专题突破练20 统计与统计案例
1.(2019四川成都二模,理18)为了让税收政策更好地为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后,发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》,明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等费用,并公布了相应的定额扣除标准,决定自2019年1月1日起施行.某企业为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系,通过问卷调查,整理数据得如下2×2列联表:
(1)根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关?
(2)为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟按员工贡献积分x (单位:分)给予相应的住房补贴y (单位:元),现有两种补贴方案,方案甲:y=1 000+700x ;方案
乙:y={3 000,0 5 600,5 用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A 类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,求恰好抽到3名“A 类员工”的概率. 附:K 2=n (ad -bc )2 (a+b )(c+d )(a+c )(b+d ) ,其中n=a+b+c+d. 参考数据: 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①;y ^ =-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^ =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 3.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下: 旧养殖法 新养殖法 (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01). 附:, K2=n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) . 4.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸: 经计算得x=1 16∑ i=1 16 x i=9.97,s=√1 16 ∑ i=1 16 (x i-x)2=√1 16 (∑ i=1 16 x i2-16x2)≈0.212,√∑ i=1 16 (i-8.5)2≈18.439,∑ i=1 16 (x i-x)(i- 8.5)=-2.78,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16) (1)求(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小). (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ①从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查? ②在(x-3s,x+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01) 附:样本(x i,y i)(i=1,2,…,n)的相关系数r= ∑ i=1 n (x i-x)(y i-y) √∑i=1(x i-x)2√∑ i=1 (y i-y)2 . √0.008≈0.09. 5.(2019山东实验等四校联考,理19)随着科技的发展,网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式,为了了解网购在我市的普及情况,某调查机构进行了有关网购的调查问卷,并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析,从而得到下表(单位:人). (1)完成上表,并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关? (2)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人,再从这10人中随机选取3人赠送优惠券,求选取的3人中至少有2人经常网购的概率; ②将频率视为概率,从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常网购的人数为 X ,求随机变量X 的数学期望和方差. 参考公式:K 2= n (ad -bc )2 (a+b )(c+d )(a+c )(b+d ) ,n=a+b+c+d. 6.随着食品安全问题逐渐引起人们的重视,有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎,同时生产—运输—销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本,而且减去了蔬菜的二次污染等问题. (1)在有机蔬菜的种植过程中,有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系,每个有机蔬菜大棚产量的增加量y(百斤)与使用堆沤肥料x(千克)之间对应数据如下表: 依据表中的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x+a ^ ;并根据所求线性回归方程,估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,则每个有机蔬菜大棚产量增加量y 是多少百斤? (2)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客,如果当天前8小时卖不完,则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验,当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再进货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位:份),制成如下表格(注:x ,y ∈N *,且x+y=30): 若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率,该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据,当购进17份比购进18份的利润的期望值大时,求x 的取值范围. 附:b ^ =∑i=1n (x i -x )(y i -y ) ∑i=1 n (x i -x ) 2 =∑i=1n x i y i -nx y ∑i=1n x i 2-nx 2 ,a ^ =y ?b ^ x . 7.(2019陕西第二次质检,理18)某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计,并根据得到的数据绘制了相应的折线图,如图所示. (1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润y(单位:百万元)与月份代码x之间的关系,求y 关于x的线性回归方程,并预测该公司2019年3月份的利润; (2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有采购成本分别为10万元/包和12万元/包的A,B两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用4个月,但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同,现对A,B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表: 经甲公司测算,平均每包新型材料每月可以带来5万元收入,不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每包新型材料的使用寿命都是整数月,且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率,如果你是甲公司的负责人,以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款新型材料? 