第一章 误差分析与向量与矩阵的数
一、容提要
本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系;掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析;熟练掌握向量和矩阵数的定义及其性质。
1.误差的基本概念和有效数字 1).绝对误差和相对误差的基本概念
设实数x 为某个精确值,a 为它的一个近似值,则称a x -为近似值a 的绝对误差,简称为误差. 当0≠x 时,x a
x -称为a 的相对误差.在实际运算中,精确值x 往往是未知的,所
以常把a a
x -作为a 的相对误差.
2).绝对误差界和相对误差界的基本概念
设实数x 为某个精确值,a 为它的一个近似值,如果有常数a e ,使得 a e a x ≤-
称a e 为a 的绝对误差界,或简称为误差界.称
a
e a
是a 的相对误差界.
此例计算中不难发现,绝对误差界和相对误差界并不是唯一的,但是它们越小,说明a 近似x 的程度越好,即a 的精度越好.
3).有效数字
设实数x 为某个精确值,a 为它的一个近似值,写成
ΛΛn k
a a a a 21.010?±=
它可以是有限或无限小数的形式,其中),2,1(Λ=i a i 是9,,1,0Λ中的一个数字,k a ,01≠为整数.如果
n k a x -?≤
-102
1
则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值.
如果a 有n 位有效数字,则a 的相对误差界满足:n a a a x -?≤-11
1021
。 4).函数计算的误差估计
如果),,,(21n x x x f y Λ=为n 元函数,自变量n x x x ,,,21Λ的近似值分别为n a a a ,,,21Λ,则
)(),,,(),,,(12121k k n
k a
k
n n a x x f
a a a f x x x f -????
????≈-∑=ΛΛ 其中),,,(21n k
a
k a a a f x x f Λ??=?
??? ????,所以可以估计到函数值的误差界,近似地有 k a n k a
k
a n n e x f
e a a a
f x x x f ∑=????
????≈≤-12121),,,(),,,(ΛΛ 如果令2=n ,设21,x x 的近似值分别为21,a a ,其误差界为1
11a e a x ≤-和≤-22a x 2a e ,
取),(21x x f y =为21,x x 之间的四则运算,则它们的误差估计为,
1121a a a a e e e +≈±;112121a a a a e a e a e +≈?;2
2
211
12
1a e a e a e a a a a +≈
,02≠a 。
数相加或减时,其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高. 对于两个数作相减运算时,由于其相对误差界:
2
12
12121a a e e a a e a a a a -+≈
-±。
如果1x 和2x 是两个十分接近的数,即1a 和2a 两个数十分接近,上式表明计算的相对误差会很大,导致计算值21a a -的有效数字的位数将会很少。
对于两个数作相除运算时,由于其相对误差界:2
211
12
1a e a e a e a a a a +≈
。
从关系式中可以看出,如果2x 很小,即2a 很小,计算值2
1
a a 的误差可能很大。 5).数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则
⑴ 算法的数值稳定性:一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之,成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。
⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。 ⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。 ⑷ 注意简化运算步骤,尽量减少运算次数。
⑸ 多个数相加,应把绝对值小的数相加后,再依次与绝对值大的数相加。 2.向量和矩阵数
把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来,在某种意义下,这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个数,相应地有一类矩阵函数,其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。
数的主要的应用:
一、研究这些矩阵和向量的误差估计。
二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。
1)向量数
定义 存在n R (n 维实向量空间)上的一个非负实值函数,记为x x f =)(,若该函数满足以下三个条件:即对任意向量x 和y 以及任意常数R ∈α(实数域)
(1)非负性 0≥x ,并且0=x 的充分必要条件为0=x ; (2)齐次性
x x αα=;
(3)三角不等式y x y x +≤+. 则称函数
?
为n
R 上的一个向量数.
常用三种的向量数
设任意n维向量T n x x x ),,,(21Λ=x ,(T
x 为向量x 的转置),
∑==n
i i x 1
1x , 向量的1-数
()21
,2
1
122x x x x x x =?=?
