第五章 微扰理论
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知
()()0
?H
U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即
()2004ze U r r
πε=-
()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为
()2
04ze U r r
πε=-
在0r r <的区域, ()U r 可由下式
()r U r e Edr ∞
=-?
其中电场为
()
()
3023300000201
4,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε?=≤??
=?
?>?
?
则有:
()()()()
2
2
3
2
000
22222
2200
033000000
1443848r r
r r r
r U r e Edr e Edr
Ze Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞
∞
=--=-
-
=---=--≤???
?
因此有微扰哈密顿量为
()()()()
222
200300
031?220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ???--+
≤? ?'=-=????>?
其中s e =类氢原子基态的一级波函数为
()(
32
10010000032
02exp 2Zr
a R Y Z a Zr a Z e
a ψ-==-?=??
按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为
()()()0
0*0011
11
100100
3
2222222000000?1
31sin 4422Zr
r a s s E H H
d Z
e Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτ?θθπ
-''==??????=--+?? ? ?????????
?
???
00
3
222224300000
3
1
422Zr
Zr Zr r r r a a a s Z Ze e r dr e r dr e
rdr a r r ---????
=--
-
? ?
???
?
?
??? 完成上面的积分,需要作作三个形如0
b m y y e dy -?的积分,用分部积分法,得
00
00
22200
0222
2
000000022112222Zr Zr r a a y Zr Zr a a a e
rdr ye dy
Z a Zr a a a e e r Z a Z Z Z -
---??= ?
??
????????????????
=-+-=-++???? ? ? ??? ???
??????
??????????
??
00
00
222233
22000
0000
23
2
2000000222222222222Zr Zr Zr
r a a a y Zr a a a Zr Zr e
r dr y e dy e Z Z a a a a a a e
r r Z Z Z Z ----
????????????
????==-++-?? ? ? ?
?
????
??
?????????
???????
=-+++ ? ? ?????
????
00
002254400
025
00000000040002222224242412422424222Zr Zr
r a a y Zr a a e
r dr y e dy
Z a Zr Zr Zr Zr e Z a a a a a a a Z Z Z ---
??= ?
??
???????????????????????? ?=+--+++ ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?????
???????????????????
?
?????=-+ ? ???????
000
2325
234
000000025
234
4320000
00000023412424222233324222Zr a Zr a a a a r r r r e Z Z Z a a a a a a r r r r e Z Z Z Z Z Z --?????????++++ ? ? ? ? ? ?????????????????=-+++++ ? ? ?
????
??
我们可以计算1
1E ,
00
0000
3
2321
22000010020025234432
000000000032340
203422222233312422222Zr a s Zr a Zr a a a a a Z E Ze e r r a r Z Z Z Z a a a a a a r r r r e r Z Z Z Z Z Z a e Z ---????????????=--+++??
? ?
? ? ???????????
???
?????????--+++++?? ? ? ?????????????-- ?00
200022
2
2
200
022323
0000022333332222Zr a s
s
a a r Z Z a a a Z Ze e Ze r Zr Z r r Z r a -????????++???
??? ????????????????=-++--- ? ?????
但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.
氢原子的半径约为13~10r cm -, 而80~10a
a cm Z -=.所以有
52135
10821010~110r a r e e a ------=≈≈ 于是
022223222212522001
003333
00000
4314311222232525r
r
s s s s s a s Ze Ze Ze r Ze Ze r r E e
r dr r Ze r a r r r a r r a -??????=--+=-++=?? ?
????????
???
这就是基态能量的一级修正.而准确到一级近似的能量为
()()2222222220000111
1
3220024411252525s s s s Ze Ze r Ze r Z e Z r E E
E
a a a a a a ??
??=+=-+=--=-- ? ?????
5.2 转动惯量为I ，电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。
解: 自由空间转子的能级和波函数为
()()200
12l l lm l l E Y I
ψ+=
=
对于基态
0000E Y ψ===
我们选外加电场E 的方向沿球极坐标的极轴方向(即z 轴的正向),则微扰哈密顿算符为
?cos H D θ'=-?=-D E E 据此我们求出有用的矩阵元(对基态)
(
)**
000*10
10
'cos l lm lm l m H Y Y d Y d Y Y d D D D ΩθΩΩδθε====---??E E
上面用到θπ
cos 43
10=
Y 及球谐函数的正交性 *
''lm l m ll mm Y
Y d Ωδδ''=?
