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函数的周期和对称性

专题：函数的周期性对称性

1、周期函数的定义

一般地，对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f y =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

显然，若T 是函数的周期，则)0,(≠∈k z k kT 也是)(x f 的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。

推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期；

()2(T

x f T x f -=+，则)(x f 周期为T ；

()f x 的周期为)(x f T ω?的周期为

T 。 2、常见周期函数的函数方程：

（1）函数值之和定值型，即函数)()()(b a C x b f x a f ≠=+++

对于定义域中任意x 满足)()()(b a C x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=

特例：()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型若)()()(可正可负，C b a C x b f x a f ≠=+?+，则得

)]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，所以函数)(x f 的周期是)(2a b T -=

（3）分式型，即函数)(x f 满足)()

(1)

(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=

由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=

+得)

2(1

)2(b x f a x f +-=+，进而得

1)2()2(-=+?+b x f a x f ，由前面的结论得)(x f 的周期是)(4a b T -=

特例：

()()

f x a f x +=±

，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； )

(11

)(x f a x f +-

=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.

)

1)(x f a x f -

=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. )

(11

)(x f a x f -=

+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.

1()

()1()

f x f x a f x ++=

-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

)(1

)()(+-=

+x f x f a x f ，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

)(1

)()(-+=

+x f x f a x f ，则()x f 是以a T 2=为周期的周期函数.

1()

()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

（4）递推型：

)()()(a x f x f a x f --=+（或)2()()(a x f a x f x f ---=），则)(x f 的周期T = 6a （联系数列）

()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)

(x f 的周期T=5a ；

，，满足)0())(()()(≠=+=a x f g a x f x f y 其中)()(1

x g x g =-，则)(x f y =是以a 2为周

期的周期函数。

3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性

具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。相关结论如下：

结论1：两线对称型：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =，即()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期

2T a b =-

证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =- ()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =- ∴(2)(2)f a x f b x -=- ∴()(22)f x f b a x =-+

∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。

【注意：上述2a b -不一定是最小正周期。若题目所给两条对称轴x a =、x b =之间没有其他对称轴，则2a b -是最小正周期。具体可借助三角函数来进行分析。下同。】结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，即

()()2f a x f a x c ++-=和()()2f b x f b x c ++-=()a b ≠，那么()f x 是周期函数，其中一

个周期2T a b =-

证明：由()()2f a x f a x c ++-=?()(2)2f x f a x c +-=

()()2f b x f b x c ++-=?()(2)2f x f b x c +-= 得(2)(2)f a x f b x -=- 得()(22)f x f b a x =-+

∴函数()y f x =是以22b a -为周期的函数。

结论3：一线一点对称型：如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =- 证明：()()2()(2)2f a x f a x c f x f a x c ++-=?+-= ()()()(2)f b x f b x f x f b x +=-?=- (4())(2(42))f b a x f b a b x -+=---

(42)(2(22))2(22)f a b x f a b a x c f b a x --=--+=--+ 2(2(2))2(2)c f b a x c f a x =---=--

2(2())22()()c c f x c c f x f x =--=-+=

推论1：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =

推论2：如果偶函数()f x 的图像关于直线(),a c （0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a =

推论3：如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a =

推论4：如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =

【函数的奇偶性、对称性、周期性的代数特征有相仿之处，这三性都是有函数方程决定的，方程的不同特征决定了函数不同的性质，要注意其共性与个性。】【函数的奇偶性是函数对称性中的特殊情况，奇函数对称中心为（0,0），偶函数对称轴为y =0，带入结论1-3，可得推论1-4，所以学生在记忆时只需记住结论1-3即可，减少工作量】【同理，教师可示范性给出一个结论的证明过程，其余可让学生进行证明】

典例精讲

一利用周期性求值：

例1、（★★）函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)

)2(x f x f =

+，若5)1(-=f ，则))5((f f =___ 1

-5

_____。

例2、（★★）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 ( B

)

A 、－1

B 、0

C 、1

D 、2

例

3、（★★）已知奇函数)

