第三章习题详解
1． 沿下列路线计算积分?
+i dz z 30
2
。
1) 自原点至i +3的直线段；
解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3
()
()()??
+=??????+=+=
+1
3
1
332
3
30
2
3313313i t i dt t i dz z i
2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；
解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =
33
33
2
3
2
33131=???
???==
?
?
t dt t dz z
连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz =
()
()()33
1
31
2
33
2
3313313313-+=??????+=+=
??
+i it idt it dz z i
()()()33
3
3
1
02
30
2
30
2
33
13
3
133
133
13i i idt it dt t dz z i
+=
-
++
=
++
=
∴
??
?
+
3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。
解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz =
()()31
31
20
2
3131i it idt it dz z i
=???
???==
?
?
连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =
()
()()33
1
31
2
32
3113131i i i t dt i t dz z i
i
-+=??????+=+=
??
+
()()33
3
3
32
2
30
2
13
13
113
13
1i i
i i
dz z dz z dz z i i
i i
+=
-
++
=
+
=
∴
?
?
?
++
2． 分别沿x y =与2
x y =算出积分()?
++i
dz iy x 10
2
的值。
解：x y = ix x iy x +=+∴2
2
()dx i dz +=∴1
()()()()()???
??++=?
????
???? ??++=++=+∴
?
?+i i x i x i dx ix x i dz iy x
i
213112131111
0231
210
2
2
x y = ()2
2
2
2
1x i ix
x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴
()()()()()?
???? ??++=?????
???? ??++=++=+∴
+1
1
0432
10
2
2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x
i
而()i i i i i 6
5
6121213131213
11+-=-++=???
??+
+
3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。问()[]0=?C
dz z f Re ，
()[]0=?C
dz
z f Im 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
解：不成立。
例如：()z z f =，?i e z C =：，π?<≤0
()[]()i i d dz z f C
π???π
=+=
??
sin cos cos Re 20
()[]()π???π
-=+=
?
?s i n c o s s i n Im i d dz
z f C
20
4． 利用在单位圆上z
z 1=
的性质，及柯西积分公式说明i dz z C
π2=?，其中C 为正向单位圆周1=z 。
解：0
11-=
=
z z
z ()i f dz z dz z C
C
ππ2020
1==-=
∴
?
?
5． 计算积分?
C
dz z
z 的值，其中C 为正向圆周：
1) 2=z ；
解：在2=z 上，?
i e
z 2=
()[]i i id e
d e
dz z
z i i C
π??π
π
π
?
?
42222
220
20
20
====
?
?
?
-
2) 4=z
解：在4=z 上，?
i e
z 4=
()[]i i id e
d e
dz z
z i i C
π??π
π
π
?
?
84444
420
20
20
====
?
?
?
-
6． 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C 是正向的圆周1=z 。
1)
?
-C
z dz 2
解：()2
1-=
z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，02
=-?
C
z dz
2)
?
++C
z z dz 4
22
解：()()
2
2
21
4
21+=
++=
z z z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，04
22
=++?
C
z z dz
3)
?C
z dz
cos
解：()z
z f cos 1=
在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0=?
C
z
dz cos
4)
?
-
C
z dz 2
1
解：()1=z f 在C 内解析，2
10=
z 在C 内，i if z dz
C
ππ22122
1=???
??=-?
5)
?C
z
dz ze
解：()z ze z f =在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0=?C
z
dz ze
6)
()
?+???
?
?
-C
z i z dz
22
解：()()
21
+=
z z f 在C 内解析，2
0i z =
在C 内，()
22122222i i i if z i z dz
C
+=???
??=+??? ?
?-?
ππ
7． 沿指定曲线的正向计算下列各积分： 1)
?
-C
z
dz z e
2
，C ：12=-z
解：2=z 在C 内，()z
e z
f =在C 解析，根据柯西积分公式：2
22
ie dz z e
C
z
π=-?
2)
?
-C
a
z dz 2
2
，C ：a a z =-
解：a z =在C 内，()a
z z f +=
1在C 解析，根据柯西积分公式：i dz a
z a z a
z dz C
C
π=-+=
-?
?
2
2
2
2
1
3)
?
+C
iz
dz z e
1
2
，C ：2
32=-i z
解：i z =在C 内，()i
z e
z f iz
+=
在C 解析，根据柯西积分公式：?