从上面的计算式可见,微扰矩阵元只有
10
H '=
其余为零.
故 1
0000E H '==
即基态能级的一级修正为零.
基态能量的二级修正为
()
()2
2221002
000002001'32l l
l H H I E D E E E E I
''====----
∑ E 5.3 设一体系未受微扰作用时只有两个能级: 01E 及02E ,现在受到微扰?H '的作用,微扰矩阵元为11
221221,H H b H H a ''''====;a ,b 都是实数.用微扰公式求能量的二级修正值. 解: 哈密顿矩阵为:
010*******
E b
a E
b a H a E b E a b +??????
==+ ?
? ?+??
???? 微扰哈密顿矩阵元为: 11
221221,H H b H H a ''''==== 代入能量的二级近似公式 ()
2
000'nm
n n
nn
m
n m
H E E H E E '=++-∑
则 ()
()(
)
()
()
(
)
2
2
0011220
00
012
21a a E E b E E b E E E E =++
=++
--
即
2
2
1012020102
0201
a a E E
b E E b E E E E =++
=++--
5.4 设在0t =时,氢原子处于基态,以后由于受到单色光的照射而电离.设单色光的电场近似地以平面波表示为sin t ωE ,E 及ω均为常量;电离后电子的波函数近似地以平面波表示.求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁电离态的几率.
解: (1)当电离后的电子动能为零时,这时对应的单色光的频率最小,其值为
4
min min 12
4min 322s s
e h E E e μωνμω∞==-==
(2) 0t =时, 氢原子处于基态
00
3
2
11000012r
r
a a k R Y e a ψψ--?===?? 在t 时刻, 处于电离态
()
32
1
2p r i
m e
ψψπ?∞==
微扰
()()()?2?sin i t i t i t i t e H
t e e e i F
e e t ωωωωω--?'=?-=-=r r E E
其中
?2r e F
i
?=E 在t 时刻跃迁到电离态的几率为
()()()()()
()()2
111mk mk mk mk mk k m m t
i t m mk t i t i t mk i t i t mk mk mk W a t a t H e dt i F e e dt i F e e ωωωωωωωωωωωωω→'''
+-+-=''=
'=-??--=-- ? ?+-??
?? 对于吸收跃迁情况,上式起主要作用的第二项,故不考虑第一项,
()()()(
)()()(
)
()
()()()()()()()()
()
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
1
11
mk mk mk mk mk mk mk mk mk i t mk m mk i t
i t
mk k m m mk i t
i t
i t
i t
i t
i t
mk mk F e a t e e
F W a t e
e
F e
e
e
e
ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω----→---
-----
-
-=
---==
---=
-
()()()()()
()()()()()
()()
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
2
422422sin 42mk mk mk mk mk mk mk mk i t
i t
i t
i t
mk
mk i t i t
i t i t
mk
mk mk
mk
mk e e e e F i
i
e e e e F i i t F ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-----
------
-
????-- ??? ????
??
?
=-
-????-- ???
??
??
???=
-??- ?
??
=
-
其中
(
)
00
*32
1
?222p r p r r r r
i a mk m
k r i
a e F F d e
d i
e e
e d i ψψττπτ
?-
-?--??== ????=
???
??
E E
取电子电离后的动量方向为Z 方向,取E ,p 所在平面为xoz 面,
()()()()sin cos sin cos cos sin sin cos cos cos r x y z x y z
r r r r θ?ααθαθ?αθ
?=++=+=+E E E E E E E E ()()()0
00cos 22000
cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin s r
i a mk r
i a r
pr i a pr i F e e d e e d r r e e r dr d d r r e r θππθτ
ταθ?αθθθ?αθ?αθα?--?---∞--=
?=
+=
+=
??
p r
p r
r E E E E E E ()()()0000
2200
0cos 2200
0cos 300
cos 3
sin cos in sin cos cos cos cos sin cos si r
a r
pr i a r
pr i a r
pr i
a e r dr d d e e r dr d d r e e drd r r e
dr e
ππθππθπθθθ??θθθ?αθθαθθθ-∞-∞--∞--
-=
=
?????
E E E ()
cos 3
2
3
n cos sin r pr i
a r
pr pr pr pr
a i i i i d r e
dr e
d i r e
dr e e e e pr pr πθπ
θθ
θθθ
∞
-
∞
--
∞
--=??
????=
+?? ?+-?
???????
??