(x f 满足

)18(log ,2)(,)1,0(),()2(2

1f x f x x f x f x 则时且=∈-=+的值为。

()2122222

log 82(2)()(2)(4)99(log 18)(log 18)(4log 18)(log )(log )8899

(log )288

f x f x f x f x f x f f f f f f +=-∴=-+=+=-=-==-=-=-=-

Q 解：，

【提问：当所要求的值不在定义域中时，怎样通过变换将要求的函数值转化到已知解析式

的这一段定义域中去？除了充分利用周期性外，还要注意题中的已知条件，如奇偶性、对称性等。】

例4、（★★★）()f x 的定义域是R ，且(2)[1()]1()f x f x f x +-=+,若(0)2008f =

求 f (2008)的值。

(4)1

(2)11

(4)1()(8)

(4)1(2)1(4)

1(4)18(2008)(0)2008

f x f x f x f x f x f x f x f x f x f f +--+--++====++-++++++∴==解：周期为，

二利用周期性求解析式：

例5、（★★★）已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()1f x x =+. 求()f x 在(1,2)上的解析式。解法1：

从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 ∵(1,2)x ∈ , 则(2,1)x -∈--

∴2(0,1)x -∈, ∵ 2T =，是偶函数

∴ ()()(2)213f x f x f x x x =-=-=-+=- (1,2)x ∈ 解法2：

（从图象入手也可解决，且较直观）()(2)f x f x =+

如图：(0,1)x ∈, ()1f x x =+.∵是偶函数 ∴(1,0)x ∈-时()()1f x f x x =-=-+ 又周期为2，(1,2)x ∈时2(1,0)x -∈- ∴()(2)(2)13f x f x x x =-=--+=-

例6、（★★★）已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -≤≤是奇函数.又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-. （1）证明：(1)(4)0f f +=；（2）求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；（3）求()y f x =在[4,9]上的解析式.

解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，且在[1,1]-上是奇函数，∴(1)(1)(51)(4)f f f f =--=--=-，∴(1)(4)0f f +=.

②当[1,4]x ∈时，由题意可设2

()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得2

2(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =， ∴2

()2(2)5(14)f x x x =--≤≤.

③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，

又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤ 而2(1)2(12)53f =--=-，

∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，

从而10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-. ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+. 当69x <≤时，154x <-≤，

∴22

()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=-- ∴2

315,

()2(7)5,

x x f x x x -+≤≤?=?

--<≤?.

【由以上两例可以看出，已知周期函数某个周期内的解析式，求另一个周期内的解析式，只要当成是函数图象的平移来做即可。】

【由于函数的性质：奇偶性、对称性联系紧密，教师可引导学生在此回顾奇函数、偶函数如何求解对称区间的解析式这类问题】

三函数的奇偶性、对称性、周期性的综合运用

例1、（★★）已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且

(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ C ）

A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数 C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数

例2、（★★）定义域为R 的函数()f x 满足()()48f x f x --=+，且()8y f x =+为偶函数，则()f x （ C ）

（A ）是周期为4的周期函数（B ）是周期为8的周期函数（C ）是周期为12的周期函数（D ）不是周期函数

【熟记双对称函数的周期判断方法，如果学生对函数的对称性有所忘记，可在此回顾一下。】例3、（★★★）定义在R 上的函数()f x ，给出下列四个命题：（1）若()f x 是偶函数，则(3)f x +的图象关于直线3x =对称（2）若(3)(3),f x f x +=--则()f x 的图象关于点(3,0)对称

（3）若(3)f x +=(3)f x -，且(4)(4)f x f x +=-，则()f x 的一个周期为2。（4）(3)y f x =+与(3)y f x =-的图象关于直线3x =对称。其中正确命题的序号为（2）、（3）。

【本题中学生容易错选（4），究其原因，是没有分清是一个函数自身的对称，还是两个函数之间的对称，审题不清】

例4、（★★★）定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=，且函数32f x ?

?- ??

?为奇函

数．给出以下3个命题：

①函数()f x 的周期是6；

②函数()f x 的图象关于点302??

- ???

，对称；

③函数()f x 的图象关于y 轴对称，其中，真命题的个数是（ A ）． A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

例5、（★★★）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．解：由(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+得函数()y f x =的对称轴为

27x x ==和,

从而知函数()y f x =不是奇函数,

由(2)(2)()(4)(4)(14)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-????-=-??-=+=-??