?
=
-+=
+C
iz
C
iz
e
dz i
z i z e
dz z e
π
1
2
4)
?
-C
dz z z 3
，C ：2=z
解：3=z 不在C 内，()3
-=
z z z f 在C 解析，根据柯西—古萨定理：03
=-?
C
dz z z
5)
()()
?--C
z z
dz
113
2
，C ：1<=r z
解：()()()
111
3
2
--=z z
z f 在C 解析，根据柯西—古萨定理：()()
0113
2
=--?
C
z z
dz
6)
?C
zdz z
cos 3
，C ：为包围0=z 的闭曲线
解：()z z z f cos 3=在C 解析，根据柯西—古萨定理：03
=?C
zdz z cos
7)
()()
?++C
z
z
dz
412
2
，C ：2
3=
z
解：i z =在C 内，()()()
41
2++=
z i z z f 在C 解析，根据柯西积分公式：()()
?
++C
z z
dz
412
2
8)
?
C
dz z
z sin ，C ：1=z
解：0=z 在C 内，()z z f sin =在C 解析，根据柯西积分公式：002==?
sin sin i dz z
z C
π
9)
?
?
?? ??
-C
dz z z
2
2πsin ，C ：2=z
解：2
π
=
z 在C 内，()z z f sin =在C 解析，根据高阶导数公式：02
222
==?
?? ?
?
-?
π
ππ'
sin
sin i dz z z
C
10) ?
C
z dz z
e 5
，C ：1=z
解：0=z 在C 内，()z
e z
f =在C 解析，根据高阶导数公式：()
()!
!
4204245
i f
i dz z
e C
z ππ=
=
?
8． 计算下列各题： 1)
?-i
i
z
dz e ππ
32
解：()021********=-=??????=---?
i
i i
i
z i
i
z
e
e e dz e
ππππππ 2)
?06
3i
zdz ch π
；
解：3203133130
6
6i i sh z sh zdz ch i
i -=??
?
??-=???
???=?πππ
3)
?-i
i
zdz ππ
2
sin
；
解：πππππππ
ππ222412212
212
sh i i z i dz z
zdz i
i
i
i
i
i
-=???
???-?=-=
---??sin cos sin
4)
?
1
zdz z sin ；
解：[]?
??+-=+
-=-=1
1
01
1
11sin cos cos cos cos sin zdz z z z zd zdz z
5)
()?--i
z
dz e
i z 0；
解：()()()[
]
()i
i
i
i
z
i
z
i
z
i z
ie
e
e
i dz e
e
i z de
i z dz e i z -------=--=+
--=--=-?
??10
6)
?
+i
dz z
tgz 1
2
1cos
（沿1到i 的直线段）。
解：()1211212111221
21
1
2
tg tg i tg tgi z tg tgz dtgz tgz dz z
tgz i
i
i
--+=???
???+=+=
+?
?
cos
9． 计算下列积分： 1)
???
?
?
?+++C dz i z z 2314
，（其中C ：4=z 为正向）； 解：()i i dz i
z dz z dz i z z C
C
C ππ14342231
42314=+=++
+=??? ?
?+++?
?
?
2)
?
+C
dz z i 1
22
，（其中C ：61=-z 为正向）；
解：()()
()
()()()02222221
22
=???
?
?
?-+
+=-++
+-=
-+=
+-==????
i
z i
z C
C
C
C
i
z i i z i i dz i z i z i
dz i z i z i
dz i z i z i
dz z i π 3)
?
+=2
13
C C C dz z
z cos ，（其中1C ：2=z 为正向，2C ：3=z 为负向）；
解：()3
z
z z f cos =
在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：
02
13
=?
+=C C C dz z
z cos
4)
?
-C
i
z dz ，C ：1=z （其中C 为以2
1±
，i 5
6±
为顶点的正向菱形）
； 解：在所给区域内，()i
z z f -=
1有一孤立奇点，由柯西积分公式：i i
z dz C
π2=-?
5)
()
?-C
z
dz a z e
3
，
（其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z 为正向）。 解：当a z ≥，()()
3
a z e
z f z
-=
在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：()
03
=-?
C
z
dz a z e
当a z ≤，()z
e z
f =在所给区域内解析，根据高阶导数公式：()
i e e
i dz a z e
a
a
C
z
ππ==-?