?
?
??=∑=T n i i , 向量的2-数
i n
i x x
≤≤∞
=1max , 向量的∞-数
一般情况下,对给定的任意一种向量数?,其加权的数可以表为
x x W W =,
其中W 为对角矩阵,其对角元作为它的每一个分量的权系数。
向量数的连续性定理 n
R 上的任何向量数x 均为x 的连续函数。 向量数的等价性定理 设α?和β
?
为n
R 上的任意两种向量数,则存在两个与向量x 无关的正常数c 1和c 2,使得下面的不等式成立
βα
β
x x
x
21c c ≤≤,其中n x R ∈?.
2). 矩阵数 定义 存在n
n ?R (n n ?维复矩阵集合)上的一个非负实值函数,记为A A f =)(,对任意的A,n
n ?∈R
B 均满足以下条件:
(1)非负性:对任意矩阵A 均有0≥A ,并且0=A 的充分必要条件为O A =;
(2)齐次性:
A A αα=,α∈C ;
(3)三角不等式:B A B A +≤+, n
n ?∈R B A,;
(4)相容性:B A AB ?≤, n
n ?∈R B A,,
则称?为n n ?R 上的矩阵数。
我们可定义如下的矩阵数:
∑∑===m i n
j ij m a 11
1
A ,矩阵的1m -数
()2
1
112???
? ??=∑∑==m
i n
j ij F a A ,矩阵的F -数(Frobenius )数。 (矩阵数与向量数相容性定义) 对于一种矩阵数M
?和一种向量数V ?,如果对任意
n ×n 矩阵A 和任意n 维向量x , 满足
V M V x A Ax ≤,
则称矩阵数M
?
与向量数V ?是相容的。
3)矩阵的算子数
定理 已知n
R 上的向量数V ?,A 为n ×n 矩阵,定义 V V
V M
V
Ax x Ax A
x
x 1
max max
=≠==
则M A 是一种矩阵数,且与已知的向量数相容,称之为矩阵的算子数。 三种常用的矩阵的算子数
∑=≤≤=m
i ij n
j a 111max A ; (列数)
∑=≤≤∞
=n
j ij m
i a 1
1max A
. (行数)
,)(max 2A A A T λ=
(谱数)
其中)(max A A T λ表示矩阵A A T
的最大特征值。
对任何算子数?,单位矩阵n
n R
I ?∈的数为1,即1=I 。
特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ2矩阵典型习题解析
2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础,而对于初学者来讲,对于矩阵的理解是尤为的重要;许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难,这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候,我们才会发现,原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙!于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时,那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1.矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵,记为n m ij a A ?=)( 2.特殊矩阵 (1)方阵:行数与列数相等的矩阵; } (2)上(下)三角阵:主对角线以下(上)的元素全为零的方阵称为上(下) 三角阵; (3)对角阵:主对角线以外的元素全为零的方阵; (4)数量矩阵:主对角线上元素相同的对角阵; (5)单位矩阵:主对角线上元素全是1的对角阵,记为E ; (6)零矩阵:元素全为零的矩阵。 3.矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )(== 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===,则称A 与B 相等,记为A=B 。
2.1.2 矩阵的运算 1.加法 ~ (1)定义:设mn ij mn ij b B A A )(,)(==,则mn ij ij b a B A C )(+=+= (2)运算规律 ① A+B=B+A ; ②(A+B )+C =A +(B+C ) ③ A+O=A ④ A +(-A )=0, –A 是A 的负矩阵 2.数与矩阵的乘法 (1)定义:设,)(mn ij a A =k 为常数,则mn ij ka kA )(= (2)运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3.矩阵的乘法 (1)定义:设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 . (2)运算规律 ①)()(BC A C AB =;②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( (3)方阵的幂 ①定义:A n ij a )(=,则K k A A A = ②运算规律:n m n m A A A +=?;mn n m A A =)( (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4.矩阵的转置 ~ (1)定义:设矩阵A =mn ij a )(,将A 的行与列的元素位置交换,称为矩阵A 的转置,记为nm a A ji T )(=, (2)运算规律 ①;)(A A T T = ②T T T B A B A +=+)(;
第一章典型例题 例3 ln2=0.…,精确到10-3的近似值是多少 解 精确到10-3=,即绝对误差限是=, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1=D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
《矩阵理论》第一二章 典型例题 一、 判断题 1.A n 为阶实对称矩阵,n R x 对中的列向量, ||x |A x =定义, ||x||x 则为向量 的范数. ( ) 提示:因为非负性不成立,故结论错误。 2.设A n 为阶Hermite 矩阵, 12,,,n λλλ是矩阵A 的特征值,则2 2 21 ||||n m i i A λ==∑. ( ) 提示:A n 为阶Hermite 矩阵?22 2 212||||||(,, ,)||H m n m A Udiag U λλλ= 2 212||(,, ,)||n m diag λλλ=21 n i i λ==∑. 3. 如果m n A C ?∈,且0A ≠,()H AA AA --=, 则2||||AA n -=. ( ) 提示:AA -为幂等矩阵?AA - 的特征值为0或1。又0A ≠,?A AA - ≥秩()=秩()1? 0AA -≠?1是AA -的特征值 ?2||||AA -=max ()i AA λ-= =1 4. 若设n x R ∈ ,则212||||||||||x x x ≤≤. ( ) 提示: 2 2 2 2 2 2 1221 ||||||||||||||x x x x x =++ +≤, 11||||||n i i x x ==∑1 ||1n i i x ==?∑ 21/21 ||)n i i x =≤ ∑2||x = 5. 设m n A R ?∈的奇异值为12n σσσ≥≥ ≥,则2 22 1 ||||n i i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ?∈,且有某种算子范数||||?,使得||||1A <,则11 ||()||1|||| E A A --> -, 其中E 为n 阶单位矩阵. ( ) 提示:
