第一章解三角形
1.2 应用举例
1.2 应用举例(第2课时)
学习目标
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.
2.本节课是解三角形应用举例的延伸.可以在温故知新中学会正确识图、画图、想图,逐步构建知识框架.
3.进一步提升学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
塞乐斯生于公元前624年,是古希腊第一位闻名世界的大数学家.他原是一位很精明的商人,靠卖橄榄油积累了相当财富后,塞乐斯便专心从事科学研究和旅行.他游历埃及时,曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度,使古埃及国王阿美西斯钦羡不已.
塞乐斯的方法既巧妙又简单:选一个天气晴朗的日子,在金字塔边竖立一根小木棍,然后观察木棍阴影的长度变化,等到阴影长度恰好等于木棍长度时,赶紧测量金字塔影的长度,因为在这一时刻,金字塔的高度也恰好与塔影长度相等.
设问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度的呢?又是怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度的呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题.
二、信息交流,揭示规律
思考:解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题和解决距离问题是否具有一定的相似性?
三、运用规律,解决问题
【例1】 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法.
问题1:这个建筑物就不好到达它的底部去测量,如果好到达的话,那直接用尺子去量一下就行了,那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢?
问题2:求AB长的关键是先求AE,那如何求AE?
问题3:通过以上讨论问题就转化成如何去求CA的长?
问题4:通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢?
【例2】如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54°40',在塔底C处测得A处的俯角β=50°1'.已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m).
问题5:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗?若在△ABD中求CD的长,则关键需要求出哪条边呢?
四、变式训练,深化提高
【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD.
问题6:欲求出CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢?
问题7:在△BCD中,已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长?
练习:用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD间的距离为a,测角仪的高度为b,求气球的高度.
五、限时训练
1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的仰角为β,则α,β的关系为( )
A.α>β
B.α+β=90°
C.α=β
D.α+β=180°
2.如图,三点B,C,D在地面的同一直线上,DC=a,在D,C两点测得点A的仰角分别为α,β(α>β),则点A离地面的高为( )
A. B.
C. D.
3.在200m的山顶上,测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为( )
A.m
B.m
C.m
D.m
4.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进10m至D点,测得顶端A的仰角为4θ,则θ=.
5.飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔20250m,速度为180km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°30',经过120秒后又看到山顶的俯角为81°,求山顶的海拔高度(精确到1m).
六、反思小结,观点提炼
解三角形应用题的一般步骤:
参考答案
三、运用规律,解决问题
【例1】解:选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得由C,D两点观察A的仰角分别是α,β,CD=a,测角仪器的高是h,那么,在△ACD中,根据正弦定理可得AC=,AB=AE+h=AC sinα+h=+h.
问题1:要求建筑物AB的高,只要能把AE的长求出来,然后再加上测角仪的高度EB的长就行了.
问题2:由解直角三角形的知识,在△ADC中,如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点观察A的仰角,就可以计算出AE的长.
问题3:为了求CA的长,应该把CA放到△DCA中,由于基线DC可以测量,且β也可以测量,这样在△DCA中就已知两角和一边,所以由正弦定理可以解出CA的长.
问题4:要测量某一高度AB,只要在地面某一条过AB底端的直线上取两点D,C,量出CD=a 的长并在C,D两点测出到AB顶端的仰角α,β,则高度AB=+h,其中h为测角仪的高.
【例2】解:在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理,
,
所以AB=.
解Rt△ABD,得BD=AB sin∠BAD=.
把测量数据代入上式,得
BD=
=
≈177.4(m)
CD=BD-BC≈177.4-27.3=150(m).
答:山的高度约为150米.
问题5:需求出BD边,可首先求出AB边,再根据∠BAD=α求得.
四、变式训练,深化提高
【例3】解:在△ABC中,∠A=15°,∠C=25°-15°=10°,根据正弦定理,
,
BC=≈7.4524(km).
CD=BC·tan∠DBC≈BC·tan 8°≈1047(m).
答:山的高度约为1047米.
问题6:在△BCD中.
问题7:BC边.
练习:解:AC=BD=a,在△ACE中,∠ACE=β,∠AEC=α-β,根据正弦定理,得
AE=.在Rt△AEG中,EG=AE sinα=.
所以EF=EG+b=+b.
答:气球的高度是+b.
五、限时训练
1.C
2.A
3.A
4.15°
5.解:设飞行员的两次观测点依次为A和B,山顶为M,山顶到直线AB的距离为MD.
如图,在△ABM中,由已知,得
∠A=18°30',∠ABM=180°-81°=99°,∠AMB=81°-18°30'=62°30'.
又AB=180×=6(km),
根据正弦定理,可得BM=,
进而求得MD=,所以MD≈2120(m),
可得山顶的海拔高度为20250-2120=18130(m).
六、反思小结,观点提炼
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型;
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.