!223
10． 证明：当C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，012
=?
C
dz z
。
证明：当C 所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：012
=?
C
dz z
；
当C 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：()00212
==?
'
if
dz z
C
π；
11． 下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？ 1)
?
=2
z dz z z
2)
?
=4
z dz z
z
解：1）
022220
2
==
?
?
-=π
?
?
??d ie
e
e
dz z
z i i i z ； 2）
044420
4
==
?
?
-=π
?
?
??d ie
e
e
dz z
z i i i z
由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为()z
z z f =在
复平面上处处不解析。
12． 设区域D 为右半平面，z 为D 内圆周1=z 上的任意一点，用在D 内的任意一条曲线C 连接原点与
z ，证明411
2
π
ζζ
=??
????+?z d Re 。[提示：可取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周1=z 到z 的曲线作为C 。 证明：因为()2
11ζ
ζ
+=
f 在D 内解析，故积分?
+z
d 0
2
11ζζ
与路径无关，取从原点沿实轴到1，再从1
沿圆周1=z 到z 的曲线作为C ，则：
?
?
?
?
++
=++
+=
+?
?
??
?
?
?ζζ
210
21
2
2
1111111d e
ie
arctgx
de
e
dx x
d i i i i z
??
+=
++=
-??
?
?
??π
?π
00
241
4
d i d e
e
i i i s e c 41102
π
ζζ
=??
????+∴?z d Re 13． 设1C 和2C 为相交于M 、N 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为1B 与2B 。1B 与2B 的公共
部分为B 。如果()z f 在B B -1与B B -2内解析，在1C 、2C 上也解析，证明：()()??=
2
1
C C dz z f dz z f 。
证明：如图所示，()z f 在B B -1与B B -2内解析，在1C 、2C 上也解析，由柯西—古萨基本定理有：
()0
1=?N
NOMP dz
z f ()02=?M
MRNP
dz
z f ?
()()??=
M
MRNP
N
NOMP dz z f dz
z f 21
()()()()????+=
+∴
M
NP MRN
N
MP NOM
dz
z f dz z f dz
z f dz z f 21
?
()()()()????-=
-N
MP MRN
M
NP NOM
dz z f dz z f dz
z f dz z f 12
?
()()()()????+=
+M
NP MRN
N
MP NOM
dz
z f dz z f dz
z f dz z f 12 ?
()()??=
1
2
C C dz z f dz
z f
14． 设C 为不经过α与α-的正向简单闭曲线，α为不等于零的任何复数，试就α与α-跟C 的不同位
置，计算积分?
-C
dz z z 2
2
α
的值。
解：分四种情况讨论：
1） 如果α与α-都在C 的外部，则()2
2
α
-=
z z z f 在C 内解析，柯西—古萨基本定理有
02
2
=-?
C
dz z z α
2） 如果α与α-都在C 的内部，由柯西积分公式有
()()()
()i i dz
z z z
dz z z z dz z z C
C C
παααααα
πααααα
222
2
=??
? ??++---=-+++-=
-???
3） 如果α在C 的内部，α-都在C 的外部，则()α
+=
z z
z f 在C 内解析，由柯西积分公式有
()()i i
dz z z z
dz z
z
C
C
πα
ααπααα
=+=-+=
-??22
2
4） 如果α在C 的外部，α-都在C 的内部，则()α
-=
z z z f 在C 内解析，由柯西积分公式有
()()i i
dz z z z
dz z z C
C
πα
ααπααα
=---=+-=
-??
22
2
15． 设1C 与2C 为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明
???=????????-+-?
?
内时。在，当内时，
在，当2001
0200
2
2
1
21C z z C z z dz z z z
dz z z z
i C C sin sin π 证明：因为1C 与2C 为两条互不包含，也不相交，故1C 与2C 只有相离的
位置关系，如图所所示。 1） 当0z 在1C 内时，()0
z z z z f -=
sin 在2C 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：
[
]
2
0200
2
0221210
2
1
z iz
i dz z z z
dz z z z
i z z C C =+=????????-+-=?
?
πππsin
2） 当0z 在2C 内时，()0
2
z z z
z f -=
在1C 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：
[
]0
00
2
2
1
202121z
z
i i dz z z z
dz z z z
i z z C C sin sin sin =+=????????-+-=?
?
πππ
???=????????-+-∴?
?