2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础,而对于初学者来讲,对于矩阵的理解是尤为的重要;许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难,这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候,我们才会发现,原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙!于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时,那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1.矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij 组成的m 行n 列的矩形数表 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 22221 11211 称为m×n 矩阵,记为n m ij a A )( 2.特殊矩阵 (1)方阵:行数与列数相等的矩阵; (2)上(下)三角阵:主对角线以下(上)的元素全为零的方阵称为上(下) 三角阵; (3)对角阵:主对角线以外的元素全为零的方阵; (4)数量矩阵:主对角线上元素相同的对角阵; (5)单位矩阵:主对角线上元素全是1的对角阵,记为E ; (6)零矩阵:元素全为零的矩阵。 3.矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )( 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ,则称A 与B 相等,记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算
1.加法 (1)定义:设mn ij mn ij b B A A )(,)( ,则mn ij ij b a B A C )( (2)运算规律 ① A+B=B+A ; ②(A+B )+C =A +(B+C ) ③ A+O=A ④ A +(-A )=0, –A 是A 的负矩阵 2.数与矩阵的乘法 (1)定义:设,)(mn ij a A k 为常数,则mn ij ka kA )( (2)运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3.矩阵的乘法 (1)定义:设.)(,)(np ij mn ij b B a A 则 ,)(mp ij C C AB 其中 n k kj ik ij b a C 1 (2)运算规律 ①)()(BC A C AB ;②AC AB C B A )( ③CA BA A C B )( (3)方阵的幂 ①定义:A n ij a )( ,则K k A A A ②运算规律:n m n m A A A ;mn n m A A )( (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ②;00,0 B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB )( 4.矩阵的转置 (1)定义:设矩阵A =mn ij a )(,将A 的行与列的元素位置交换,称为矩阵A 的转置,记为nm a A ji T )( , (2)运算规律 ①;)(A A T T ②T T T B A B A )(; ③;)(T T KA kA ④T T T A B AB )(。
数值分析典型习题
特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ线性代数典型例题
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-,试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1 ||2 A = ,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵,求:111().A B ---+
第一章典型例题 例3…,精确到10-3的近似值是多少? 解 精确到10-3=,即绝对误差限是?=, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3
X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1 =D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0=?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ,根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收敛。 高斯-赛德尔迭代矩阵为 G =-U ~ )L ~D (1-+ =-?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0,?2,3=2。由迭代基本定理4知,高斯-赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题: 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2,3个方程分别为 。
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解:按照定义,以上各数具有5位有效数字的近似值分别为:236.478, 0.0023471, 9.0000, 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9,因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004, -0.00200, -9000, 9310?, 23 10-?。 解:按照定义,以上各数的有效数字位数分别为5, 3, 4,1,1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ,所需时间* s 的近似值为t=35s ,若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-,试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解:因为t s v /=,所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系,并研究它的误差 传递。 解:151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ,计算出0I 后可通过(1)依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ,由此计算出的1I ,…,20I 也有误差,由(1)可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) (1)-(2)可得 01)5(5e e e n n n -=-=-,由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以(1)不稳 定。 (1) 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… (3) 如果能先求出20I ,则依次可以求出19I ,…,0I ,计算20I 时有误差,这样根据(3)计算19I ,…,0I 就有误差,误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ,误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根,要求有3为有效数字。 解:因为0)1()0( 5-3 正定二次型与正定矩阵习题评讲 12、如果A、B为同阶正定矩阵,证明:A+B为正定矩阵。 证明1:因为A、B是n阶实对称矩阵,故A+B也是n阶实对称矩阵。 因为A、B为n阶正定矩阵,所以实二次型f(x1,x2,…,xn)=XT A X和g(x1,x2,…,xn)=XT BX都是正定二次型。实二次型h(x1,x 2,…,xn)=XT(A+B)X=XTAX+XT BX=f(x1,x2,…,xn)+g(x1,x2,…,xn)。所以对任意不全为零的实数C1,C2,…,Cn,因为f(C1,C2,…,Cn)>0,g(C1,C2,…,Cn)>0,从而有 h(C1,C2,…,Cn)=f(C1,C2,…,Cn)+g(C1,C2,…,Cn) >0,所以实二次型h(x1,x2,…,xn)=XT (A+B)X正定,从而A+B是正定矩阵。 证明2:因为A、B是n阶实对称矩阵,故A+B也是n阶实对称矩阵。 因为A、B为n阶正定矩阵,所以对任意n维非零实列向量X0,都有 X0TAX0>0;X0T BX0>0; X0T(A+B)X0= X0TAX0+X0T BX0>0, 所以A+B是正定矩阵。 P263 总自测题 证明题 (2)设n维列向量α与任何n维向量都正交,证明:α=0。 证明:设α=(a1,a2,…,an),取n维单位向量εj=(0,…,0,1,0,…, 0),j=1,2,…,n。有(α,εj)=aj,j=1,2,…,n,所以α=0。 8、判别下列实对称矩阵是否为正定矩阵: (1)??????????111121111;(2)??????????------211121112; (3)??????? ??????? ? ?---- 52 1212112 1 1。 解(1):A=???? ? ?????111121111是实对称矩阵,第三个顺序主子式Δ3=A =0,A不是正定矩阵。 矩阵理论 通过学习矩阵理论这门课,发现在这个大数据的时代,矩阵理论是这个时代的基础学科,也是计算机飞速发展的引擎,它的重要性令我咂舌。一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。 本门课程主要包含以下几部分内容:线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。 一 线性方程组 对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换),相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。 由于现代计算机处理的数据越来越多,运行的任务越来越大,因此,对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。 对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算,但是它的计算时间是!n 级。所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要,但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。 判断一个算法的优劣,有很多标准,包括时间复杂度和空间复杂度,显然,时间复杂度越小,说明算法效率越高,因此算法也越有价值;而空间复杂度越小,说明算法越好。但主要考虑时间复杂度,因为人生苦短嘛哈哈。 对于一些常用的()f n ,成立下列重要关系: 23(1)(log )()(log )()() (2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<< LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。LU 分解就是在可以的情况下,将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。这样的话,对Ax b =求解,可以转化为对Ly b =求解,然后对Ux y =求解。但是,不是每一个矩阵都可以这样分解,是要满足一定的要求的,这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。 但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗?当然不是啦!加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候,但是通过行变换,可以满足要求,这样就得了下面这个定理。 如果存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 与上三角矩阵U ,使得方阵A 满足P A L U =,称作带置换的LU 分解。 正定矩阵的性质及应用 摘要:正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念,深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。基于此,本文首先对正定矩阵的定义进行了描述,其次研究了正定矩阵的性质与判定方法,最后简单介绍了其具体应用。 关键词:正定矩阵;基本性质;推论;判定;应用 前言:矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念,如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程,二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应,甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型,正定矩阵有很多特殊性质,是研究二次型,线性空间和线性变换问题的有利工具。本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。 1.正定矩阵的基本性质 1.1 正定矩阵的定义 设M是n阶实系数对称矩阵,如果对任何非零向量X=(x1,……,xn) 都有X′MX>0,就称M正定(Positive Definite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型,即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正定矩阵。 另一种定义:一种实对称矩阵,正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。 