第二章随机变量及其分布
2.1 随机变量
习题1
随机变量的特征是什么？
解答：
①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.
②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.
③随机变量取特定值的概率大小是确定的.
习题2
试述随机变量的分类.
解答：
①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.
②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.
习题3
盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,?,9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.
解答：
分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：
X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3
则X取每个值的概率为
P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,
P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,
P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.
2.2 离散型随机变量及其概率分布
习题1
设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.
解答：
由P{X=1}=P{X=2},得
λe-λ=λ22e-λ,
解得
λ=2.
习题2
设随机变量X的分布律为
P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,
试求
(1)P{12
解答：
(1)P{12 (2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3} =115+215+315=25; (3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35. 习题3 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c,试确定常数c,并计算P{X<1∣X≠0}. 解答： 依题意知，12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得 c=3716=2.3125. 由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0} =12c1-34c=24c-3=26.25=0.32. 习题4 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 解答： 随机变量X的可能取值为3,4,5. P{X=3}=C22?1C53=110,P{X=4}=C32?1C53=310,P{X=5}=C42?1C53=35, 所以X的分布律为 (1)X的概率分布；(2)P{X≥5}; (3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少? 解答： (1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,?; (2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5; (3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足 P{X≥m}=0.6, 即P{X≤m-1}=0.4. 由于 P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m, 故上式化为1-0.9m=0.4,解上式得 m≈4.85≈5, 因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5. 习题7 设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布. 解答： 此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X,它可能的值只有两个，即0和1. X=0表示未投中，其概率为 p1=P{X=0}=1-0.6=0.4, X=1表示投中一次，其概率为 p2=P{X=1}=0.6. 则随机变量的分布律为 由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,?,k,?. 设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),则随机变量X的分布律为 P{X=k}=310×310×?×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,?. 习题10 设随机变量X～b(2,p),Y～b(3,p),若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}. 解答： 因为X～b(2,p), P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9, 所以p=1/3. 因为Y～b(3,p),所以 P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27. 习题11 纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005,在τ这段时间内断头次数不大于2的概率. 解答： 以X记纺锭断头数， n=800,p=0.005,np=4, 应用泊松定理，所求概率为： P{0≤X≤2}=P{?0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005) ≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381. 习题12 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率. 解答： \becauseP{X=1}=P{X=2},即 λ11!e-λ=λ22!e-λ?λ=2, ∴P{X=0}=e-2, ∴p=(e-2)4=e-8. 2.3 随机变量的分布函数 习题1 F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量. 解答： 离散. 由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量. 习题2 设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数. 解答： 首先，因为0≤F(x)≤1,?x∈(-∞,+∞). 其次，F(x)单调不减且右连续，即 F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1, 且F(-∞)=0,F(+∞)=1, 所以F(x)是随机变量的分布函数. 习题3 已知离散型随机变量X的概率分布为 P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形. 解答： 由题意知X的分布律为： 试求：(1)系数A与B;(2)X落在(-1,1]内的概率. 解答： (1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知 {A+B(-π2)A+B(π2)=1=0?A=12,B=1π, 于是 F(x)=12+1πarctanx,-∞ (2)P{-1 =(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)] =12+1π?π4-12-1π(-π4)=12. 习题7 在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数. 解答： F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x 2.4 连续型随机变量及其概率密度 习题1 设随机变量X的概率密度为 f(x)=12πe-(x+3)24(-∞ 则Y=ˉ～N(0,1). 解答： 应填3+X2. 由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ～N(0,1),所以 Y=3+X2～N(0,1). 习题2 已知X～f(x)={2x,0 解答： P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25, P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0. 当X≤0时，F(x)=0; 当0 当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故 F(x)={0,x≤0x2,0 习题3 设连续型随机变量X的分布函数为 F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0, 试求：(1)A,B的值；(2)P{-1 解答： (1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1,∴A=1; 又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0,∴B=-1. (2)P{-1 (3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0. 习题4 服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣,求系数A及分布函数F(x). 解答： 由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即 ∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1, 而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx =Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A 或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1,即A=1/2. 从而f(x)=12e-∣x∣,-∞ 当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex; 当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt =12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x, 从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0. 习题5 某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度 f(x)={100x2,x≥1000,其它, 某一电子管的使用寿命为X,则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率. 解答： 设电子管的使用寿命为X,则电子管使用150小时以上的概率为 P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx =-100x∣150+∞=100150=23, 从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27. 习题6 设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率. 解答： 设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2, 所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268. 习题7 设X～N(3,22). (1)确定C,使得P{X>c}=P{X≤c}; (2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少? 解答： 因为X～N(3,22),所以X-32=Z～N(0,1). (1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即 P{X≤c}=1/2, 亦即Φ(c-32)=12,所以 c-32=0,故c=3. (2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即 P{X≤d}≤0.1. 于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9. 查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436. 习题8 设测量误差X～N(0,102),先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率. 解答： 先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p, p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6} =1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)] =1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05. 