解析 由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根. ∴－7×(－1)＝21
a
，故a ＝3.
(2)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析 依题意得，|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，即函数y ＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值是|m ＋1|，于是有|m ＋1|>3，m ＋1<－3或m ＋1>3，由此解得m <－4或m >2.因此实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞). 题型二 线性规划问题
例2 若实数x ，y 满足不等式组????
?
x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，
x ＋y －4≥0， 则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________.
答案 21
解析 方法一 作出不等式组表示的平面区域.如图中阴影部分(含边界)所示.
z ＝|x ＋2y －4|＝
|x ＋2y －4|
5
·5，则几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍.由?????
x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，
得点B 的坐标为(7,9)，显然，点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，
此时z max ＝21.
方法二 由图可知，阴影区域内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题.显然，当直线经过点B 时，目标函数取得最大值，z max ＝21.
思维升华 对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，
准确列出线性约束条件，然后寻求最优解，最后回到实际问题.
跟踪训练2 (1)(2017·浙江“超级全能生”联考)若实数x ，y 满足不等式组????
?
x －2y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，
2x －y －1≤0，则
2|x ＋1|＋y 的最大值为( ) A.14
3 B.193 C.
4 D.1
答案 B
解析 可行域为如图所示阴影部分，即△ABC 及其内部，
其中A (－2,0)，B ????
43，53，C (0，－1)，
因此当x ≥－1时，z ＝2x ＋2＋y 过点B 时取最大值193；
当x ＜－1时，z ＝－2x －2＋y 过点A 时取最大值2. 综上，2|x ＋1|＋y 的最大值是19
3
. 故选B.
(2)(2017·杭州调研)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元. 答案 30 000
解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮，则z ＝10 000x ＋5 000y ，约束条件为
??
?
??4x＋y≤10，
18x＋15y≤66，
x≥0，
y≥0，
画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，
由图可知，
在D(2,2)处z有最大值，且z max＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元).
题型三基本不等式的应用
例3 (1)在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是() A.3 B.2
C.4
D.5
答案 A
解析设扇形的半径为r，其弧长为l，
由题意可得S＝1
2lr＝9，故lr＝18.
扇形的周长C＝2r＋l≥22rl＝22×18＝12，
当且仅当2r＝l，即r＝3，l＝6时取等号.
(2)已知a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，则????
a2＋1
ab－2·c＋
2
c－1
的最小值为______.
答案4＋2 2
解析∵
a2＋1
ab
＝
a2＋(a＋b)2
ab
＝
2a2＋2ab＋b2
ab
＝2a
b
＋b
a
＋2≥2 2a
b·
b
a
＋2
＝22＋2，
当且仅当?????
2a b ＝b a ，
a ＋
b ＝1，
即?
????
a ＝2－1，
b ＝2－2时等号成立， ∴? ????a 2＋1ab －2·
c ＋2c －1≥22c ＋2c －1
＝22(c －1)＋2c －1＋2 2
≥2
22(c －1)·2
c －1
＋22＝4＋22，
当且仅当22(c －1)＝2c －1，即c ＝1＋2
2时，等号成立.
综上，所求最小值为4＋2 2.
思维升华 (1)应用型问题解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型.(2)应用基本不等式求最值要注意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义. 跟踪训练3 (1)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋3
2＋y ＝1，则xy 的最小值为( )
A.4
B.4 3
C.9
D.16
答案 D
解析 由32＋x ＋3
2＋y
＝1可得xy ＝8＋x ＋y .
∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0， 解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.
(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m 2；材料工程费在建造第一层时为400元/m 2，以后每增加一层费用增加40元/m 2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层. 答案 10
解析 设应把楼房设计成x 层，每层有面积y m 2，则平均每平方米建筑面积的成本费为 k ＝2 000y ＋y ×400＋y ×440＋…＋y ×[400＋40(x －1)]xy
＝
2 000
x ＋20x ＋380≥2 2 000x ·20x ＋380＝780，当且仅当2 000
x
＝20x ，即x ＝10时取等号，故应把楼房设计成10层. 题型四 绝对值不等式
例4 已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|－2. (1)解不等式|g (x )|＜5；
(2)若y ∈{y |y ＝f (x )－2}是y ∈{y |y ＝|g (x )|}的充分条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)由|g (x )|＝||x －1|－2|＜5得， －3＜|x －1|＜7，
∴|x －1|＜7，解得－6＜x ＜8. ∴原不等式的解集为{x |－6＜x ＜8}.
(2)∵y ∈{y |y ＝f (x )－2}是y ∈{y |y ＝|g (x )|}的充分条件， ∴{y |y ＝f (x )－2}?{y |y ＝|g (x )|}，
又f (x )－2＝|2x －a |＋|2x ＋3|－2≥|a ＋3|－2， g (x )＝||x －1|－2|≥0，
∴|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5.
思维升华 (1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等.
(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求取值.
跟踪训练4 (1)已知函数f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c ，若存在正实数m ，使f (m )＝0，则不等式f (x )解析 由|－x －5|＋|－x ＋3|＋|－x －3|＋|－x ＋5|＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|可知，函数f (x )为偶函数，当－3≤x ≤3时，f (x )取最小值16－c .结合题意可得c ≥16.由f (m )＝0得f (x )<0，即|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c <0，结合图象(图略)可知，解集为(－m ，m ).