E
3
2
202
72
2
2a a a ==??
== E E E E 所以 ()()()
()()222
2275220
2622
222
20sin sin 4128cos 22mk
mk mk
k m mk mk t t F p e a W a p ωωωωαωωωωπ→????-- ? ?
????=
=--+ E 5.5 基态氢原子处于平行板电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即
()0when 0when 000t t t e
τ
τ-≤≥??=?≥??E E
求经过长时间后氢原子处在p 2态的几率.
解: 设电场E 沿z 方向,则微扰哈密顿为
00
?cos t t H e e ze e r e ττθ--'=?==r E E E 按照微扰论,由状态k 跃迁到状态n 的几率决定于()2
n a t 而 ()01
n k t
i t n nk
a t H e dt i ω''=? 因此,要求得()n a t ,必须先算出nk
H '. 现在初态为氢原子基态(即1S 态) 而
100
1000r
a R Y ψ-== 而终态是简并的,有三个态. 即
32
210
211000
12r R Y e a a ψθ??==?
?
32
211
211100
12i r R Y e e a a ?ψθ?==?
?
3
2
2112111
00
12i r R Y e e a a ?ψθ---??==?
? 因而有
(
)0*
210
100210,1003
3211010002110
3
332
2
24
005
800cos cos 1122243r
a z r d R R r dr Y Y d R R r dr
e r dr
a a a ψθψτθΩ∞
∞
-==????=????
?
==???
????!
()211,100z 及()211,100z -均为零,这是因为对?的积分为零.
由此可见,这样的电场作用下,跃迁只发生在从基态(1S)到210ψ态()2,1,0n l m ===,跃迁几率为2
210a
而: (
)2121
212121188
210000
18
8
8
21
21012t t t i t i t i t
i t
t
i t i t e a t e e dt e dt i e e e a i e
dt e dt ωωττ
ωωωωωτ??''-+- ?'???
?- ????
?'+ ?''
??
''==??'''
=
==+ ???
? E E E E E
当t τ>>, 211lim 0i t t e
ω??
-+ ???
→∞
=
所以,长时间后
82102e a a =
E
所以 ()152
2
222210
001022
2
21231a e a τωτ=+
E 5.6 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率. 解: 从n 到k 的每秒自发跃迁几率,由公式
(
)3
222
222
3
3
34433s s n k n k
nk nk nk nk nk
e e E E A x y z c c ω→-??==++ ???
r
关键在于求矩阵元,,nk nk nk x y z .我们的初态是第一激发态,有一个单态势2S 态()200ψ和三重态2P 态()210211211,,ψψψ-. 由选择定则1l ?=±, 知21S S →是禁戒的, 故只需要计算21P S →的几率.
(1) 计算矩阵元nk z
(
)321101000210,1000
cos z R R r dr Y Y d θΩ∞
==
?? 注
:10Y θ=
,00Y = 其中
03
332
2
23
4
2110000
5
000000112224!3r
a J R R r dr e r dr
a a a ∞
-????== ??????=====??
??
而 (
)**
11
001110211,100cos 0z J Y Y d Y Y d θΩΩ===? (
)*
11
10211,1000z Y Y d Ω-== 所以 10
2
2221
0123233z J a ??== ???
(2) 计算矩阵元nk x
考虑到 ()sin cos sin 2
i i r
x r e e ??θ?θ-==+
及
111100i i Y e Y e Y ??θθ--===
和球谐函数的正交性.
()(
)(
)()*
10
00210,100*10111100*
1011111sin 212102i i x J Y e e Y d Y Y Y Y d Y Y Y d ??θΩΩΩ---=+=+=
+=?
()(
)(
)*1100211,100
*1111111sin 2
12i i x J Y e e Y d Y Y Y d ??θΩΩ--=+=+=?
()(
)(
)*1100211,100*1111111sin 2
12i i x J Y e e Y d Y Y Y d ??
θΩΩ-----=
+=+=?
所以 222
221
211,100211,1001
3
x x x J -=+=
(3) 计算矩阵元nk y 考虑到 ()sin sin sin 2i i r y r e e i
?
?θθ?-==
- 与上面相仿,计算得 ()(
)(
)210,100
211,100211,1000y y y -===所以 2
22113
y J =
所以 152
2
2
2
2
2
2,1212121
0923
x y z J a =++==r
(4) 求2121n k p s A A A →→→==将
44221212220132228s s s e e e E E a μμω??-==-+=
???
