用钩码的总重力表示绳子的拉力F，则第_____次实验的误差较大；按这五组数据画出的a-F图像是图3-3-7中的______图；该图象存在截距的原因是______；图线斜率的物理含义是______。. 4、在探究加速度与物体所受合外力和质量间的关系时,采用如图3-3-8所示的实验装置，小车及车中的砝码质量用M表示，盘及盘中的砝码质量用m表示，小车的加速度可由小车后拖动的纸带由打点计数器打上的点计算出： (1)当M与m的大小关系满足__________时才可以认为绳子对小车的拉力大小等于盘和砝码的重力. (2)一组同学在先保持盘及盘中的砝码质量一定，探究做加速度与质量的关系，以下做法错误的是：（） A、平衡摩擦力时，应将盘及盘中的砝码用细绳通过定滑轮系在小车上 B、每次改变小车的质量时，不需要重新平衡摩擦力 C、实验时，先放开小车，再接通打点计时器电源 D、小车运动的加速度可用天平测出m以及小车质量M，直接用公式a＝mｇ/Ｍ求出. （3）在保持小车及车中的砝码质量一定，探究加速度与所受合外力的关系时，由于平衡摩擦力时操作不当，二位同学得到的a―Ｆ关系 分别如图3-3-9中的甲、乙所示（a是小车的加速度，Ｆ是细线作用于小车的拉力）.其原因
第二章：误差及分析数据的统计处理 思考题 １．正确理解准确度和精密度，误差和偏差的概念。 答：准确度是测定平均值与真值接近的程度，常用误差大小来表示，误差越小，准确度越高。精密度是指在确定条件下，将测试方法实施多次，所得结果之间的一致程度。精密度的大小常用偏差来表示。 误差是指测定值与真值之差，其大小可用绝对误差和相对误差来表示。偏差是指个别测定结果与几次测定结果的平均值之间的差别，其大小可用绝对偏差和相对偏差表示，也可以用标准偏差表示。 ２．下列情况分别引起什么误差？如果是系统误差，应如何消除？ （1）砝码被腐蚀； （2）天平两臂不等长； （3）容量瓶和吸管不配套； （4）重量分析中杂质被共沉淀； （5）天平称量时最后一位读数估计不准； （6）以含量为99%的邻苯二甲酸氢钾作基准物标定碱溶液。 答：（1）引起系统误差，校正砝码； （2）引起系统误差，校正仪器； （3）引起系统误差，校正仪器； （4）引起系统误差，做对照试验； （5）引起偶然误差； （6）引起系统误差，做对照试验或提纯试剂。 ３．用标准偏差和算术平均偏差表示结果，哪一种更合理？ 答：用标准偏差表示更合理。因为将单次测定值的偏差平方后，能将较大的偏差显著地表现出来。 ４．如何减少偶然误差？如何减少系统误差？ 答：在一定测定次数范围内，适当增加测定次数，可以减少偶然误差。 针对系统误差产生的原因不同，可采用选择标准方法、进行试剂的提纯和使用校正值等办法加以消除。如选择一种标准方法与所采用的方法作对照试验或选择与试样组成接近的标准试样做对照试验，找出校正值加以校正。对试剂或实验用水是否带入被测成
分，或所含杂质是否有干扰，可通过空白试验扣除空白值加以校正。 ５．某铁矿石中含铁39.16%，若甲分析得结果为39.12%，39.15%和39.18%，乙分析得39.19%，39.24%和39.28%。试比较甲、乙两人分析结果的准确度和精密度。 解：计算结果如下表所示 由绝对误差E可以看出，甲的准确度高，由平均偏差d和标准偏差s可以看出，甲的精密度比乙高。所以甲的测定结果比乙好。 ６.甲、乙两人同时分析一矿物中的含硫量。每次取样3.5g，分析结果分别报告为甲：0.042%，0.041%乙：0.04199%，0.04201% .哪一份报告是合理的？为什么？ 答：甲的报告是合理的。 因为取样时称量结果为2位有效数字，结果最多保留2位有效数字。甲的分析结果是2位有效数字，正确地反映了测量的精确程度；乙的分析结果保留了4位有效数字，人为地夸大了测量的精确程度，不合理。
精心整理 专题六《验证牛顿运动定律》 1某同学设计了一个探究加速a 度与物体所受合力F 及质量m 的关系实验。实验装置简图如图14－12所示，A 为小车，B 为打点计时器，C 为装有砂的砂桶，D 为一端带有定滑轮的长方形木板，实验中认为细绳对小车拉力F 等于砂和砂桶总重量，小车运动加速度a 可用纸带上点求得： 图14－12 (1)保持砂和砂桶质量不变，改变小车质量m ，分别得到小车加速度a 与质量m 及对应的m 1 数据如 乙32012海淀二模）用如图甲所示装置做“探究物体的加速 度跟力的关系”的实验。实验时保持小车的质量不变，用钩码所受的重力作为小车受到的合力，用打点计时器和小车 后端拖动的纸带测出小车运动的加速度。 ①实验时先不挂钩码，反复调整垫木的左右位置，直到 小车做匀速直线运动，这样做的目的是。 ②图乙为实验中打出的一条纸带的一部分，从比较清晰的点迹起，在纸带上标出了连续的5个计数点A 、B 、C 、D 、E ，相邻两个计数点之间都有4个点迹没有标出，测出各计数点到A 点之间的距离，如图乙所 甲