内时。在，当内时，
在，当2001
0200
2
2
1
21C z z C z z dz z z z
dz z z z i C C sin sin π 16． 设函数()z f 在10< 必需在0=z 处解析？试举例说明之。 解：不一定。例如：()2 1z z f = 在0=z 处不解析，但 011 2 =? <=r z dz z 。 17． 设()z f 与()z g 在区域D 内处处解析，C 为D 内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D 。如果 ()()z g z f =在C 上所有的点处成立，试证在C 内所有的点处()()z g z f =也成立。 证明：设z 是C 内任意一点，因为()z f 与()z g 在C 及C 内解析，由柯西积分公式有： ()() ?-= C d z f i z f ζζ ζ π21，()() ?-= C d z g i z g ζζ ζπ21 又()()ζζg f =在C 上所有的点处成立，故有：() () ?? -= -C C d z g d z f ζζ ζζζζ 即()()z g z f =在C 内所有的点处成立。 18． 设区域D 是圆环域，()z f 在D 内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周1K 与2K ，2K 包含1K ，0 z 为1K ，2K 之间任一点，试证()14.3仍成立，但C 要换成21K K +-。 证明： 19． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，且不为零，C 为B 内任何一条简单闭曲线。问积分() () ? C dz z f z f ' 是否等于零？为什么？ 解：因为()z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，又解析函数()z f 的导数()z f ' 仍然是解析函数，故 () ()z f z f ' 在B 内处处解析。根据柯西—古萨基本定理，有() () 0=?C dz z f z f ' 20． 试说明柯西—古萨基本定理中的C 为什么可以不是简单闭曲线？ 解：如C 不是简单闭曲线，将C 分为几个简单闭曲线的和。如21C C C +=，则1C ，2C 是简单闭曲线。 ()()()0002 1 =+=+= ???C C C dz z f dz z f dz z f 21． 设()z f 在区域D 内解析，C 为D 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对D 内但不在C 上的任 意一点0z ，等式() () () ?? -= -C C dz z z z f dz z z z f 2 ' 成立。 证明：分两种情况： 1） 如果0z 在C 的外部， () z z z f -' 和 ()0 z z z f -在C 内解析，故() () () 02 =-= -?? C C dz z z z f dz z z z f ' 2） 如果0z 在C 的内部，在C 内解析的函数()z f ，其导函数()z f ' 仍是C 内的解析函数，根据柯 西积分公式有：() ()()00 220 z if z if dz z z z f z z C ' ' ' ππ==-=? 由高阶导数公式有：() () ()()02 0220 z if z if dz z z z f z z C ' ' ππ==- =? () () () ?? -= -∴ C C dz z z z f dz z z z f 2 ' 22． 如果()y x ,?和()y x ,ψ都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而x y s ψ ? -=， y x t ψ ? +=，那末it s +是iy x +的解析函数。 证明：x y s ψ ? -= xx yx x s ψ ? -=??∴， xy yy y s ψ ?-=?? y x t ψ ? -= yx xx x t ψ ? +=??∴ ，yy xy y t ψ ?+=?? 又()y x ,?和()y x ,ψ都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即xy yx ? ? =，yx xy ψ ψ =。 ()y x ,?和()y x ,ψ满足拉普拉斯方程：0=+yy xx ? ?，0=+yy xx ψ ψ y t x s xx yx ??=-=??∴ψ ? ， x t y s xy yy ??- =-=??ψ ? 故it s +是iy x +的解析函数。 23． 设u 为区域D 内的调和函数及y u i x u f ??-??=，问f 是不是D 内的解析函数？为什么？ 解：设it s f +=，则x u s ??= ，y u t ??-= 2 2x u x u x x s ??=??? ??????=??，x y u x u y y s ???=??? ??????=??2 y x u y u x x t ???-=???? ????-??=??2，22 y u y u y y t ??- =???? ????-??=?? 因为u 为区域D 内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程 y t x s ??=??∴ ， x t y s ??- =?? ? f 是D 内的解析函数。 24． 函数y x v +=是y x v +=的共轭调和函数吗？为什么？ 解：1=??x u ， 1=??y u ， 1=??x v ， 1=??y v y v x u ??= ??∴ ， x v y u ??- ≠?? 故函数y x v +=不是y x v +=的共轭调和函数。 25． 设u 和v 都是调和函数，如果v 是u 的共轭调和函数，那末u 也是v 的共轭调和函数。这句话对吗？为什么？ 解：这句话不对。 如果v 是u 的共轭调和函数，则()iv u z f +=是解析函数，满足柯西—黎曼方程： y v x u ??=??，x v y u ??-=?? ? ()y u y u x v ?-?=??-=??，()x u x u y v ?-?-=??=?? 即u -是v 的共轭调和函数，u 就不是v 的共轭调和函数。 26． 证明：一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。 证明： 27． 