, 其中2
02s a e μ= 及2
2,1r 代入一开始写出的那个公式,得
3
10
223
221015158322221212100039339763041284223223333833s s s s s p s
e e e e e A a a a c c c a c ωμω→????==== ? ???
?? 5.7 计算由氢原子处在2p 态跃迁到s 1态时所发出的光谱线强度. 解: 从2p 跃迁到1s 时的发出的光谱线强度,由公式
2122121p s p p s J N A ω→→=
2p N 是为处于2p 态的氢原子数.由上题知
1082176323s
p s e A c μ→= , 221038s e a ω= , 202s a e μ=
则有:
10
10
32242221210212212120212331021021022148555
222276366366322683
0012812822332322238333s s p s
p p s p p s s s s s s s p p p p s e e a J N A N a N c c e e e e e e e
N N N N c a c a c e c
ωωωωμμμμμ→→????
=== ? ?
????
====
5.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则.
解: 电偶极矩为x ex =D e 的线性谐振子,在电场0cos x t ω=e E E 作用下,即在微扰势
0?cos H ex t ω'=-?=-D E E 作用下,从k ψ到n
ψ的每秒跃迁几率为 ()222
02k n nk n k e W x E E πδω→=--
E
跃迁选择定则,即0≠nk x 的条件, 而
()()()()()()22
2
112
22
1
nk n k n k
n
k n k
n k x x x x dx N N H e
H e dx N N e H H d ξξξ
ξ
ψψξξα
ξξξξ
α∞
∞---∞-∞
∞
--∞
===??? 式中
x
ξαα==
根据厄密多项式的递推公式 1122k k k H H kH ξ+-=+
和厄密多项式的正交性 ()()2
n k nk e H H d ξ
ξξξδ∞
--∞
=?
则
()()()()()()()2
2
2
1121122
,1,1
1
122nk n k n k k n k
n k
n k n k n k n k x N N e H H kH d N N kN N e
H H d e H H d A B ξξξ
ξξξξαξξξξξξα
αδδ∞
-+--∞∞
∞
--+--∞
-∞
+-??=+????
=+
=+???
式中,A B 两个与x 无关的常数.可见只有当1n k =+和1n k =-时,亦即1n n k ?=-=±时, nk x 才不为零,即线性谐振子的偶极跃迁只发生在相邻能级之间.
利用狄拉克符号解此题更容易.已知:
12
????()2x a a μω??=+ ???
12
?11
2
2
??1
2
,1,1??()2????()221121n k n k n k x n x k n x k n a
a k n a a k n a k n a k k k μωμωμωμωα-+??
===+ ???????
??=+=+ ? ???
??
?????=-+ ?????=
??
只有当1n k =+和1n k =-时,亦即1n n k ?=-=±时, nk x 才不为零,即线性谐振子的偶极跃迁只发生在相邻能级之间.
第一章量子力学作业习题 [1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅； ( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率； ( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射． [2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ） 经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂 [3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内， ( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0 介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命． [4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由． ( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射． [5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器 能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1 2 ；（3）hc
第三章习题解答 3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ αψ2 2 22)(-- =，求： (1)势能的平均值222 1 x U μω= ； (2)动能的平均值μ 22 p T =； (3)动量的几率分布函数。 解：(1) ? ∞ ∞ --==dx e x x U x 2 2 22 222121α πα μωμω μωμωαμωα παπαμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 41= ?∞+--????=0122)12(5312a a n dx e x n n ax n π (2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122*2ψψμμ ?∞∞ ----=dx e dx d e x x 2 22 221 22 221)(21ααμπα ?∞ ∞ ---=dx e x x 2 2)1(22222αααμ πα ][22 22 222 22??∞∞ --∞∞---=dx e x dx e x x ααααμ πα ]2[23222απ ααπαμ πα?-= μω μαμαπαμ πα? ===442222222 ω 4 1 = 或 ωωω 4 14121=-= -=U E T (3) ?=dx x x p c p )() ()(*ψψ 21 2 2 21 ?∞ ∞ ---=dx e e Px i x απ απ ? ∞ ∞ ---= dx e e Px i x 222 1 21απ απ
? ∞ ∞--+-=dx e p ip x 2222222)(21 21 αααπ απ ? ∞ ∞ -+-- =dx e e ip x p 2222 22)(212 21 αααπ απ πα π α πα2 212 222 p e - = 2 2221 απ αp e - = 动量几率分布函数为 2 22 1 )()(2 απ αωp e p c p - == # 3.2.氢原子处在基态0/30 1 ),,(a r e a r -=π?θψ，求： (1)r 的平均值； (2)势能r e 2 -的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1)?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0 220 /230 2 0??? ?∞ -= = ?∞-=0/233004dr a r a a r ?∞+-=01! n ax n a n dx e x 04 03 023 2!34a a a =??? ? ??= 22 03020 /23 20 20 /23 2 20 2/23 2 2214 4 sin sin 1)()2(0 00a e a a e dr r e a e d drd r e a e d drd r e r a e r e U a r a r a r -=??? ? ??-=-=-=-=-=? ??? ??? ∞ -∞ -∞ -ππππ?θθπ?θθπ
