泉港一中2017-2018学年下学期期末考试
高一数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
命题人： 审题人：
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列结论一定成立的是（ ） A ．a ＞bc
B ．＜
C ．a ﹣c ＞b ﹣c
D ． a 2＞b 2
2．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )
A ．m ＜1
B ．m ＞－1
C ．－1＜m ＜1
D ．m ＞1或m ＜－1
3.在等比数列{n a }中，若93-=a ，17-=a ，则5a 的值为（ ）
A .3±
B ．3
C ．-3
D ．不存在
4．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )
A ．16
B ．25
C ．9
D ．36 5．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A ．α内的所有直线均与a 异面
B ．α内不存在与a 平行的直线
C ．α内直线均与a 相交
D ．直线a 与平面α有公共点
6．实数x ，y 满足不等式组???
y ≥0，x －y ≥0，
2x －y －2≥0，
则W ＝y －1
x ＋1
的取值范围是( )
A.??????－1，13
B.??????－12，13
C.??????－12，＋∞
D.????
??
－12，1 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=10，b=8，B=30°，那么△ABC 的解的情况是（ ） A ．无解 B ． 一解
C ． 两解
D ．一解或两解
8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( )
A.23
B.33
C.23
D.63
9．《莱因德纸草书》（Rhind papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为（ ）
A ．35
B ．32
C ．30
D ． 27
10．已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( )
A ．m ≤－3
B ．m ≥－3
C ．－3≤m ＜0
D ．m ≥－4
11．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点P (3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．10 6
B ．206
C ．30 6
D ．40 6
12．在平面直角坐标系中，定义d （P ，Q ）=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；
③到M （0，﹣2），N （0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y=0； ④直线y=x+1上的点到N （0，2）的“折线距离”的最小值为1． 其中真命题有（ ） A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
二．填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是________．
14．如图，三棱锥C ADB -中，2CA CD AB BD ====，23AD =，
1BC =，则二面角C －AD －B 的平面角为________．
15.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是________万元．
16. 设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列：①{a 3
n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}；④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的序号为________．（填上所有正确的序号）
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本题满分10分） 若不等式ax 2＋bx －1＞0的解集是{x |1＜x ＜2}．
(1)试求a 、b 的值； (2)求不等式ax ＋1
bx －1
≥0的解集．
18.（本题满分12分）
如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D 在直线AC 上，且AD=4DC.
（I ）求BD 的长；
（II ）求sin ∠CBD 的值.
19.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列??????????a n 2n －1的前n 项和．
20（12分）．如图所示，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 是AC 、PC 的中点
（1）求证：AC ⊥DF ；
（2）若PA=2，AB=1，求三棱锥C ﹣PED 的体积．
21（12分）已知直线l：mx+ny﹣1=0（m，n∈ R）与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2+y2=4相交所得弦长为2．
（1）若直线l与直线2x+y+5=0平行，求直线l的方程；
（2）若点P是可行域内的一个点，是否存在实数m，n使得|OA|+|OB|
的最小值为2，且直线l经过点P？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
22（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，λS n=a n a n+1+1，其中λ为常数．
（1）证明：数列{a2n
}是等差数列；
﹣1
（2）是否存在实数λ，使得{a n}为等差数列，并说明理由；
（3）若{a n}为等差数列，令b n=（﹣1）n- 1，求数列b n的前n项和T n．
泉港一中2017-2018学年下学期期末考试
高一数学参考答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）
13、(x －1)2＋(y －2)2＝25 14、60o 15、27 16、①②③④
三、解答题：（本题共6个小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）
(1)∵不等式ax 2＋bx －1＞0的解集是{x |1＜x ＜2}．
∴a ＜0，且1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两根，
由韦达定理可得???
－b
a
＝3，－1
a ＝2，a ＜0.
于是得???
a ＝－12
，
b ＝3
2.
…………………5分
(2)由(1)得不等式ax ＋1
bx －1
≥0即为－12x ＋132
x －1≥0， ∴????－12x ＋1????32x －1≥0且32≠x ，因此(x －2)????x －23 ≤0且32≠x ，解得2
3＜x ≤2. 即原不等式的解集是?
??
???≤<232x x
.…………………10分
18.（本题满分12分）
（I ）解：因为∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
所以34
cos ,sin 55
C C =
=，AC=5， 又因为AD=4DC ，所以AD=4，DC=1. 在△BCD 中，由余弦定理，
得222
2cos BD BC CD BC CD C =+-?
22332
3123155
=
+-???=，
所以410
5
BD =
.……………………6分 （II ）在△BCD 中，由正弦定理，得
sin sin CD BD
CBD C
=
∠， 所以410
154sin 5
CBD
=∠， 所以10
sin CDB ∠=.……………………12分
19．（本题满分12分）
20．（本题满分12分） 证明：（1）连接ED 、EF ，
∵ABCD 是正方形，E 是AC 的中点， ∴ED ⊥AC 又∵E 、F 分别是AC 、PC 的中点 ∴EF ∥PA 又∵PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ，∵AC ?平面ABCD ， ∴EF ⊥AC 又∵ED ∩EF=E ，ED ，EF ?平面DEF ∴AC ⊥平面DEF … 又∵DF ?平面DEF
故AC ⊥DF ……………………6分
解：（2）∵PA ⊥平面ABCD ， ∴是PA 三棱锥P ﹣CED 的高，且PA=2 ∵ABCD 是正方形，E 是AC 的中点， ∴△CED 是等腰直角三角形… 又∵AB=1， 故
，
…
故
……………………12分
21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）直线l 与圆224x y +=相交所得弦长为2.
所以圆心到直线l 3
22
22
3d m n m n =
=
=++221
3m n +=
. …………………2分 因为直线l ：10mx ny +-=(,)m n ∈+
R 的斜率1m k n
=-
， 直线250x y ++=的斜率22k =-，由题意知12k k =，得2m n =， …………3分 由（Ⅰ）可求得15n =
，215m = 因此所求直线l 的方程为2150x y +-=． ………………………5分
22.（本题满分12分）
（1）证明：∵a 1=1，a n ≠0，λS n =a n a n+1+1，其中λ为常数． 当n ≥2时，λS n ﹣1=a n ﹣1a n +1，∴λa n =a n （a n+1﹣a n ﹣1），
∴a n+1﹣a n ﹣1=λ，用2n 代替n 可得：a 2n+1﹣a 2n ﹣1=λ为常数，
∴数列{a 2n ﹣1}是等差数列，首项为1，公差为λ；………………………4分
（2）解：由λS n =a n a n+1+1，取n=1，可得λ=a 2+1， 则a 2=λ﹣1，∴a 2﹣a 1=λ﹣2．
假设存在实数λ，使得{a n }为等差数列，则λ﹣2=
，解得λ=4．
因此当λ=4时，（a n+1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）=4，即a n+1﹣a n =2，
∴{a n }为等差数列，首项为1，公差为2．………………………8分
（3）∵{a n }为等差数列，由（2）可知：a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．
)1
21
121()1(4)1(111
++--=-=-+-n n a a n b n n n n n
(Ⅱ)
12分
)
1
21
121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n ΛΛ为偶数时，当1
221211+=
+-=∴n n
n T n )
1
21
121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n ΛΛ为奇数时，当1
22
21211++=
++=∴n n n T n ??????
?+++=∴为奇数为偶数n n n n n n
T n ,1
222,1
22 ………………………12分 （ 1
1
2)1(12-+-++=
n n n n T ）