参考数据:∑i=1 6y i =96,∑i=1 6 x i y i =371. 附:b ^ =∑i=1n (x i -x )(y i -y ) ∑i=1 n (x i -x ) 2 =∑i=1n x i y i -nx y ∑i=1n x i 2-nx 2 ,a ^ =y ?b ^ x . 8.(2019山东青岛二模,理20)“爱国,是人世间最深层、最持久的情感,是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中,爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入x (亿元)与科技改造直接收益y (亿元)的数据统计如下: 当0 =4.1x+11.8; 模型②:y ^=21.3√x -14.4;当x>17时,确定y 与x 满足的线性回归方程为:y ^=-0.7x+a ^ . (1)根据下列表格中的数据,比较当0 附:刻画回归效果的相关指数R 2=1-∑i=1 n (y i -y ^i ) 2 ∑i=1 n (y i -y ) 2 ,√17≈4.1. (2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小; (附:用最小二乘法求线性回归方程y ^=b ^x+a ^ 的系数公式 b ^ =∑i=1n x i y i -nx ·y ∑i=1n x i 2-nx 2 =∑i=1n (x i -x )(y i -y ) ∑i=1 n (x i -x ) 2 ;a ^ =y ?b ^ x ) (3)科技改造后,“东方红”款汽车发动机的热效率X 大幅提高,X 服从正态分布N (0.52,0.012),公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过50%,不予奖励;若发动机的热效率超过50%但不超过53%,每台发动机奖励2万元;若发动机的热效率超过53%,每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望. (附:随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6,P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4.) 参考答案 专题突破练20 统计与统计案例 1.解 (1)根据列联表可以求得K 2的观测值: k=80(25×30-10×15)2 35×45×40×40 =80 7≈11.429>6.635, 故有99%的把握认为满意程度与年龄有关. (2)据题意,该8名员工的贡献积分及按甲乙两种方案所获补贴情况为: 由表可知,“A 类员工”有5名,设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,恰好抽到3名“A 类员工”的概率为P ,则P= C 53C 3 1C 8 4=3 7. 2.解 (1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^=-30.4+1 3.5×19=226.1(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y ^=99+17.5×9=256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下: (i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t 上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^ =99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠. (以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可) 3.解 (1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”,C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg ”. 由题意知P (A )=P (BC )=P (B )P (C ). 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P (B )的估计值为0.62. 新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P (C )的估计值为0.66. 因此,事件A 的概率估计值为0.62×0.66=0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖 法 62 38 新养殖 法 34 66 K 2 =200×(62×66-34×38)2 100×100×96×104 ≈15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与 养殖方法有关. (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5, 箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+0.5-0.34 ≈52.35(kg). 4.解 (1)由样本数据得(x i ,i )(i=1,2,…,16)的相关系数为r= ∑i=116 (x i -x )(i -8.5) √∑i=1 (x i -x )2√∑i=1 (i -8.5)2 = 0.212×√16×18.439 ≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过 程的进行而系统地变大或变小. (2)①由于x =9.97,s ≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x -3s ,x +3s )以外,因此需对当天的生产过程进行检查. ②剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为1 15(16×9.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i=116 x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为1 15(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为√0.008≈0.09. 5.解 (1) k 2 =200×(50×30-50×70)2 =25 ≈8.333>6.635, 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关. (2)①由题意,所抽取的10名女市民中,经常网购的有10×70 100=7人, 偶尔或不用网购的有10-7=3人, 所以选取的3人中至少有2人经常网购的概率P= C 72C 31+C 7 3C 10 3=49 60. ②由2×2列联表可知,抽到经常网购的市民频率为120 200=0.6. 将频率视为概率,从我市所有参与调查的市民中随机抽取1人,恰好抽到经常网购市民的概率为0.6.由题意X~B (10,0.6),E (X )=10×0.6=6,D (X )=10×0.6×(1-0.6)=2.4. 6.解 (1)x = 2+4+5+6+8 5 =5, y = 3+4+4+4+5 5 =4. ∑i=15 x i y i =2×3+4×4+5×4+6×4+8×5=106, ∑i=1 5 x i 2=22+42+52+62+82=145, b ^ = 106-5×5×4145-5×5 2 =0.3,a ^=y ?b ^ x =4-0.3×5=2.5, 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^ =0.3x+2.5. 