第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场
???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-=η 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。
量子力学习题集及解答
目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128)
第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e
4.29——6.1 4.29证明在z L ?的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z = [] x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ， ( )( ) ( ) 011 1 =-=-=-= ∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L 同理有：0=y L 。 附带指出，虽然x l ?，y l ?在x l ?本征态中平均值是零，但乘积x l ?y l ?的平均值不为零，能够证明：,2 1 2y x y x l l i m l l -== 说明y x l l ??不是厄密的。2?x l ，2?y l 的平均值见下题。 4.30 设粒子处于()?θ,lm Y 状态下，求()2 x L ?和() 2 y L ? 解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程 ()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =， 利用基本对易式 L i L L =?， 可得算符关系 () ()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2 () x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2 将上式在lm 态下求平均， 使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 2 2 y x L L = 又()[] 222 2 2 1 m l l L L L z y x -+=-=+ ()[] 222 2 12 1 m l l L L y x -+= = ∴ 上题已证 0==y x L L 。 ()() ()[] 222 2 2 2 2 12 1 m l l L L L L L L x x x x x x -+= =-=-=?∴
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
第七章：粒子在电磁场中的运动 P367——7.1，7.2 证明在磁场B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： [] z y x c q i v v B ?,2μ = （1） [] x z y c q i v v B ?,2μ = （2） []y x z c q i v v B ? ,2 μ = （3） [证明]根据正则方程组： x x p H x v ??== ? ，Φ+?? ? ??-=q A c q p H 2 21? μ ? ? ? ?? -=x x x A c q p v ??1?μ 同理 ? ? ? ? ?-=y y y A c q p v ??1?μ ()z y x p p p p ?,?,?? 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： [] ? ? ????--=y y x x y x A c q p A c q p v v ??,??1,2μ ] [] y x A A c q ?,?2 2 μ+ （4） [] 0?,?=y x p p 又A ? [] z x y y x B c y x i c v v 22 ,μμ = ??? ??-?? = （因A B ??=??） 其余二式依轮换对称写出。 P368证明在规范变换下 ψψρ* = （1） [ ]ψψμψψψψμ * * *- -=A c q p p j ??21 （2）
??? ? ?-=A c q p v ?μ （机械动量的平均值）都不变 （3） （证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20式） ψψc iqf e → （4） 则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度： ρ ρψ ψψψψψ ρ='=?=??? ? ? ???? ? ? ?='* * -* c iqf c iqf c iqf c iqf e e e e 又设变换后几率流密度是j '，将（4）代入（2）式右方，同时又代入 ()t r f A A , ?+→ ψψψψμc iqf c iqf c iqf c iqf e P e e p e j * - * -????? ?-='21 （5） 注意到算符的对易关系 推广到三维：() )(F )(F ,?r i r p ??=? 6） 令c iqf e r =)(F 则有： c iqf e p -=e p c iqf （7） =-e p c iqf (8) 将（7）（5）式成为： ()() j A c q p p f A c q f c q p e e f c q p e e j c iqf c iqf c iqf c iqf =--=?+-????????? ???--??? ???+=* ***-*-ψψμψψψψμψψμψψψψμ2121 （9） 在证明第3式时，设变换后的v 是v ' 。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4('的矢势的变换式：
第五章： 对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21 ,??????[222z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21 ],??????[2 2 2 z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++= μμμ （３） 前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下： x x x x p x p p x p p x ?????]?,??[23 2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ???????????22 23-+-= x x x x x p p x p p p x ?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= （４） ],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x x x x x x x =-=-=
