2015第七届全国大学生数学竞赛试卷-数学类

最新全国大学生数学竞赛简介

全国大学生数学竞赛 百度简介

中国大学生数学竞赛

该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分

一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学

第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及解答

1 x ? ? ? ? a ? 第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案 一、(本题15分): 设A 为正常数，直线?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 所围的有 限部分的面积为A . 证明： (i) 所有上述?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)?总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为y = 1 , x > 0. 设 直线?交双曲线于(a, 1/a )和(ta, 1/ta ), t > 1, 与双曲线所围的面积为A . 则有 1 1 ∫ ta 1 1 1 1 1 A = 2 (1 + t )(t ? 1) ? dx = + )(t 1) log t = t ) log t. x 2 t 2 t 令f (t ) = 1 (t ? 1 ) ? log t . 由于 2 t 1 1 2 f (1) = 0, f (+∞) = +∞, f ′ (t ) = 2 (1 ? t ) > 0, (t > 1), 所以对常数A 存在唯一常数t 使得A = f (t ) (5分). ?与双曲线的截线段中点 坐标 为 1 1 1 1 x = 2 (1 + t )a, y = 2 (1 + t ) a . 于是，中点的轨迹曲线为 1 1 xy = 4 (1 + t )(1 + t ). (10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 (1 + t )(1 + 1 ) 1 给出的曲线. 该 曲线在上述中点处的切线斜率 4 t x 1 1 1 1 k = ? 4 (1 + t )(1 + t ) x 2 = ? ta 2 , 它恰等于过两交点(a, 1/a )和(ta, 1/ta )直线?的斜率: 1 1 1 故?为轨迹曲线的切线. (15分) ta ? a ta ? a = . 二、(本题15分): 设函数f (x )满足条件: 1) ?∞ < a ≤ f (x ) ≤ b < +∞, a ≤ x ≤ b ; 2) 对于任意不同的x, y ∈ [a, b ]有|f (x ) ? f (y )| < L |x ? y |, 其中L 是大

全国大学生数学竞赛简介资料

全国大学生数学竞赛 第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? <

大学生学科竞赛种类调研明细

大学生学科竞赛种类调研明细目录： 全国大学生数学建模竞赛 5 美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM） 6 全国大学生数学竞赛 6 丘成桐大学生数学竞赛 7 国际大学生物理竞赛 7 中国大学生物理学术竞赛（CUPT） 8 南京大学青年物理学家锦标赛（NYPT） 9 国际全局轨道优化竞赛 9 全国深空轨道设计竞赛 10 全国大学生英语竞赛 10 国家大学生创新性实验计划 11 挑战杯系列赛事 13 大学生学术科技作品展 15 基础学科论坛 15 学生学科竞赛项目一览表：

全国大学生数学建模竞赛 主办： 教育部高等教育司中国工业与应用数学学会(CSIAM) 校管理部门： 教务处 校承办单位： 数学系 竞赛时间： 每年9月 竞赛简介： 数模竞赛是由美国工业与应用数学学会在1985年发起的一项大学生竞赛活动。我国大学生数学建模竞赛是面向全国高等院校的、每年一届的通讯竞赛。其宗

旨是：创新意识、团队精神、重在参与、公平竞争。1992载在中国创办，自从创办以来，得到了教育部高教司和中国工业与应用数学协会的得力支持和关心，呈现出迅速的发展势头。 竞赛内容一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。 竞赛形式为全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行；竞赛一般在每年9月末的三天内举行。大学生以队为单位参赛，每队3人，专业不限。研究生不得参加。每队可设一名指导教师（或教师组），从事赛前辅导和参赛的组织工作。 美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM） 主办： 美国数学及其应用联合会 竞赛简介： 美国大学生数学建模竞赛每年的比赛时间一般定在二月初，需要通过官方网站报名，而且需要有固定的指导教师。 竞赛简介：美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM），是一项国际级的竞赛项目，为现今各类数学建模竞赛之鼻祖。

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类).