1.2 正定矩阵的性质 当矩阵A为正定矩阵的时候,则必有以下几个性质,即: (1)aii>0,i=1,2,……,n; (2)A的元素的绝对值最大者,必定为主对角元; (3)≤annAn-1 ,其中,An-1是A的n-1阶主子式; (4)≤a11a22……ann,当且仅当A为对角阵的时候成立; 而除了以上这几个性质外,还有若干个推论也是比较重要的,在很多应用中 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称:Numerical Analysis 2、课程类别:专业基础课程 3、课程学时:总学时32 4、学分:2 5、先修课程:《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业:工程力学 二、课程的目的与任务: 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程,是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法,即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习,不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识,而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力,为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求: 1.掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2.掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3.能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题,增强学生综合运用知识的能力 4.了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配: (一) 理论教学: 引论(2学时) 第一讲(1-2节) 1.教学内容: 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点;算法的有关概念及要求;误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2.重点难点: 算法设计及其表达法;误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3.教学目标: 了解数值分析的基本概念;掌握误差的基本概念:误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字;理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 数值分析典型例题 Revised as of 23 November 2020 第一章典型例题 例3 ln2=0.…,精确到10-3的近似值是多少 解 精确到10-3=,即绝对误差限是=, 故至少要保留小数点后 三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31-=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.01 42332321x x x x x x 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2) 3(1x x x X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3)2(2) 2(1x x x X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯- 赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =??????????100010001 D -1=D ??????????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中,矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面,矩阵知识已有广泛深入的应用,本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上,简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况,并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵,, 则 简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减! 注意:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的. 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律; 结合律. 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A,就是将数乘矩阵A中的每一个元素,记为或. 特别地,称称为的负矩阵. 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律:(λμ)A=λ(μA);(λ+μ)A =λA+μA. 分配律:λ(A+B)=λA+λB. 已知两个矩阵 满足矩阵方程,求未知矩阵. 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设,,则A与B的乘积是这样一个矩阵: (1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即 . (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘,再取乘积之和. 典型例题(二)方阵可逆的判定 例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式: (1)若0||≠A , 则 T T A A )()(11--=; (2)若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则* **)(A B AB =; (3) T T A A )()(**=; (4)若0||≠A , 则* 11*)()(--=A A ; (5) * 1*)1()(A A n --=-; (6)若0||≠A , 则l l A A )()(11--=(l 为自然数); (7) * 1*)(A k kA n -=. 证 (1)因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且 E AA =-1 两边同时取转置可得 E E A A AA T T T T ===--)()()(11 故由可逆矩阵的定义可知 T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即 1 1)()(--=T T A A (2)利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 E AB AB AB ||)()(*= (2-7) 另一方面 B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****== E AB E B A B B A |||| ||||*=== (2-8) 比较式(2-7)、(2-8)可知 ))(()()(***AB A B AB AB = 又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1 )(-AB 可得 ***)(A B AB = (3)设n 阶方阵A 为 ?????????? ????