14QM-2.16设氢原子处在基态，求： （1） 它在动量表象中的表达式； （2） x p 和2 x p 的平均值； （3） x 和2x 的平均值； 解：氢原子基态波函数为 120121 (,,)r a r e a φθ?π-= 22h a e μ= 而动量p 本征函数为 2./3/2 1()(2)p r p r e φπ=v v h v v h 所以它在动量表象中的表达式为 2cos //223/200011()()1/21/20 1/23/222 3222 1()sin (2)[]2()111[]11(2)()()2(/)ipr a r a ip ip r r a a p e e r d d dr a e e rdr a ip ip ip i p a a a a p a πφθθ?ππππ∞-----+∞==-=--+=+????h h h h h h h g g h h h h h 于是 |()|0 x x x y z p p p dp d p dp φ∞-∞==? 由于被积函数对x p 是奇函数 22222542250004 2 2 2|()|1|()|3 8sin 3()3x x x y z x y z p p p dp d p dp p p dp d p dp p dp d d a p a a ππφφθ?π∞-∞∞-∞∞== =+=?????h h h
而223223243532 113434()4!32 r a r a r a x e x dxdydz a e r dxdydz a e r dr a a a a ππ ---====?=???g 2==>h 14QM-2.17利用氢原子的能谱公式，写出： （1）电子偶素，即e e +--形成的束缚态的能级； （2）以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级； （3）μ+和e - 形成的束缚态能级。 解：氢原子束缚态的能级公式为： 42 22 (2)(1,2,3,)2n me E n h n π=-= （1） 对于电子偶素来说，束缚态的能级为： 42422222(2)(2)(1,2,3,)24e n m e e E n h n h n πμπ=-=-= 其中μ为系统折合质量，e m 为电子质量。 （2）对于μ原子来说，束缚态的能级为： 42422222(2)207(2)(1,2,3,)22e n m e m e E n h n h n μππ=- =-= 其中m μ为μ原子质量，e m 为电子质量。 （3）μ+和e - 形成的束缚态能级为： 4222(2)(1,2,3,)2e n m e E n h n π=-= 其中e m 为电子质量。 14QM-2.1８ 设势场为2()(,0)a A U r a A r r =-+>，求粒子的能量本征值。
7.1.证明：i z y x =σσσ ??? 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσ ?2????=- 及 反对易关系 0????=+x y y x σσσσ ， 得 z y x i σσσ ???= 上式两边乘z σ ?，得 2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ ??? 7.2 求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的测不准关系： ?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ ???? ??=01102? x S ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(?2 22 2 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?222 2 121 =??? ? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S
16 )()(4 2 2 =??y x S S ① 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求 4 )()(2 2 2 2z y x S S S ≥?? 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ?? 可见①式符合上式的要求。 7.3.求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的本征方程为01102a a b b λ??????= ??? ? ?????? 移项得: 20 2 a b λ λ? ? - ???= ? ? ???- ??? x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ 可得 20)2(22 ±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 ±。 设对应于本征值2 的本征函数为 ???? ??=112/1b a χ 由本征方程 2 /12/12 ?χχ =x S ，得
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
第11章量子跃迁 11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求： （a）跃迁选择定则； （b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率． 解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为 而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7） 可知跃迁选择定则为 （b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用 可求出 而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为 11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．
【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】 10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场 作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程 如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成 在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程 初始条件为 令 初始条件（5）亦即 以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得 以左乘上式两端，并对全空间积分，即得 再对t积分，由即得
因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为 根据选择定则终态量子数必须是 即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0． 跃迁到各激发态的概率总和为 其中 a o为Bohr半径．代入式（9）即得 电场作用后电子仍留在基态的概率为 10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）． 解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成