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性 定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

山东省大学生数学竞赛(专科)试题及答案

山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案 （非数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x -- + →= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2) 11(lim )(+ =∞ →，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy x y D ??-2 ，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解：dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 210 2 ??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名： 身份证号 所在院校： 年级 专业 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求 2 2 dx y d . 解：)],(cos[)(22 2x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 2222222222 x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知3 123ln 0 = -? ?dx e e a x x ，求a 的值. 解：) 23(232 1 23ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-? ?? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ? ? -- =-? 231 ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([3 13 --?- a ，-----------9分 由3 123ln 0 = -? ? dx e e a x x ，故]1)23([3 13 --?- a = 3 1，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3= a -------------15分.

全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x .

二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分） 设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?.

五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根.

滑铁卢大学欧几里得数学竞赛

该考试是学生申请滑铁卢大学数学学院本科专业的重要参考。众所周知滑铁卢大学数学学院 是全球最大的数学、统计学、计算机科学等学科教学中心比尔?盖茨曾于 2005 年、 2008 年 两度造访该大学是比尔?盖茨大学巡回讲座的北美5 所大学之一也是唯一的一所加拿大大学。考试范围：大部分的题目基于高三或者12年级数学课学习的内容。我们的竞赛题目主要包 括以下的数学内容： ? 欧几里德几何和解析几何 ? 三角函数，包括函数、图像、性质、正弦余弦定理 ? 指数和对数函数 ? 函数符号 ? 方程组 ? 多项式，包括二次三次方程根的关系、余数定理 ? 数列、数列求和 ? 简单的计算问题 ? 数字的性质 考试时间为 2.5 个小时， 10 道题。每题 10 分，共计 100 分。考试题有两种，一种只需要给 出答案，另一种则需要写出整个解题过程，这种题的最终得分不仅取决于结果正确与否，还 与解题思路有关。 ? 笔试 ? 10道题：大部分要求写出完整的解题步骤； ? 根据解题的方法和步骤获得相应的分数； ? 步骤不完整的解题无法得到全部的分数； ? 竞赛时长为2.5小时； ? 共100分； ? 可以使用无编程无绘图功能的计算器； ? 不可以使用任何可接入互联网的设备，如手机、平板电脑等均不能携带 如何准备： ? CEMC官网可以免费下载历年的竞赛原题以及标准答案； ? CEMC官网提供各种免费的数学资源； ? www.cemc.uwaterloo.ca； 如何参加： ? 学校可以申请注册为考点，安排组织欧几里德数学竞赛； ? 学生需要通过自己所在的学校报名参加欧几里德数学竞赛； ? 如果学生所在学校未注册考点，学生可以报名在我们北京或者上海的考点参加欧几里德数 学竞赛； ? 竞赛结束之后，学校需要将全部的试卷寄回滑铁卢大学； ? 改卷结束之后，滑铁卢大学会在CEMC官网录入学生的成绩。学校可以用学校注册号以及 密码登录系统查询成绩并且下载电子版获奖证书； ? 欧几里德竞赛没有纸质成绩单，只发放电子版或者纸质的前25%的证书；每个考点的第一 名的学生会有竞赛的奖牌。 ? 欧几里德竞赛成绩一般在竞赛结束之后3个星期左右公布。 为何参加： ? 喜欢数学、对数学解题感兴趣；

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

大学生数学竞赛(非数)试题及答案

大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 20分）. )cos 1(cos 1lim 0x x x x --+ →= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3 lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2)1 1(lim )(+=∞→，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. ，其中 解： dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 21 -??+dy x y dx x )(1 210 2??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名： 身份号： 所在院 校： 级： 业： 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸 上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关

三、（10分）设)](sin[2 x f y =，其中f 具有二阶2dx 解： )],(cos[) (222x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 222222222 2x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(22 2 2 2 2 2 2 2 x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知 3 1 23ln 0 = -?? dx e e a x x ，求a 的值 解： )23(232123ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-??? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ?? -- =-?231ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 2 21-?-------------7分 =]1)23([31 3--?-a ，-----------9分 由3123ln 0=-??dx e e a x x ，故]1)23([313--?-a =31 ，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3 =a -------------15分.