如果()iv u z f +=是一解析函数，试证： 1) ()z f i 也是解析函数； 证明： 2) u -是v 的共轭调和函数； 证明： 3) ()()()() 2 2 2 2 2 2 2 2 2 44z f v u y z f x z f x x ' =+=?? + ?? 。 证明： 28． 证明；22y x u -=和2 2 y x y v += 都是调和函数，但是iv u +不是解析函数。 证明 29． 求具有下列形式的所有调和函数u ： 1) ()by ax f u +=，a 与b 为常数； 解： 2) ?? ? ??=x y f u 。[提示：1)l 令by ax t +=，因0=+yy xx u u ，从而有()0=t f " ；2)令x y t = 。] 解： 30． 由下列各已知调和函数求解析函数()iv u z f +=。 1) ()()2 2 4y xy x y x u ++-=； 解： 2) 2 2 y x y v +=，()02=f ； 解： 3) ()y x u 12-=，()i f -=2； 解： 4) x y arctg v =，0>x 。 解： 31． 设y e v px sin =，求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数()iv u z f +=。 解： 32． 如果()y x u ,是区域D 内的调和函数，C 为D 内以0z 为中心的任何一个正向圆周：r z z =-0，它 的内部全含于D 。试证：[提示：利用平均值公式()353..。] 1) () y x u ,在 () 00y x ,的值等于 () y x u ,在圆周C 上的平均值，即 ()()? ++= π???π 20 000021d r y r x u y x u s i n ,c o s ,； 证明： 2) ()y x u ,在 () 00y x ,的值等于()y x u ,，在圆域00r z z ≤-上的平均值，即 ()()?? ++= 20 002 001 r dr rd r y r x u r y x u π ???πsin ,cos ,。 证明： 33． 如果()iv u z f +=在区域D 内处处解析，C 为D 的正向圆周：R z =，它的内部全含于D 。设z 为 C 内一点，并令z R z 2 =~，试证() () 02 =-= -?? C C d R z f z d z f ζζζζζζ~。 证明： 34． 根 据 柯西积分公式与习题33的结果，证明 ()()() () ()( ) ??---=?? ????-+-= C C d z R z f z z R i d f z R z z i z f ζζζ ζ πζζζζπ2 2 2 21121 ，其中C 为R z =。 证明： 35． 如果令? ζi Re =，? i re z =，验证 ()() ()() ()2 2 2 2r Rr R id z z d z R z d +--= --= --κ?? ζζ ζ ζ ζζζ cos 。 并由34题的结果，证明()()() ()? + ---= π ? ?κ? π 20 2 2 2 2 221d r Rr R f r R z f i cos Re 。取其实部，得 ()()()() ()? +---= =π ?κ???π ??20 2 2 2 2221d r Rr R r r u r R r r u y x u cos sin ,cos sin ,cos ,。这个积分称为泊松积分。通 过这个积分，一个调和函数在一个圆内的值可用它在圆周上的值来表示。 证明： 36． 设()z f 在简单闭曲线C 内及C 上解析，且不恒为常数，n 为正整数 1) 试用柯西积分公式证明：()[]()[]? -= C n n d z f i z f ζζζπ21。 证明： 2) 设M 为()ζ f 在C 上的最大值，L 为C 的长，d 为z 到C 的最短距离，试用积分估值公式() 1013..于1)中的等式，证明不等式：()n d L M z f 1 2?? ? ??≤π。 证明： 3)令+∞ n，对2)中的不等式取极限，证明：()M → f≤，这个结论表明：在闭区域内不恒为常数的 z 解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。 证明： 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 复变函数练习题第三章复变函数得积分 系专业班姓名学号 §1 复变函数积分得概念§4原函数与不定积分 一.选择题 1.设为从原点沿至得弧段,则[ ] (A) (B) (C) (D) 2、设就是,从1到2得线段,则[ ] (A) (B) (C) (D) 3.设就是从到得直线段,则[ ] (A) (B)(C)(D) 4.设在复平面处处解析且,则积分[ ] (A) (B) (C) (D)不能确定 二.填空题 1．设为沿原点到点得直线段,则 2 。 2．设为正向圆周,则 三.解答题 1.计算下列积分。 (1) (2) (3) (4) 2.计算积分得值,其中为正向圆周: (1) (2) 3.分别沿与算出积分得值。 解:(1)沿y=x得积分曲线方程为 则原积分 (2)沿得积分曲线方程为 则原积分 1 20 1 1 3224300 [()](12)3112 [32(1)][()]2.2233I i t it it dt t t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+?? 4.计算下列积分 (1) ,C:从到得直线段; C 得方程: 则原积分 (2) ,C:上沿正向从1到。 C 得方程: 则原积分 复变函数练习题 第三章 复变函数得积分 系 专业 班 姓名 学号 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理得推广－复合闭路定理 一、选择题 1． 设在单连通区域内解析,为内任一闭路,则必有 [ ] (A) (B) (C) (D ) 2.设为正向圆周,则 [ ] (A) (B ) (C) (D) 3.设在单连通域内处处解析且不为零,为内任何一条简单闭曲线,则积分 [ ] (A) (B) (C ) (D)不能确定 二、填空题 1.设为正向圆周,则 2.闭曲线取正方向,则积分 0 。 三、解答题 利用柯西积分公式求复积分 (1)判断被积函数具有几个奇点; (2)找出奇点中含在积分曲线内部得, 若全都在积分曲线外部,则由柯西积分定理可得积分等零; 若只有一个含在积分曲线内部,则直接利用柯西积分公式; 若有多个含在积分曲线内部,则先利用复合闭路定理,再利用柯西积分公式、 1.