设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y～b(100,0.05). 因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以 P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87. 习题9 某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？ 解答： 用X表示工人每月需装配的产品数，则X～N(4000,3600). 设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即 1-P{X 所以1-F(x)=0.1,即1-Φ(x-400060)=0.1,所以 Φ(x-400060)=0.9. 查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此 x-400060≈1.28,即x=4077件， 就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上. 习题10 某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122).在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X. (1)求P{X≤105},P{100 (2)确定最小的x,使P{X>x}≤0.005. 解答： 已知血压X～N(110,122). (1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372, P{100 =Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595. (2)使P{X>x}≤0.05,求x,即1-P{X≤x}≤0.05,亦即 Φ(x-11012)≥0.95, 查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74. 习题11 设某城市男子身高X～N(170,36),问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01. 解答： X～N(170,36),则X-1706～N(0,1). 设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01,而 P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01, 即Φ(x-1706)>0.99,查标准正态表得x-1706>2.33,故x>183.98cm. 因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01. 习题12 某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102);第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42),求： (1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？ (2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？ 解答： 设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则 X～N(40,102),Y～N(50,42). 哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线. (1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725, P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379, 所以有60分钟时应走第二条路. (2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915, P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075 所以只有45分钟应走第一条路. 2.5 随机变量函数的分布 习题1 已知X的概率分布为 FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时) =P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx, 所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12?y-12?122y-1,y>1,于是 fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1. 习题6 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X;(2)Y=∣X∣. 解答： (1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}. ①当y>0时， FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y} =P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y), 故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);； ②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y), 故这时fY(y)=1y2f(1y); ③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0), 故这时取fY(0)=0,综上所述 fY(y)={1y2?f(1y),y≠00,y=0. (2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}. ①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y) 这时fY(y)=f(y)+f(-y); ②当y<0时，FY(y)=P{?}=0,这时fY(y)=0; ③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0, 故这时取FY(y)=0,综上所述 fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0. 习题7 某物体的温度T(°F)是一个随机变量, 且有T～N(98.6,2),已知θ=5(T-32)/9,试求θ(°F)的概率密度. 解答： 已知T～N(98.6,2).θ=59(T-32),反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以 fθ(y)=fT(95y+32)?95=12π?2e-(95y+32-98.6)24?95 =910πe-81100(y-37)2. 习题8 设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0,其分布函数为FY(x),又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同. 解答： 因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0,故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为 FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0, 于是，Z的分布函数为 FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)} ={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1 由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1. FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z),因此，Z与X的分布函数相同. 总习题解答 习题1 从1～20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率. 解答： 设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck,k=1,2,?,20. 因为P(?K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210, P{取到偶数}=P{A2∪A4∪?∪A20} =1210(2+4+?+20)=1121. 习题2 若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮, (1)命中3炮的概率; (2)至少命中3炮的概率; (3)最可能命中几炮. 解答： 若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7,故 (1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009; (2)P{X≥3}=1-P{X<3} =1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8] ≈0.998; (3)因X～b(10,0.7),而 k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7, 故最可能命中7炮. 习题3 在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求: (1)保险公司亏本的概率; (2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率. 解答： (1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为 2500×120元=30000元. 设1年中死亡人数为X,则X～b(2500,0.002),则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须 200000X>300000即X>15(人). 因此，P{保险公司亏本}=P{X>15} =∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k ≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069, 由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的. (2)P{保险公司获利不少于100000元} =P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10} =∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305, 即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上. P{保险公司获利不少于200000元} =P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5} =∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961, 即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%. 习题4 一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数. 解答： 设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A,则P(A)=0.03,显然X～b(300,0.03),即 P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,?,300), 因n=300很大，p=0.03又很小, λ=np=300×0.03=9, 可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故 P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265,(查泊松分布表) 且同时向总机要外线的分机的最可能台数 k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9. 习题5 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计),求： (1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率； (2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率. 解答： (1)t=3,λ=3/2,P{X=0}=e-3/2≈0.223; 这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数). 注意到初始条件F(0)=0,故C=1. 于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为 F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0), 从而电子管在T小时内损坏的概率为 P{X≤T}=F(T)=1-e-λT. 