第二章 定态薛定谔方程 本章主要内容概要： 1. 定态薛定谔方程与定态的性质： 在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程） 222.2d V E m dx ψ ψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱） *()()m n mn x x dx ψψδ∞ -∞ =? 或δ函数正交归一性（连续谱） ' *'()()()q q x x dx q q ψψδ∞ -∞ =-? 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数 /(,)()n iE t n n x t x e ψ-ψ= 定态波函数满足含时薛定谔方程。 对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可 归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。 含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为 (,)(,)n n n x t c x t ψ=ψ∑ 系数n c 由初始波函数确定 (,0)()n n n x c x ψψ=∑ ， * ()( ,0)n n c x x dx ψ∞ -∞ =ψ? 由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性 2 1n n c =∑ 对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2 n c ，能量的期待值可由 2 n n n H c E =∑ 求出。这种方法与用
*? (,)(,) H x t H x t dx ∞ -∞ =ψψ ? 方法等价。 2. 一维典型例子： （a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态） 0,0 () , x a V x << ? =? ∞ ?其它地方 能量本征函数和能量本征值为 222 2 (), 0;1,2,3,... 2 n n n x x x a n a n E ma π ψ π ?? =<<= ? ?? = 若 0, () , a x a V x -<< ? =? ∞ ?其它地方 则能量本征函数和能量本征值为 222 2 ()s i n(),;1,2,3,... 2 2(2) n n n x x a a x a n a n E m a π ψ π ?? =+-<<= ? ?? = 1 n=是基态（能量最低），2 n=是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替 的： 1 ψ是偶函数， 2 ψ是奇函数， 3 ψ是偶函数，依次类推。 （b）一维简谐振子（分立谱，束缚态）： 22 1 (), 2 V x m x x ω =-∞<<∞ 能量本征函数和能量本征值为 2 1/4 /2 ()(), ; 1 , 1,2,3,... 2 n n n m x H e E n n ξ ω ψξξ π ω - ?? =≡ ? ?? ?? =+= ? ?? 其中() n Hξ厄米多项式，可由母函数 2 eξ-生成 22 ()(1) n n n d H e e d ξξ ξ ξ - ?? =- ? ??
第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ， 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1. 证明在定态中,几率流密度与时间无关. 解: 几率流密度公式为 ()**2J i ψψψψμ = ?-? 而定态波函数的一般形式为 ()(),i Et t e ψψ-=r r 将上式代入前式中得: ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ??= ?-?? ? 显然是这个J 与时间无关. 2.2. 由下列两定态波函数计算几率流密度; (1) ,e r ikr 11= ψ (2) ikr e r -=1 2ψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点)传播的球面波. 解: 在球坐标中,梯度算符为 1ψ和2ψ只是r 的函数,与?θ,无关,所以 , ()* *1 1211e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψ-???? ??==-+=-+ ? ????? ? ()*222111e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψψ-???? ??==-+=-+=? ? ????? ? ()()**2 21111ikr r r r e r ik ik r r r r r ψψψψ???? ??==-=-=? ? ????? ?e e e 将以上四式代入 ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ ??=?-??? (1) 对于ikr e r 11=ψ 12222 111122r r r i k p ik r r r r μμμμ??=-===????p J e e e (2) 对于ikr e r -=12ψ
212222 1111 22r r r i k p ik r r r r μμμμ??= =-=-=-=-???? p J e e e J 计算的结果已经很清楚ikr e r 11=ψ这样的球面波,是沿r e 方向传播的波, 121p J e r r μ=.而球面 波ikr e r -= 12ψ传播方向与1ψ相反,即21J J =- 2.3. 一粒子在一维势场 ()?? ? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U 00 中运动,求粒子的能级和对应的波函数. 解: 从定态薛定谔方程 02222=+ψμψ E dx d 即 02 =+''ψψk ()2 0k E = > 可知,其解为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 在0≤x 和a x ≥处，波函数为 0)(=x ψ， 在a x ≤≤0处， 波函数为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 从()00=ψ得 0=+B A 即 B A -= 因此有 () 2sin sin ikx ikx A e e iA kx C kx ψ-=-== 从()0=a ψ得 sin 0ka = 即要求 321,,n n ka ==π 所以 sin 1,2,3n n C x n a π ψ== 2 2 222a n E n μπ = 归一化条件 1*=?dx ψψ可得 a C 2 = ()()2222 11sin 1cos 2,cos 1cos 222αααα ??=-=+???? 所以 1,2,30n n x n x a a πψ= =≤≤ 综合得: 000n n x x a a x x a πψ≤≤=<>? 或 2.4. 证明()sin 20n n A x a x a a x a π ψ?'+
第七章习题 1． 有一平凹氦氖激光器，腔长m 5.0，凹镜曲率半径为m 2，现欲用小孔光阑选出 00TEM 模，试求光阑放于紧靠平面镜和紧靠凹面镜处两种情况下小孔直径各为多少？（对于氦氖激光器，当小孔光阑的直径约等于基模半径的3.3倍时，可选出基横模。） 解：由R L g -=1，可计算出75.01=g ，0.12=g ，满足1021
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.
2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω