2013年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013?湖南）复数z=i?（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）（2013?湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）
A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法
3．（5分）（2013?湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．
4．（5分）（2013?湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）
A．B．0C．D．
5．（5分）（2013?湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）
A．3B．2C．1D．0
6．（5分）（2013?湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．
7．（5分）（2013?湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）
A．1B．C．D．
8．（5分）（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）
A．2B．1C．D．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）
9．（2013?湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为_________ ．
10．（5分）（2013?湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为_________ ．
11．（5分）（2013?湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD 的距离为_________ ．
12．（5分）（2013?湖南）若，则常数T的值为_________ ．
13．（5分）（2013?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为_________ ．
14．（5分）（2013?湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，
且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为_________ ．
15．（5分）（2013?湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则
（1）a3= _________ ；
（2）S1+S2+…+S100= _________ ．
16．（5分）（2013?湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f （x）的零点的取值集合为_________ ．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是_________ ．（写出所有正确结论的序号）
①?x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2013?湖南）已知函数，．
（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；
（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
18．（12分）（2013?湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X1234
Y51484542
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
19．（12分）（2013?湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；
（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
20．（13分）（2013?湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N 的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P 处修建一个文化中心．
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
21．（13分）（2013?湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；
（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
22．（13分）（2013?湖南）已知a＞0，函数．
（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
2013年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013?湖南）复数z=i?（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
专题：计算题．
分析：化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．
解答：解：z=i?（1+i）=﹣1+i，
故复数z对应的点为（﹣1，1），
在复平面的第二象限，
故选B．
点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．
2．（5分）（2013?湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）
A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
解答：解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．
故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．
故选D
点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．
3．（5分）（2013?湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．
考点：正弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，
∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，
∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，
∴A=．
故选D．
点评：本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．
4．（5分）（2013?湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）
A．B．0C．D．
考点：简单线性规划．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．
解答：
解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）
设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（，）=
故选：C
点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
5．（5分）（2013?湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）
A．3B．2C．1D．0
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．
解答：解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如下图：
由图可知，两个函数图象共有2个交点
故选B．
点评：求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．
6．（5分）（2013?湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．
考点：等差数列；平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：
令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．
解答：
解：令，，，
如下图所示：则，
又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，
易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，
所以的取值范围为[﹣1，+1]．
故选A．
点评：本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．
7．（5分）（2013?湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）
A．1B．C．D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：计算题．
分析：求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．
解答：解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．
因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．
故选C．
点评：正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．
8．（5分）（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）
A．2B．1C．D．
考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．
专题：直线与圆．
分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P
的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由
1
P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
解答：解：建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，
解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），
由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，
解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=