2015山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2015总决赛答案

绝密★启用前 山东省大学生数学竞赛（专科）总决赛试卷 （非数学类，2015） 一、填空题（每小题5分，共30分） 一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。） 1. 已知1 )1(42 +=+x x x x f ，)(x f =___________. 2. 设8)2(lim =-+∞→x x a x a x ，则a =___________. 3. 设方程x y e xy cos 2=+确定y 为x 的函数，则dx dy =_________________. 4. 曲线22)3()1(--=x x y 的拐点个数为__________个. 5. 求不定积分=___________. 2 02 d 6. cos d ______.d x x t t x =? 二、综合题（本题共6小题，共70分，请写出相应演算步骤。） 1. （15分） 1cos ,0()sin 0, 0(1)0(2)'(). x x f x x x x x f x ?-≠?=??=?=讨论函数在处的连续性和可导性；求出导函数 2. （12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，试证： （1）存在)1,21(∈η，使得ηη=)(f （2）对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使得1])([)(=--'ξξλξf f 3. （13分）求dx x t t 1 0 ?- 4. （10分）求平面上的圆盘)0()(222b a a y b x <<≤+-绕y 轴旋转所得圆环体的体积. 5. （10分）选做题（考生在下面两道题中选择一道作答，答题时请标明题号，两题全答的只计算一题得分。） 2222222(1)r r r r r x y z ???=++=???已知成立.

09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? = 10 d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim ，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系 数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

全国大学生数学竞赛知识点列表

知识点列表 (1) 基于夹逼定理的求和式极限的计算方法 (2) 基于定积分定义的求和式极限的计算方法 (3) 求和式极限的级数法 (4) 多元复合函数求导的一般思路与方法 (5) 多元复合函数链式法则的具体使用方法 (6) 多元复合函数复合结构变量关系图的绘制方法 (7) 求空间立体体积的定积分方法 (8) 求空间立体体积的二重积分方法 (9) 求空间立体区域的三重积分方法 (10) 二重积分计算的换元法 (11) 二重积分计算的极坐标方法 (12) 二重积分直角坐标系下的计算方法及其逆运算 (13) 三重积分直角坐标系下的计算方法及其逆运算 (14) 定积分的绝对值不等式 (15) 二重积分的绝对值不等式 (16) 定积分基本公式及其逆运算 (17) 狄利克雷收敛定理与傅里叶级数的和函数 (18) 函数的傅里叶级数的不确定性 (19) 曲面的切平面计算方法 (20) 定积分的换元法 (21) 反常积分的计算方法 (22) 概率积分及其应用 (23) 用二重积分计算定积分的方法 (24) 空间图形构建方程的一般思路与步骤 (25) 圆锥面的几种几何特征 (26) 向量夹角的计算 (27) 点之间的距离计算 (28) 向量的数量积 (29) 向量的模的计算 (30) 直线的点向式方程 (31) 平面的点法式方程 (32) 两种曲面方程法向量的计算公式 (33) 空间曲线的一般式方程 (34) 空间曲线的参数式方程 (35) 空间曲线一般式方程的不唯一性。

(36) 证明函数无穷次可导的方法 (37) 高阶导数的线性运算法则 (38) 函数项级数收敛域计算的一般思路与步骤 (39) 幂级数收敛区间、收敛半径和收敛域的计算步骤 (40) 基于已有幂级数和函数求幂级数未知和函数的方法 (41) 基于求解微分方程初值问题的幂级数和函数计算方法 (42) 幂级数收敛域内和函数的连续性 (43) 幂级数的线性运算、逐项可导、逐项可积的性质 (44) 常值级数收敛性的判定方法 (45) 常值级数收敛判定的比值审敛法与根值方法 (46) 利用函数的连续性求极限 (47) 利用等价无穷小求极限 (48) 函数极限的加减运算法则 (49) 证明问题的反证法 (50) 闭区间上连续函数的介值定理与零点定理 (51) 积分计算的保号性与保序性 (52) 二重积分的绝对值不等式

全国大学生数学竞赛-2019年文档资料

19:56 2019-9-28Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算. 四、多元函数微分学 1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式. 2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. 3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）. 4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法. 五、一元函数积分学 1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型. 2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类. 3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理. 4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用. 六、多元函数积分学 1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）. 2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）. 3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）. 4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性. 5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算. 6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件. 7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系. 七、无穷级数 1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet 判别法. 2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 15165132 21 53= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4= A 。因此310 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22 22 -+=y x z 在