计算下列积分 (1) 、 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1-+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 第三章 复变函数的积分习题与解答 3.1 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系？ 【答案 单连通 无关，复连通 有关】 3.2 计算积分 ||z ? 【答案 0】 3.3 计算积分 22d L z z a -? :其中0a >．设 L 分别为 （1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+= 【答案 (1)0；（2）πi a ； (3)πi a -】 3.4 计算积分 Im d C z z ?，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段； （２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-； （３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向） 【答案 2(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】 3.5 计算积分 d ||C z z z ? 的值， (1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】 3.6 计算积分的值 π2i 0 cos d 2z z +? 【答案 1/e e +】 3.7计算下列积分的值 （1） ||1d cos z z z =? ；（2）2||2d z ze z =? 21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++?? 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi 4i +】 3.8 计算 2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z z z z e z z z z z ==-===-=--+--+?????? 【答案 （1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π8-】 3.9 计算积分 （1）π61i i 000(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z --??? 【答案 13(1)s i n 1c o s 1; (2)i ; (3)1c o s 1i [s i n (1)1]- -+-】 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i （ ()()()3 3331 02 3 02 302 33 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??? ???==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 02 10 2 / 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设C 为从原点沿2 y x =至1i +的弧段，则2()C x iy dz +=? [ ] （A ） 1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）15 66 i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C zdz =? [ ] （A ） 4 π （B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i + 3．设C 是从0到12 i π+的直线段，则z C ze dz =? [ ] （A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12 ei π - 4．设()f z 在复平面处处解析且 ()2i i f z dz i ππ π-=?，则积分()i i f z dz ππ--=? [ ] （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题 1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则 2C zdz =? 2 。 2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则22 32 (4) C z z dz z -+=-? 10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1） 323262121 ()02i z i i z i i i e dz e e e ππππππ---= =-=? （2） 2 2222sin 1cos2sin 222 4sin 2.244i i i i i i zdz z z z dz i e e e e i i i i ππππππππππ ππππ------?? ==- ????? --=-=-=+ ?? ? ?? （3） 1 1 0sin (sin cos )sin1cos1. z zdz z z z =-=-? （4） 20 222 cos sin 1sin sin().2 22 i i z z dz z i ππππ= =?=-? 2．计算积分 ||C z dz z ?的值，其中C 为正向圆周： （1） 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ + … 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==． 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y =Θ ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y =Θ ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 656121213 1 3121311+-=-++=??? ??++ 第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1复变函数试题及答案
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