()(10)f x f x ?=+,从而知函数()y f x =的周期为10T =

又(3)(1)0,(3)(7)0f f f f ==-=≠而,故函数()y f x =是非奇非偶函数;

(II)由(2)(2)()(4)(4)(14)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-????-=-??-=+=-??

()(10)f x f x ?=+

()[][]III 10[3,0]2[4,7]()[0,7]13[4,7][3,0]()[3,7]2005,2005401()2005,2005802x f x f x f x -=∴∴-∴--∴-Q Q 函数周期为，

关于对称的区间为，在只有两根和，无根，无根，在一个周期内只有两根；

共有个周期，

在共有个根。

【本题的关键是要说明在一个周期内函数只有两个根，也就是函数在[7，10]内是无根的】

例6 、（★★★）若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01

，-上是增函数，且)()2(x f x f -=+.

①求)(x f 的周期；

②证明)(x f 的图象关于点(2,0)k 中心对称;关于直线21x k =+轴对称, ()k Z ∈; ③讨论)(x f 在(1,2)上的单调性；

解: ①由已知()(2)(22)(4)f x f x f x f x =-+=++=+，故周期4T =.

②设(,)P x y 是图象上任意一点,则()y f x =,且P 关于点(2,0)k 对称的点为

1(4,)P k x y --.P 关于直线21x k =+对称的点为2(42,)P k x y +-

∵(4)()()f k x f x f x y -=-=-=-,∴点1P 在图象上,图象关于点(2,0)k 对称. 又()f x 是奇函数,(2)()()f x f x f x +=-=- ∴(42)(2)()f k x f x f x y +-=-== ∴点2P 在图象上,图象关于直线21x k =+对称.

③设1212x x <<<，则2121x x -<-<-<-，210221x x <-<-<

∵()f x 在(1,0)-上递增, ∴12(2)(2)f x f x -<-……(*)

又(2)()()f x f x f x +=-=- ∴11(2)()f x f x -=,22(2)()f x f x -= . 所以：21()()f x f x < ，()f x 在(1,2)上是减函数.

例7、（★★★）已知函数

()

f x 对任意实数

,x y 均有

()()2(

)(),(0)022

x y x y

f x f y f f f +-+=≠，且存在非零常数,()0.c f c =使（1）求(0)f 的值；

（2）判断()f x 的奇偶性并证明；

（3）求证()f x 是周期函数，并求出()f x 的一个周期.

20,0(0)(0)2(0)(0),(0)(0)

(0)0,(0)1(2)()()()

,()()2(

)()22

()()2(0)()2(),()()

(=,()(2)2(a b f f f f f f f f f x x x x x x y x f x f x f f f x f x f f x f x f x f x x x x x y x c f x f x c f ==+=?∴=≠∴=+---=-+-=?+-=?=∴=-+=-+-=Q 解：（1）取，得是偶函数。

证明：原式中，不变，取得即（3）令，则2)(2)

)()2()()0

()(2)0,2(2)(22)0(2)()0(2)(2),2()(4)()4c x x c f f x c f c f x f x c x x c f x c f x c c f x c f x f x c f x c x x c f x f x c f x c

---?=-?=∴+-=+∴+++-=∴++=∴-=++=+∴将换成，，再将换成，得的一个周期为【本题第3问关键是如何利用()0f c =这个条件，在等式右边凑出()f c 】课堂检测

1、（★★）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，且当()0,1x ∈时，()21x

f x =-，则

2(log 10)f 的值为（）

.A 35 .B 85 .C 38- .D 53

22222223log 104,14log 100,

()2(log 10)(4log 10)(4log 10),13

(0,1)()21,(4log 10)161,105

(log 10)..

x f x f f f x f x f f A <<∴-<--<∴=-+=-∈=-∴-=?-==Q Q Q 解：函数是以为周期的偶函数，

当是，即故选

2、（★★）设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1

(3)()

f x f x +=-

，且当[]3,2x ∈--时，

()2f x x =，则(113.5)f =（ D ）

.A 27- .B 27 .C 15- .D 1

3、（★★）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有

1()

(1)1()

f x f x f x -+=

+，当0x <≤1时，()2f x x =，则(11.5)f =（ A ）

.A 1- .B 1 .C 12 .D 1

4、（★★）已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤<时，

()f x x =，则(7.5)f 等于( B )

.A 0.5 .B 0.5- .C 1.5 .D 1.5-

5、（★★）设()f x 是定义在R 上的奇函数，(4)()f x f x +=－且(3)f =5，则(21)f =－______________，(2005)f =______________

答：5，－5

6、（★★）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足1

(2)()

f x f x +=

，当0≤x≤1，()f x =2x ，则(7.5)f =______________ 答：1 7、（★★）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)(2)f x f x -=+， (1)f =2，则(2)(7)f f +=______________ 答：－2

8、（★★★）设()f x 是定义域为R 的函数，且()()21f x f x +-????()1f x =+，又

()

22f =，则()2006f =

(答：

) 9、（★★★）设f (x )＝1＋x

1－x

，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f [f k (x )]，k ＝1,2，…，则f 2009(x )＝( D )

A ．－1

x B ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x

【本题属于迭代周期型，也是常出现的题】

10、（★★★）已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝___-8_____.

11、（★★★）已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．

(1)求证：f (x )是周期函数；

(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－1

在[0,2009]上的所有x 的个

数．

解析：(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．

(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝1

2x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，

∴f (－x )＝12(－x )＝－1

x .

∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．

∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝ 12x (－1≤x ≤0)．故f (x )＝ 1

2x (－1≤x ≤1)．

又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1，∴f (x －2)＝1

2(x －2)，

又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f ((－x )＋2)＝－[－f (－x )] ＝－f (x )，

∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－1

(x －2)(1＜x ＜3)．

∴ f (x )＝???

x ，－1≤x ≤1－1

x －2，1

. 由f (x )＝－1

，解得x ＝－1.

∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－1

2的所有x ＝4n －1 (n ∈Z )．

令0≤4n －1≤2009，则14≤n ≤1005

又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 (n ∈Z )， ∴在[0,2009]上共有502个x 使f (x )＝－1

课后习题

1若函数()23x

f x =+的图像与()

g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝．1 2设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12

log 1f x x =-，则函

数()f x 在(1,2) 上的解析式是【答案】()1log 2

1-=x y

3（2013浦东二模理17）已知以4为周期的函数(](]??

???∈--∈-=3,1,2cos 1,1,1)(2x x

x x m x f π，其中0>m 。若方程3

)(x

x f =

恰有5个实数解，则m 的取值范围为（） )(

A 8)3 )(

B )(

C 48,33??

???

)(

D 4(3．

【答案】B

4（2013浦东二模文17）已知以4为周期的函数(](]??

??∈--∈-=3,1,2cos 1,1|),|1()(x x

x x m x f π其中0>m ，若方程3

)(x

x f =

恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）

)(A 4

(,)3+∞

)(B 4

[,)3

+∞

)(C 48,33?? ???

)(D 48[,]33

．

【答案】C 新定义型

5我们把定义在R 上，且满足)()(x af T x f =+（其中常数T a ,满足0,0,1≠≠≠T a a ）的函数叫做似周期函数．

（1）若某个似周期函数)(x f y =满足1=T 且图像关于直线1=x 对称．求证：函数)(x f 是偶函数；

（2）当2,1==a T 时，某个似周期函数在10<≤x 时的解析式为)1()(x x x f -=，求函数)(x f y =，[)Z n n n x ∈+∈,1,的解析式；解：因为R x ∈关于原点对称，

又函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，所以

)1()1(x f x f +=-① 又1=T ，,)()1(x af x f =+∴

用x -代替x 得,)()1(x af x f -=+-

由①②③可知,)()(x af x af -=01≠≠a a 且Θ，

)()(x f x f -=∴．即函数)(x f 是偶函数；

（2）当)(1Z n n x n ∈+<≤时，)(10Z n n x ∈<-≤

)1)((2)(2)2(2)1(2)(2x n n x n x f x f x f x f n n -+-=-==-=-=Λ；

6、已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ?>+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ．若恒有)()(x f m T x f ?=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T ．

（1）试判断函数)1(log )(2

1-=x x f 是否为()∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数？并

说明理由；

（2）已知函数ax x x f +-=2

)(是[)∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的

取值范围；

解（1）∵0)13()1()11(22<+--=---+x x x x ，即2

)1()11(-<-+x x

∴2

1)1(log )11(log 2

1->-+x x ，即 )1(log 2)11(log 2

1->-+x x