=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2222111211 于是可得A 的伴随矩阵* A 为 特别声明:考试时需带计算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数,则 (1)()n n k k k x l x =-=∑(1).n x - 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式 (1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充 分必要条件是()1.ρ 正定矩阵及其应用 本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用 学生姓名:学号: 专业:指导老师: 答辩时间:装订时间: A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science,Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Positive definite matrices and their applications Student Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding: 摘要 矩阵是高等代数里的一个基本概念,是代数知识的基础,是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支,而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵,是研究二次型的基础,在函数、不等式中都有应用,因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注,进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发,由浅入深,层层递进. 从矩阵的性质出发,给出了正定矩阵定义及其等价定义,归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明,总结了正定矩阵的判定定理,最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用. 关键词:矩阵正定二次型正定矩阵极值 题型一:有效数字 1, 的首位数字x 1, x *的相对误差不超过0.5×10-5,至少 要保留几位有效数字.(2010-2011) 1*115 12 11||10100.510222 6n n r x n e x n ---=≤ ?=?≤??≥=解答:设至少要保留位有效数字,则有解得, n 5.7取位有效数字. 2, 0.5×10-4,至少要保留几位有效数字?(2009-2010) 3,已知21.787654为有效数,确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008) *6 *1187 11 ||102111||1010102224 n r e e x ----=?=?=?=??解答: 4,已知30.49876为有效数,确定其绝对误差界.(2006-2007B) 5,设有效数x=12.4567,确定x 的绝对误差界.(2004-2005) 题型二:插值多项式 1,已知f(x)的函数值:f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5, 用反插值法求f(x)=0在[0,2]内的近似根x *.(2010-2011) 11111202012012010210122021()()()()()()() ()()()()()()()()()() (2)(5)(2)(1) 012(12)(15)(52)(51)2991422884 y y y y y y y y y y y y y L y f y f y f y y y y y y y y y y y y y y y y y y ----------=?+?+? ------+-+-=+? +? +-+-=+-解答:对y=f(x)的反函数x=f 进行二次插值2*229 (0)42 y x L ≈= 故, 考研线性代数重点内容和典型题型 线性代数在考研数学中占有重要地位,必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出,以计算题为主,证明题为辅,因此,专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%,所以考生要想取得高分,学好线代也是必要的。下面,就将线代中重点内容和典型题型做了总结,希望对xx年考研的同学们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大,一般以填空题、选择题为主,它是必考内容,不只是考察行列式的概念、性质、运算,与行列式有关的考题也不少,例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题,必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法,计算行列式的主要方法是降阶法,用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形,化简之后再展开.另外,一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有:数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心,是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多,重点考点有逆矩阵、 伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种:计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点,也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用,还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系,从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中,方程组出现的频率较高,几乎每年都有考题,也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有:齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有:线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容,是考研的重点之一,题多分值大,共有三部分重点内容:特征值和特征向量的概念及计算、5-3 正定二次型与正定矩阵习题评讲
矩阵理论
正定矩阵的性质及应用
数值分析教案
数值分析典型例题
矩阵的运算及其运算规则
可逆矩阵判定典型例题
数值分析典型习题教学内容
正定矩阵及其应用
数值分析典型习题
考研线性代数重点内容和典型题型