(2)不等式|x －2|＋|x ＋1|≥a 对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________. 答案 (－∞，3]
解析 当x ∈(－∞，－1]时，
|x －2|＋|x ＋1|＝2－x －x －1＝1－2x ≥3；
当x ∈(－1,2)时，
|x －2|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3； 当x ∈[2，＋∞)时，
|x －2|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≥3， 综上可得|x －2|＋|x ＋1|≥3，∴a ≤3.
1.解关于x 的不等式x 2－(2＋m )x ＋2m <0. 解 原不等式可化为(x －2)(x －m )<0.
①当m >2时，不等式(x －2)(x －m )<0的解集为 {x |2②当m <2时，不等式(x －2)(x －m )<0的解集为 {x |m ③当m ＝2时，不等式(x －2)(x －m )<0的解集为?. 综上所述：当m >2时，不等式的解集为{x |22.已知函数f (x )＝x 2－6x ＋9＋x 2＋8x ＋16. (1)求f (x )≥f (4)的解集；
(2)设函数g (x )＝k (x －3)，k ∈R ，若f (x )>g (x )对任意的x ∈R 都成立，求k 的取值范围. 解 (1)f (x )＝x 2－6x ＋9＋x 2＋8x ＋16
＝
(x －3)2＋
(x ＋4)2
＝|x －3|＋|x ＋4|，
∵f (x )≥f (4)，即|x －3|＋|x ＋4|≥9，
∴????? x ≤－4，3－x －x －4≥9或?
????
－4或
??
?
??x≥3，
x－3＋x＋4≥9，
解得x≤－5或x≥4，
∴f(x)≥f(4)的解集为{x|x≤－5或x≥4}.
(2)f(x)>g(x)，即f(x)＝|x－3|＋|x＋4|的图象恒在g(x)＝k(x－3)图象的上方，
又∵f(x)＝|x－3|＋|x＋4|＝
??
?
??－2x－1，x≤－4，
7，－42x＋1，x≥3，
g(x)＝k(x－3)的图象恒过定点P(3,0)，
作函数y1＝f(x)，y2＝g(x)的图象如图，其中k PB＝2，A(－4,7)，∴k P A＝－1，
由图可知，要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，则需－13.(2017·浙江省绍兴第一中学期末)设函数f(x)＝????
x－
5
2＋|x－a|，x∈R.
(1)求证：当a＝－
1
2时，不等式ln f(x)>1成立；
(2)已知关于x的不等式f(x)≤a在R上有解，求实数a的取值范围.
(1)证明由f(x)＝????
x－
5
2
＋????
x＋
1
2
＝
??
?
??－2x＋2，x<－
1
2
，
3，－
1
2≤x≤
5
2
，
2x－2，x>
5
2
，
得函数f(x)的最小值为3，从而f(x)≥3＞e，
所以ln f(x)>1成立.
(2)解 由绝对值不等式的性质得 f (x )＝????x －52＋|x －a |≥????????x －5
2－(x －a ) ＝???
?a －52， 所以f (x )的最小值为????52－a ，从而????5
2－a ≤a ， 解得a ≥5
4
，因此a 的取值范围为????54，＋∞.
4.已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1
y
的最小值；
(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由.
解 (1)由题意可知1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2
xy ≥2xy
xy
＝2，
当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立. 所以1x ＋1
y 的最小值为2.
(2)不存在.理由： 因为x 2＋y 2≥2xy ，
所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )， 又x ，y ∈(0，＋∞)， 所以0＜x ＋y ≤2， 从而有(x ＋1)(y ＋1)≤??
??
??(x ＋1)＋(y ＋1)22
≤4，
因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.
5.(2016·浙江)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝
?
???
?
p ，p ≤q ，q ，p ＞q . (1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；
②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a ).
解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0， 当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a ).
所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围是[2,2a ].
(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，
所以由F (x )的定义知m (a )＝min {}
f (1)，
g (a )，
即m (a )＝?
????
0，3≤a ≤2＋2，
－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.
②当0≤x ＜2时，F (x )＝f (x )，此时M (a )＝f (0)＝2. 当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )，此时M (a )＝max{g (2)， g (6)}＝max{2,34－8a }， 当a ≥4时，34－8a ≤2； 当3≤a <4时，34－8a >2，
所以M (a )＝?????
34－8a ，3≤a ＜4，
2，a ≥4.
6.已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R ). (1)当m ＝－1时，求不等式f (x )≤2的解集；
(2)设关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且????
34，2?A ，求实数m 的取值范围. 解 (1)当m ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|2x －1|， 由f (x )≤2得|x －1|＋|2x －1|≤2， 上述不等式可化为?????
x ≤12，1－x ＋1－2x ≤2
或?????
12＜x ＜1，1－x ＋2x －1≤2
或?????
x ≥1，
x －1＋2x －1≤2，
解得????? x ≤12，x ≥0或?????
12＜x ＜1，
x ≤2或?????
x ≥1，x ≤43，
∴0≤x ≤12或12＜x ＜1或1≤x ≤4
3
，
∴原不等式的解集为?
???
??
x ?
?
0≤x ≤43. (2)∵f (x )≤|2x ＋1|的解集包含????
34，2，
∴当x ∈????
34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立， 即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在????34，2上恒成立， ∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1， 即|x ＋m |≤2，∴－2≤x ＋m ≤2，
∴－x －2≤m ≤－x ＋2在????34，2上恒成立， ∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ， ∴－11
4
≤m ≤0，
即实数m 的取值范围是???
?－11
4，0.