示。已知打点计时器接在频率为50Hz的交流电源两端，则此次实验中小车运动的加速度的测量值a=____________m/s2。（结果保留两位有效数字） 根据测得的多组数 第二定律”的实验中，保持小车质量一定时，验证小车加速度a 与合力F的关系。 ①除了电火花计时器、小车、砝码、砝码盘、细线、附有定滑轮的长木板、垫木、导线 及开关外，在下列器材中必须使用的有_________（选填选项前的字母）。 A B C D E A B C 验数据做出的a－F图像如图丁中的1、2、3所示。下列分 析正确的是_____（选填选项前的字母）。 A．出现图线1的原因可能是没有平衡摩擦力 B．出现图线2的原因可能是砝码和砝码盘的质量不合适 C．出现图线3的原因可能是在平衡摩擦力时长木板的倾斜度过大 ⑤在本实验中认为细线的拉力F等于砝码和砝码盘的总重力 m g，由此造成的误差是______（选填“系统误差”或“偶 乙 丙 丁 乙
关于“验证牛顿第二定律实验”的三个问题 问题1. 在“验证牛顿第二定律”的实验中，小车包括砝码的质量为什么要远大于砂和砂桶的总质量。 分析：在做 关系实验时，用砂和砂桶重力mg 代替了小车所受的拉力F ，如图1所 示： 而砂和砂桶的重力mg 与小车所受的拉力F 是并不相等．这是产生实验系统误差的原因，为此，必须根据牛顿第二定律分析mg 和F 在产生加速度问题上存在的差别． 实验时可得到加速度与力的关系的图像，如图2所示，由图像经过原点知，小车所受的摩擦力已被平衡．设小车实际加速度为a ，由牛顿第二定律可得： ()mg M m a =+ 即 () mg a M m =+ 若视 F ma =，设这种情况下小车的加速度为 a '，则 mg a M '=．在本实验中，M 保持不变，与()mg F 成正比，而实际加速度a 与mg 成非线性关系，且m 越大，图像斜率越小。理想情况下，加速度a 与实际加速度差值为 图１ 图２
221()()m g mg mg g a M M M m M M m M m m ?=-==+++ 上式可见，m 取不同值， a ?不同，m 越大，a ?越大， 当m M 时，a a '≈， 0a ?→，这就是要求该实验必须满足m M 的原因所在． 由图２还可以可以看出，随着()F mg 的增大，加速度的实验值与理想值之间的差别越来越大. 本实验是因原理不完善引起的误差，实验用砂和砂桶的总重力mg 代替小车的拉力，而实际小车所受的拉力要小于砂和砂桶的总重力，这个砂和砂桶的总质量越接近小车和砝码的总质量，误差越大，反之砂和砂桶的总质量越小于小车和砝码的总质量，由此引起的误差就越小．即此误差可因为 m M 而减小，但不可能消去此误差． 问题2：在利用打点计时器和小车做“验证牛顿第二定律”的实验时，实验前为什么要平衡摩擦力？应当如何平衡摩擦力？ 分析：牛顿第二定律表达式 F ma =中的F ，是物体所受的合外力，在本实验中，如果不采用一定的办法平衡小车及纸带所受的摩擦力，小车所受的合外力就不只是细绳的拉力，而应是细绳的拉力和系统所受的摩擦力的合力．因此，在研究加速度a 和外力F 的关系时，若不计摩擦力，误差较大，若计摩擦力，其大小的测量又很困难；在研究加速度a 和质量m 的关系时，由于随着小车上的砝码增加，小车与木板间的摩擦力会增大，小车所受的合外力就会变化（此时长板是水平放置的），不满足合外力恒定的实验条件，因此实验前必须平衡摩擦力 应如何平衡摩擦力？怎样检查平衡的效果？有人是这样操作的；把如图3所示装置中的长木板的右端垫高一些，使之形成一 图3
专题57 探究牛顿第二定律实验 1．【2011·浙江卷】在“探究加速度与力、质量的关系”实验时，已提供了小车，一端附有定滑轮的长木板、纸带、带小盘的细线、刻度尺、天平、导线。为了完成实验，还须从下图中选取实验器材，其名称是①（漏选或全选得零分）；并分别写出所选器材的作用②。 【答案】①学生电源、电磁打点计时器、钩码、砝码或电火花计时器、钩码、砝码 ②学生电源为电磁打点计时器提供交流电源；电磁打点计时器（电火花计时器）记录小车运动的位置和时间；钩码用以改变小车的质量；砝码用以改变小车受到的拉力的大小，还可以用于测量小车的质量。 2．【2012·安徽卷】图1为“验证牛顿第二定律”的实验装置示意图。砂和砂桶的总质量为m，小车和砝码的总质量为M。实验中用砂和砂桶总重力的大小作为细线对小车拉力的大小。 （1）试验中，为了使细线对小车的拉力等于小车所受的合外力，先调节长木板一滑轮的高度，使细线与长木板平行．接下来还需要进行的一项操作是 A．将长木板水平放置，让小车连着已经穿过打点计时器的纸带，给打点计时器通电，调节m的大小，使小车在砂和砂桶的牵引下运动，从打出的纸带判断小车是否做匀速运动。 B．将长木板的一端垫起适当的高度，让小车连着已经穿过打点计时器的纸带，撤去砂和砂桶，给打点计时器通电，轻推小车，从打出的纸带判断小车是否做匀速运动。 C．将长木板的一端垫起适当的高度，撤去纸带以及砂和砂桶，轻推小车，观察判断小车是否做匀速运动． （2）实验中要进行质量m和M的选取，以下最合理的一组是 A．M=20 g，m=10g、15 g、20g、25 g、30 g、40 g