当x=10时,y ^ =0.3×10+2.5=5.5百斤,所以如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,估计每个有机蔬菜大棚产量的增加量y 是5.5百斤. (2)若该超市一天购进17份这种有机蔬菜,Y 1表示当天的利润(单位:元),那么Y 1的分布列为 Y 1的数学期望是E (Y 1)=65×10 100+75×x 100+85×90-x 100= 8 300-10x 100 ; 若该超市一天购进18份这种有机蔬菜,Y 2表示当天的利润(单位:元),那么Y 2的分布列为 Y 2的数学期望是E (Y 2)=60×10 100+70×x 100+80×16 100+90×74-x 100=8 540-20x 100 ; 又购进17份比购进18份的利润的期望值大,故8 300-10x 100 > 8 540-20x 100 ,求得x>24,故x 的取值范围是(24,30),x ∈N *. 7.解 (1)由折线图可知统计数据(x i ,y i )共6组,即(1,11),(2,13),(3,16),(4,15),(5,20),(6,21), 计算可得x = 1 6 (1+2+3+4+5+6)=3.5,y = 16∑i=16y i =16 ×96=16, ∑i=1 n x i 2-n x 2 =12+22+32+42+52+62-6×3.52=17.5. 故b ^ = 371-6×3.5×16 17.5 =2, 故a ^=y ?b ^ x =16-2×3.5=9, ∴x 关于y 的线性回归方程为y ^=2x+9,故x=11时,则y ^=2×11+9=31, 即预测公司2019年3月份(即x=11时)的利润为31百万元. (2)由频率估计概率,A 型材料可使用1个月,2个月,3个月、4个月的概率分别为0.2,0.35,0.35,0.1, ∴A 型材料利润的数学期望为(5-10)×0.2+(10-10)×0.35+(15-10)×0.35+(20-10)×0.1=1.75万元; B 型材料可使用1个月,2个月,3个月、4个月的概率分别为0.1,0.3,0.4,0.2, ∴B 型材料利润的数学期望为(5-12)×0.1+(10-12)×0.3+(15-12)×0.4+(20-12)×0.2=1.50万元; ∵1.75>1.50,∴应该采购A 型材料. 8.解 (1)由表格中的数据,有182.4>79.2,即 182.4 ∑i=17 (y i -y ) 2 > 79.2 ∑i=1 7 (y i -y ) 2 , 所以模型①的R 2小于模型②,说明回归模型②刻画的拟合效果更好. 所以当x=17亿元时,科技改造直接收益的预测值为y ^ =21.3×√17-14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93(亿元). (2)由已知可得:x -20= 1+2+3+4+5 5 =3,所以x =23, y -60= 8.5+8+7.5+6+6 5 =7.2,所以y =67.2. 所以a ^ =y +0.7x =67.2+0.7×23=83.3.所以当x>17亿元时,y 与x 满足的线性回归方程为:y ^ =-0.7x+83.3. 所以当x=20亿元时,科技改造直接收益的预测值y ^=-0.7×20+83.3=69.3, 所以当x=20亿元时,实际收益的预测值为69.3+10=79.3亿元>72.93亿元, 所以科技改造投入20亿元时,公司的实际收益的更大. (3)因为P (0.52-0.02 1+0.954 4 2 =0.977 2, P (X ≤0.50)= 1-0.954 4 2 =0.022 8. 因为P (0.52-0.01 1-0.682 6 2 =0.158 7, 所以P (0.50 所以每台发动机获得奖励的数学期望为E (Y )=0×0.022 8+2×0.818 5+5×0.158 7=2.430 5(万元). 最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 .(2013年高考陕西卷(理))某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为()A.11 B.12 C.13 D.14 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为()A.588 B.480 C.450 D.120 4 .(2013年高考江西卷(理))总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 )A.08 B.07 C.02 D.01 5.(2013年高考上海卷(理))盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示) 统计和统计案例 1.该部分常考内容:样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等;有时也会在知识交汇点处命题,如概率和统计交汇等. 2.从考查形式上来看,大部分为选择题、填空题,重在考查基础知识、基本技能,有时在知识交汇点处命题,也会出现解答题,都属于中低档题. 1. 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取,适用范围:总体中的个体较少. (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取,适用范围:总体中的个体数较多. (3)分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取,适用范围:总体由差异明显的几部分组成. 2. 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积=组距× 频率 组距 =频率; ②各小长方形的面积之和等于1; ③小长方形的高=频率组距,所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好. 3. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列,处在最 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线和x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)方差:s 2=n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2 ]. 标准差: s = 1n [ x 1-x 2 +x 2-x 2 +…+x n -x 2 ]. 4. 变量的相关性和最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数. (2)最小二乘法:对于给定的一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),通过求Q = i =1 n (y i -a -bx i )2 最小时,得到线性回归方程y ^ =b ^ x +a ^ 的方法叫做最小二乘法. 5. 独立性检验 对于取值分别是{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的分类变量X 和Y ,其样本频数列联表是: y 1 y 2 总计 x 1 a b a +b x 2 c d c +d 总计 a +c b +d n 则K 2 = n ad -bc 2a +b c + d a +c b +d (其中n =a +b +c +d 为样本容量). 考点一 抽样方法 例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为 ( ) A .7 B .9 C .10 D .15 答案 C 分析 由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为 960 32 =30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n 项,显然有729=459+(n -1)×30,解得n =10.所以做问卷B 的有10人. 在系统抽样的过程中,要注意分段间隔,需要抽取几个个体,样本就需要分 成几个组,则分段间隔即为N n (N 为样本容量),首先确定在第一组中抽取的个体的号码数,再从后面的每组中按规则抽取每个个体.解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样 1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); 价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率. 2.【2015·福建】某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望. 3.【2015·山东】若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10 分;若能被10整除,得1分. 整除,得1 (I)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望). §10.2统计及统计案例 考纲解读 分析解读 从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题. (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30. 所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. 五年高考 考点一 抽样方法 1.(2015北京,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( ) 高考复习专题之:概率与统计 一、概率:随机事件A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 1.随机事件A 的概率0()1P A ≤≤,其中当()1P A =时称为必然事件;当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0; 注:求随机概率的三种方法: (一)枚举法 例1如图1所示,有一电路AB 是由图示的开关控制,闭合a ,b ,c , d , e 五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路.则使电路形成通 路的概率是 . 分析:要计算使电路形成通路的概率,列举出闭合五个开关中的任意 两个可能出现的结果总数,从中找出能使电路形成通路的结果数,根据概率的意义计算即可。 解:闭合五个开关中的两个,可能出现的结果数有10种,分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ,其中能形成通路的有6种,所以p(通路)= 106=5 3 评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. (二)树形图法 例2小刚和小明两位同学玩一种游戏.游戏规则为:两人各执“象、虎、鼠”三张牌,同时各出一张牌定胜负,其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象,若两人所出牌相同,则为平局.例如,小刚出象牌,小明出虎牌,则小刚胜;又如, 两人同时出象牌,则两人平局.如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌,用A 1、B 1、C 1分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌,那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少? 分析:为了清楚地看出小亮胜小刚的概率,可用树状图列出所有可能出现的结果,并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解:画树状图如图树状图。由树状图(树形图)或列表可知,可能出现的结果有9种,而且每种结果出现的可能性相同,其中小刚胜小明的结果有3种.所以P (一次出牌小刚胜小明)= 31 点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通过画树形图的方法来计算概率 (三)列表法 例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上,从中随机摸出两张,并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数.请你用画树形(状)图或列表的方法求:(1)组成的两位数是偶数的概率;(2)组成的两位数是6的倍数的概率. 分析:本题可通过列表的方法,列出所有可能组成的两位数的可能情况,然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数 专题10.2 统计与统计案例 一、填空题:请把答案直接填写在答题卡相应的位置........ 上(共10题,每小题6分,共计60分). 1.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在 的汽车中抽取150辆进行分析,得到数据的频率分布直方图如图所示,则速度在 以下的汽车有辆. ) 【答案】75 2.某校高一年级有学生人,高二年级有学生人,现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人,其中从高一年级学生中抽出人,则从高三年级学生中抽取的人数为 ▲ . 【答案】17 【解析】高一高二人数之比为10:9,因此高二抽出的人数为18人,高三抽出的人数为55-20-18=17人 3.若一组样本数据9,8,x ,10,11的平均数为10,则该组样本数据的方差为▲. 【答案】2 【解析】由题意得,因此方差为 4.某校共有教师200人,男学生800人,女学生600人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本,已知从男学生中抽取的人数为100人,那么 ▲ . 【答案】200 【解析】男学生占全校总人数,那么 5.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其频率分布直方图如图所示。若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A 专业的人数为. 【答案】20 【解析】根据频率分布直方图,得视力在0.9以上的频率为(1.00+0.75+0.25)×0.2=0.4, ∴该班学生中能报A专业的人数为50×0.4=20. 6.某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取________人. 【答案】37,20 7.下图是2014年在怀化市举行的演讲比赛,七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数与方差分别为. 【答案】, 【解析】去掉一个最高分和一个最低分之后,剩余的五个数据依次是、、、、,平均数为 高考数学统计与统计案例1.小吴一星期的总开支分布如图 1 所示,一星期的食品开支如图 2 所示,则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为() A.1%B.2%C.3%D.5% C[ 由图 1 所示,食品开支占总开支的 30%,由图 2 所示,鸡蛋开支占食 品开支的30 = 1 , 30+40+100+80+ 50 10 1 ∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10=3%.故选 C.] 2.(2019 德·州模拟 )某人到甲、乙两市各7 个小区调查空置房情况,调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图,则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为() A.4B. 3C.2D.1 B[ 由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76,因此其差是 79- 76=3,故选 B.] 3.某工厂对一批新产品的长度(单位: mm)进行检测,如图是检测结果的频最全高考数学统计专题解析版【真题】
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