习题9 设连续型随机变量X的分布密度为 f(x)={x,0 求其分布函数F(x). 解答： 当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0; 当0 当1 F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt =0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22; 当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故 F(x)={0,x≤212x2,0 习题10 某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为： f(x)={19xe-x3,x>00,其它, 试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率； (2)水日消费量介于600万升到900万升的概率. 解答： 先求X的分布函数F(x).显然，当x<0时，F(x)=0,当x≥0时有 F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3 故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以 P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6) =1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2, P{6 习题11 已知X～f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1 解答： 由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而 ∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx =c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa, 所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是 P{a-1 =-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ. 注意，a-1 习题12 已知X～f(x)={12x2-12x+3,0 解答： 根据条件概率;有 P{X≤0.2∣0.1 =P{0.1 =(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125. 习题13 若F1(x),F2(x)为分布函数， (1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？ (2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1.证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数. 解答： (1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1 故F(x)不是分布函数. (2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且 F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1, 可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且 a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1. 从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数. 习题14 设随机变量X的概率密度?(x)为偶函数，试证对任意的a>0,分布函数F(x)满足： (1)F(-a)=1-F(a);(2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)]. 解答： (1)F(-a)=∫-∞-a?(x)dx=∫a+∞?(-t)dt=∫a+∞?(x)dx =1-∫-∞a?(x)dx=1-F(a). (2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a} F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)]. 习题15 设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率. 解答： 因为K～U(0,5),所以 fK(k)={1/5,0 方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4?4(K+2)≥0,即 K2-K-2≥0, 亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去),所以 P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35. 习题16 某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X～N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？ 解答： 要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228, P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772; 又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得 90-μσ=2 ① 同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为 P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ, 故Φ(60-μσ)≈0.1578. 因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得 μ-60σ≈1.0 ② 联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X～N(70,100). 某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种： 方法1： P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010 =1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119, 因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取. 方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率), P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053, P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053, 反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取. 习题17 假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年). (1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数； (2)求今后3年内再次发生地震的概率； (3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率. 解答： (1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t, ∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t; 当t<0时，F(t)=0, ∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0, X服从指数分布(λ=0.1); (2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26; (3)F(5)-F(3)≈0.13. 习题18 100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布. (1)试求设备寿命超过1的概率； (2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率. 解答： (1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为 fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2), P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2, P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3, 由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32. (2)由贝叶斯公式： P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93. 习题19 设随机变量X的分布律为 由定理即得 fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3. 习题21 设随机变量X的概率密度 fX(x)={e-x,x>00,其它, 求Y=eX的概率密度. 解答： 因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1, β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞. 类似上题可得 fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1 ={1/y2,1 习题22 设随便机变量X的密度函数为 fX(x)={1-∣x∣,-1 求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数. 解答： X的取值范围为(-1,1),则Y的取值范围为[1,2).当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y} =P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx =2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2, 从而Y的分布函数为 FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它 Y的概率密度为 fY(y)={1y-1-1,1 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ； 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: 第一章 随机事件及概率 第一节 样本空间与随机事件 1.试写出下列的样本空间。 {}{} ()()()()()()()()(){}(){} ()(){} 2 2(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y x y x y R s x y x y x y =≤≤∈=≥∈== ≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式： ()()1() 2A Ω整个样本空间 3.设A,B,C 为三个事件，用A,B,C 的运算关系表示下列事件： ()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 第二节 随机事件的概率 1. ()()()()1121341c a b c b c a c ---+--+ 2. P(A ∪B ∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8 {}{}()()()()()() ()()( )() ()293101831012=053 10310 1 15331 11(+-) 10101514 115 A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB === = == ===-=-===-= 设含含 4. ()()()()()1311011372102321013 10 27 15 1 15 C P A C C C P B C C P C C == == == 设这个球是黑球为事件A 设刚好一个白球一个黑球为事件B ，两个球全是黑球为事件C. 5. ()2 21232 1523 35C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。 6. ()()()()500 412 411013641=0.746 3652=10.427 12 p A A p A ?? =- ???-=设至少有一个人的生日是月 日为事件A 。设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。概率论与数理统计期末复习资料(学生)
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