B ．M =200 g ，m =20 g 、40 g 、60g 、80 g 、100 g 、120 g C ．M =400 g ，m =10 g 、15 g 、20g 、25 g 、30 g 、40 g D ．M =400 g ，m =20 g 、40 g 、60g 、80 g 、100 g 、120 g （3）图2是实验中得到的一条纸带，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 为7个相邻的计数点，相邻的两个计数点之间还有四个点未画出。量出相邻的计数点之间的距离分别为AB s =4.22 cm 、BC s =4.65 cm 、CD s =5.08 cm 、DE s =5.49 cm 、EF s =5.91 cm 、FG s =6.34 cm 。已知打点计时器的工作频率为50 Hz ，，则小车的加速度a = m/s 2 （结果保留2位有效数字）。 【答案】（1）B （2）C （3）0.42 3．【2014·新课标全国卷Ⅰ】某同学利用图（a ）所示实验装置即数字化信息系统获得了小车加速度a 与钩码的质量m 的对应关系图，如图（b ）所示，实验中小车（含发射器）的质量为200g ，实验时选择了不可伸长的轻质细绳和轻定滑轮，小车的加速度由位移传感器及与之相连的计算机得到，回答下列问题： （1）根据该同学的结果，小车的加速度与钩码的质量成 （填“线性”或“非线性”）的关系。 （2）由图（b ）可知，a m 图线不经过远点，可能的原因是 。 （3）若利用本实验装置来验证“在小车质量不变的情况下，小车的加速度与作用力成正比”的结论，并直接以钩码所受重力mg 作为小车受到的合外力，则实验中应采取的改进措施是 ，钩码的质量应满足的条件是 。 【答案】（1）非线性（2）存在摩擦力（3）调整轨道倾斜度以平衡摩擦力 远小于小车质量
第1章误差分析 利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。 定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。 与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。1.1 误差的来源 误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。 1描述误差 为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。 2观测误差 描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。 比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。 3.舍入误差 几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差
称为舍入误差。 4.截断误差 假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。 我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。 提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。 1.2 误差基本概念 1.绝对误差与相对误差 定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。 注释：我们在实际进行误差分析时，所讨论的误差几乎全都是绝对误差，所以在口语中，我们也把绝对误差简称为误差。 提示：在实际应用中，我们通常是用|x *- x|/|x|来表示x的相对误差，这样会使得有关的计算和理论分析更简单一些。 2 误差限的概念 由于在绝大多数情况下我们无法确定出真值x*，所以近似值x 的误差、相对误差、以及绝对误差也都是无法确定的，但是我们总有办法估计出它们的范围。这就是误差限的概念。 定义设x为真值x* 的近似值: 若e>0满足条件|x*-x|≤e,则称e为x的绝对误差限（或误差限）；若e r>0满足条件|x*-x|/|x|≤e r,则称e r为x的相对误差限. 提示：由绝对误差限和相对误差限的定义可知，它们满足关系